精品解析：2026年山东东阿县高集中学等校初中学业水平考试数学模拟试题

山东省二〇二六年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算每个选项中数的值，再比较大小得到最大的数，用到有理数的乘方，绝对值，负整数指数幂的计算规则． 【详解】解：分别计算各选项的值： A选项，值为； B选项，，； C选项，根据负整数指数幂计算规则，； D选项，，； 比较大小得，因此最大的数是C选项的结果． 2. 中国传统纹样以经典构图承载民族文脉，以对称之形藏东方韵律，以具象之纹寄美好期许．下面纹样中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 3. 中国科学院物理研究团队成功在萤石结构铁电材料中发现了一维带电畴壁，其厚度仅约为头发丝直径的十万分之一，为开发具有极限密度的器件提供了科学基础．已知头发丝直径约为m，那么一维带电畴壁的厚度可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的计算，解题思路是根据题意得到畴壁厚度的计算式，再利用同底数幂的乘法法则计算，得到结果即可． 【详解】解：∵一维带电畴壁的厚度为头发丝直径的十万分之一，，头发丝直径为m， ∴畴壁厚度为：m． 4. 元行者一号是中国箭元科技公司正在研制的可回收运载火箭，目前已经完成首次回收试验．如图为元行者一号火箭的主体示意图，则其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图的概念判断选项即可． 【详解】解：元行者一号火箭的主体示意图， 则其主视图是D选项，其他选项不满足题意． 5. 若点满足，，则点在第（ ）象限 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形．由，且判断x、y的符号，然后判断点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴x和y同号， 又∵， ∴，， 故点在第三象限． 故选：C． 6. 如图，，和分别平分和．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的定义求出，再根据平行线的性质推出，利用邻补角的定义求出，最后由角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵和分别平分和，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 《九章算术》中有一个“粟米问题”，大意是“今有粟米与稻米共重96斗，粟米与稻米的重量比为”．设粟米为x斗，稻米为y斗，下列所列二元一次方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“今有粟米与稻米共重96斗，粟米与稻米的重量比为”列方程组即可． 【详解】解：设粟米为x斗，稻米为y斗， ∵今有粟米与稻米共重96斗， ∴， ∵粟米与稻米的重量比为， ∴， ∴． 8. 某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（ ） A. 连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B. 连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C. 在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D. 甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率与概率的关系，根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵抛硬币每次正面朝上都是可能事件，连续抛次次正面朝上是可能发生的，∴A错误； ∵频率是试验得到的结果，不同试验的频率不一定相同，是连续抛三次都为正面朝上的概率，不是固定的频率，∴B错误； ∵根据频率估计概率的性质，大量重复试验下，正面朝上的频率会逐渐稳定在其概率，即附近，∴C正确； ∵试验次数更多仅代表频率更可能接近，并非一定更接近，∴D错误． 9. 如图1，“白玉月令组佩”由十二块白玉牌组成，对应一年十二个月，是承载天时、地利、人和哲学思想的礼器．图2为“白玉月令组佩”的简化示意图，将图中圆环十二等分得到十二个月令玉佩，其中A，B，C，D为圆中玉佩的顶点．连接AC，BD相交于点E，则的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角的计算．如图，连接各点，因为图中圆环十二等分，所以每一等分的圆心角是，对应圆周角是，然后通过是的外角来计算求解． 【详解】解：图中圆环十二等分， 每一等分的圆心角是，对应圆周角是 连接，如图， 则， 又， ， ． 10. 已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根分别是和1；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤若点为对称轴上的任一点，则的最小值为．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】由对称轴可得出即可判断①，由对称轴直线和与轴的一个交点的坐标即可得判断②③，结合函数图象可判断④，求出，作点C关于对称的点，，当点B，P，C共线时，最小，此时，求出即可判断⑤． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误， ∵对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为， ∴与轴的一个交点的坐标为， ∴一元二次方程的两个根分别是和3；故②错误， ∴当时，，故③错误， 结合函数图象可知，当时，随的增大而增大；故④正确； 当时，则， ∴， 作点C关于对称的点， ∴， 当点B，P，C共线时，最小，此时， ∴， ∴的最小值为．故⑤正确． 综上：④⑤正确． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小： __________填“”“”或“” 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 12. 如果，那么x的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，思路为将分式方程通过去分母转化为一元一次方程求解，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：对分式方程去分母， 两边同时乘以最简公分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：当时， ，因此是原分式方程的解． 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：对所求代数式变形得： ，是一元二次方程的两个根， ∴ 将代入得： 14. 已知，原点O为正方形的中心，A，B，C，D均在坐标轴上，，反比例函数的图象与边交于点E，F，与边交于点H，G，连接，．若的面积为4，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点E、F作、，根据正方形的性质、等腰三角形的性质以及点的坐标和线段长的关系，确定点E、F的横坐标与k的关系，再根据的面积为4以及反比例函数中k的几何意义求出答案． 【详解】解：分别过点E、F作、， ∵点E，F都在反比例函数的图象上， ∴设，， 由于反比例函数图象在第一、三象限，， 点E，F都在第一象限， ，， ，，，， ∵四边形为正方形，点O为正方形的中心，， ，， ，， ，， ，， ，， 即，， ， 整理得， ， ， 将代入得， ， ， 即， 整理得， ， ， 解得， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质、等腰三角形性质、反比例函数中k的几何意义、三角形面积公式、点的坐标与线段长的关系，解题关键是反比例函数中k的几何意义与坐标和线段长之间的关系． 15. 如图，在矩形中，，，E，F分别为的中点，将绕点E顺时针旋转，使点A落在处，点F落在处，连接，，则在旋转过程中，面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】计算圆心E到直线的距离，再减去圆的半径，即可得到到的最小距离，代入三角形面积公式求解． 【详解】解：由旋转知，， ∴是在以圆心，长为半径的圆上运动． ∵矩形中，，，，是中点，是中点， ∴，． ∴，即圆半径​． ∵中，， ∴，其中h是到直线的距离． ∵圆心到直线的距离等于矩形的边长， ∴​， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算和化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式、乘方、零次幂，再计算乘法，最后计算加法； （2）将多项式除法写成分式形式，分子、分母分别分解因式，约分化简，再进行减法运算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知四边形为平行四边形，，E为边的中点．作的平分线，交于点F，连接，，相交于点G． （1）求证：F为的中点； （2）求四边形与的面积比． 【答案】（1）见解析 （2）面积比为 【解析】 【分析】（1）通过平行四边形的性质、角平分线的定义，推导出，再结合的条件，证明出，由此即可求解； （2）利用为中点及，证得四边形和四边形是平行四边形，从而得出分别为的中点，接着，通过平行四边形的性质可知由对角线分割出的八个小三角形面积均相等，由此即可求得四边形与的面积比． 【小问1详解】 证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ，E为AD中点， ， ，， ，即F为BC中点； 【小问2详解】 如图，连接，与交于点H， 分别是的中点，且，， ，，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 点G是和的中点，点H是和的中点， ， ，， ， 四边形与的面积比为． 18. 随着电池技术的革新，某款新型新能源汽车搭载了高效快充电池．此款电池在电量剩余不高于电池容量时充电模式为快充，充电功率保持恒定．快充模式下电池的总电量y（单位：）与快充时间x（单位：）满足一次函数关系．在快充模式下，某次充电过程中的数据如下：充电时间为1h时，电池的总电量为；充电时间为时，电池的总电量为． （1）求此次充电过程中，y与x之间的函数表达式； （2）若该汽车的电池总容量为，求此次充电过程能够使用快充模式的时间． 【答案】（1） （2）此次充电可使用快充模式的时间为 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数表达式为，将、代入即可求解； （2）计算，把代入（1）中的解析式可得答案． 【小问1详解】 解：设y与x的函数表达式为，将、代入， 得，解得， ． 【小问2详解】 解：电池总容量，快充上限，即． 令，则， 解得． 答：此次充电可使用快充模式的时间为． 19. 2026年春晚，武术节目《武BOT》精彩亮相，人形机器人与武术演员同台竞技，精准完成鲤鱼打挺、太极推手等高难度武术动作．如图为该节目某一精彩瞬间的几何示意图：机器人的一条腿垂直立于地面上，初始状态下，其另一条腿的小腿与大腿相互垂直．当小腿向上踢起至位置时，与恰在同一直线上．已知，，，． （1）求点到地面的距离； （2）求机器人的小腿从旋转至的位置时，点上升的竖直高度． [（1）（2）两问结果均保留至，参考数据：，] 【答案】（1）点到地面距离约 （2）点上升竖直高度约 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，构造出含特殊角的直角三角形，再利用平角定义和直角三角形内角和求出，在中用三角函数算出的长度，再用加上得到，最后由，得出的长度就是点到地面的距离； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用、、都与垂直，所以三者互相平行，先算出、，结合、得到、，在和中用三角函数分别算出、的长度，最后由点上升的竖直高度即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴即为点到地面的距离． 答：点到地面距离约． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 点上升竖直高度． 答：点上升竖直高度约． 20. 2025年9月，为推动我省重大技术装备创新发展，加快首台（套）装备产品推广应用，山东省工业和信息化厅组织专家对本年度我省首台（套）技术装备项目材料进行了评审，共有16个地区的260个项目通过评审并予以公示．A省的工业和信息化厅官网也公布了本省通过评审的首台（套）技术装备项目名单，平均各地区首台（套）技术装备项目有13.65个． 【收集与整理数据】 地区 类别 济南 济宁 青岛 烟台 其他地区 入选项目/个 68 20 44 32 x 整机装备/台 54 17 38 25 80 关键核心零部件/套 10 3 5 7 y 核心系统/套 4 0 1 0 1 【描述数据】 图1为山东省2025年度首台（套）技术装备入选项目各地区分布统计图； 图2为山东省2025年度首套关键核心零部件入选项目各地区分布占比统计图． 【分析数据】 类别 平均数 省份 入选项目 整机装备 关键核心零部件 核心系统 A省各地区 13.65个 7.65台 1.5套 4.5套 山东省各地区 16.25个 a台 b套 0.375套 根据以上信息解决下列问题： （1）请求出x的值，并补全统计图； （2）2025年山东省其他地区入选的首套关键核心零部件项目y是________套，青岛市入选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是________； （3）填空：________，________； （4）请将2025年山东省各地区关于首台（套）技术装备项目的各种平均数与A省相比较，说说我省在创新产业升级中的优劣势． 【答案】（1）96，见解析 （2）15， （3）13.375，2.5 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据总数为260个项目即可求解x的值，再补全统计图即可； （2）先求解出关键核心零部件项目的总数即可求解y的值， （3）根据各地区的征集装备个数以及关键核心零部件套数计算即可； （4）结合两省的平均数分析即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，济南入选68个项目，济宁入选20个项目，青岛入选44个项目，烟台入选32个项目， ∴， 分布统计图为： 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知，济宁关键核心零部件占， ∴总数为， 由表格可知，关键核心零部件套数为：济南10套，济宁3套，青岛5套，烟台7套， 故， 青岛市人选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是：； 【小问3详解】 解：由表格可知，整机装备个数为：济南54台，济宁17台，青岛38台，烟台25台，其他地区80台， 山东共16个地区，则， 由表格可知，关键核心零部件套数为：济南10套，济宁3套，青岛5套，烟台7套，其他地区15套， 则； 【小问4详解】 解：优势：整机装备、关键核心零部件、核心系统平均数均高于A省，产业配套更完善； 劣势：入选项目平均数低于A省，项目集中于少数地区，区域发展不均衡． 21. 如图，内接于，是边上的高，过点A作射线交的延长线于点D，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理以及三角形内角和的关系得到，再由角度的关系得到，进行等量代换，得到，由此可证切线； （2）先由，得到边长成比例进而求解的长度，结合，可求解，进而可得的度数，由圆周角定理即可求解的度数，再由等边三角形的面积和扇形面积即可求解阴影面积． 【小问1详解】 证明：连接，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． ∵是的半径， ∴为切线． 【小问2详解】 解：连接，，如图， ∵，， ∴， ∴， 由，得． ∴， 由，可得， 在中，， ∴， 由勾股定理可得， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， 则为等边三角形， ∴， ∴的高为， ∴， ∴， ∴． 22. 已知二次函数． （1）当时，求此函数图象的对称轴． （2）若该二次函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． （3）若，是此函数图象上的两点，是否存在常数n，使得只有一个解？若存在，求出a，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）对称轴为直线 （2） （3）存在，，或， 【解析】 【分析】（1）将代入，根据对称轴公式即可求解； （2）根据题意得出对称轴在范围内，即 ，进而可得； （3）分别求得，根据题意列出方程，分情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 对称轴． ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：二次函数 的对称轴为． 时y随x增大而减小，时y随x增大而增大， ∴对称轴在范围内，即 ，解得． 【小问3详解】 解：存在，理由如下 ，． 代入，得， ∵， ∴ 即 分情况讨论， ①当时，即，此时，解得： ②当时，原方程为关于的一元二次方程， ∵只有一解， ∴判别式，解得， 所以原方程为，即 即 解得： 综上所述；，或， 23. 几何图形的变换可以借助动态数学软件变得更加直观、可操作．在课堂上，老师利用（）动态数学工具，深入探究了图形的翻折问题． 如图1，在直角三角形中，，，，为上的动点． （1）将沿折叠，当的对应点恰好落在边上时，求与的数量关系； （2）如图2，当与重合时，将沿翻折，落在位置．连接交于点，求此时到直线的距离； （3）如图3，当在上运动时，关于的对称点为，仍为与的交点，延长至点，使，当取得最小值时，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠性质，，得出，根据四边形内角和定理，得出，进而根据邻补角可得，即可求解； （2）过点作于点，先求得，得出，设，则，，在中，勾股定理建立方程，即可求解； （3）根据已知得出则，延长至，使得，得出，证明得出，则在过点，且垂直于的直线上运动，进而可得的最小值为，再勾股定理求得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠性质，， ，． ， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵折叠， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： ∵ ∴即为到直线的距离， ∴到直线的距离为； 【小问3详解】 解：∵折叠 ∴， ∴ ∵，，， ∴， 由， ，得， ∴ ．即 如图，延长至，使得，则 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴在过点，且垂直于的直线上运动， 过点作于点，则的最小值为， 当重合时，如图所示， ∴当取得最小值时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省二〇二六年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国传统纹样以经典构图承载民族文脉，以对称之形藏东方韵律，以具象之纹寄美好期许．下面纹样中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国科学院物理研究团队成功在萤石结构铁电材料中发现了一维带电畴壁，其厚度仅约为头发丝直径的十万分之一，为开发具有极限密度的器件提供了科学基础．已知头发丝直径约为m，那么一维带电畴壁的厚度可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 元行者一号是中国箭元科技公司正在研制的可回收运载火箭，目前已经完成首次回收试验．如图为元行者一号火箭的主体示意图，则其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若点满足，，则点在第（ ）象限 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，，和分别平分和．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一个“粟米问题”，大意是“今有粟米与稻米共重96斗，粟米与稻米的重量比为”．设粟米为x斗，稻米为y斗，下列所列二元一次方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（ ） A. 连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B. 连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C. 在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D. 甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 9. 如图1，“白玉月令组佩”由十二块白玉牌组成，对应一年十二个月，是承载天时、地利、人和哲学思想的礼器．图2为“白玉月令组佩”的简化示意图，将图中圆环十二等分得到十二个月令玉佩，其中A，B，C，D为圆中玉佩的顶点．连接AC，BD相交于点E，则的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 10. 已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根分别是和1；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤若点为对称轴上的任一点，则的最小值为．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小： __________填“”“”或“” 12. 如果，那么x的值为________． 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则________． 14. 已知，原点O为正方形的中心，A，B，C，D均在坐标轴上，，反比例函数的图象与边交于点E，F，与边交于点H，G，连接，．若的面积为4，则k的值为________． 15. 如图，在矩形中，，，E，F分别为的中点，将绕点E顺时针旋转，使点A落在处，点F落在处，连接，，则在旋转过程中，面积的最小值为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算和化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 已知四边形为平行四边形，，E为边的中点．作的平分线，交于点F，连接，，相交于点G． （1）求证：F为的中点； （2）求四边形与的面积比． 18. 随着电池技术的革新，某款新型新能源汽车搭载了高效快充电池．此款电池在电量剩余不高于电池容量时充电模式为快充，充电功率保持恒定．快充模式下电池的总电量y（单位：）与快充时间x（单位：）满足一次函数关系．在快充模式下，某次充电过程中的数据如下：充电时间为1h时，电池的总电量为；充电时间为时，电池的总电量为． （1）求此次充电过程中，y与x之间的函数表达式； （2）若该汽车的电池总容量为，求此次充电过程能够使用快充模式的时间． 19. 2026年春晚，武术节目《武BOT》精彩亮相，人形机器人与武术演员同台竞技，精准完成鲤鱼打挺、太极推手等高难度武术动作．如图为该节目某一精彩瞬间的几何示意图：机器人的一条腿垂直立于地面上，初始状态下，其另一条腿的小腿与大腿相互垂直．当小腿向上踢起至位置时，与恰在同一直线上．已知，，，． （1）求点到地面的距离； （2）求机器人的小腿从旋转至的位置时，点上升的竖直高度． [（1）（2）两问结果均保留至，参考数据：，] 20. 2025年9月，为推动我省重大技术装备创新发展，加快首台（套）装备产品推广应用，山东省工业和信息化厅组织专家对本年度我省首台（套）技术装备项目材料进行了评审，共有16个地区的260个项目通过评审并予以公示．A省的工业和信息化厅官网也公布了本省通过评审的首台（套）技术装备项目名单，平均各地区首台（套）技术装备项目有13.65个． 【收集与整理数据】 地区 类别 济南 济宁 青岛 烟台 其他地区 入选项目/个 68 20 44 32 x 整机装备/台 54 17 38 25 80 关键核心零部件/套 10 3 5 7 y 核心系统/套 4 0 1 0 1 【描述数据】 图1为山东省2025年度首台（套）技术装备入选项目各地区分布统计图； 图2为山东省2025年度首套关键核心零部件入选项目各地区分布占比统计图． 【分析数据】 类别 平均数 省份 入选项目 整机装备 关键核心零部件 核心系统 A省各地区 13.65个 7.65台 1.5套 4.5套 山东省各地区 16.25个 a台 b套 0.375套 根据以上信息解决下列问题： （1）请求出x的值，并补全统计图； （2）2025年山东省其他地区入选的首套关键核心零部件项目y是________套，青岛市入选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是________； （3）填空：________，________； （4）请将2025年山东省各地区关于首台（套）技术装备项目的各种平均数与A省相比较，说说我省在创新产业升级中的优劣势． 21. 如图，内接于，是边上的高，过点A作射线交的延长线于点D，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求阴影部分的面积． 22. 已知二次函数． （1）当时，求此函数图象的对称轴． （2）若该二次函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． （3）若，是此函数图象上的两点，是否存在常数n，使得只有一个解？若存在，求出a，n的值；若不存在，说明理由． 23. 几何图形的变换可以借助动态数学软件变得更加直观、可操作．在课堂上，老师利用（）动态数学工具，深入探究了图形的翻折问题． 如图1，在直角三角形中，，，，为上的动点． （1）将沿折叠，当的对应点恰好落在边上时，求与的数量关系； （2）如图2，当与重合时，将沿翻折，落在位置．连接交于点，求此时到直线的距离； （3）如图3，当在上运动时，关于的对称点为，仍为与的交点，延长至点，使，当取得最小值时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $