精品解析：山东济宁市实验中学2024-2025学年高二下学期5月份模块检测数学试题

2024-2025学年度高二五月份模块检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 某校高二年级有5名同学计划前往崂山、黄山、华山三个景点旅游．已知5名同学中有2名男生，3名女生．每个景点至少有1名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这5名同学游玩行程的方法数为（ ） A. 30 B. 36 C. 42 D. 54 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 有个编号分别为1，2，3，…，的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则______. 13. 在实际生活中，进行一些“敏感性问题”的调查时，受访者往往不愿当面回答真实的观点，于是可以采取一些措施避免受访者直接回答所调查的问题.例如，某校想调查某项新规在学生群体中的反响，可设置如下调查方式：受访者在一个只含有黑、白两个小球的箱子里随机抽取一个（仅受访者知道小球的颜色），若受访者抽到的是黑球，则回答一个与调查无关的问题：“你出生的月份是否为3的倍数（假设每个人出生在1-12月份的概率相同）”；若受访者抽到的是白球，则回答调查的问题：“你是否支持本条新校规？”.若最终调查结果是本校的学生支持学校新规，则在调查过程中，随机抽一位受访者，其回答“是”的概率是__________. 14. 函数有两个零点，则m的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如图的频率分布直方图： （1）从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望： （2）每天的体育活动时间不低于40分钟的同学被称为“体育爱好者”.以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，从该校学生中随机抽取10名，求其中“体育爱好者”人数的均值和方差. 16. 已知（）. （1）求二项展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值； （3）求的值. 17. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比.请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．， 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）若恒成立，求的取值范围； （3）当时，求证： 19. 在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. （1）假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? （2）若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. （3）若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二五月份模块检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交并补的运算逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以或， 因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：D 2. 若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式，由必要条件的定义即可判断的范围. 【详解】或， “或”是的必要条件，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 3. 已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布可得，再根据即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为，所以. 故选：D. 4. 如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 5. 展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 因为， 在中，令，系数为； 在，令可得，系数为. 综上所述，展开式中的系数为. 故选：B. 6. 某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】记在他10次投篮中，投中的次数为，则，求出取最大值时的的值，即可得解. 【详解】记在他10次投篮中，投中的次数为，则， 且， 由，得， 所以，所以，所以， 所以，解得，因为，所以， 所以在他10次投篮中，最有可能投中的次数为8次. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用不等式求出的最大值是解题关键. 7. 某校高二年级有5名同学计划前往崂山、黄山、华山三个景点旅游．已知5名同学中有2名男生，3名女生．每个景点至少有1名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这5名同学游玩行程的方法数为（ ） A. 30 B. 36 C. 42 D. 54 【答案】A 【解析】 【分析】先将人按和两种情况分成三组，再分配即可. 【详解】将人分成三组，有和两种分法， 若按分组，根据题意有种分法， 若按分组，根据题意，有种分法， 所以这5名同学游玩行程的方法数为种. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合题意可得函数是定义在上的偶函数，又当时，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，又，可得，即可得出不等式的解集． 【详解】令，则， 当时，， 所以当时，， 即函数在上单调递减， 又，则， ， 由， 得， 即， 则，即是奇函数，所以是偶函数， 则当时，函数在上单调递增， 因为，所以，， 又，所以即，则， 所以不等式的解集为. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项， 由A知，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式得到和，即可求出结果. 【详解】因为， 由，得到，当且仅当时取等号， 即，所以，得到， 所以，故选A错误，选项B正确， 又由，得到，当且仅当时取等号， 即，整理得到，解得， 所以选项C正确，选项D错误， 故选：BC. 11. 有个编号分别为1，2，3，…，的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式即可判断AC，由条件概率的公式即可判断B，由与的关系，即可得到，从而判断D. 【详解】由题意，从1号盒子取球有两种情况：取出的球是白球和取出的球是黑球， 若从1号盒子取出的球是白球，概率为， 此时2号盒子中有2个白球和1个黑球，则从2号盒子取出的球是白球，概率为， 即，依此类推， 若从1号盒子取出的球是黑球，概率为， 此时2号盒子中有1个白球和2个黑球，则从2号盒子取出的球是白球，概率为， 即，依此类推， 由全概率公式 ， 所以A错误； 因为，则，所以B正确； 由全概率公式，时， ， 所以， ，所以C正确； 由，则， 因为，， 所以，即， 则，当时，， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】设，由正态分布密度曲线的对称性可知， ，.所以， 解得.即. 故答案为：. 13. 在实际生活中，进行一些“敏感性问题”的调查时，受访者往往不愿当面回答真实的观点，于是可以采取一些措施避免受访者直接回答所调查的问题.例如，某校想调查某项新规在学生群体中的反响，可设置如下调查方式：受访者在一个只含有黑、白两个小球的箱子里随机抽取一个（仅受访者知道小球的颜色），若受访者抽到的是黑球，则回答一个与调查无关的问题：“你出生的月份是否为3的倍数（假设每个人出生在1-12月份的概率相同）”；若受访者抽到的是白球，则回答调查的问题：“你是否支持本条新校规？”.若最终调查结果是本校的学生支持学校新规，则在调查过程中，随机抽一位受访者，其回答“是”的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到受访者抽到白球和黑球的概率，得到受访者抽到黑球回答“是”和受访者抽到白球回答“是”的概率，由全概率公式计算即得答案. 【详解】设受访者抽到白球和黑球分别为事件，受访者回答“是”为事件， 因为箱子里只含有黑、白两个小球，所以， 因为每个人出生在1-12月份的概率相同，1-12月是3的倍数的月份有共4个， 所以出生的月份是3的倍数的概率为， 即受访者抽到黑球回答“是”的概率是， 已知本校的学生支持学校新规， 即受访者抽到白球回答“是”的概率是， 则随机抽一位受访者，其回答“是”的概率是 . 故答案为：. 14. 函数有两个零点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，换元令，原题意等价于与有2个交点，根据导数的几何意义结合图象分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且， 令，可知在内单调递增， 原题意等价于在定义域为有2个零点， 令，可得， 可知与（过原点的直线）有2个交点， 对于，则， 设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为， 代入点，得，解得，即切线斜率， 结合图象可知：若与有2个交点，则，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如图的频率分布直方图： （1）从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望： （2）每天的体育活动时间不低于40分钟的同学被称为“体育爱好者”.以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，从该校学生中随机抽取10名，求其中“体育爱好者”人数的均值和方差. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 期望为 （2）， 【解析】 【分析】（1）由已知可得9名学生中位于的有人，位于的有人，由服从超几何分布即可求解； （2）由已知可得，根据二项分布的均值和期望公式求解即可. 【小问1详解】 因为体育活动时间位于和的频率分别为和， 所以抽取的9名学生中位于的有人， 位于的有人， 所以随机变量所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 故，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为： ， 则， ，. 16. 已知（）. （1）求二项展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知第五项的二项式系数最大，然后根据展开式的通项即得； （2）先得到展开式的通项为，从而得到，将，转化为展开式中各项系数的和，令可得，再减去即可； （3）由题可得，然后利用赋值法即得. 【小问1详解】 ∵， ∴第五项的二项式系数最大，      所以展开式中二项式系数最大的项为 ； 【小问2详解】 由， 令，则， 展开式的通项为：， 所以， ∴等于展开式中各项系数的和， 在展开式中，令，得各项系数之和为， 即， 则． 【小问3详解】 设， ∴，        令，可得. 17. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比.请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．， 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， （2）列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 认为是否报废与保养有关【解析】 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【小问1详解】 由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. 【小问2详解】 设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）若恒成立，求的取值范围； （3）当时，求证： 【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （3） 由（2）可得，当时，， 所以（当且仅当取等号）. 设，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以（当且仅当取等号）. （）， . 【解析】 【分析】（1）求导，分和，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）结合（1）的结论，求函数的最大值，由最大值不大于0可求的取值范围. （3）由（2）可知，再设，分析函数的最值，可得，进而可得结论. 【小问1详解】 由题意得，函数的定义域为， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得单调递增， 令，解得单调递减， 所以，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，，不合题意，舍去， 当时，，不合题意，舍去， 当时，由（1）知的最大值为， 由已知解得. 所以. 【小问3详解】 略 19. 在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. （1）假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? （2）若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. （3）若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 【答案】（1） （2） （3） “机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 所以， 则， 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 【解析】 【分析】（1）列出上完步台阶的走法，即可计算时间； （2）依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出取最大值时的值，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （3）依题意可得，即可得到，即可证明，从而得到，再由累加法计算可得. 【小问1详解】 “机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； 【小问2详解】 依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； 【小问3详解】 所以， 所以 ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $