上海市金山中学2026届高三下学期数学素养检测4

2026届金山中学高三下数学素养检测4 一、填空题 1．函数的最小正周期为_________． 2．已知，则_________． 3．设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是_________． 4．已知直线与圆相切，则的值为_________． 5．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为_________． 6．已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，若，则_________． 7．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是_________． 8．已知正四棱柱的表面积为16，底面边长为，体积为，则当时，关于的瞬时变化率为_________． 9．已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则_________． 10．设函数，方程有四个不相等的实数根，，，，则的取值范围为_________． 11．如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足．现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）．点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为．则的最小值为_________． 12．已知非空集合满足（，）．若存在非负整数（），使得当时，均有，则称集合具有性质．设具有性质的集合的个数为，求的值为_________． 二、单选题 13．已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的离差为（ ）． 3 4 6 7 20 40 60 A．2 B． C．3 D． 14．已知直线平面，直线平面，有以下四个命题： ①；②；③；④； 其中正确命题的序号为（ ）． A．②④ B．③④ C．①③ D．①④ 15．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ）． A．B．C．D． 16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题： ①若为等差数列，则为内和数列 ②若为等比数列，则为内和数列 ③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 ④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 其中真命题的个数是（ ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题 17．一个袋子中有个红球，个白球，球的大小和质地相同 （1）若，，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率． （2）若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值． 18．在中，角，，所对的边分别为，，，点为线段的中点，，满足． （1）求； （2）若的面积为，，求中线的长． 19．如图，在三棱台中，，，点在底面的投影是的重心． （1）证明：面面； （2）若直线与底面的所成的角为，求面与面夹角余弦值． 20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，，分别为椭圆的上、下顶点． （1）求椭圆的离心率； （2）已知点为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点在轴左侧，满足，求的最大值； （3）直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 21．函数的定义域为，若满足对任意，当时，都有，则称是连续的． （1）请写出一个函数是连续的，并判断是否是连续的，说明理由； （2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的； （3）当时，，其中，且是连续的，求，的值． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届金山中学高三下数学素养检测4 一、填空题 1.π 2.53.（0,1 4.-18或8 5. 3 7 6.36 5 7. 8.-2 28 9.3 10 11.11+25 12.31 二、单选题 13.A14.C15.D16.B 三、解答题 17.【答案】(1)」 2 【解析】(1)设2个红球为4,42,3个白球为b,b,b,依次取出2个球的样本空间2， S=aaz,ab,abz,a b::aza,ab,abz,ab,b a,b az,bb2,bb,ba,baz,bb,bb3,ba:baz,bb,bb2 共20种， 设第一次和第二次都取到白球为事件A,则A={b,b2,b,b3,b,b,bb3,bb,bb2}共6种， 所以P4到=00 63 (2)有放回取球两次，每次取到红球的概率为？，取到白球的概率为 10 10 n m m n 先取白球再取红球的概率为 ；先取红球再取白球的概率为 1010 010 -后8后0岩-号 =二，当且仅当m=n=5时，等号成立， 2 所以P(n)的最大值为 2 18.【答案】(1)B=60;(2)2 【解析】(1)因为A+B+C=π，所以，sin2A-2 sinAsinC+sin2C=sin2(π-B)-sinAsinC. 又因为b c sinA sinB sinC 所以，a2-2ac+c2=b2-ac,得b2=a2+c2-ac, 所以，由余弦定理得cosB=+c2-b。ae_1 2ac 2ac 2 又B为三角形内角， 所以，B=60°. (2)因为△ABC的面积为√5，b=√3，B=60°， 所以， 2 acsinB=V5,所以ac=4,又a2+c2=b2+ac=17, 因为BD为△ABC的中线，所以，BD=)(BA+BC), 所.丽r-e2d+2ama0叭-7+24*》-升 所以BD=V②1 19.【答案】(1)见解析；(2) 3 【解析】(1)因为AB⊥AC,AB=AC, 所以三角形ABC等腰直角三角形， 设BC,B,C,的中点为M,N,连接AM，AN, 所以AM∥AN, 因为点A在底面的投影G是△ABC的重心， 所以点G在AM上，因为AB=AC=3AB=3, 所以4w=分aac-5,4w=8+4G-分， 于是MG=;AM= 2,所以MG=AN, 3 2 因此四边形MGAN是平行四边形，所以MN∥A,G, 因为AG⊥面ABC,所以MN⊥面ABC, 而MN∈面BBCC,所以面B,BCC⊥面ABC: (2)建立如下图所示的空间直角坐标系， A(0,0,0),B3,0,0),C(0,3,0),A1,1,aa>0),G1,1,0), 因为AG⊥面ABC, 所以A,G=（0,0,-a)是平面ABC一个法向量，AA,=(1,1,a, 因为直线AA与底面ABC的所成的角为4 所以cos<AG,AA>= 离 解得a=√2，a=-√2舍去， 所以该三棱台的高为AG=2,所以B,(2,l,V2), 因为面BBCC⊥面ABC,面BBCC⌒面ABC=BC, AG⊥BC,AGC面ABC, 所以AG⊥面BBCC,所以AG=(1,1,0)是平面BBCC一个法向量， 设平面ABB,A,的法向量为i=(x,片，乙)， AB=2,12,AA=(1,12), 4=02+月+2=0与5=0 所以{ AA=02=0 取”=V2,则z=-1 所以平面ABB,4的一个法向量为方=(0，V2,-1, 所以cos<m,i> m列2√5 m同V2×√33 因此面BBCC与面ABB,4夹角余弦值为V5 B 发B M 20. 【答案】(1D 2)15,3)存在，且R0,士) 2 36 【解】1)由C:艺+y2=1可，a:5,c:2- 故曲线C,的离心率为：e=-S=2 a 2 (2)设N(,),(-V2<x<0),F2(1,0), y=%+2 由MN=2FM,得(x-xw,,-yM)=2(xw-l,yw),所以 3 u=o 3 M是抛物线y=2(p>0)上的点，所以公=2p5寸2，又号+g=1, 9 3 2 所以1-=6p(k,+2列，12p=2-。 x,+2 令t=x+2,则2-√2<t<2, 12p=20-2少.-：++4≤-22+4，当且仅当1：2时等号度立. t t 所以pmax= 4-2√212 1236 (3)假设存在点R使得∠ORP+∠ORQ=T,设R(0,m), 2 因为∠0RP+∠OR0-子，所以∠OR0=∠OPR,Ftan∠OR0=ian∠OPR, ogl OR 所以 OROP 所以ORP=OPOQ, 直线x=x。与椭圆C,交于不同的两点C,D,易知C,D关于x对称， 设Cxo,yo),D(xo,-yo)(yo≠±1，%≠0)， 由1)知40,1，直线AC方程是y=1x+1,令y=0得x,=- Xo %-1 直线AD方程是y=+x+1,令y=0得。=-山 -x0 o+1 ORP=loP]OO,得m2= x好 -,又C(,W)在椭圆上，所以李+=1. 所以m2=2,m=±V2, 所以存在点R(0,±2)，使得∠ORP+∠ORQ=T成立. 21.【答案】(1)f(x)=x,是的；(2)见解析；(3)见解析 【解析】(1)函数f(x)=x是1连续的，也是{n连续的.理由如下： 由x-x2=1,有f(x)-f(x2)=x-x2=1, 同理当x-x2=n,有f(x)-f(x2)=x-x3=n, 所以f(x)=x是{连续的，也是{n连续的， (2)因为f(x)是[2,3]连续的，由定义可得对任意x,x,∈R, 当2≤x-x≤3时，有2≤f(x)-f(x2)≤3， 所以有：f(x+6)-f(x)=f(x+6)-f(x+4)+f(x+4)-f(x+2)+f(x+2)-f(x≥6， 且f(x+6)-f(x)=f(x+6)-f(x+3)+f(x+3)-f(x≤6， 所以f(x+6)-f(x)=6, 所以f(x+6)-f(x+4)=f(x+4)-fx+2)=f(x+2)-f(x)=2, 即f(x)是{2连续的， 又同理可得f(x+6)-f(x+3)=f(x+3)-f(x)=3,即f（x)是{3}连续的. (3)已知f(x)是[2,3]连续的， 则由(2)可得f(x+2)-f(x)=2,f(x+3)-f(x=3, 两式相减可得f(x+3)-f(x+2)=1, 即f(x+1)-f(x)=1,f(x)是{1.连续的， 进一步有f(x+n)-f(x)=n,neN,f(x)是{n连续的. 「11 由已知x2'2时，f八=ar+x+1, 若a=b=0时，f(x=1, 则f付=(》1，不满起+-到=1 又对任意x,x2∈R,当0≤x-x2≤1时，有2≤x+2-x,≤3， 因为f(x)是[2,3]连续的，所以2≤f(x+2)-f(x)≤3， 又f(x+2)=f(x)+2,所以2≤f(x)+2-f(x,)≤3， 所以0≤f(x)-f(x2)≤1， 即对任意x,x2∈R,当0≤x-x2≤1时，都有0≤f(x)-f(x2)≤1， 故f(x是[0,1连续的. 由上述分析可得 -. f'(x)20 则当x∈ -,f=ar2+bi+1,其中a,beZ. 2'2 a b=l 有 42 1 3ax2+-b≥0 3ar2-a+1≥0，xe 11 22 恒成立， 4 设0(x)=3ax2-2+1,对称轴为x=0. 4 当a=0时，b=2,不等式1≥0恒成立，满足题意； 当a>0时，青3or-g120相意[2 则p(x)min=p(0)≥0，即a≤4，则0<a≤4. 由b∈Z,且b=2-g,则a=2或4， 2 所以a=4,b=0与a=2,b=1时，都满足题意； 当a0时，由a-号120,0oo=0》-10 4 解得a≥-2，故-2≤a<0,又aeZ,beZ,且b=2- 2 所以此时a=-2,b=3,满足题意。 综上所述，a=0,b=2或a=4,b=0或a=2,b=1或a=-2,b=3.