9.5 二项分布、超几何分布与正态分布（6大考点+8大题型）（讲义+精练）-2027届新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦二项分布、超几何分布与正态分布三大核心考点，依据课标要求构建“知识点梳理-核心题型探究-真题精练”的复习体系，通过两点分布到正态分布的逻辑递进，结合8类典型题型的方法指导与真题训练，帮助学生系统突破概率分布问题的解题难点。 资料突出数学思维与数学语言的融合，如对比二项与超几何分布的适用场景培养推理能力，结合质量检测、成绩分析等正态分布实例提升数据观念。设置分层训练（典例、变式、精练）和素养导向题型设计，助力学生高效掌握高频考点，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

9.5 二项分布、超几何分布与正态分布 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一．两点分布 3 知识点二．次独立重复试验 3 知识点三．二项分布 3 知识点四．超几何分布 4 知识点五、正态曲线 5 知识点六、正态分布 5 03 探究核心题型 7 题型一：两点分布问题 7 题型二：n 次独立重复试验问题 9 题型三：二项分布求解 11 题型四：超几何分布计算 16 题型五：二项与超几何分布综合题型 20 题型六：正态曲线性质及概率运算 26 题型七：正态分布实际应用题 29 题型八：标准正态分布应用题型 33 04 课时精练 (真题、模拟题) 38 1、理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2、借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用. 知识点一．两点分布 1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； （2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 知识点二．次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点三．二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 知识点四．超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 知识点五、正态曲线 1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲乙 知识点六、正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 题型一：两点分布问题 【典例1-1】若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】随机变量服从两点分布，其中，所以. 所以，故A选项结论正确； ，故C选项结论正确； ，故B选项结论正确； ，故D选项结论错误． 故选：D. 【典例1-2】（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，得，则，，充分性成立； 反之，，即，解得或，必要性不成立. 故选:A. 【变式1-1】（2026·高三·山西大同·阶段检测）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 【变式1-2】（2026·高三·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】随机变量均服从两点分布， ，， 又， ，由条件概率公式， 故选：D. 【变式1-3】若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，解得. 故选：C 题型二：n 次独立重复试验问题 【典例2-1】（2026·河南·三模）甲、乙两个班级之间进行排球比赛，采用五局三胜制（没有平局），已知甲班在每一局比赛中获胜的概率均为，若前三局甲班以的比分领先，则甲班最终获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知前三局甲以领先，甲最终获胜仅需再赢得局胜利，最多剩余局比赛，分两类互斥情形计算： 第四局甲获胜，比赛直接结束，对应概率； 第四局乙获胜，第五局甲获胜，对应概率； 故甲最终获胜的总概率为. 【典例2-2】（2026·河北雄安·三模）已知袋中有2个白球、1个红球，3个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】每次摸到红球的概率都为， 则摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是. 【变式2-1】已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【解析】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 【变式2-2】（2026·山东济宁·二模）抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（    ） A．5， B．5， C．10， D．10， 【答案】B 【解析】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立的， 所以30次试验中成功次数服从二项分布,即． 故. 【变式2-3】（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局， 故概率为：. 题型三：二项分布求解 【典例3-1】（2026·江苏南通·三模）某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 【解析】（1）因为连续取件芯片，故障芯片的件数为随机变量，芯片独立出厂, 所以服从二项分布，即，故当连续抽取4件芯片时， 所以 且， 所以 . （2）当时， 故恰好出现2件故障芯片的概率为，， 所以， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以， 若对任意，恒有，则实数的最小整数值为1. （3）证明：因为，，所以，， 所以 令，则，， 故要证，只需证， 只需证，只需证 只需证， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 又， 所以，， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即， 所以成立，证毕. 【典例3-2】（2026·河南·模拟预测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为（）．    (1)若 ①求质点移动6次后回到原点的概率； ②在质点第1次向右移动的条件下，求质点移动4次后回到原点的概率； (2)若移动3次后，质点最终所在位置的坐标为，若随机变量的期望，求的取值范围． 【解析】（1）①质点运动6次回到原点，则必定右移3次，左移3次， 则可看作质点作6次运动，表示向右移动的次数，则， 则质点回到原点的概率为． ②设质点第一次向右移动为事件，则； 质点移动4次后回到原点为事件，质点运动4次回到原点，质点第1次向右移动，则剩下3次必定右移1次，左移2次，则； ∴在质点第1次向右移动的条件下，质点移动4次后回到原点0的概率为：． （2）方法1： 所有可能的取值为，，1，3， ， ， ， ， 由 ， 解得， 又，故的取值范围为． 方法2： 设在移动3次中，向右移动的次数为，则， ， ∵向右移动的次数为，则向左移动次， ∴质点最终所在位置的坐标为， ， 即随机变量的数学期望为 ．解得， 又，故的取值范围为． 【变式3-1】（2026·高三·重庆·阶段检测）随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 【解析】（1）5位二进制数形如，由于每个有0，1两个取值， 所以全体5位二进制数总量为个．其中满足的二进制数有5个， 分别为，所以． （2）2026位二进制数首位数码为1，数码0独立且等可能出现在剩下的2025个数位上， 每个数位出现0的概率为，所以0出现的次数服从二项分布，即， 所以，所以， 记，则最大等价于最大： ， 所以，此时单调递增；，此时单调递减， 所以为最大值．综上，当取得最大值时求的值为1013． 【变式3-2】（2026·江苏扬州·三模）有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． (1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； (2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 【解析】（1）由题意知，随机变量的取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 由，所以的期望． （2）记第次取出黑球为事件，第三次取出黑球后袋中没有黑球为事件． 方法一：， ， 所以． 方法二：，， 所以． 【变式3-3】在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 【解析】（1）由题意知：， 4000名考生的竞赛平均成绩为70.5． （2）依题意服从正态分布，其中，，， 服从正态分布， 而， ． ∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为（人）人． （3）全市参赛考生成绩不超过84.81的概率．而， ． 题型四：超几何分布计算 【典例4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 【解析】（1）抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元，可能的情况有：3张100元，或2张100元，1张300元；或2张100元，1张500元；或1张100元，2张300元. 所以抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 所以或. 【典例4-2】某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成图（如图），其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户． 注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． (1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）； (2)从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率； (3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望． 【解析】（1）从图象上可得，A组数据的纵坐标整体小于B组数据，故． （2）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是组的客户”为事件， 则， 所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是组的客户的概率是． （3）根据图象可知，A组中纵坐标不小于350的有1人，即A组有驾驶达人1人，非驾驶达人9人；B组中纵坐标不小于350的有2人，即B组有驾驶达人2人，非驾驶达人8人， 依题意的可能取值为0，1，2． 则，，． 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以随机变量的数学期望． 【变式4-1】（2026·河北保定·三模）2026年某市为提振实体经济，对该市小微企业开展经营状况调研，随机抽取的10家企业中，有6家企业营收正增长，4家企业营收负增长. (1)从这10家企业中随机抽取2家，求恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业的概率； (2)从这 10家企业中随机抽取3家，记为抽到的营收正增长的企业数量，求的分布列与数学期望. 【解析】（1）设为“恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业”， 则. （2）可取， 而，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 故. 【变式4-2】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示，用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求的分布列. 【解析】由题意知可取的值为3，1，，，， 则，， ，， ， 因此的分布列为 3 1 【变式4-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）在产品质量检测领域，生产不合格电子产品极易造成使用隐患，我国的（产品质量法）中将生产不合格电子产品的行为分成两个类别：“轻微不合格”和“严重不合格”．市场监管部门对某电子厂的一次抽检行动中，依法检查了400件电子产品的质量情况，其中查出轻微不合格的有8件，查出严重不合格的有4件． (1)记在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率为，求的估计值； (2)从不合格的12件产品中抽取3件，求抽取到严重不合格产品的数量的分布列和期望． 【解析】（1）记“生产的1件产品为不合格产品”为事件A，“产品为严重不合格产品”为事件B， 则，， 由条件概率公式得， 所以在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率. （2）由题意可得可以取0，1，2，3 则， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 P 所以. 题型五：二项与超几何分布综合题型 【典例5-1】（2026·湖南长沙·二模）为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查.得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 女生 10 30 合计 100 (1)请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关.（单位：人） (2)现按是否喜爱打篮球比例分配从样本女生30人中按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值； (3)若将频率视作概率，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）列联表如下： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 45 70 女生 20 10 30 合计 45 55 100 零假设:学生喜爱打篮球与性别无关. 根据列联表数据，计算得到 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即学生喜爱打篮球与性别有关. （2）女生中不喜爱、喜爱打篮球的比例为，抽取 6 人时，不喜爱的有4人，喜爱的有2人，再从这6人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中不喜爱打篮球的人数为，服从超几何分布且的可能取值为1，2，3，对应的概率为 , , 的分布列为 1 2 3 的均值为 （3）喜欢打篮球的频率为 ，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记人中喜爱打篮球的人数为，则 , 则的均值: ， 的方差: . 【典例5-2】（2026·江苏苏州·模拟预测）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：） 【解析】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人. 服从超几何分布，， ，， ，， ∴的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. （2）， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在处有极小值， 从而当时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是. 即N至少为145， 我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 【变式5-1】（2026·湖南永州·一模）我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据： 分钟 性别 （0，40] （40，60] （60，90] （90，120] 女生 10 40 40 10 男生 5 25 40 30 根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120]内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120]内认定为“良好”. (1)完成下列22列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联； 不合格 合格 合计 女生 男生 合计 (2)从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求的分布列及数学期望； (3)从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为”的概率为，视频率为概率，用样本估计总体，求的表达式，并求取最大值时对应的值. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）由题意可知，22列联表如下表 不合格 合格 合计 女生 50 50 100 男生 30 70 100 合计 80 120 200 零假设为：性别与学生体育运动时间无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立即认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于； （2）抽取的20人中，女生平均每天运动时间在的人数分别为2人，8人，8人，2人，易知的所有可能取值为， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以数学期望为； （3）平均每天运动时间在的频率为， 由题意可知， 所以， 由，得， 所以，当时，，即， 当时，，即， 所以，即取最大值时，. 【变式5-2】（2026·江苏徐州·模拟预测）市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表： 平均每天锻炼的时间(分钟) 总人数 20 36 44 50 40 10 将学生日均课外体育锻炼时间在内的学生评价为“课外体育达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关； 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 女 20 110 总计 （2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生，求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率. 【解析】（1） 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 60 30 90 女 90 20 110 总计 150 50 200 ， 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. （2）易知，所抽取的10名学生中，男生为名，女生为名.X可取. . 的分布列为 X 0 1 2 3 P . （3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为，（1）中表中学生课外体育达标的频率为，将频率视为概率，. 名学生中，恰好有2名学生的课外体育达标的概率为. 【变式5-3】（2026·湖北·模拟预测）目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如下： 用气居民编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用气量(立方米) 95 106 112 161 210 227 256 313 325 457 （1）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望； （2）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有户年用气量不超过228立方米的概率为，求使取到最大值时，的值. 【解析】（1）由题知，10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为，则服从超几何分布，且的可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 故随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以. （2）由题意知设从全市住户抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为，则服从二项分布，且， 由可得，， 所以.故当取到最大值时，. 题型六：正态曲线性质及概率运算 【典例6-1】（2026·重庆渝中·三模）一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____. 【答案】 / 【解析】①已知，正态曲线图像关于对称， 故， 因此. ②由题意，，满足，且与独立， 由全概率公式：  (1)令，则, 即等价于  (2)(1)(2)两式相加 结合第一空的结论， 得. 【典例6-2】已知某公司生产的一种产品的质量（单位：克）服从正态分布．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有________件． 附：若服从正态分布，则，． 【答案】8186 【解析】由题意得服从正态分布，，， 且正态曲线关于直线对称， 可得， ， 所以. 故质量在内的产品估计有件． 【变式6-1】某校在2023年的“某市重点中学数学挑战赛”中有1000人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩高于110分的学生约有________人． 【答案】200 【解析】依题意，得，．于是此次数学考试成绩高于110分的学生约有（人）． 【变式6-2】（2026·广东佛山·二模）随机变量服从正态分布，，则______. 【答案】/ 【解析】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 【变式6-3】（2026·河北保定·二模）某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为______________． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则 【答案】39090 【解析】由题意，样本均值为 又因为 所以样本方差可估计为 用样本统计量估计总体参数，故可估计 于是质量指标值近似服从正态分布 因为合格标准是不小于，而 所以合格的概率为 由题给参考数据， 又正态分布关于均值对称，所以两侧尾部概率相等， 从而 因此 所以该批产品中质量测评合格的产品件数约为 故估计该批产品中质量测评合格的产品件数为 题型七：正态分布实际应用题 【典例7-1】（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【解析】（1）由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575． ， 根据要求，， 由题知， 所以，，，， 因此 ． （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人． 方案一：每人补助100元，总补助为万元； 方案二：按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，，， ， ， ， 元， 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且， 所以方案二比方案一支出高，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二． 【典例7-2】（2026·辽宁大连·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 【解析】（1）由题意，； （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为． （3）由题意，Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ，， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 【变式7-1】（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 【解析】（1）相关系数绝对值越大，相关性越强，因此从强到弱的排序为：②①③； （2）由题意的值可能为：， ，，， 所以，， 所以； （3）由已知，，，， ，则， ， 记“从生产的零件中随机取出10个，至多有一个零件直径小于”为事件， 则. 【变式7-2】（2026·江西·模拟预测）随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了30000片，试估计其中测试成绩80分以上（含80分）的芯片数量（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该批次芯片中随机抽取3片，设其中等级为“卓越”的芯片数量为，求的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 【详解】（1），， ，则， 估计该批次中测试成绩80分以上的芯片有25241片． （2），且， ， 依题意， ， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 随机变量的期望． 题型八：标准正态分布应用题型 【典例8-1】（2026·安徽·模拟预测）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【解析】（1）由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为，得5分的概率为， 故从该校任选2名学生得分不相同的概率为. （2）因为. 所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为 （3）易知，设， 根据结论一，知. 再根据结论二，知 由条件知， 所以，解得， 所以正整数n的最小值为11. 【典例8-2】（2026·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【解析】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 【变式8-1】（2026·辽宁大连·一模）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 【解析】（1）该同学投篮了四次，设分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”. 则有. （2）随机变量代表次投篮后命中的次数，则服从二项分布， 然后令随机变量，并近似视为其服从正态分布. 题目条件即为，即的概率至少为. 由于我们有， 故命题等价于，解得. 综上，该同学至少要投次. 【变式8-2】（2026·高三·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【解析】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得， 则可得， 即任意一名乘客体重大于的概率为， 则的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望值为 （2）设为第位乘客的体重，则，其中， 所以， 由可得， 即，可得，即，. 所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客. 【变式8-3】（2026·河南开封·模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 【解析】（1）由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为， 由且，可得， 由，可得， 估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分. （2）若，则，， 由题意可知， ，. 1．（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中，错误的个数为（    ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①，且，则我们认为在犯错误的概率不超过的前提下，认为两个分类变量不独立，①正确. 对于②，相关系数的绝对值越大，相关性越强，，故甲组数据的线性相关性更强，②错误. 对于③，因为是不放回随机抽样，所以随机变量服从超几何分布，③错误. 对于④，且，，又，，得，④错误. 综上，错误的个数为3个. 2．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 3．（2026·高三·广东湛江·月考）有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为1和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故． 故选：B 4．高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法1：因为事件与事件互为对立事件，而， 所以（直接法求解较复杂时，考虑用间接法）． 解法2：由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，， ，则． 故选：B 5．已知随机变量、，若，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【解析】已知， 则二项分布，解得， 因为，， 再利用正态分布对称性可得， 而，所以. 故选：C 6．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 7．（2026·高三·河南漯河·期末）将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现2次正面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，，若出现“恰有2次正面朝上”的频率记为，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】一枚质地均匀的硬币连掷三次,正面朝上的次数的二项分布， 所以，恰出现2次正面朝上的概率， 20组随机数中，出现“恰有2次正面朝上”的有：011、101、101、011、011、101，共6组，故频率， 所以. 故选：B 8．（2026·江西南昌·三模）已知随机变量，，若，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【解析】由，，则，， 由，则，， 由，则，故， 则，故. 9．（多选题）（2026·高三·陕西商洛·阶段检测）某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：若随机变量，则，，. A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意知，学生的体育成绩， 可得期望，方差， 即，，故A、B正确； 由，， ， 所以，故D正确； 因为， 所以， 即，故C错误. 10．（多选题）（2026·河北保定·三模）某科技公司推出了一项全民互动体验项目，该项目利用AI技术为用户生成个性化数字人形象.已知每位用户生成的数字人形象相互独立，且遵循以下生成规则：①风格类型分为国风、科技风、萌趣风三类，每种类型生成的概率分别为 ②动作特效分为抱拳、奔跑、比心三类，动作特效的生成概率与风格类型相关，其规律如下，若生成的风格类型为国风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ；若生成的风格类型为科技风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率均为 ；若生成的风格类型为萌趣风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ③隐藏款判定，若生成的数字人形象的风格类型与动作特效满足国风配抱拳或科技风配奔跑或萌趣风配比心，则该数字人形象为隐藏款，否则为普通款.下列说法正确的是（    ） A．随机抽取 1位用户，则事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立 B．随机抽取1位用户，则该用户的数字人形象为隐藏款的概率是 C．随机抽取9位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，则最大 D．随机抽取 2位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，另外随机抽取3位用户，记生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑的人数为随机变量η，则 【答案】ABD 【解析】对于A，记“生成的数字人形象风格类型为国风、科技风、萌趣风”分别为事件， 记“生成的数字人形象动作特效为抱拳、奔跑、比心”分别为事件， 则由题意得. 又，所以， 所以事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立，所以A正确； 对于B，记“数字人形象是隐藏款”为事件， 则. 所以随机抽取1位用户，该用户的数字人形象为隐藏款的概率是，所以B正确； 对于C，由选项B及二项分布的知识知，设最大， 则，即. 解得，又，所以，所以最大，所以C错误； 对于D，记“生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑”为事件， 则，则. 又，所以， 故，所以D正确. 11．（多选题）2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2－3波反击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干导弹对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用了两种导弹作战：加德尔常规导弹和海巴尔高精导弹．不妨将两种导弹分别记为，已知两种导弹命中目标的概率分别为，假设在某波反击中两种导弹各发射10枚，每次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．且且 C．若，则 D．若当且仅当时，取得最大值，则 【答案】ACD 【解析】由题意可知，，，则， 因为，所以，故A正确； 且， 且， 则， 当时，，故B错误； 因为， 且函数在上单调递减，， 所以，故C正确； ， 则当时， 若，则；若，则， 因为当且仅当时，取得最大值，所以， 则，故D正确. 12．（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【解析】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 13．（2026·海南儋州·一模）某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI辅助学习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50名作为样本．记“利用AI辅助学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到，．现从全校的学生中随机抽取30名，设其中“利用AI辅助学习的学生”的人数为，则当取得最大值时，的值为________． 【答案】 【解析】由题意可得，则，即， ，则， 则可得服从二项分布，则 ， 令， 即有，解得， 令 即有，解得， 即，由，则当取得最大值时，. 14．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为非负整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多______百元代金券． 【答案】18 【解析】设抽奖一次可获得百元代金券，则的所有可能取值为， 摸到一红球一白球的概率， 摸到两白球的概率， 摸到两红球的概率． 则的分布列如下： a b ，即，． 由题意知，运气最好者获得百元代金券， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最大值为18. 故答案为：18． 15．假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 【答案】85 【解析】设A等级的分数线为a，则应该满足． 又由题知， 因此． 16．（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【解析】（1）由知. 因为， 所以，， 所以， 所以从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率为. （2）由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度， 由表可知不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率（也可以通过计算）. 因为以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率， 所以， 所以， 即，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的方差. 17．（2026·辽宁锦州·二模）高尔顿钉板是英国统计学家高尔顿设计的一种概率模型，其结构如下，在一块竖直木板上钉有若干排等间距的钉子，每排钉子的数量比上一排多一枚，且相邻的两排钉子的位置相互错开，木板底部有若干个等宽的凹槽，用于收集下落的小球，小球从木板顶端的入口处自由下落，在下落过程中，小球每次遇到钉子时，向左或向右下落的概率均为0.5，且每次下落是相互独立的.现有一个高尔顿钉板，其设置排钉子，第排钉子下方有个凹槽.从左至右依次记为凹槽0，凹槽1，…，凹槽，当时，钉板如图所示.进行次独立重复试验，每次试验投放一个小球.设小球从入口下落最终落入凹槽的个数为. (1)若， （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，求的数学期望与方差； (2)当足够大时，可以认为小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，其中为的数学期望，为的方差.若，，试估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数. 参考数据：若随机变量，，，. 【解析】（1）（ⅰ）. （ⅱ）由（ⅰ）知小球落入3号槽的概率为，由题意知， 所以，   . （2）一个小球最终落入的凹槽标号满足， ，， 由题可知小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，      所以估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数为6827. 18．某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． (1)求电梯A最终停在6楼的概率； (2)若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； (3)若对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 【解析】（1）设电梯A在3次运行中，向上运行1层的次数为，向上运行2层的次数为， 因为电梯从1楼出发，最终停在6楼，总上升层数为：， 所以，解得：， 即电梯A需要1次向上运行1层，2次向上运行2层， 根据二项分布，概率为：， 所以电梯A最终停在6楼的概率为. （2）由题意，为3次运行中向上运行1层的次数，每次运行向上1层的概率为，因此， 所以， ， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 3 由题意，总耗电量与的关系为：， 化简得：， 则期望：， 因此，的数学期望： ， 所以的分布列如上，的数学期望为度. （3）事件M：电梯A停在6楼，其运行序列为“1次1层、2次2层”， 所以电梯A运行序列共有种排列，记为：. 同步条件：对，， ①当电梯A运行序列为时：   符合条件的电梯B运行序列：，共6种，其概率和为. ②当电梯A运行序列为时： 此时电梯B运行序列中只有不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为. ③当电梯A运行序列为时： 此时电梯B运行序列中也只有不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为. A停在6楼的总概率：， 每种电梯A运行序列的概率： 所以总同步概率：同步且停在6楼 所以条件概率：同步停在6楼， 故当电梯A最终停在6楼时，两部电梯始终同步的概率为. 19．（2026·湖北·三模）现有n枚质地均匀的硬币，第一次分别抛掷这n枚硬币，完成后，将其中正面朝上的硬币进行第二次抛掷，记第一次抛掷中正面朝上的硬币数与第二次抛掷中正面朝上的硬币数之和为X． (1)当时，求X的分布列与数学期望； (2)对确定的n，，，使得成立，请直接写出m，不用推导； (3)求． 【解析】（1）当时，由题意知的可能取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ， . 的分布列为 0 1 2 3 4 . （2）设每一枚硬币对的贡献为，则 因此可以看成个独立同分布随机变量之和． 为判断何时最大，考虑多项式 其中的系数就是． 记则，所以只要比较的大小即可． 由可得递推关系 其中下标小于或大于时，对应的记为． 从开始，由该递推式逐步比较相邻项，可得到最大项位置如下： 的形式 可取的 1 0 2 2 ，， ， ， ， ， ， ， ， 上述四种的情形可统一表述为：为不超过的最大整数． 例如时，，取符合题意． 因此，可得：当时，可取；当时，可取； 当时，可取为不超过的最大整数． （3）设第一次正面朝上的次数为，第二次正面朝上的次数为，则． . 从而，. 由组合数的性质，，所以． 所以 . 20．（2026·高三·北京延庆·月考）近年来，中国机器人科技水平在政策支持､技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升.国内很多科技公司致力于服务机器人的发展与创新，现抽取了由甲､乙､丙､丁四个公司研发的14款使用率较高的智能送餐机器人，并对这14款机器人的送餐失误率进行了测试，获得数据如下表： 公司 甲 乙 丙 丁 机器人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 失误率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的机器人中任取一个，求该机器人送餐失误率低于的概率； (2)从表中提供的失误率低于的送餐机器人中任取3个，用随机变量表示其中失误率低于的送餐机器人个数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)已知某餐厅使用乙或丙公司中的某个送餐机器人，经查证，该送餐机器人送餐失误，则该送餐机器人来自哪个公司的可能性更大？（结论不要求证明） 【解析】（1）表中提供的这14款机器人中送餐失误率低于有款， 所以从这14款机器人中任取一个，该机器人送餐失误率低于的概率为； （2）表中提供的失误率低于的送餐机器人有款， 其中失误率低于的送餐机器人有3款，从9个中任取3个， 所以随机变量的取值为， 所以，， ，. 随机变量的分布列为 0 1 2 3 数学期望为； （3）设事件为“机器人来自乙公司”，事件为“机器人来自丙公司”，事件为 “送餐失误”. 则， ， 因乙公司研发了第三款机器人，每个机器人被选中的概率为， 且第三款机器人送餐的失误率分别为1.5%，1.9%，2.9%， 故乙公司研发的机器人送餐的失误率为： 又因丙公司研发了第四款机器人，每个机器人被选中的概率为， 且第四款机器人送餐的失误率分别为0.7%，0.9%，1.6%， 2.4%， 故丙公司研发的机器人送餐的失误率为： . 由全概率公式可知送餐失误的概率为： . 根据贝叶斯公式，则送餐失误的机器人来自乙公司的概率为： ； 送餐失误的机器人来自丙公司的概率为： . 因为，所以来自乙公司的可能性更大. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.5 二项分布、超几何分布与正态分布 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一．两点分布 3 知识点二．次独立重复试验 3 知识点三．二项分布 3 知识点四．超几何分布 4 知识点五、正态曲线 5 知识点六、正态分布 5 03 探究核心题型 7 题型一：两点分布问题 7 题型二：n 次独立重复试验问题 7 题型三：二项分布求解 8 题型四：超几何分布计算 10 题型五：二项与超几何分布综合题型 12 题型六：正态曲线性质及概率运算 15 题型七：正态分布实际应用题 16 题型八：标准正态分布应用题型 18 04 课时精练 (真题、模拟题) 21 1、理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2、借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用. 知识点一．两点分布 1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； （2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 知识点二．次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点三．二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 知识点四．超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 知识点五、正态曲线 1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲乙 知识点六、正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 题型一：两点分布问题 【典例1-1】若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026·高三·山西大同·阶段检测）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高三·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二：n 次独立重复试验问题 【典例2-1】（2026·河南·三模）甲、乙两个班级之间进行排球比赛，采用五局三胜制（没有平局），已知甲班在每一局比赛中获胜的概率均为，若前三局甲班以的比分领先，则甲班最终获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·河北雄安·三模）已知袋中有2个白球、1个红球，3个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【变式2-2】（2026·山东济宁·二模）抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（    ） A．5， B．5， C．10， D．10， 【变式2-3】（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 题型三：二项分布求解 【典例3-1】（2026·江苏南通·三模）某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 【典例3-2】（2026·河南·模拟预测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为（）．    (1)若 ①求质点移动6次后回到原点的概率； ②在质点第1次向右移动的条件下，求质点移动4次后回到原点的概率； (2)若移动3次后，质点最终所在位置的坐标为，若随机变量的期望，求的取值范围． 【变式3-1】（2026·高三·重庆·阶段检测）随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 【变式3-2】（2026·江苏扬州·三模）有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． (1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； (2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 【变式3-3】在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 题型四：超几何分布计算 【典例4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 【典例4-2】某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成图（如图），其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户． 注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． (1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）； (2)从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率； (3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望． 【变式4-1】（2026·河北保定·三模）2026年某市为提振实体经济，对该市小微企业开展经营状况调研，随机抽取的10家企业中，有6家企业营收正增长，4家企业营收负增长. (1)从这10家企业中随机抽取2家，求恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业的概率； (2)从这 10家企业中随机抽取3家，记为抽到的营收正增长的企业数量，求的分布列与数学期望. 【变式4-2】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示，用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求的分布列. 【变式4-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）在产品质量检测领域，生产不合格电子产品极易造成使用隐患，我国的（产品质量法）中将生产不合格电子产品的行为分成两个类别：“轻微不合格”和“严重不合格”．市场监管部门对某电子厂的一次抽检行动中，依法检查了400件电子产品的质量情况，其中查出轻微不合格的有8件，查出严重不合格的有4件． (1)记在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率为，求的估计值； (2)从不合格的12件产品中抽取3件，求抽取到严重不合格产品的数量的分布列和期望． 题型五：二项与超几何分布综合题型 【典例5-1】（2026·湖南长沙·二模）为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查.得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 女生 10 30 合计 100 (1)请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关.（单位：人） (2)现按是否喜爱打篮球比例分配从样本女生30人中按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值； (3)若将频率视作概率，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【典例5-2】（2026·江苏苏州·模拟预测）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：） 【变式5-1】（2026·湖南永州·一模）我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据： 分钟 性别 （0，40] （40，60] （60，90] （90，120] 女生 10 40 40 10 男生 5 25 40 30 根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120]内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120]内认定为“良好”. (1)完成下列22列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联； 不合格 合格 合计 女生 男生 合计 (2)从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求的分布列及数学期望； (3)从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为”的概率为，视频率为概率，用样本估计总体，求的表达式，并求取最大值时对应的值. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【变式5-2】（2026·江苏徐州·模拟预测）市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表： 平均每天锻炼的时间(分钟) 总人数 20 36 44 50 40 10 将学生日均课外体育锻炼时间在内的学生评价为“课外体育达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关； 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 女 20 110 总计 （2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生，求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率. 【变式5-3】（2026·湖北·模拟预测）目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如下： 用气居民编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用气量(立方米) 95 106 112 161 210 227 256 313 325 457 （1）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望； （2）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有户年用气量不超过228立方米的概率为，求使取到最大值时，的值. 题型六：正态曲线性质及概率运算 【典例6-1】（2026·重庆渝中·三模）一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____. 【典例6-2】已知某公司生产的一种产品的质量（单位：克）服从正态分布．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有________件． 附：若服从正态分布，则，． 【变式6-1】某校在2023年的“某市重点中学数学挑战赛”中有1000人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩高于110分的学生约有________人． 【变式6-2】（2026·广东佛山·二模）随机变量服从正态分布，，则______. 【变式6-3】（2026·河北保定·二模）某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为______________． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则 题型七：正态分布实际应用题 【典例7-1】（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【典例7-2】（2026·辽宁大连·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 【变式7-1】（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 【变式7-2】（2026·江西·模拟预测）随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了30000片，试估计其中测试成绩80分以上（含80分）的芯片数量（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该批次芯片中随机抽取3片，设其中等级为“卓越”的芯片数量为，求的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 题型八：标准正态分布应用题型 【典例8-1】（2026·安徽·模拟预测）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【典例8-2】（2026·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【变式8-1】（2026·辽宁大连·一模）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 【变式8-2】（2026·高三·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【变式8-3】（2026·河南开封·模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 1．（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中，错误的个数为（    ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·高三·广东湛江·月考）有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量、，若，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 6．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（2026·高三·河南漯河·期末）将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现2次正面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，，若出现“恰有2次正面朝上”的频率记为，则（    ） A． B． C． D．0 8．（2026·江西南昌·三模）已知随机变量，，若，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 9．（多选题）（2026·高三·陕西商洛·阶段检测）某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：若随机变量，则，，. A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·河北保定·三模）某科技公司推出了一项全民互动体验项目，该项目利用AI技术为用户生成个性化数字人形象.已知每位用户生成的数字人形象相互独立，且遵循以下生成规则：①风格类型分为国风、科技风、萌趣风三类，每种类型生成的概率分别为 ②动作特效分为抱拳、奔跑、比心三类，动作特效的生成概率与风格类型相关，其规律如下，若生成的风格类型为国风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ；若生成的风格类型为科技风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率均为 ；若生成的风格类型为萌趣风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ③隐藏款判定，若生成的数字人形象的风格类型与动作特效满足国风配抱拳或科技风配奔跑或萌趣风配比心，则该数字人形象为隐藏款，否则为普通款.下列说法正确的是（    ） A．随机抽取 1位用户，则事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立 B．随机抽取1位用户，则该用户的数字人形象为隐藏款的概率是 C．随机抽取9位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，则最大 D．随机抽取 2位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，另外随机抽取3位用户，记生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑的人数为随机变量η，则 11．（多选题）2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2－3波反击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干导弹对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用了两种导弹作战：加德尔常规导弹和海巴尔高精导弹．不妨将两种导弹分别记为，已知两种导弹命中目标的概率分别为，假设在某波反击中两种导弹各发射10枚，每次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．且且 C．若，则 D．若当且仅当时，取得最大值，则 12．（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 13．（2026·海南儋州·一模）某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI辅助学习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50名作为样本．记“利用AI辅助学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到，．现从全校的学生中随机抽取30名，设其中“利用AI辅助学习的学生”的人数为，则当取得最大值时，的值为________． 14．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为非负整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多______百元代金券． 15．假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 16．（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 17．（2026·辽宁锦州·二模）高尔顿钉板是英国统计学家高尔顿设计的一种概率模型，其结构如下，在一块竖直木板上钉有若干排等间距的钉子，每排钉子的数量比上一排多一枚，且相邻的两排钉子的位置相互错开，木板底部有若干个等宽的凹槽，用于收集下落的小球，小球从木板顶端的入口处自由下落，在下落过程中，小球每次遇到钉子时，向左或向右下落的概率均为0.5，且每次下落是相互独立的.现有一个高尔顿钉板，其设置排钉子，第排钉子下方有个凹槽.从左至右依次记为凹槽0，凹槽1，…，凹槽，当时，钉板如图所示.进行次独立重复试验，每次试验投放一个小球.设小球从入口下落最终落入凹槽的个数为. (1)若， （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，求的数学期望与方差； (2)当足够大时，可以认为小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，其中为的数学期望，为的方差.若，，试估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数. 参考数据：若随机变量，，，. 18．某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． (1)求电梯A最终停在6楼的概率； (2)若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； (3)若对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 19．（2026·湖北·三模）现有n枚质地均匀的硬币，第一次分别抛掷这n枚硬币，完成后，将其中正面朝上的硬币进行第二次抛掷，记第一次抛掷中正面朝上的硬币数与第二次抛掷中正面朝上的硬币数之和为X． (1)当时，求X的分布列与数学期望； (2)对确定的n，，，使得成立，请直接写出m，不用推导； (3)求． 20．（2026·高三·北京延庆·月考）近年来，中国机器人科技水平在政策支持､技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升.国内很多科技公司致力于服务机器人的发展与创新，现抽取了由甲､乙､丙､丁四个公司研发的14款使用率较高的智能送餐机器人，并对这14款机器人的送餐失误率进行了测试，获得数据如下表： 公司 甲 乙 丙 丁 机器人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 失误率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的机器人中任取一个，求该机器人送餐失误率低于的概率； (2)从表中提供的失误率低于的送餐机器人中任取3个，用随机变量表示其中失误率低于的送餐机器人个数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)已知某餐厅使用乙或丙公司中的某个送餐机器人，经查证，该送餐机器人送餐失误，则该送餐机器人来自哪个公司的可能性更大？（结论不要求证明） 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $