河南郑州市郑州中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷以科技节人员分配、AI培训等真实情境为载体，融合函数、数列、概率等核心知识，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|二项式系数、分布列、函数图像|第4题以科技节展台分配考排列组合，体现应用意识| |填空题|3题/15分|展开式系数、数列极限、马尔科夫链|第14题结合马尔科夫链考概率递推，渗透数学文化| |解答题|5题/77分|函数单调性、概率期望、泊松分布、凹凸函数|第18题以快递延迟考泊松分布应用，第19题探究二阶导数与函数凹凸性，对接高考创新题型|

2025-2026学年下期期中考试高二数学学科试题卷 《试卷学生》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C O B 0 D BCD BC 题号 11 答案 ACD 1.A 【详解】由/)=x求导得：f)-主，则了②)-号 2.B 【详解】由题意得2”=64，解得n=6. 3.A 【详解】根据题意，P(X=)=及，且所有概率之和容于1， 立心x--+立+京+京 4 1，解得：6=5， 5 221 P(X=2)2k2x55 故选：A 4.C 【详解】把这5个同学分配到3个不同的活动展台，每个摊位至少安排一名同学，分组方式 有两种： ①按1,1,3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组， 可得不同的分组数为C:=C=A=5x4=10: A32×1 ②按2,2,1分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的3个中选2个为一组，最后1个为一 组，可得不同的分组数为C:C-10x3-15, A号2×1 最后分配到3个不同的活动展台，共有(10+15)×6=150种不同的装法. 答案第1页，共12页 5.C 【详解】由图可知，函数在R上单调递增，f'(x)>O恒成立， .f'(-1)>0,故②正确：f(m)+f'(-m)>0,故④错误： 且函数在(0，+∞)上增长越来越缓慢，即可知f'(x)在(0，+o)单调递减， 故①正确： 如图，函数在点A(4,f(4)处切线的斜率小于割线OA的斜率， 支华，-4打④>0，放@正： 4 综上，正确的有①②③. 6.B S=41+q+q2)）=26 【详解】设等比数列{a}的公比为9，则 8。-S=4g(1+q+g2）702 解得4=2，q=3,所以4=4q=162 7.D 法一：由f(x)=ae2+(a-2)e-x=0得到：a= 2e*+x 2x+eri 令g到-e 2e*+x 由题意可以看做是y=a与g(x)有两个交点： 则g'(s)=e(2c+-e-+1） (e2+e月 其中e>0,2e+1>0, -e-x+1是单调递减的，并且x=0时，-e-x+1=0: 因此函数g(x)-e(2e+-e-x+ 2存在唯一零点，x=0: (e+e) 当x>0时，g(x)<0;x<0时，g(x)>0:g(0)=1: 得如下函数图像： 答案第2页，共12页 34y 2 -2 0 -1 _2H 显然当0<a<1时，y=a与g(x)有两个交点： 故答案为：D 法二：由题意得f(x)=(ae-1)(2e+1) ①当a≤0时，(x)单调递减，至多有一个零点，不符合题意： ②当a>0时，f()先减后增，在x=ln二处取到最小值.要使f(x)有两个零点，需 .a1 a 当0<a<1时，令x=a-2<0<l血，则e<1, a 故f(s）=ae2+(a-2)e-y>(a-2)e-x>a-2-i=0, 又刊在(h日单调强减，所以内在区间.h日 上存在唯一的零点。 接下来证明e>x,记n(x)=e-x,l(x)=e-1 当x>0,n'(x)>0,n(x)单调递增，所以h(x)≥n(0)=1>0,故e>x, 令5=n3>1n2>0,则e>5.故f化)=ac2+a-2c-5>ac2+a-2)c-c a =e(ae+a-3)=ae>0.而f()在血，+o上单调递增， 所以f(9)在区间n25上存在唯一的零点. a 综上，a的取值范围是(0,1)， 8.D 【答案】D 【详解】4=1， 答案第3页，共12页 2π a2=24+2×sin =24+0, 4=2a+3×si 3弧=2a-3, a,=2a,+4×sin2 r=24+0, 4=2a+5×sin2 =2a4+5, a0s=2a4+2025×sin2025r=2na4+2025, 2 2026π a2026=2a2025+2026×sin 2 =2a2025+0 将以上2026个等式左右分别相加， 得S2026=2S2025+1+0-3+0+5+0-7+0+9++2025+0, 则a2026-S2025=1-3+5-7+9-…-2023+2025=1013. 9.BCD 【详解】在等差数列{a}中，a+g=45+41o<0,而4>0，则4<-4，<0， 对于A,等差数列{a}的公差d=4-a,<-24,<0,数列{an}为递减数列，A错误； 对于B,由选项A,知数列{a}前7项均为正，从第8项起为负，因此S的最大值为S,B 正确： 对于C,S4-14a+a-7a+4)K0,C正确， 2 对于D,|a。+a41-a+a=4+a,+a4+4=2(a7+a)<0,则a+4<a+a,D正确. 10.BC 【样解1对于A因为4归n方4)5专m P(AA)=0≠P(A)P(A), 所以事件A与A不相互独立，故A错误： 对于心：因为P)P(A副-片清若所P44)音故B正确： P(AB)4 答案第4页，共12页 15 对于c:网为4写品Pa4)-0i P(A)1111 34 P(B4)= P(4B)_101正.4 P(A)311' 10 所以P(B)=P(BA)P(A)+P(BA)P(A)+P(BA)P(A) =5×1+4x1+4×3=9 -112115111022 故C正确： 51 对于D:P4B)=P(4PX2 P(B) 9 g,故D错误. 22 11.ACD 【详解】因为xf(①+21血x=f)+1,所以f)-f=1-2血x 令8=f@,x>0,则g'w)=f)/®.1-2血x, x x3 令g'(x)=0,得1-2lnx=0,解得x=Ve, 所以当x∈(0，√E)时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 当x∈(，+∞)时，g()<0,8(x)单调递减. 对于A,因为4>3>V6,所以g④<83)，即④<f,所以4f6)>3f④，故A正确： 4 3 对于B,由A可知g()=1-21血x x3 所以)C,C为常数，所以/)=g闭-c 又因为f)=0,所以C=0, 所以->0，所以w-1, 令f'(x)=0,得x=e,所以当x∈(0，e)时，f(x)>0,f(x)单调递增； 当xe(e,+o)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)在x=e处取得最大值，故B错误； 对于C,因为)=血x>0), 答案第5页，共12页 所以当x∈L,+o)时，f(x)>0恒成立，故C正确； 对于D,由B可知f)=血K>0,且了)在x=e处取得最大值， 又因为f2=h2-n2=ns>血6=} 2 fe)=e-2a2-221 e2=e2.7元=7.29731 所以f(e)>f(2)>f(e2),故D正确. e 12e 12.40 【详解1x。=G-(回产2-z.c学，=0L23,45, 则写=2，Cgx=40x子，故展开式中第3项的系数是40. 5-5x2 13.【答案】50 记第1个正方形的面积为S,第2个正方形的面积为S,,·,第个正方形的面积为S, 设第n个正方形的边长为a,则第n个正方形的对角线长为√2a, 所以第+1个正方形的边长为a+1= 2 :=2 a 2 即数列(a}是首项为4=5，公比为。的等比数列， 数列{S}是首项为S=25,公比为的等比数列， 251 1 .S+S+S3+.+Sn= =501- 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50， 故答案为：50 答案第6页，共12页 14.【答案】 59 由题意，乃= c+CC_§ CC3 p2) 图u2mNm时：B.CCTOCT..CCPE.u0RcC 高[P(x1=叭-rx=2高a+0-= .2 3 gP1+3 整理得以子引A名号行 3) 3532 故可知口引是以品为言现，以号为公比的等比数列，所以以号（+号 3 故答案为： 15.(13分) (1)y=8x-3 (2)当a≤0时，f(x)在区间(0，+o)单调递增： 当a>0时，f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a,+∞)上单调递增. 【详解】(1)当a=-1时，f()=+2nx+4x,求导得f(y)=2x+2+4, f(1)=8,f(1)=5, ∴.y=(x)在点(1,5)处的切线方程为y-5=8(x-1),化简得y=8.x-3.5分 (2)由f(x)=x2-2alnx-2(a-1)x,得 f-2x-2a-12-ar-a2-0e,6分 f(x)的定义域为(0，+o), 当a≤0时：'(x)>0,f(x)在区间(0，+o)单调递增：.8分 当a>0时：①x∈(0，a)时，f'(x)<0; ②x∈(a,+0)时，f"(x)>0,.12分 答案第7页，共12页 ·f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a,+o)上单调递增，13分 综上，当a≤0时，∫(x)在区间(0，+o)单调递增；.14分 当a>0时，f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a+o)上单调递增..15分 16.(15分) (①分布列见解析，期望为 (2)880万元 【详解】(1)由题意可知，5=0,1,2， C1 P5=0)-号01分 p(5=1)-=cc-3 C5,2分 g=0-是 ，3分 所以随机变量的分布列如下， 0 10 5 10 .5分 B(5)=0x1x 10 +2x36 105；.7分 （②)设x为经过描测合格的人数，XB6引(x)=60子0,9分 3 不合格人数为60-X,员工为公司创造的利润为Y=20X+10(60-X)=10X+600万 元，.11分 则E()=E(10X+600)=10E()+600=10×40+600=100万元，..14分 公司的年利润为1000-2×60=880万元. 所以估计该公司A,B两部门经培训后创造的年利润为880万元.15分 17.(15分) (1)a.=2n+1 答案第8页，共12页 (2)T=32n+3) 【详解】(1)由cG+2a.=4Sn+3,可得G-1+2a-1=4Sn-1+3,n≥2，.1分 两式相减得(an+an-1)(a。-41-2)=0,n≥2.3分 因为{a}是正项数列，所以an+a-1>0,4分 所以a-a1-2=0,即a.-an1=2,n≥25分 由4+24=4S+3=4a+3,解得4=3或4=-1（舍去)，.7分 所以{a}是以3为首项，2为公差的等差数列，则a.=3+2(n-1)=2n+1.8分 4=3满足上式，因此4=2n+1..9分 2)由(1)得4，=，1= 1 1(11 4,aH(21+1)(21+3)221+121+3 ,12分 所以买-+地+6=传号5号+d 2n+12n+3 .13分 =x（传) ..14分 n 3(2n+3) ..15分 18.(17分) (1)0.9545 (2)0.58 【详解】 (1)当1=400时，泊松分布X~Poi(400)近似于正态分布X~N(400,400), 即4=400,6=√400=20,1分 要计算P(360<X<440), 根据正态分布的性质，因P(-2o<X<+2o)≈0.9545,3分 故P(360<X<440)≈0.9545..…4分 (2)设X为配送延迟包裹数，则X1=0,1,2,,X~B(20000,0.00015),.5分 答案第9页，共12页 因为h=20000>20,0<2=0.00015<0.05, 2=h乃=20000×0.00015=3，.6分 所以P(X-k=a2e=美g k! 3,7分 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为 P(X23)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2) ≈1-e3-3e39 29分 ≈0.58.10分 3》由Ps)>吕，可得P(x-0+Px=)0 1分 根据泊松分布的概率公式：P(X=0)=e,P(X=1)=2, 可得(2-e品 .13分 设h()=(2+1)e(>0), 由h(2)=-e2<0,可知h(2)在(0，+∞)上为减函数..14分 因为(+1e210150151+ , 111651.65 1 e2 所以2,1+三，16分 e2 所以h(a)>h 即0<<2' 1 故1的取值范围为 .17分 19.(1)[0,8] (2) ①0，2e4 ②证明见解析 【详解】①因为Je=ar手m-ai,定义该为Q, 2 所以f'(r)=-x+axc-anx,f"(x)=-2x+a-a 1分 答案第10页，共12页 因为f(x)是(0，+o)上的凸函数， 所以f"(x)=-2x+a-s0在(0，+0)上恒成立， 即当x∈(0，+0)时，2x2-m+a≥0恒成立2分 函数=2x2-瓜+a图象的对称轴为直线x-骨 当x-骨≤0，即a0时，只需=0时，y=a≥0印可，所以a0,3分 当=子0，即a>0时，只需x时，=及a20即可，所以0<a<8,4分 8 综上可得a∈[0,8]. .5分 (2)①因为f)=g+six,x∈(0，元. a 所以f'x)=g+cosx,f"(x)=e-sir .5分 a a 因为f(x)是(0，π)上的凹函数，所以e-sir≥0在(0，四)上恒成立， a 即上之s血在(0，)上恒成立. a ex .6分 √2sinx+ 3π 令8倒-ge0,测gw-o 4 7分 当0时，空+琴<，则g)>0,8)单调范期： 4 8分 4 当所，-，则0. 3π.7π 9分 所以8(x)=84 ，所以 ，.10分 2e4 2e4 解得0<a≤√2e4, 所以实数a的取值范围是 0,V2e4 .11分 ②证明：由①知，因为f()在(0，兀)内有两个不同的零点x,x, 所以方程8()=-二在(0，四)内有两个根x,3,即g()=g3)=- a a 因为8()在0到上卓洞道指，在年可上单润递减，所以0<号<元 欲证x+x<兀，即证x2<兀-为 答案第11页，共12页 因为 广4'.且)在（任可上单调遥减。 - 所以只需证明g(x)>g(π-x),即证g()>g(π-x). 欲证g(s)>g(-5),即证K>s血（π-），即1>L e e- e 只需证。>。之，即证与<受而该式显然成立 .14分 致证+名>受即证>受 因为（任引所以贝证g可任小 即证g(飞)= 即需证ta此<e2片 1 -2tanx 则h(x)=cos 1-sim2x>0, e2 所以()在0习上单调递增，所以()水h =1,则原不等式得证 4月 .17分 答案第12页，共12页 2025-2026学年下期期中考试高二数学学科试题卷 注意事项： 本试卷分为选择题和非选择题两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡。 第Ⅰ卷 选择题(选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1．已知，则（    ） A． B．2 C． D． 2．若的展开式中各二项式系数和为64，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3． 设为实数，若随机变量的分布列为， 则（     ） A． B． C． D． 4．2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评。现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示。那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （   ） A．90　　B．100　　C．150　　D．180 5．函数的部分图象如图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知为等比数列的前n项和，，，则（    ） A．152 B．162 C．165 D．172 7．已知函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．记为数列的前项和，.则（    ） （     ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9．已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递增数列 B．的最大值为 C． D． 10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（    ） A．事件与相互独立 B． C． D． 11．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（     ） A． B．在处取得最小值 C．时，恒成立 D． 第Ⅱ卷 非选择题(共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在的展开式中，第项的系数是_____. 13．如图所示，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于______. 14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______；______．(第一空2分，第二空3分) 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分） 已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 16．（15分） DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1) 此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 17．（15分） 已知正项数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 18．（17分） 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 19．（17分） 已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. (1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. (2)已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 高二数学学科试卷 第1页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $