2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册平面向量期末备考练习07

**基本信息** 以平面向量夹角为核心，系统提炼定义法、坐标法、解三角形法三种求解方法，通过分层题型构建“方法-应用”逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法总结|3种核心方法|定义法（cosθ公式）、坐标法（坐标运算公式）、解三角形法（几何转化）|从夹角概念出发，推导三种方法的适用条件与转化关系| |分层题型|单选6/多选2/填空3/解答3（含教材原题改编）|针对不同已知条件选用对应方法，如坐标型用坐标法，几何背景用解三角形法|覆盖夹角求解全场景，体现方法与题型的精准对应，强化模型意识|

永年二中高一数学必修二平面向量期末备考07 测试范围：平面向量的夹角 求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]． (2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝． (3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中． 一、单选题 1．（人教A版必修二习题6.2第18题）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（人教A版必修二习题6.2第19题改编）已知.且.则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 4．已知点，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．设（，1），（x，），且，则向量与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6．（人教A版必修二复习参考题6第13题（4））已知是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知向量是单位向量，且，则以下结论正确的是（    ） A．向量与夹角为 B． C．向量的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 8．已知向量与满足且，则下列说法正确的是（    ） A．向量与的夹角为 B． C．向量与向量垂直 D．若，则向量与向量所成的角为锐角 三、填空题 9．设，，为平面向量，若，，，且，则与的夹角为______． 10．已知向量，，，，则___________． 11．已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____. 四、解答题 12．已知、是同一平面内的两个向量，其中． (1)若且与垂直，求与的夹角 ； (2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 13．已知平面向量，且. (1)求； (2)求与的夹角. 14．已知向量，满足，，且，向量，，． (1)求与的夹角； (2)若，求实数k的值． (3)若与的夹角为钝角，求x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二平面向量期末备考07 测试范围：平面向量的夹角 求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]． (2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝． (3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中． 一、单选题 1．（人教A版必修二习题6.2第18题）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面向量与的夹角为，由平面向量数量积的运算性质可求得的值，可计算出，结合可求得的值. 【详解】设平面向量与的夹角为，，可得， 所以，，，因此，.故选：D. 2．（人教A版必修二习题6.2第19题改编）已知.且.则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先利用模的运算得，再利用向量夹角公式即可得到结论. 【详解】，，. 【点睛】本题考查了向量的模，向量夹角公式，属于基础题. 3．已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量模长的求法，结合向量数量积及夹角公式，直接求解即可. 【详解】因为，所以，因为，化简得，所以，所以，而，所以向量与的夹角是. 4．已知点，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意写出、,带入即可算出答案. 【详解】由题意知：，.所以：. 5．设（，1），（x，），且，则向量与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，设向量与的夹角为，再根据，结合数量积的坐标表示及模的坐标公式即可得解. 【详解】∵向量，，，且，，解得， ，，，，，，，设向量与的夹角为，，，∴，即向量与的夹角为. 6．（人教A版必修二复习参考题6第13题（4））已知是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单位向量的定义结合数量积的定义求出，，，最后利用数量积的定义求解夹角即可. 【详解】因为是夹角为的单位向量，，， 所以，， 而，故， ，故， 所以，而， 解得，则向量与的夹角为，故C正确. 二、多选题 7．已知向量是单位向量，且，则以下结论正确的是（    ） A．向量与夹角为 B． C．向量的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】利用平面向量数量积公式和数量积的运算律判断ABC，利用投影向量的计算公式判断D. 【详解】因为向量是单位向量，且，所以， 解得，B说法正确；由，解得， 又因为，所以向量与夹角为，A说法错误；由， 且可得向量的夹角为，C说法错误；向量在向量上的投影向量为，D说法正确；故选：BD 8．已知向量与满足且，则下列说法正确的是（    ） A．向量与的夹角为 B． C．向量与向量垂直 D．若，则向量与向量所成的角为锐角 【答案】BC 【分析】利用向量数量积的运算律求得，再由向量数量积的定义求得判断A；对于B，C，D，根据向量数量积的运算律，向量垂直的表达式以及向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】由取平方，可得，即得， 因，则，又，则，故A错误； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，由，可知向量与向量垂直，故C正确； 对于D，由，当时，，但是，当时，与共线且方向相同，此时向量与向量所成的角不为锐角，故D错误.故选：BC. 三、填空题 9．设，，为平面向量，若，，，且，则与的夹角为______． 【答案】(或) 【详解】因为，即，所以， 所以，又，所以. 10．已知向量，，，，则___________． 【答案】## 【分析】根据平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，，所以，因为， 所以有， 11．已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____. 【答案】 【分析】先根据向量垂直性质得到与的关系，再由投影向量得出与的关系，进而求出与的关系，最后根据向量夹角公式求出夹角. 【详解】因为，所以，即，因为在方向上的投影向量为，所以，联立，可得，所以，又因为，所以，所以，的夹角为. 四、解答题 12．已知、是同一平面内的两个向量，其中． (1)若且与垂直，求与的夹角 ； (2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可得，再根据夹角余弦公式求余弦值，即可得夹角大小； （2）利用向量的坐标运算，结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可. 【详解】（1）由得，即 ，所以， 得，又，所以； （2） 因为，，所以，所以， 则，由得，由与与的夹角为锐角， 所以。 13．已知平面向量，且. (1)求； (2)求与的夹角. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用向量平行和垂直可得,，结合向量数量积的坐标运算即可求解； （2）利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得所以 因为，所以，所以，所以，所以， （2）由（1）知，， 所以，，设的夹角为， 则，因为，所以即向量与向量的夹角为。 14．已知向量，满足，，且，向量，，． (1)求与的夹角； (2)若，求实数k的值． (3)若与的夹角为钝角，求x的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）先由求得，再根据数量积的定义求得与的夹角； （2）根据垂直向量的数量积为0，列出关于的方程，求得实数k的值； （3）利用向量夹角为锐角其数量积大于零，且两向量方向不相同，即可得解. 【详解】（1）由，得，即.所以. 所以.因为，所以，即与的夹角为. （2）若，则，所以， 即，解得. （3）若与的夹角为钝角，则，且与不能反向.由，得，即，解得；若与共线，则，即，解得（舍去）或. 当，则，与反向；所以x的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $