命题大赛 湖南省2025-2026学年高二数学下学期期末复习测试(人教A版)

**基本信息** 融合文化传承（如“将军饮马”古题新解）与现实情境（AI使用调查），通过梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与数据意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、集合、双曲线、等比数列、向量等|含原创题（双曲线渐近线）和文化情景题（唐代诗歌“将军饮马”）| |填空题|3题/15分|排列组合、椭圆离心率、函数零点|注重知识应用与空间形式分析| |解答题|5题/77分|解三角形、数列、立体几何、概率统计、函数导数|概率统计结合AI使用调查（数据意识），函数导数考查单调性与极值（推理能力）|

题号 题型 分值 核心考点 难度 难度系数（预估） 1 单选 5 复数纯虚数定义 易 0.85 2 单选 5 集合补集运算 易 0.8 3 单选 5 双曲线渐近线方程 易 0.8 4 单选 5 等比数列通项与前 n 项和 中 0.75 5 单选 5 二项式定理 中 0.75 6 单选 5 三角函数图像交点 中 0.7 7 单选 5 数学文化 + 直线对称问题 中 0.6 8 单选 5 向量数量积最值问题 难 0.5 9 多选 6 二项式定理综合运用 中 0.6 10 多选 6 统计与概率综合运用 中 0.55 11 多选 6 导数综合 难 0.45 12 填空 5 排列组合应用 中 0.8 13 填空 5 椭圆离心率综合 难 0.7 14 填空 5 函数零点与参数范围 难 0.6 15 解答 13 解三角形综合 中 0.8 16 解答 15 等差、等比数列综合 中 0.75 17 解答 15 立体几何 中 0.6 18 解答 17 独立性检验 + 条件概率综合 难 0.55 19 解答 17 导数应用 难 0.35 命题双向细目表 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025–2026 学年期末质量检测模拟卷 高二数学参考答案与详细解析 考试时间：120 分钟 满分：150 分 第一部分 选择题（共 58 分）​ 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 答案：B 解析：纯虚数满足实部为0，虚部不为0，即a²-4=0且a+2≠0，解得a=2。 2. 答案：C 解析：解不等式≤0,转化为x(x-2)≤0且x-20得A=[0,2），则在实数集R中的补集为=(-∞,0)∪2,+∞)。 3. 答案：D 解析：双曲线焦点在y轴，a=，b=，渐近线方程为。 4. 答案：B 解析： ，  得 ，  故选B． 5. 答案：A 解析：的展开式的通项为， 则的展开式中的系数为： ． 故选：． 6.答案：D 解析：y=sinx周期为2π，周期为； 在[0,2π]内后者有3个完整周期，结合图像可得两曲线交点共6个。 7. 答案：A 解析：设点关于直线的对称点， 的中点为，，故，解得 要使从点到军营总路程最短， 即为点到军营最短的距离，军营所在位置为， “将军饮马”的最短总路程为．故选A． 8. 答案：B 解析：设点A为坐标原点，向量AB在x轴上，则： 点B坐标为(2, 0)，点C坐标为(3cos60°, 3sin60°) = (, ) 因为点P在∠BAC的平分线上，设||=k（k≥0），则点P的坐标为： P(kcos30°, ksin30°) = (k , k ) = ( -k , -k ) , = ( 2 -k , -k ) , = ( -k , -k ) 计算 + =( 2+ -k , -k ) = ( - k , - k ),· (+) = (-k)·( - k) + ( -k )·(- k ) = -k + k² - k + k² = 2k² - k 这是关于k的二次函数，开口向上，当k =-时取得最小值： 这里a=2，b= -，所以k = × = 因此，当· (+)取最小值时，|| = ，答案选B。 2、 多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 评分规则：全部选对得6分，部分选对得3分，有错选得0分 9. 答案：BCD 解：二项式的通项为，，，，， 令，得，故A错误； 令，得， 令，得， 所以，故B正确； 令，得， 所以 ，故C正确； ， 两边对求导，得， 再令，得，故D正确． 故选：． 10. 答案：ABC  解：对于选项A：随机变量是二项分布，期望； 方差，故A正确； 对于选项B：，其正态曲线关于均值对称，故； ，其正态曲线关于均值对称，， 因此，B正确； 对于选项C：样本点全在直线上， 说明变量间完全线性负相关，相关系数，C正确； 对于选项D：量于临界值， 应拒绝零假设认为与有关，但中说“没有充分证据推断不成立”，故 D错误． 故选：． 11. 答案：ACD 解：因为，所以， 又因为函数有两个极值点、， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 此时，为极大值，为极小值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 此时，为极小值，为极大值； 对于选项A：若，则或 在各有一个零点． 故A正确； 对于选项B：在极值点、处，函数的切线只有一条，但是在其他点处的切线也可能过切线，故B错误； 对于选项C：若，当时，，此时只有一个零点； 当时，，此时只有一个零点，故C正确； 对于选项D：令， 则，为的平均数， 又因为函数为中心对称图形，故，故D正确． 故选ACD． 第二部分 非选择题（共 92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 答案：  解：先将名志愿者看作一组，选法有种， 再将组志愿者分配到个小区，分法有种，故不同的安排方法有种．故答案为： 13. 答案：  解：由椭圆焦点在轴上，设椭圆的左、右焦点分别为 ，， 由，代入椭圆方程可得， 可设，， 因为，即，所以， ， 即，， 可得：，， 代入椭圆方程可得，，， 由，整理得：， ， 由椭圆的离心率． 14. 答案：(e,+∞) 解析：f(x)有两个零点等价于ax=有两个解，即1/a=； 令g(x)=，其最大值为g(1)=，故，即a>e。 四、解答题（共5小题，共77分） 15.（本小题满分13分） 在△ABC中，sinA+2sin²()=2。 (1)求sinA的值； (2)设D为AB的中点，且S△ACD=3，AC=4，求△ABC的周长。 解析与评分细则 由正弦定理，， 因，故，（1分） 所以， 由于，，两边除以得： ，（2分） 利用二倍角公式，代入得： ， 整理为关于的二次方程： ，（3分） 设，因，故，解方程得舍去负根， 因此，得，即；（5分） 已知是的角平分线，，故，，， ， 所以，（7分） 化简可得，，（8分） 由余弦定理：，即，（10分） 由解得，（11分） 因此的周长为： ． （13分） 16.（本小题满分15分） 设数列满足． 求的通项公式； 求数列的前项和． 解析与评分细则 数列满足， 当时，，（2分） 两式相减得，（4分） ，； 当时，，上式也成立，（5分） ；（7分） ，（9分） 数列的前项和： ，（13分） ． （15分） 17.（本小题满分15分） 解析与评分细则 解：证明：因为，因为，，（1分） 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则，（3分） ，， 且平面平面，平面 平面平面， 平面；（4分） 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，，（6分） 设平面的法向量为，，， 由，取． 设平面的法向量为，，（8分） 由，取， ．（9分） 二面角是钝二面角， 二面角的正弦值为．（10分） 设，则，（11分） 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为： ，（13分） 解得，．（15分） 18.（本小题满分17分） AI使用调查200人数据，按学历与使用情况分组；知识竞赛甲乙答题，甲正确率，乙。 (1)α=0.01下检验使用情况与学历是否有关； (2)①求甲获胜概率；②甲获胜条件下乙恰对1题的概率。 解析与评分细则 (1)χ²==4.8<6.635；（4分） 在α=0.01下，认为使用情况与学历无关。（5分） 评分：公式代入（2分）→计算（2分）→结论（1分），共5分。 (2)①单题甲得分：10分概率，0分，-10分； 甲获胜总概率P=++=。 评分：单题概率（2分）→分类计算（3分）→合计（2分），共7分。 ②设A=甲获胜，B=乙对1题，P(AB)=； P(B|A)==。 评分：联合概率（2分）→条件概率公式（2分）→结果（1分），共5分。 19.（本小题满分17分） 解析与评分细则 解：当时，， 故，（2分） ， ， 曲线在点处的切线方程为，即．（4分） ，， ，（6分） 令，解得，（7分） 当，， 当，， 函数在上单调递减，在上单调递增，（8分） 是极小值点，极小值为，无极大值．（9分） 证明：Ⅱ由，则， 对任意的，，且，令，， 则， ， ， 令，，（11分） 当时，， 在单调递增，（12分） 当，，即， ，，，（14分） ，， 由Ⅰ可知当时，， 即，， 由可得，（16分） 当时，对任意的，，且，有． （17分） 数学答案 第 2 页 (共 3 页) 数学答案 第 2 页 (共 3 页) 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前姓名：________________ 准考证号：____________ 班级：________________ 请勿在此线内答题 2025–2026 学年期末质量检测模拟卷 高二数学 考试时间：120 分钟 满分：150 分线 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题（共 58 分）​ 1、 单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）封密 1.若复数 为纯虚数，则 a=（ ） A. -2 B. C. ±2 D. 0 2. 已知集合A={x|≤0}，则= （ ） A.[0,2] B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0)∪[2,+∞) D.(-∞,0]∪[2,+∞) 3.（原创） 双曲线的渐近线方程为 （ ） A. B. C. D. 4. 记为等比数列的前项和．若则(    )密 A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为(    ) A. B. C. D. 6.当x∈[0,2π]时，曲线与的交点个数为（ ） A.0 B.2 C.4 D.6 7. （新情景）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为(    ) A. B. C. D. 8. 已知非零向量、满足||=2，||=3，∠BAC=60°，点P在∠BAC的平分线上。当·(+)取最小值时，||=（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知，则(    ) A. B. C. D. 10. 下列关于概率统计的说法，正确的是(    ) A. 若随机变量X~B(5,),则E(X)=2,D(X)= B. 若随机变量X~N(1,),Y~N(0,),则P(X>1)>P(Y>1) C. 若一组样本数据(,)(i=1,2,,n)的对应样本点都在直线y=-x+1上,则这组样本数据的相关系数为-1 D. 设关于分类变量X与Y的独立性检验的零假设为:X与Y无关,根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到=4.2,依据=0.05的独立性检验(=3.841),没有充分证据推断不成立,即认为X与Y无关. 11. 函数有两个极值点、，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则有个零点 B. 过上任一点至少可作两条直线与相切 C. 若，则只有一个零点 D. 第二部分 非选择题（共 92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 将名志愿者安排到个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去个小区，每个小区至少安排名志愿者，则不同的安排方法共有    种．（填数字） 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为     ． 14. 已知存在两个零点，则实数a的取值范围是______。 四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分） 记的内角，，的对边分别为，，，A. 求 若的角平分线交边于点，，，求的周长． 16.（原创）（本小题满分15分） 设数列满足． 求的通项公式； 求数列的前项和． 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连． 求证：平面； 求二面角的 正弦值； 在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长． 18.（本小题满分17分） 为了解不同学历人群对AI大模型的使用情况，随机调查200人，数据如下： 学历 经常使用 不经常使用 合计 本科及以上 70 30 100 本科以下 55 45 100 合计 125 75 200 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为使用情况与学历有关？ (2)学校组织的AI大模型知识竞赛中，甲、乙各答3题，每题同时答对或者答错得0分；一对一错则答对者+10分，答错者-10分。比赛结束之后累计得分为正数者获胜，两人分别独立答题，互不影响。甲每题正确率，乙每题正确率，各题相互独立。 ①求比赛结束后甲获胜的概率； ②求甲获胜的条件下，乙恰好答对1题的概率。 附：。 19.（本小题满分17分） 已知函数，为的导函数． Ⅰ当时， (ⅰ)求曲线在点处的切线方程； (ⅱ)求函数的单调区间和极值； Ⅱ当时，求证：对任意的，，且，有． 数学试题 第 2 页（共 2 页） 数学试题 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $