命题大赛 山东高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版选择性必修二第六章选择性必修三全册）

**基本信息** 立足高二选择性必修二第六章及选择性必修三全册，融合原创情境与真实应用，通过概率统计、导数应用等模块考查数学眼光、思维与语言能力，适配月考阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|随机变量、函数导数、古典概型|原创奇函数导数题（第2题）结合图像考查数学眼光| |多选题|3题|二项分布、正态分布、函数性质|结合二项分布与正态分布（第9题）强化数学思维| |填空题|4题|二项式系数、概率递推、杨辉三角|杨辉三角求和（第14题）体现文化传承| |解答题|5题|概率分布、独立性检验、线性回归、导数综合|股票指数计算（第6题）与成绩关联分析（第16题）突出数学语言应用|

山东高二数学下学期阶段测试 人教A版 选择性必修二第六章 选择性必修三全册 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B D C C B B AC ABD BC 1．B 【分析】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可. 【详解】∵，， ∴， ∵，，， ∴. 故选：B. 2．C 【分析】函数与导数图像的关系，分式不等式 区间 - + + - - + + + - - + + - + - + - + 【详解】由题意可得g(x)图像如图所示，答案为 故选：C 3．B 【分析】先利用古典概率公式，求出，，再利用条件概率公式即可求出结果. 【详解】用表示第1次掷骰子得到的点数为，第2次掷骰子得到的点数为，掷两次骰子，基本事件的个数为：， 因为事件A=“为奇数”， 事件B=“，满足”， 记事件“为奇数，且”，所以事件包含的基本事件个数为：，事件包含的基本事件个数为：， 根据古典概率公式知， ，，由条件概率公式知，，故选：B. 4．D【分析】根据正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 故.故选：D. 5．C【分析】先把5名学生分成3组，再分配到3个社区即可求得结果. 【详解】5名学生分成3组，每组至少1人，有和两种情况. ①分组共有种分法；再分配到3个社区：种； ②分组共有种分法；再分配到3个社区：种； 综上所述：共有种安排方式. 6．C【分析】6个交易日后该公司的股票指数为：，利用二项式定理估算. 【详解】根据题意，6个交易日后该公司的股票指数为： ．故选C 7．B【分析】根据全概率公式和条件概率公式，即可求解. 【详解】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题； 设事件表示答对该题，则，设事件表示答对某个题， 则， 设事件表示将有思路的题目做对，则，故选：B 8．B【分析】首先对函数求导，可以得到其导函数是增函数，利用零点存在性定理，可以将其零点限定在某个区间上，结合函数的单调性，求得函数的最小值所满足的条件，利用不等式的传递性求得结果. 【详解】因为，所以，导函数在上是增函数，又，，所以在上有唯一的实根，设为，且，则为的最小值点，且， 即，故， 因为，由对勾函数可知，.故选B. 点睛：该题考查的是有关函数最值的范围，首先应用导数的符号确定函数的单调区间，而此时导数的零点是无法求出确切值的，应用零点存在性定理，将导数的零点限定在某个范围内，再根据不等式的传递性求得结果. 9．AC【分析】由排列组合、二项分布、正态分布、概率的乘法与加法公式对选项逐一判断 【详解】对于A，若，即，解得，故A正确，对于B，，得，故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，则甲正点到达目的地的概率，故D错误 故选：AC 10． ABD【分析】赋值法求值即可求解.D项可以先求导再赋值. 【详解】因为 所以,故正确； 令，则，故正确； 令，则，令，则，所以，故不正确； 对于D.先求导数再赋值 令，则，故正确.故选：. 11．BC【分析】根据条件构造函数，求导，计算出x与y的关系，再根据函数的性质逐项分析. 【详解】因为 ，即 ．令 ，则有， 则 ，令 ，则 ，令 ，可得， 当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减，故， 所以总有 ，故单调递减；所以，即； 对于A，，故A错误； 对于B，设 ，则 ， 故在上单调递增，所以， 所以 ，因为，所以 ，故B正确； 对于C，，即．设，则， 则 ，所以单调递增．因为，所以，故C正确； 对于D，，即，令，则， 因为，所以为偶函数， 所以即为．则 ，令，则 ，所以单调递增．又，所以当时，，，函数单调递减； 当时,,,函数单调递增,当时，,故D错误；故选：BC. 12．【分析】将展开得到，再找出展开式的含的项和含的项即可. 【详解】将展开得到， 只需要找出展开式的含的项和含的项即可. 结合二项式定理分析得到的展开式含的项如下， 为，则展开式中的系数为.故答案为：30. 13．/ 【分析】根据题意结合全概率公式和对立事件的概率公式计算即得. 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得，即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为.故答案为： 14．559【分析】由题意可得第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，…，即求的和，计算即可得答案. 【详解】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，第五行的第三位数字，…， 第十五行的第三位数字是， 则所求为. 故答案为：559 15．(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可； （2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以，根据二项分布即可求解. 【详解】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件，则，所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． (6分) （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． (13分) 16．(1)能(2)【分析】（1）计算出，与的临界值比较，得出结论； （2）根据条件概率的计算公式，利用样本数据，估计的值. 【详解】（1）零假设为：数学成绩与语文成绩无关， (2分) 据表中数据计算得 ， (7分) 根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关. (8分) （2）表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有,,所以,则估计的值为. (15分) 17．(1)，两个变量有很强的线性相关性(2)(3)5.684万元 【分析】（1）计算出的值，将表格中的数据代入相关系数公式，可求得，即可得出结论； （2）求出的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程； （3）将代入回归方程方程，求出该市某家庭教育支出的比例，即可得解. 【详解】（1）， (2分) ， 所以，故两个变量有很强的线性相关性. (6分) （2）， ，，所以，回归直线方程为. (12分) （3）当时，，故家庭教育支出为万元. (15分) 18．(1)(2)答案见解析 【分析】（1）求导，根据可得，即可利用点斜式求解， （2）求导，结合分类讨论求解导函数的正负，结合二次方程根的情况，即可求解. 【详解】（1）当时，，解得 又因为，所以切线方程为：，即 (6分) （2）的定义域为， (7分) 当时，得恒成立，在单调递增 当时，令， （i）当即时，恒成立，在单调递增 （ii）当即时， 由得，或，由得， 所以在，单调递增，在单调递减 (16分) 综上：当时，在单调递增； 当时，在，单调递增；在单调递减 (17分) 19．(1)递增区间，递减区间. (2)（i）当时，函数在上无零点；当时，函数在上有且仅有一个零点.（ii）. 【分析】（1）求导，判断导数正负，得解；（2）（ⅰ）求出函数的解析式，求导判断单调性结合零点存在性定理求解；（ii）由题可得，令，设函数，，求导讨论判断函数单调性，求解. 【详解】（1）当时，，则，， 令，则，所以在上单调递减，又， 所以当时，，当时，， 即当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (4分) （2）（ⅰ）由题，令，则， (6分) 当时，在上恒成立，所以在上单调递减， 又，， 当时，，此时函数在上无零点； 当时，，此时函数在上有且仅有一个零点. (10分) （ii）当时，可化为，即， 令，设函数，，则， (12分) 当，即时，函数在上单调递增， 所以，即且不恒为零， 所以函数在上单调递增，所以， 即不等式在上恒成立； 当，即时，在上，函数单调递减， 故，即， 所以函数在区间上单调递减， 故存在使得，不合题意； (16分) 综上，实数的取值范围为.(17分) 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东高二数学下学期阶段测试 人教A版选择性必修二第六章 选择性必修三全册 一、单选题 1．已知随机变量满足，，.若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（原创）已知定义在上的奇函数,当时,=，图象如图所示，设的导函数为，则的解集为 （ ） A. B. C. D. 3．先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A=“为奇数”，事件B=“，满足”，则概率（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 5．某学校安排名学生到个社区进行志愿服务，每名学生只去个社区，每个社区至少有名学生，则不同的安排方法共有（    ）种 A． B． C． D． 6．某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为（    ）（精确到0.01） A．1.11 B．1.12 C．1.13 D．1.14 7．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数,则下面对函数的描述正确的是 A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知，则 B．已知随机变量服从二项分布，若，则 C．设随机变量服从正态分布，若，则 D．甲乘汽车，高铁前往目的地的概率分别为，汽车和高铁正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为． 10．(原创)设，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知 ，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．的展开式中的系数为______________． 13．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为______． 14．如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为____. 四、解答题 15．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 16．某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 (1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 17．近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市年的家庭平均教育支出，得到如下表格.（附：年份代码分别对应的年份是）.经计算得，，，. 年份 教育支出占家庭支出比例（百分比） (1)计算样本的相关系数，并判断两个变量的相关性强弱；（精确到） (2)建立关于的线性回归方程；（精确到） (3)若年该市某家庭总支出为万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？ 附：（i）相关系数：；（ii）线性回归方程：，其中，. 18．已知函数． (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论的单调性． 19．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)函数． （ⅰ）当时，讨论函数在区间上的零点个数； （ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东高二数学下学期阶段测试 人教A版 选择性必修二第六章 选择性必修三全册 双向细目表 考查范围：计数原理与概率统计、函数与导数 题号 难度 知识点 一、单选题 1 适中 求离散型随机变量的均值,离散型随机变量的方差与标准差 2 适中 利用抽象函数的图像和导数与单调性关系求分式不等式的解集（不含参） 3 容易 计算条件概率,计算古典概型问题的概率 4 容易 指定区间的概率 5 适中 分组分配问题 6 适中 整除和余数问题 7 适中 利用全概率公式求概率,利用贝叶斯公式求概率 8 困难 函数单调性、极值与最值的综合应用 二、多选题 9 容易 独立事件的乘法公式,根据正态曲线的对称性求参数,组合数的计算,二项分布的均值 10 适中 求指定项的系数,二项展开式各项的系数和 11 困难 用导数判断或证明已知函数的单调性,比较函数值的大小关系 三、填空题 12 容易 求指定项的系数 13 容易 利用全概率公式求概率 14 容易 杨辉三角 四、解答题 15 容易 独立事件的乘法公式,利用二项分布求分布列,建立二项分布模型解决实际问题,二项分布的均值 16 容易 计算条件概率,卡方的计算,独立性检验的基本思想,独立性检验解决实际问题 17 适中 相关系数的计算,用回归直线方程对总体进行估计,求回归直线方程 18 适中 利用导数求函数（含参）的单调区间,求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 19 困难 利用导数研究不等式恒成立问题,利用导数求函数的单调区间（不含参）,利用导数研究函数的零点 学科网（北京）股份有限公司 $