上海市金山中学2026届高三下学期数学素养检测4

2026届金山中学高三下数学素养检测4 一、填空题 1.函数y=t n3x-到 的最小正周期为 2.已知二=2+i,则z2= 7 3.设a>0,若关于x的不等式x2-ax<0的解集是区间(0，)的真子集，则a的取值范围是 4.已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为 5.底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为 6.已知公差不为墨的等差数列{an}的前n项和为Sn,且4,42,4成等比数列，若S、=64,则 a,+a3+a,+ag=_· 7.高三年级某8位同学的体重分别为45,50,55,60,70,75,76,80（单位：kg),现在从中任选3 位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70白分位数的概率是 8.己知正四校柱ABCD-AB,CD,的表面积为16，底面边长为x,体积为，则当x=2时，V关于x的瞬 时变化率为 9.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X,则 E[X]= 10.设函数f(x)= 4-2<<4方程)=m有四个不相等的实数根x,。,,4,则片+巧+X+戏 n,0<x<2 的取值范围为 11.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为√3，底面圆直径AB=2,且点A满 足AB=2BC现在A点处固定一枚无线电信标，且在C点有一微型无人机（视为一点）.点Q在母线PB上， 无人机先在空中以直线航迹从点C飞行到9处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到A点，设飞行路径总长度为 S.则s2的最小值为 信标 B 无人机 12.己知非空集合M满足M≤{0，l,2,,n}(n≥2，n∈N°).若存在非负整数k（k≤n),使得当a∈M 第1页共5页 时，均有2k-a∈M,则称集合M具有性质P.设具有性质P的集合M的个数为f(n),求f(9)-f(⑧)的 值为 二、单选题 13.己知线性相关的两个变量x,y的取值如表所示，如果其线性回归方程为)=14x-20,那么当x=7时 的离差为( 3 4 6 20 40 60 m A.2 B.-2 C.3 D.-3 14.己知直线1⊥平面&，直线mc平面B,有以下四个命题： ①a11B→ILm:②a⊥B→111m:③111m→a⊥B:①1⊥m→aHB; 其屮正确命题的序号为( A.②④ B.③④ c.①③ D.①④ 15.如图，高度为h的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是 ) 0.6h h 0.8h B D 16.设无穷正数数列{an},如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数m,使得am=a+a2+a+…+an, 那么称{an}为内和数列”，并令b,=m,称{bn}为{an}的“伴随数列，下列四个命题： ①若{an}为等差数列，则{an}为内和数列 ②若{an}为等比数列，则{an}为内和数列 ③若内和数列{an}为递增数列，则其伴随数列{b,}为递增数列 ④若内和数列{an}的伴随数列{b}为递增数列，则{a,}为递增数列 其中真命题的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第2页共5页 三、解答题 17.一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同 (1)若m=2,=3,采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求筇一次和第二次都取到白球的概 奉 (2)若m+n=10,采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，己知取出一个红球和一个白球的概 率是P(n),求P(n)的最大值. 18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,点D为线段AC的中点，A,C满足 (sinA4-sinC)2=sin2(+C)-sinAsinC. (1)求B: (2)若△ABC的面积为√5，b=√3，求中线BD的长. 第3页共5页 19.如图，在三棱台ABC-AB,C屮，AB⊥AC,AB=AC=3AB,=3,点A在底面的投影G是△ABC的 重心 (1)证明：面BBCC,⊥面ABC; (2)若直线A与底面ABC的所成的角为手，求面BBCC与面ABB,4夹角余弦值 B A ·G B 20.已知圆G:艺+y=1的左、右焦点分别为斤、，4,8分别为龄圆G的上、下顶点 (1)求椭圆C的离心率： (2)已知点M为抛物线C2:y2=2Px(p>0)上一点，直线F,M与椭圆C的一个交点N在y轴左侧，满足 MN=2FM,求p的最大值： (3)直线x=x。与椭圆C,交于不同的两点C,D,直线AC,AD分别交x轴于P,Q两点.问：y轴上是 香存在点R,使得∠ORP+∠ORQ=工？若存在，求出点R坐标：若不存在，请说明理由. 第4页共5页 21.函数f(x)的定义域为R,若f(x)满足对任意x,x2∈R,当x-x2∈M时，都有f(x)-f(x2)EM, 则称f(x)是M连续的. (1)请写出一个函数f(x)是{I连续的，并判断f(x)是否是{n连续的(n∈N),说明理由； (2)证明：若f(x)是[2,3连续的，则f(x)是{2连续且是{3}连续的： (3)当xe[时，f)=am+s+l,其巾abeZ,且f)是[2习连续的，求a6的值 第5页共5页 2026届金山中学高三下数学素养检测4 一、填空题 1.函数=tan3x-寻 的最小正周期为 【答*】写 【解新】函数ym3x-引的小正周为T-号 2.己知=2+i,则z2= 【答案】5 【银61曲时241，可0：品-可号甘，则号好，所以正传训得到-号 思路二：由：=2+i,可得 日+5，数石豆号 3.设a>0,若关于x的不等式x2-m<0的解集是区间(0，)的真子集，则4的取值范围是 【答案】(0,1) 【解析】因为a>0,所以x2-x<0→0<x<a, 又不等式x2-ax<0的解集是区间(0,1)的真子集，则a∈(0,1) 4.已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为 【答案】-18或8 【解析】x2+y2-2x=0,即(x-)+y2=1,圆心为(L,0),半径r=1, 直线5x+12y+a=0与图r+广-2x=0相切，枚5+d=1,解得a=-18或8， √25+144 5.底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为 【答案1 【解析】圆柱与圆锥的底面半径R=3,圆柱与圆锥的高h=4,可得圆锥的母线长为5， 则圆锥的全面积为：πR2+x2πRx5=9r+15π=24： 圆柱的全面积为：2πR2+2πR×h=18π+24π=42π. ∴圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为： 24元4 42π71 第1页共14页 6.已知公不为零的$数列{4n}的前n项和为Sn,山4,4，a成絲比数列，若Ss=64,则 4+43+43+ag=_ 【答案】36 【解析】设铲差数列{an}的首项为a,公差为d. 因为a,42,成等比数列，所i以4=a,4,即(a+d)=a,(a+4d), 整理附2=2ad,又d≠0，所以d=24. 又S=64,所以8a,+8×7d=64,即2a+7d=16. 2 联立解得4，=1，d=2. 所以等差数列{an}的通项公式为a,=a,+(n-1)d=2n-1. 所以4=2×3-1=5，a,=2×7-1=13,4=2×9-1=17. 因此4+43+4，+a,=1+5+13+17=36, 7.尚二年级来8位同学的休币分别为45,50,55,60,70,75,76,80（单位：kg),现作从T选3 位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的休重恰好为这组数据的第70百分位数的概冷是 【案】名 【解析】因为8×0.7=5.6，则这组数抑的第70白分位数为第6位数75， 所以选小的时学最人的体甲怡好为这纵数据的第70白分位数的概率是P=二=三 28 8.已知正四棱柱AB(D-A,B,(CD,的衣积为16，底面边长为x,体积为'，则当x=2时，V关于x的瞬 时变化淬为 【答案】-2 【解析】因为正叫校柱AB(D-A,B,C,D,的底边长为x,设正四校柱的高为h, 所以四棱柱4BCD-4BCD,的表而积为4h+22=16,所以h=16-2x 4x =4t- 所以休积为V=rh=xx16-2x 4x 2 第2页共14页 所以V'=4- ,则x=2时，y关于x的瞬时变化率为4-×2：=-2. 3x 2 9.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X,则 E[x]= 【答案1 【解析】记检测次数为X,则X=2,3 当X=2时，检测的两件产品均为正品或为次品，则P(X=2)=+P= P2 3, 当X=3时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品， 都能确定所有次品，则P(x=3列=CC里-2， 23’ 所以E[x]==2x5+3x 28 3 33 10.设函数f(x)= ln,0<x<2 4-2<<4方程/)=m有四个不相等的实数根x,,与，名，则号+店++戏 的取值范围为 【答案】 【解析】因为2<x<4,则0<4-x<2,f(x)=f(4-x)=血(4-x 作出函数图象，如图： 不妨设x<x2<x<x,山图象知f(x)关于直线x=2对称， 所以x+x=x2+x3=4,-lnx=nx2,所以x52=1, 所以x=x,=4-x=4-x, 所+后+写+=名++(4-八+4 01x223x44 =+-可+}8 因为52刘.所以+安2) 第3页共14页 令1=+,22 X2 所以原式化为0=22-81+28,12引 因为在2养测增，所以20<0<号。 即云+写+店+G的取值范图为(20，) 11.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆维形通信屏蔽罩，其高为√5，底面圆直径AB=2，且点A满 足AD=2BC现在A点处固定一枚无线电信标，且在C点有一微型无人机（视为一点）.点Q在丹线PB上， 无人机先在空中以直线航迹从点C飞行到2处，随后紧贴屏蔽学表面飞行到A点，设飞行路径总长度为 S.则S2的最小值为 【答笨】11+25 【解析】由题可知PA=2,故该圆锥侧面展开图的圆心角α= 2π×1 2 AO5 则连接PH可得∠MPB=无又由慇知∠PBC- 信标 B无人机 3 如图建立平面直角坐标系， 则P(0,0), A0,-2),c(,S3),由两点之间线段最短可得： s=lcg+1e4≥c4 所以S%m=11+25. 12.己知非空集合M满足Ms{0,1,2,…,n(n≥2，n∈N).若存在非负整数k(k≤n),使得当a∈M I时，均有2k-a∈M,则称集合M具有性质P.设具有性质P的集合M的个数为f(n),求∫(9)-f(⑧)的 值为 【答案】31 【解析】当n=2时，M={0,{,{2,{0,2},{0,1,2具有性质P, 对应的k分别为0,1,2,1,1，故f(2)=5. n=k时，具有性质P的集合M的个数为f(), 则当n=k+1时，∫(+1)=f()+g(1+1), 其中g(1+I)表达1+1∈M也具有性质P的集合M的个数， 第4页共14页 下面计算g(1+)关于1的表达式， 此时应有2张≥1+1，即k≥兮，故对n=1分奇偶讨论， 当1为偶数时，1+1为奇数，故应该有k≥+2， 2, 则对每一个k,1+1和2k-1-1必然属于集合M,且1和2k-1,,k和k共有1+1-k组数，每一组数 中的两个数必然同时属于或不属于集合M, 故对每一个k,对应的具有性质P的集合M的个数为CA+C+CA++C=2, 所以g0+0=2克+2号++2+1=2×22-1 ②当1为奇数时，1+1为偶数，枚应该有k≥ 2 同理：g0+1)=22+22+.…+2+1=22×22-1 f0)+2×22-1,为偶数 所以，f(t+)= f()+22×22-1-5,为奇数 6x2-n-5,m为偶数 由累加法得： f(n)= 4×22-n-5,n为奇数 .f(9)-f(8)=4×2-9-5-(6×24-8-5)=31. 二、单选题 13.己知线性相关的两个变量x,y的取值如表所示，如果其线性回归方程为)=14x-20,那么当x=7时 的离差为( ) 3 4 6 7 y 20 40 60 m A.2 B.-2 C.3 D.-3 【答案】A 【解析】由表格可得x=3+4+6+7=5,少=20+40+60+m=30+m, 4 4 4 因样本中心点(5,30+二m)满足回归方程)=14x-20, 4 第5页共14页 做有30+4m=14x5-20,解得m=80 当x=7时，少=14×7-20=78， 此时离差为m-78=80-78=2. 14.已知直线1⊥平面a,直线mC平面B,有以下四个命题： ①x11B→l⊥m;②a⊥B→111m:③111m→a⊥B:④l⊥m→a∥B: 其中正确命题的序号为( ) A.②④ B.③④ C.①③ D.①④ 【答案】C 【解析】①一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则该直线也垂直于另一平面，所以ILB,易知1⊥， 故①正确： ②④在长方体ABCD-AB1CD1中，取底面为，侧面ADAD1为B,直线AA!为I,AD为m,出此可以 说明②④都是错误的： ③由两条平行线中的一条垂直于某个平而，则另一条也垂直于该平面可知m⊥，义mCB,所以a⊥B,故 ③正确 故答案为：C 15.如图，高度为h的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是 0 5h 0. 0.8h D 【答案】D 【解析】设圆锥的顶点创水面的距离为h,圆锥的底面半径为r, 则水面半径为m.当水的体积等于容器容积的一半时， 有2-m=写%，整理得m-号 因为0.53=0.125,0.6=0.216,0.73=0.343,0.8=0.512， 则D选项更接近；，故选：D. 第6页共14页 16.设尤分正数数列{g,},如果对作意的正整数n,都存唯一的正整数m,使得am=a,+a+a+…+an, 那么称{an}为“内和数列”，并令b,=m,称{b,}为{an}的伴随数列”，下列四个命燃： ①若{4n}为等差数列，则{4n}为内和数列 ②若{an}为等比数列，则{an}为内和数列 ③若内和数列{a,}为递增数列，则其伴随数列{b}为递增数列 ①若内和数列{a,}的作随数列{b,}为递增数列，则{an}为递增数列 其中真命题的个数是( ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答采】B 【解析】对」小命题①、②：例如a。=1,可知{an}即为$差数列也为等比数列， 则4，+4=2，但不存在：m∈N°，伙得4m=2, 所以{an}不为内和数列，故①、②错误； 对于命题③：闪为a>0, 对任总n,n2∈N,片<”，可知存在m,m2∈N, 使得0=a+4+4+…+0m，0m,=4+a+a+…+46, 则0-=4n1+2+…+a>0，即4m>4m, 且内和数列{an}为递增数列，可知m2>m, 所以其作随数列{b,}为递增数列，故③L确： 对命题④：例如2,1,3,4,5，…， 业然{4}是所有正整数的排列，可知{4，}为内和数列，H{4,}的伴随数列为递增数列， 但{a}不是递增数列，故④错误； &选：B. 第7页共14页 三、解答题 17.一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同 （1)若m=2，n=3,采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概 率 (2)若m+n=10,采取有放回的方式从屮依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概 率是P(n),求P(n)的敏大值， 【答案】D品2)片 【解析】（1)设2个红球为4,42,3个白球为b,b2,b,依次取出2个球的样本空间2， S2=adz,ab,abz,abs,azaab,aba,abs,ba,baz,bbz,bbs,b2a,baaz,bb,bbs,ba baz,bb,bb20, 设第一次和第二次都取到白球为事件A,则A={b,b2,b,b,bb,bb,b,b,bb2}共6种， 6-3 所以P(0=20101 (2》有放回取球两次，每次取到红球的概率为%，取到白球的概率为 01 先取白球再取红球的概率为”，”。 为010：先取红球再取白球的概率为”，”， 1010’ 所P品品品8罗新g 当且仅当m=n=5时，等号成立， 所以P(n)的最大值为) 18.在△ABC巾，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D为线段AC的中点，A,C满足 (sinA-sinC)2=sin2(A+C)-sinAsinC. (1)求B: (2)若△ABC的面积为√5，b=√3，求中线BD的长. 【答案】(1)B=60:(2)2 2 【解析】(1)因为A+B+C=π，所以，sin2A-2 sinAsinC+sin2C=sin2(π-B)-sinAsinC, s、b 又因为a insinBsinC 所以，a2-2ac+c2=b2-ac,得b2=a2+c2-ac, 第8页共14页 所以，由余弦定理得cosB=。+c2-b-a心=1， 2ac 2ac21 又B为三角形内角， 所以，B=60° (2)因为△ABC的面积为V5,b=√3，B=60°， 所以，2 in6=5,所以c=4,又+e2=6+ae=17, 因为BD为△ABC的中线，所以，BD=(BA+BC), 所以.1Df=e++2 Racoal0)-7+2x4》-头， 所网= 19.如图，在三棱台ABC-A,B,C巾，AB L AC,AB=AC=3AB=3,点A在底面的投影G是△ABC的 重心. (I)证明：面B,BCC,⊥面ABC: (2)若直线4与底面8C的所成的角为子，求面BBCG与面BA4夹角余弦值， 【答案】(1)见解析：(2)5 3 B 【解析】(I)因为AB⊥AC,AB=AC, 所以三角形ABC等腰直角三角形， 设BC,B,G的中点为M,N,连接AM,A,N, 所以AM∥AN, 因为点A在底面的投影G是△ABC的重心， 所以点G在AM上，因为AB=AC=3A,B,=3, 所以4M=aB+4c-反，4N-VA8+AC-5, 于是G=仙=总，所以G=4N, 2 因此四边形MGA,N是平行四边形，所以MN11A,G, 因为A,G⊥面ABC,所以MN⊥面ABC, 第9页共14页 卫·yC火三 而MNc面B,BCC,所以面B,BCC⊥面ABC: (2)建立如下图所示的空问直角坐标系， A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),A(1,1,a(a>0),G(1,1,0), 因为AG⊥面ABC, 所以A,G=(0,0,-a)是平面ABC一个法向量，A4=(1,l,a), 因为直线从与底面ABC的所成的角为子， 所以kos(4G,A= A,G·AA 解得a=√2，a=-√2仑去， 所以该三棱台的高为AG=V2,所以B,(2l,V②)， 因为面B,BCC⊥面ABC,面B,BCC,O面ABC=BC, AG⊥BC,AG ABC, 所以AG⊥面B,BCC,所以AG=(L1,O)是平面B,BCC,一个法向量， 设平面ABB,A的法向量为i=(x,,三，)， AB=(2,12),AA=(1,), 所以 i·AB=0∫2x+y+V2g,=0 i-AA=0x+片+V2a=0 9=0, 取片=2，则名=-1 所以平面ABBA的一个法向量为方=(0,2，-)， m.列25 所以ksm列-网同2×531 因此面B,BCC与面ABB4夹角余坡值为5 20.已知椭圆C:亡+y=1的左、右焦点分州为斤、F,A,B分州为椭圆G的上、下顶点. 2 (1)求椭圆C的离心率： 第10页共14页 (2)己知点M为抛物线C,:y2=2Px(p>0)上一点，直线F,M与椭圆C的一个交点N在y轴左侧，满足 M=2FM,求p的最大值： (3)直线x=x。与椭圆C交于不同的两点C,D,直线AC,AD分别交x轴于P,Q两点.问：y轴上是 否存在点R,使得∠ORP+∠ORQ=T？若存在，求出点R坐标：若不存在，请说明理中. 【答案】①)5，(2)三：(3)存在，且0，±. 2 36 【解折】(1)由G:士+y2=1可知，a=V,c=2==1, 2 故曲线C的离心率为：e=S=2。 a 2 (2)设N(xoo),(-V2<x。<0),F(1,0), w=+2 由MN=2FM,得(x-xM,y-yM)=2(xM-1,yw),所以 3 3 M是抛物线y广=2m(p>0)上的点，所以￡=2p+2,又三+财=1， 9 3 2 所以1-号=6+2,12p=2-5 2 。+21 令1=x+2,则2-√2<1<2， 12p=2--2少=-1+3+4≤-22+4，当且仅当1=N5时等号成立， 所以p=4-2巨-1V2 1236 (3)假设布在点R使得∠ORP+∠ORQ-受，设R0,, 因为∠ORP+∠ORO-交，所以∠OR2=∠OPR,即an∠OR2=an∠OPR, 所以3bP,所以oxr=lorlog, OOOR 直线x=。与椭圆C交于不同的两点C,D,易知C,D关于x对称， 设C(x0,y),D(xo,-)(+±1，%≠0)， 第11页共14页 由(1)知40，)，直线4C方程是y=么+l,令y=0得，=-。 Xo 。-1 直线AD方程是y=士x+1,令y=0符=兰 -Xo %+11 出OR=loPllogl,得m2= ,又C(,)在椭圆上，所以号+=1， 所以m2=2,m=±√2， 所以存在点R0,±②)，使得∠OP+∠0RQ-号成立. 21.函数f(x)的定义域为R,若f(x)满足对任意x,x∈R,当x-x∈M时，都有f(x)-f(x)eM, 则称f(x)是M连续的. (1)请写出·个函数f(x)是}连续的，并判断f(x)是否是{n连续的(n∈N),说明理山： (2)证明：若f(x)是[2,3]连续的，则f(x)是{2}连续且是{3}连续的： （3y当xe[分引时，f创=心++1，夹巾a6e2。且)是2副连续的，求a6的值。 【答案】(1)f(x)=x,是的；(2)见解析：(3)见解析 【解析】(1)函数f(x)=x是{连续的，也是{n连续的.理由如下： 由x-x2=1,有f(x)-f(x2)=x-x2=1, 同理当x-x2=n,有f(x)-f(x2)=x-x2=n, 所以f(x)=x是连续的，也是{连续的， (2)因为f(x)是[2,3]连续的，由定义可得对任意x,x2∈R, 当2≤x-x,≤3时，有2≤f(x)-f(x2)≤3， 所以有：∫(x+6)-f(x)=f(x+6)-f(x+4)+f(x+4)-∫(x+2)+f(x+2)-f(x)26, 且f(x+6)-f(x)=f(x+6)-f(x+3)+f(x+3)-f(x)≤6， 所以f(x+6)-f(x)=6, 所以f(x+6)-f(x+4)=f(x+4)-f(x+2)=f(x+2)-f(x)=2, 第2页共14页 即f(x)是{2}连续的， 同理可得f(x+6)-f(x+3)=f(x+3)-f(x)=3,即f(x)是{3}连续的. (3)已知f(x)是[2,3]连续的， 则由(2)可得f(x+2)-f(x)=2,f(x+3)-f(x)=3, 两式相减可得f(x+3)-f(x+2)=1, 即f(x+1)-f(x)=1,f(x)是{仍连续的， 进一步有f(x+n)-f(x)=n,n∈N,f(x)是{n连续的. 由已知[.因=m+ 若a=b=0时，f(x)=1, 则侣)(》1，不满足+-)=山 又对任意，x2∈R,当0≤x-x2≤1时，有2≤x+2-x2≤3， 因为f(x)是[2,3]连续的，所以2≤f(x+2)-f(x2)≤3， 又f(x+2)=f(x)+2,所以2≤f(x)+2-f(x)s3, 所以0≤f(x)-f(x)s1, 即对任意x,书2∈R,当0≤x-x2≤1时，都有0≤f(:)-f()≤1， 故f(x)是[0，]连续的. 由上述分析可得 r= f'(x)20 则当e[引f=r++1,共中a6ez。 有 3am2+b≥0 2 所以3ar2-a+1≥0，x 「11 L2'2 恒成立 第13页共14页 设0)=3a2-+1,对移轴为x=0。 当a=0时，b=2,不等式1≥0恒成立，满足题意： 当0>0时，由3a-号120恒成立，x引 则p(x)m=p(0)≥0，即a≤4，则0<a≤4. 由b∈Z,且6=2-分，则a=2或4， 所以a=4,b=0与a=2,b=1时，都满足题意： 当a<0时，由3am-号+120，得pm=》号+1≥0， 解得a之-2，枚-2≤a<0,又a∈Z,beZ,且b=2- 2 所以此时a=-2,b=3,满足题意。 综上所述，a=0,b=2或a=4,b=0或a=2,b=1或a=-2,b=3. 第14页共14页