河南省安鹤新联盟2025-2026学年高二下学期5月联考数学试卷

高二联考数学参考答案 题号 3 4 6 8 答案 B A A B D D BD 3 12.16 13 2 14. 2 15.(1)取AD的中点为O,连接OP,OE, 因为△PAD是等边三角形，所以OP⊥AD, 因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PADO底面ABCD=AD, 所以OP⊥底面ABCD,因为OA,OEc底面ABCD, 所以OP⊥OA,OP⊥OE,所以OA,OE,OP两两垂直，3分 则分别以OA,OE,OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz, 不妨设AD=2,则P0,0,V5)，A1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),D( AD=(-2,0,0),PE=(0,2,-V5, 因为AD.PE=(-2)×0+0×2+0×-V3=0,所以AD1PE,所以AD1 (2)在平面PBC中，PB=1,2,-5),PC=(-1,2,-V⑤， 设m=x,y,z为平面PBC的一个法向量， mPB=0 x+2y-3z=0 则 mPC=0-x+2y-3z=0 令y=V5,则m=0,V3,2为平面PBC的一个法向量. 10分 又平面PAD的一个法向量i=(0,1,0), 设平面PAD与平面PBC夹角为0，则cos0= i 0+5+0√2i 元 √71 所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为V2I 13分 10 11 BC BCD 1,0,0)，E(0,2,0), PE;6分 e=c-2 16.(1)由题意，得 2b=2W3,解得a2=6,b2=3,c2=3, a2=b2+c2 则椭圆C的方程为上+上=1.5分 63 E y=x+t (2)设M(x,y,N(x,2),联立艾+上 1’得 6 3 3x2+4x+2t2-6=0,7分 则△=16t2-122t2-6>0,解得-3<t<3,8分 且+名= 4t 2t2-6 9分 3 M 0 w非T+- 4212-6_49-7,11分 33 点O(0,0)到直线1的距离为 ,则SAOMN=23 14 13分 2 _1x49-Fx 23 解得t=±1或t=±2√2，满足-3<t<3,则t=1或t=±2√2.15分 17.(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a=3,则S3=3a+3d=9+3d. 因为S3=5a,=15,则9+3d=15,得d=2. 所以数列{an}的通项公式是an=3+2(n-1=2n+1.5分 =1+11 因还nn2=2的=n2.7 2 听=--r经-G+日中2 10分 当n≤2时，因为-。 1111 32n+1n+2 <0,则[T]=n. 当n≥3时，因为0<二 分n 因为[ZH,]++工]=63，则1+2+4+5++n+=63,即3+m-24+n+1=63,13 2 分 即n2+3n-130=0,即(n-10)(n+13)=0.因为n∈N*,所以n=1015分 18.(1)因为f(x)=x+1-(2x+1lnx,所以x)=-1-2nr-1,1分 (1=-2,又f(1=2,即切点为(1,2)，切线的斜率k=-2, 所以切线方程为y-2=-2(x-1),即y=-2x+4.3分 2)令gx=x2-1,0,则8'2 所以当xe0,引时，g>0,因t玉数到在0月 上单调递增， 当x行时，g<0,因此函数8在行切】 上单调递减，6分 故函数g(x)的最大值为g -2加2-l=2h2-32-3=-1 即f(x)<0在(0，+o)上恒成立，则fx在(0，+o)上单调递减.8分 (3)关于x的不等式lnx-ax2-ax<0恒成立，即lnx<ax2+ax恒成立， 由于x>0,所以a> ,nx恒成立，9分 x2+x 设F=nx,则F到=+1-2x+m三f因 x2+x (x2+x)2 (x2+x)2 由(2)知fx)在(0，+oo)上单调递减，且f(1=2,f(e)=-e, 所以存在唯一名∈Le,使待八=0，即2十3 ，12分 则当x∈(0，xo)时，F'(x>0,因此函数Fx)在0，xo)上单调递增， 当x∈(xo,+oo)时，F'(x)<0,因此函数F(x)在(xo,+oo)上单调递减， 七o+1 故函数F(x)的最大值为F(x)= Inxo 2x+1 14分 x+x0(2x+1(x6+x ）x2x+1) 1 1 因为y=2x2+x在(1，e上单调递增，则F(xo)∈ 16分 2e2+e’3 要使a>nx恒成立，且a为整数，所以a的最小值为1.17分 x2+x 19.(1)因为X~Poisson2),且2=25>20，可近似地认为X~W(2,2),即~N(25,25, 4=25,6=5, 所以P(15<X<30)≈P(μ-2o<X<4+σ)=P(μ-2o<X<u)+P(u≤X<μ+σ) _0.9545+0.6827=0.8186；3分 2 (2)①由题知X~Poisson2),其中元=np=1000×0.003=3, PX=2=32e=2≈4.5×0.05=0.2256分 AX-小3gAX== (+10！ (X=i+1)3i让3 所以 P(X=)(i+1！3i+1' P(x=i+1) 当i=1时， 1,当>2所，PX1<1,当=2 P(X=i+l=1, P(X=) P(X=i P(X=) 所以P(X=1)<P(X=2)=P(X=3)>P(X=4)>… 所以当X=2,或X=3时，PX=)最大.10分 (3)因为X~Poisson2),所以P(X>1=1-P(X=0)-P(X=1), 由泊松分布的概率公式，得P(X=0)=e，P(X=1)=e, 以pX>=-c=c-0+e=1十2分 要证当0<2<0.1时，P(X>1)<0.01,只要证当0<2<0.1时， 1+2>0.99. 令->，期g到=<0，所以树在0上单调定藏， g10-1e.所只要0>09， 因为0.99=1-0.12=(1+0.1)(1-0.1，所以只需证e.1>1-0.1, 令h(x)=e"-x-1x≤0)，则h'(x)=e-1<0对任意的x∈-oo,0)恒成立， 所以h(x)在-oo,0)上单调递减，且h(0)=0,所以h-0.1=e1+0.1-1>h(0)=0, 所以e.1>1-0.1,所以当0<2<0.1时，P(X>1)<0.0117分 2027届高二下学期5月联考 数学试题卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知全集，集合，则 A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量、，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，，则四面体的体积 A．与，都有关 B．与，都无关 C．与有关，与无关 D．与有关，与无关 5．已知，，，则的最大值为 A． B． C． D． 6．若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于 A． B． C． D． 8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则 A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．若，则下列不等式一定成立的有 A． B． C． D． 10．已知正项数列的首项，前项积为，且，则 A． B．数列是等差数列 C．是递增数列 D． 11．设，函数，则下列说法正确的有 A．有两个极值点 B．若，则当时， C．若有3个零点，则的取值范围是 D．若存在，满足，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知1，2，成等比数列，则的展开式中所有项的系数之和为_________． 13．已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 14．从1，2，…，2026中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为_________． 四、解答题（本小题5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面底面，是的中点． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16．（本小题满分15分） 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，的面积为，求的值． 17．（本小题满分15分） 设等差数列的前项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为．定义为不超过的最大整数，例如，．当时，求的值． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上单调递减 （3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 19．（本小题满分17分） 泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作，则其概率分布为． （1）当时，泊松分布可以近似为正态分布．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大 于15且小于30的概率；参考数据：若，则，） （2）若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中．某工厂生产电子元器件的次品率为，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算：（参考数据：） ①这1000件产品中恰有2件次品的概率； ②求使得最大时的值． （3）若，求证：当时，． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $