精品解析：河南省郑州市基石中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

郑州市基石中学2023-2024学年下学期期中考试 高二数学试卷 考试范围：选择性必修二、选择性必修三；考试时间：120分钟 一、单选题 1. 若函数，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 或1 D. 4 2. 掷一个均匀骰子．记为“掷得点数大于”，为“掷得点数为奇数”，则为（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙等人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 27 B. 33 C. 36 D. 45 5. 已知随机变量，若，则　　 A. B. C. D. 6. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与曲线相切，则实数k的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C D. 11. 已知曲线在点处的切线为，则（ ） A. 当 时，的极大值为 B. 若，斜率为2，则 C. 若在上单调递增，则 D. 若存在过点P的直线与曲线相切于点，则 三、填空题 12. 已知,求__________. 13. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________. 14. 在正项等比数列中，若，则___________. 四、解答题 15. 为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示： 单价元 销量万件 （1）求单价的平均值； （2）根据以上数据计算得与具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得关于的经验回归方程为，求的值． 附： 16. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99．5％把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由． 下面的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中） 17. 现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）． （1）求四位“幸福数”的个数； （2）如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”． 18. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，求满足的最小的正整数n的值． 19. 已知函数是定义域上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围； （3）令，若对都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郑州市基石中学2023-2024学年下学期期中考试 高二数学试卷 考试范围：选择性必修二、选择性必修三；考试时间：120分钟 一、单选题 1. 若函数，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 或1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，令导函数值为3，解方程即可. 【详解】函数定义域为，，则， 解得或（舍去）. 故选：A. 2. 掷一个均匀的骰子．记为“掷得点数大于”，为“掷得点数为奇数”，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知列出事件和事件的结果，求出，，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】掷一个均匀的骰子，有，，，，，共种结果， 事件包含点数为，共种结果，所以； 事件包含点数为共种结果，所以， 所以． 故选：D 3. 甲、乙等人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法即得. 【详解】由题意利用捆绑法求解，甲、乙两人必须相邻的方法数为种． 故选：． 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 27 B. 33 C. 36 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】利用为等差数列可求的值. 【详解】因为为等差数列，为其前项和， 故， 所以，解得. 故选：B. 【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质： （1）若，则； （2） 且 ； （3）且为等差数列； （4） 为等差数列. 5. 已知随机变量，若，则　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解． 【详解】，且， ，且， ． 故选B． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 6. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解. 【详解】的展开式的通项为， 令，得，所以常数项为． 故选：B． 7. 已知直线与曲线相切，则实数k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设切点为，利用导数的几何意义得到，从而得到直线方程为，再将切点代入直线求解即可. 【详解】设切点为，，则， 所以直线方程为. 又因为在直线上，所以，解得. 所以. 故选：C 8. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用赋值法即可求解. 【详解】因为， 令得， ①， 令得， ②， ①②得，， 所以. 故选：B 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，． 故选：AC 10. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】只需把分别代入数列通项公式检验即得. 【详解】对于A项，分别把代入，即得，故A项正确； 对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误. 故选：AC. 11. 已知曲线在点处的切线为，则（ ） A. 当 时，的极大值为 B. 若，的斜率为2，则 C. 若在上单调递增，则 D. 若存在过点P的直线与曲线相切于点，则 【答案】AB 【解析】 【分析】当 时，求出函数的导数，判断函数单调性，求得极值，判断A;根据导数的几何意义可求得参数的值，判断B;利用导数与函数单调性的关系可得不等式，求得a的范围，判断C;根据导数的几何意义，利用斜率关系，列出相应等式，化简可得，判断D. 【详解】当 时, ,则， 当或时，，递增，当时，，递减， 故时，取得极大值 ，A正确； 由可知，若，的斜率为2， 则，故B正确； 若在上单调递增，则恒成立， 即 ，当时，在上单调递增， 故，C错误； 若存在过点P的直线与曲线相切于点，则， 则的斜率为，则 ， 即， 即，即， 故，D错误， 故选：AB. 三、填空题 12. 已知,求__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】求出函数的f（x）的导数f′（x），代入即可得到结论． 【详解】解：函数的f（x）的导数f′（x）＝12cosx， 则f′（0）＝12cos0＝12＝1， 故答案为1 【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础． 13. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________. 【答案】(0，) 【解析】 【分析】对函数求导后，由题意可知在有2个不同零点，从而可得方程在上有两个不同的实根，再结二次函数的性质可求得结果 【详解】解：因为函数有两个不同的极值点， 所以在有2个不同的零点， 所以方程在上有两个不同的实根， 所以，解得， 故答案为：(0，) 14. 在正项等比数列中，若，则___________. 【答案】9 【解析】 【分析】 先由，利用性质计算出，然后利用对数的运算性质计算即可. 【详解】∵为正项等比数列，∴若都有 ∴ 又，∴即，∴ ∴ =2+2+2+2+1 =9 故答案为：9 【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质． 四、解答题 15. 为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示： 单价元 销量万件 （1）求单价的平均值； （2）根据以上数据计算得与具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得关于的经验回归方程为，求的值． 附： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由表格数据直接计算平均数即可； （2）根据表格数据可求得样本中心点，代入回归方程即可求得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由表格数据知：， ，解得：. 16. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99．5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由． 下面的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中） 【答案】（1）答案见解析；（2）有的把握认为喜爱打篮球与性别有关． 【解析】 【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，可得喜爱打篮球的学生，从而即可补充列联表； （2）利用参考公式求出，然后对照临界值表，即可得答案. 【详解】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为， 所以喜爱打篮球的学生共有人， 所以列联表补充如下： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 （2）∵， ∴有的把握认为喜爱打篮球与性别有关． 17. 现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）． （1）求四位“幸福数”的个数； （2）如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”． 【答案】（1）个； （2）5789 【解析】 【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可； （2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第125个四位“幸福数”. 【小问1详解】 根据题意，四位“幸福数”中不能有0， 故只需在数字1，2，3，…，9中任取4个，将其从小到大排列，即可得到一个四位“幸福数”， 每种取法对应1个“幸福数”，则四位“幸福数”共有个. 【小问2详解】 对于所有的四位“幸福数”，1在最高数位上的有个，2在最高数位上的有个， 3在最高数位上的有个，4在最高数位上的有个，5在最高数位上的有个. 因为， 所以第125个四位“幸福数”是最高数位为5最大的四位“幸福数”，为5789. 18. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，求满足的最小的正整数n的值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，列出关于公差与公比的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案； （2）由（1）可得，利用分组求和法及等比、等差数列的前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，可得， 由题意，，整理得， 解得或（舍去），则， 所以，； 小问2详解】 由（1）可得：， . 因在上单调递增，所以可得： ，所以， 当时，， 当时，， 故满足的最小的正整数n的值为. 19. 已知函数是定义域上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围； （3）令，若对都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，从而得到，再解方程组即可. （2）根据题意得到在上有两个不相等的实数根，从而得到，再解不等式组即可. （3）根据题意得到，设，得到，根据，再利用二次函数的性质得到，，从而得到，解不等式即可. 【小问1详解】 ∵，又奇函数，∴， ，∴解得，∴. 经验证，函数满足定义域，成立， 所以. 【小问2详解】 方程在上有两个不同的根， 即在上有两个不相等的实数根， 需满足，解得. 【小问3详解】 有题意知， 令 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴ ∵函数的对称轴为， ∴函数在上单调递增. 当时，；当时，； 即， 又∵对都有恒成立， ∴， 即， 解得，又∵， ∴的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$