湖南长沙市南雅中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷

长沙市南雅中学2026届高三第二次模拟考试试卷 数学 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 本试题卷分为单项选择题、多项选择题、填空题与解答题四个部分，共4页．时量120分钟，满分150分． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在复平面内，的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知函数，则（ ） A． B． C．1 D．e 3．已知随机事件A与B满足，，且，则（ ） A． B． C． D． 4．《道德经》有云：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土．”这体现了积累的深远意义．假设商人甲每天通过经营使财富增长1%，那么商人甲的财富增长到最初的2倍至少需要经过多少天？（参考数据：，）（ ） A．40 B．70 C．110 D．180 5．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（ ） A．112 B．224 C．56 D．28 6．已知抛物线：焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点在抛物线C上，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若使得的图象在点处的切线与x轴平行，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D．2 8．设双曲线：的左、右焦点分别为，，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，若的面积为，且双曲线的离心率，则（ ） A．2 B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法中正确的有（ ） A．，可以作为一组平面向量基底 B．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 C．平行四边形中，若，则四边形是矩形 D．已知，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则 10．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A． B．若有两解，则b取值范围是 C．若为锐角三角形，则b取值范围是 D．若D为边上的中点，则的最大值为3 11．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（ ） A．当时，则直线与所成角的正切值范围是 B．当，时，则的最小值为 C．当时，线段的长度最小值为 D．当时，记点P的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．设直线与圆交于A，B两点，若，则实数m的值为______． 13．已知数列满足，，设数列的前n项和为，则______． 14．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5．从中有放回地随机取m次，每次取1个球，记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，若，则X的数学期望为___________，若（其中），则X的数学期望为_________．（用k表示） 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足 ． （1）求角C的大小； （2）已知，，D在边上，且满足，求的长． 16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面底面，且， （1）证明：； （2）若直线与平面所成角为，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 17．（本小题满分15分）已知椭圆：的离心率为，焦点与短轴端点围成四边形的面积是． （1）求椭圆E的方程； （2）过右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，线段的垂直平分线交直线l于点P，交直线于点Q，求的最小值． 18．（本小题满分17分）已知函数． （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围． 19．（本小题满分17分）已知是等差数列，，． （1）求的通项公式和． （2）设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前n项和． 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市南雅中学2026届高三第二次模拟考试试卷 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B A B A D B A BC ABD ACD 三、填空题 12．． 13． 14．， 四、解答题 15．【详解】（1）由得， 即，，即，， 又，． （2）已知，，，D在边上，且满足， ， ，，，在中，由余弦定理得 ，在中，已知，， 则， 解得． 16．（1）取的中点M，连接，． ∵，．．又面 （2）以，，为x，y，z轴垂直角坐标系 由题可知．设，则．． ．， ∴面的法向量是，又面的法向量与 ． 即有平面与平面的夹角为． 17．【详解】（1）椭圆E的方程为： （5分） （2）当直线l的斜率为0时，线段的垂直平分线为，与不相交，不符合题意， 故直线l的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，可得，（7分） ，，， 则 （9分） ． 又，，（11分） 由可得，直线的斜率为， 所以， 所以，（13分） 令，则，所以代入上式可得， ， 当且仅当，即时取等号，此时，所以的最小值为 （15分） 18．【详解】（1）若，，则，， 所以，，所以曲线在点处的切线方程为． （2）由题意，得的定义域为，，， 所以． 当时，在区间上，，单调递减，在区间和上，，单调递增，所以是的极大值点，满足条件． 当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件． 当时，在区间上，，单调递减，在区间和上，，单调递增，是的极小值点，不满足条件． 当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件．综上，a的取值范围是． （3）由（2）知，，，且时，，所以在上，恒成立，即恒成立，即恒成立． 设，则．令，则，当时，，所以即在区间上单调递减，又， 所以，所以在区间上单调递减．又，所以a的取值范围是． 19．【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 ． （2）（I）由题意可知，当时，，取，则，即，当时，，取，此时， 据此可得，综上可得：． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，，则数列的公比q满足 ，当，时，，，所以，所以，即， 当，时，，，所以，所以数列的通项公式为， 其前n项和为：． 学科网（北京）股份有限公司 $