精品解析：宁夏回族自治区银川九中教育集团初中部2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷

银川九中教育集团初中部2025一2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷 （本试卷满分120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，四个选项中只有一个正确．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式的相关运算法则逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵选项B中，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，∴B错误； ∵ 选项C中，根据积的乘方运算法则，可得，∴C错误； ∵ 选项D中，根据完全平方公式，可得，与等式一致，∴D正确，符合题意． 2. 将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是（　　） A. 图①的主视图和图②的主视图相同 B. 图①的主视图与图②的左视图相同 C. 图①的左视图与图②的左视图相同 D. 图①的俯视图与图②的俯视图相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，得出图①、图②的三视图即可． 【详解】找到图①、图②从正面、侧面和上面看所得到的图形， 可知图①的主视图与图②的左视图相同，图①的左视图与图②的主视图相同． 故选B． 【点睛】考查了简单组合几何体的三视图，解题关键是理解三视图的概念. 3. 人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；模型参数可达亿个，其中数亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法要求形式为，其中为整数，将亿转换后，再写成标准形式即可． 【详解】解：∵1亿， ∴6710亿， ∴． 故选：C． 4. 通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 5. 按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个相等实数根 B. 方程没有实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】先根据如图所示的程序计算出时，输出的b值，再代入方程，然后根据根的判别式解答即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴方程为，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 6. 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组的能力，需正确理解题意并转化为方程，根据数量关系列式即可． 【详解】解： “一人一个多一梨”：若每个老头分1个梨，梨的数量比人数多1，即 ， “一人两个少两梨”：若每个老头分2个梨，梨的数量比所需少2，即所需梨数 比实际梨数 多2，故 ，整理得 ， ∴方程组为：， 故选：C． 7. 已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干中的函数图象，可知，然后即可得到函数的图象的开口方向，对称轴所在的位置和与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象得， 二次函数图象开口向上， ∴二次项系数， 一次函数的图象过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断a、b、c的符号，利用一次函数和二次函数的性质解答． 8. 如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积．过点D作于点E，根据阴影部分的面积为，解答即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：B 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式： _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握分解因式的方法，分解因式的主要方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法． 直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10. 在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率的实际应用．根据频率统计图确定白球的稳定频率，将其作为白球的概率，设黑球的个数为，列出方程进而求出黑球个数． 【详解】解：由频率统计图可知，摸到白球的频率稳定在左右， 根据频率估计概率的思想，可得白球的概率约为． 设黑球的个数为，则总球数为， 由概率公式得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 故答案为：． 11. 如图，在正五边形中，是边的中点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的性质求出内角度数，结合等腰三角形的性质求出与的度数，进而利用三角形内角和定理或角的和差关系求出的度数，最后利用等腰三角形三线合一的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 五边形是正五边形， ，， 在中，，， ， 同理在中，， ， 又，， ， ，即是等腰三角形， 是的中点， 平分， ． 12. 若关于的方程有增根，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程，求出的值即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∵方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得； 故答案为：1． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，顶点在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，根据菱形的对角线互相垂直平分，可得的面积是菱形面积的四分之一，再根据反比例函数系数的几何意义建立方程求解即可． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 14. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图．双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 【答案】68 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于， 则中，， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为， 故答案为：68． 15. A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距______千米． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察图形找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据图形找出点、的坐标利用待定系数法求出线段的函数解析式，代入求出点的坐标，由此即可得出直线的解析式，再在直线的解析式中代入求出点的坐标，将点的横坐标代入线段的解析式中求出值，将其与做差即可得出结论． 【详解】解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得：， 线段的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时，， 千米． 故答案为：． 16. 如图，，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为直角三角形，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律问题，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，分别求出、、⋯⋯，得出规律即可得解． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴，， ∴， ∵是直角三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴； 同理可得，， 又⋯⋯， 所以，的边长为， 故答案：． 三．解答下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分．） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再从中取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 19. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点，，的坐标分别为，和． （1）画出以点为旋转中心，将逆时针旋转得到的． （2）用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得点到点，的距离相等． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，点即为所求： 【解析】 【分析】（）根据旋转的性质分别找出点，再依次连接，即可作答； （）利用线段垂直平分线的性质结合网格的特征，作的垂直平分线，交于点，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 杏树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 杏树叶的长宽比 【问题解决】填空： （1）上述表格中：___________，___________； （2）这两种树叶从长宽比的角度看，___________树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于___________树的可能性比较大． （3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？ 【答案】（1）； （2）杏；杨 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了中位数、众数，方差，统计图等知识． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据方差的意义求解即可，计算出该树叶的长宽比即可得出答案； （3）根据题意画树状图得出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：将杨树叶的长宽比重新排列为、、2、、、、、、、， 所以其中位数， 杏树叶的长宽比的众数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差， 所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小； ， 所以这片树叶来自于杨树的可能性比较大， 故答案为：杏，杨； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： ∵由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种． ∴恰好小娟小东被选中的概率为． 21. 如图，在中，∠，点、点分别是、的中点，连接、，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：点、点分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）线段的长为 【解析】 【分析】（1）先证明是的中位线，再由三角形中位线定理得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得，再由平行四边形的性质得，进而由锐角三角函数定义求出，则，然后由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，是的中位线， ，， ， ， ， 点是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：线段的长为． 22. “垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同． （1）求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？ 【答案】（1）品牌垃圾桶每个100元；B品牌垃圾桶每个150元 （2）品牌垃圾桶最多买10个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，根据等量关系与不等量关系列出方程与不等式是解题的关键． （1）设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，根据两种垃圾桶数量相同，列出分式方程并求解即可，注意检验； （2）设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴（元）； 答：品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元； 【小问2详解】 解：设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个， 由题意得：， 解得：， ∴品牌垃圾桶最多买10个； 答：品牌垃圾桶最多买10个． 四．解答题（本题共4道题，其中第23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，为直径，为弦，且为的切线，过D作于点E，延长交的延长线于点H． （1）求证：； （2）若E为的中点，，，求此时圆的半径的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接，     ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用等角的余角相等即可证明，再利用等腰三角形的判定定理即可证明； （2）设，则，利用三角函数的定义求出，根据勾股定理得出的长，然后利用，可得半径的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 解得， ∴半径为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，三角函数的定义，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键． 24. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）支点C离桌面l的高度为 （2）当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； 【小问2详解】 解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时， ； 当时， ； ∴， 答：当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约． 25. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由． （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案； （2）根据“梦之点”的定义求出的坐标，再求出顶点的坐标，计算出的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案； （3）由（2）可得，，求出直线的解析式为，由菱形的性质可得点、在直线上，联立，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：矩形的顶点坐标分别是，， 矩形的“梦之点”满足，， 点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”． 【小问2详解】 点是抛物线上的“梦之点”， ， 解得：，， 当时，，当时，， ，， ， 顶点， ，，， ， 是直角三角形． 【小问3详解】 由（2）可得，， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 以为对角线，以为顶点的四边形是菱形， ， 点、在直线上， 点在二次函数上， 联立， 解得：，， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 26. 【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川九中教育集团初中部2025一2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷 （本试卷满分120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，四个选项中只有一个正确．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是（　　） A. 图①的主视图和图②的主视图相同 B. 图①的主视图与图②的左视图相同 C. 图①的左视图与图②的左视图相同 D. 图①的俯视图与图②的俯视图相同 3. 人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；模型参数可达亿个，其中数亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个相等实数根 B. 方程没有实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 无法判断 6. 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式： _____________． 10. 在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为______． 11. 如图，在正五边形中，是边的中点，连接，，则的度数为___________． 12. 若关于的方程有增根，则_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，顶点在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为______． 14. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图．双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 15. A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距______千米． 16. 如图，，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为直角三角形，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为_____． 三．解答下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分．） 17. 计算：． 18. 先化简，再从中取一个数代入求值． 19. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点，，的坐标分别为，和． （1）画出以点为旋转中心，将逆时针旋转得到的． （2）用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得点到点，的距离相等． 20. 【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 杏树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 杏树叶的长宽比 【问题解决】填空： （1）上述表格中：___________，___________； （2）这两种树叶从长宽比的角度看，___________树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于___________树的可能性比较大． （3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？ 21. 如图，在中，∠，点、点分别是、的中点，连接、，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，求线段的长． 22. “垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同． （1）求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？ 四．解答题（本题共4道题，其中第23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，为直径，为弦，且为的切线，过D作于点E，延长交的延长线于点H． （1）求证：； （2）若E为的中点，，，求此时圆的半径的长度． 24. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 25. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由． （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $