上海市金山中学2026届高三下学期数学素养检测5

2026届金山中学高三下素养检测5 一、填空题 1.（w)2={ 1 10 3 83.164.-25.56.37.88.219.0.610. arccos 5 11.65.7cm212.-27 二、 13.B14.B15.A16.A 三、解答题 17.【答案】(1)42.5（万元）：(2) E刘-月 【解析】(1)由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1知： (0.005+0.02×2+0.025+x+0.01+0.005)×10=1,解得x=0.015. 所以月收入在10,20），[20,30)，[B0,40),[40,50,[50,60),[60,70),[70,80)内的频率分别为 0.05,0.2,0.2,0.25,0.15,0.1,0.05, 所以这1000家小微企业的月收入的平均数约为： 0.05×15+0.2×25+0.2×35+0.25×45+0.15×55+0.1×65+0.05×75=42.5(万元). （2)因为月收入在50,60），[60,70），[70,80)内的企业的比例为0.15：0.1：0.05=3：2：1， 所以抽取的6家企业中月收入在[50,60），[60,70），[70,80)内的企业数分别为3,2,1. 所以从这6家企业中随机抽取3家企业，其中月收入在[50,60)内的企业数x的所有可能取值为0,1,2， 3, P(X=0)= C20 P(x-1)-Cci_9 C820. P(x=2)=CC=9 C20 P(X=3)= 20 0 12 3 199 1 所以X的分布列为： 20202020 2x9 3x1、3 所以数学期望 E[x]=0+1x9 0 20 202.」 18.【答案】(1)见解析；(2)1 【解析】(1)设AC与BD相交于点O, 因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD,且O为AC、BD中点. 又因为AS=CS,所以SO⊥AC,SO∩BD=O,SO、BDC平面BDS, 所以AC⊥平面BDS. (2)因为底面ABCD是菱形， ∠BAD=T 3,AB=2,所以△ABD是等边三角形， 则BD=AB=2. 在△BDS中，BS=V5,DS=1,BD=2,满足BS2+DS2=BD2, 根据勾股定理逆定理可知∠BSD=90°，即SD⊥SB. 由(I)知AC⊥平面BDS,所以 S-ABCD= AC 3 Saso=3x1v3 22,AC=25 =13 s-48c32 ×2W3=1 则 63 19.【答案】(1)最小正周期为元，单调递增区间为6 【解析】(1)因为 (2in+inoinco2in 所以/()的最小正周期为 2 T= 2 +2k元≤2x- 由2 2几≤+2元，k乙，得到6 62 +km≤x≤+k机，k∈Z, 3 [_T+k元，+k 所以f(x)的单调递增区间为L6 3 」，(k∈Z) ,即 ,所以62 中机k2,又A0所以3，又∠A的Y分交C于03，c2 解得3 由S△Mc=SaBD+SaCD,即 csnA=eDsin∠B4D+b-ADn∠CD 得到2241 ，解得 5 ,x2=1C2水 =1 20.【答案】(1) ·43 (3)存在，1：y=±1 x2y2 【解析】(1)由题意，在 (a>b>0)中，△FAB的周长为8， CAFAR=AB+BF+AF=4F+BF+BF2+4F3=8 AF+AF =2a BF+BF =2a CAFAB=AF+BF+BF+AF=4a=8 解得：a=2, 2c=2 ∴{a2=b2+c2 b=√5 椭圆C的焦距为2， a>b>0 ,解得(c=1 43 在双曲线C2中，实轴为椭圆C的长轴，虚轴为椭圆C的短轴， x2y2 .C2 =1 43 (2)由题意，在 (a>b>0)中，a=2,b=1, a2=b2+c2 c>0 ，解得：c=5】 G: 4+y2=1 ∴E0,1).E(V5,0）IEE=V3-0+(0-1=2 :△EF,P是等腰三角形，且BB是该三角形的腰， O若|EF=EP=2,以点E为圆心2为半径作圆，与椭圆有3个交点， 4V2 42 X2= 3 3 x3=0 则+0-1=4,解得3 或（为-1 a-周周 ②若EF=FP川=2，则以点B为圆心2为半径作圆，与椭圆有2个交点，一个为点E,一个为点B, 由对称性可知B(0,-)】 421 4W21 综上，点P的坐标为(0，-)或3'3 33 或N (3)由题意，存在， 在C:5+3=1a>b>0)中，a=V2,b) 在 a2=b2+c2 c>0 ，解得：c=1,F(-1,0),F(1,0) 在双曲线C2中，实轴为椭圆C的长轴，虚轴为椭圆C的短轴， .2 C:-=1 假设存在直线：y=+m满足题意，切点为Q, y=kx+m x2 联立(2 +产-la0-2)2+4m+2m-2=0 △=162m2-41+2k2)(2m-2）=0,解得m2=1+2k2, y=kx+m x2 联立之少限-2k)-4mr-2m-2-0 x+x2= 4km 1-2k2 2m2-2 设交点M(,.N(,),则西= 1-2k2 M=(x+1,y).ME=(x+1,y)」 ME⊥NF .(:+1)(5-1)+y=0,即(x+1(x2-1)+(c+m)(a,+m)=0 整理，得（1+2)x+x3-x+m(任+)+m2-1=0 -x=3+x}-4x5= 4km 4.-2m2-2 其中 1-2k2 1-2k2 2V2m2+2-4k22V2(1+2k2）+2-4k 4 1-2k2 1-2k2 1-2k2 0-是a 1-2k+m2-1=0 4km 化简，整理，解得m2=1, m=±1 结合m2=1+2k2,解得k=0, ∴存在椭圆C的切线，其与双曲线C的左、右两支分别交于点M、N使MLN3,满足要求的直线 1的方程为：y=1 21.【答案】1D不是：(2)：(3)(33+22) 【解析】D由于(0-f(2=1,1g()-g(2列=3 故/(0)-f(2<g()-g(2 所以函数()=X不是函数8()=X在区间L2]上的1级控制函数 e我--e车后内mn 得h-lhl≥mle-e, x<x,…lnx<lnx3,e>e, 从而n5-lny≥m(e-e） 即lh为2+me之lnx+me 在ec门上恒成立 1。 令A()=nx+m-e,则(c)2A()在Le上恒成立 [1e 即=h()在 上为增函数， 故(20在Le9上恒成立. ()=1-m:e≥0 即 ∴mse 记()e ,x>0, '(x)=ex-) 专0)-Eaa问pe 从而p(x)m=p(四=C,故实数m的最大值为e. (3)因为函数y=f()在区间（L,+切)上存在两个零点a,b, 不妨设1<a<b,且f(a)=f(b)=0, 因为函数y=f()是8（四）-r-2x-在区间（，+切)上的2026级拉制函数， 所以/(a)-f(b≥2026g(a)-g(b,即0≥2026lg(a)-g(b 所以8(a)=8(b),即l口2-2a-1=b2-2b- 又函数y=-2x-1在（，+)上单调递增，故有0-2a-1=-(你-2b-), 从而a2-2a-1+b2-2b-1=0,即(a-1+(b-1)'=4 令a=1+2m,6=142n9.0[引 b=(1+2cos0)(1+2sin)=1+2(cos@+sin0)+4sincos 令t=cos0+sin0,则 =v2sm(o+星}e同) 从而b=1+21+2(-0=2+21-1∈33+22)】 即ab的取值范围是3,3+22) 2026届金山中学高三下素养检测5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1．已知集合，且，则实数a的取值范围是_________． 2．抛物线，则其准线方程为_________． 3．已知正实数a、b满足，则的最大值为_________． 4．已知，则实数_________． 5．设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_________． 6．已知空间向量，，共面，则实数_________． 7．方程的解为_________． 8．现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为_________． 9．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则_________． 10．已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，若圆台上、下底面的面积和等于圆台的侧面面积，则圆台的母线与底面所成角的大小为_________．（用反三角函数表示）． 11．雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形“纸片人”； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段，． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）； 12．已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ）． A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 14．已知等比数列的公比为q，且，则“”是“是递增数列”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．设，，，是空间中给定的n个不同的点，则使成立的点M的个数为（ ）． A．1 B．n C．无穷多个 D．前面的说法都有可能 16．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转（）后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．现有以下4个命题，其中所有的真命题为（ ）． ①存在“旋转函数”； ②“旋转函数”一定是“旋转函数”； ③若为“旋转函数”，则； ④若为“旋转函数”，则． A．①③④ B．①②④ C．①④ D．①③ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．某市为了统计市内小微企业的经营发展情况，市税务局提供了1000家小微企业的月收入数据．企业月收入（单位：万元）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示． （1）求这1000家小微企业的月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若采用分层随机抽样的方式从月收入在，，内的企业中抽取6家进行问卷调查，再从抽取的6家企业中随机抽取3家企业作进一步访谈，记抽取的3家企业中月收入在内的企业数为X，求随机变量X的分布列与数学期望． 18．如图，已知四棱锥的底面为菱形，，． （1）求证：平面； （2）若，，，求四棱锥的体积． 19．已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于D，求的长． 20．已知椭圆的方程为（），、分别为椭圆的左、右焦点．双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴．过作直线l交椭圆于A、B两点． （1）当的周长为8，椭圆的焦距为2时，求曲线及的方程； （2）当，时，已知椭圆的上顶点为E，P是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点P的坐标； （3）当，时，是否存在椭圆的切线l，其与双曲线的左、右两支分别交于点M、N，使得？若存在，求出所有满足要求的直线l的方程；若不存在，请说明理由． 21．设，若对任意的，，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间D上的m级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的m级控制函数，求实数m的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点a，b，求两零点之积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $