命题大赛 湖南省2025-2026学年下学期高二数学期末试卷（人教A版选择性必修第一、二、三册）

**基本信息** 2026高二数学期末卷以选择性必修内容为核心，原创情境题（如投篮比赛、三棱锥证明）与实际应用（成绩统计、乒乓球赛）结合，通过数据分析、空间推理等梯度设计，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|回归方程、圆与抛物线、等比数列、立体几何|单选基础巩固（如线性回归），多选分层（如正方体动点判断）| |填空题|3/15|随机变量、概率事件、椭圆离心率|改编题（正态分布）与原创题（独立事件）结合| |解答题|5/77|独立性检验（数据意识）、函数极值（逻辑推理）、三棱锥夹角（空间观念）、概率分布列（数学建模）、双曲线综合（运算能力）|原创情境（如17题三棱锥）与多问递进（如19题双曲线定点与三等分点），契合高考命题趋势|

2026高二数学期末考试 （考试范围：选择性必修第一册/第二册/第三册） 满分：150分，时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组样本数据的线性回归方程为，若的取值范围依次为2，4，6，8，10，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 2. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（ ） A. B. C. D. 6.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，点在抛物线上，且.过焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 7. 某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次，第一次投篮点可在两处随机选择一处，若投中，则第二次投篮地点不变，若未投中，则第二次投篮点改变，在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立.已知小明在点投中的概率为0.8，在点投中的概率为0.3，记小明投篮总得分为，则=（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为的函数满足，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10.（原创）已知正方体，是的中点，是直线上的动点，则以下判断中正确的是（    ） A．直线和恒为异面直线 B．直线上存在点，使得 C．直线上存在点，使得 D．直线上存在点，使得与相交 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是以2 为公比的等比数列 B. 若，则数列是以2为公差的等差数列 C. 若，则数列是以1为公差的等差数列 D. 若，则数列是以为公差等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. （改编）已知随机变量，且，则_________. 13. （原创）已知已知A，B是概率均不为0的随机事件，若，则 。 14. 已知点是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上异于，的一点，且以为直径的圆过点，点在轴上，且三点共线，为坐标原点，若成等比数列，则椭圆的离心率为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 160 100 260 优秀 40 100 140 合计 200 200 400 （1）在这400人中随机抽一人，语文和数学都优秀和都不优秀的概率各是多少？ （2）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，且，成立，求实数的取值范围. 17. （原创）在三棱锥中， 底面，，为的中点，且。 (1) 求证：； (2) 若​，求平面  与平面夹角的余弦值。 18. 甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. （1）求； （2）记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； （3）若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 19. 已知双曲线的离心率为2，且过点. （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点（均不与点重合）.求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； （3）在（2）的条件下，若直线分别与两渐近线交于两点，问是否存在实数使得是线段的两个三等分点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高二数学期末考试 答案解析即评分标准 （考试范围：选择性必修第一册/第二册/第三册） 满分：150分，时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组样本数据的线性回归方程为，若的取值范围依次为2，4，6，8，10，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】,所以.故选：. 2. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知可得，，则， 所以，.故选：A. 3. 已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即，化简可得直线的方程为. 4. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】设数列公比为q，因，则，由题可得，则，则或（舍去）.则. 故选：D. 5.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】投掷7次必须5次正面向上，2次反面向上，抛掷7次不同结果有种，故. 故选：A 6.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，点在抛物线上，且.过焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解析】 如图所示，设抛物线方程为，焦点为，由于点在抛物线上，且， 则有，代入得，故抛物线方程为，焦点为， 设，，由于直线经过焦点且倾斜角为，因此直线方程为， 与抛物线联立得，由韦达定理得，则， 根据抛物线的定义，有，，因此，故C正确. 7. 某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次，第一次投篮点可在两处随机选择一处，若投中，则第二次投篮地点不变，若未投中，则第二次投篮点改变，在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立.已知小明在点投中的概率为0.8，在点投中的概率为0.3，记小明投篮总得分为，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】要得分，包括两种情况：情况一：第一次选投中（得分），第二次选未投中； 情况二：第一次选未投中，第二次选投中（得分）. 记A=“在A处投中”，B=“在B处投中”则 .故选：C. 8. 定义域为的函数满足，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】构造函数，则，则函数是的单调递增函数，对不等式的两端同时除以得，则，解得.故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】A.令，得，A正确. B.令，得，所以，B错误. C.由题意得，，所以，C错误. D.令，得，所以，D正确.故选：AD. 10.（原创）已知正方体，是的中点，是直线上的动点，则以下判断中正确的是（    ） A．直线和恒为异面直线 B．直线上存在点，使得 C．直线上存在点，使得 D．直线上存在点，使得与相交 【答案】CD 【解析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则,,是中点，则，在直线上，设,于是 当时，与相交，故并非为异面直线，故A错D对； 若，则存在使，即，无解，故不存在，B错； 若，则，即，解得，故存在，C正确，故选CD。 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是以2 为公比的等比数列 B. 若，则数列是以2为公差的等差数列 C. 若，则数列是以1为公差的等差数列 D. 若，则数列是以为公差等差数列 【答案】BC 【解析】对于选项A，已知，当时，； 当时，. 当时，，所以数列不是等比数列，A错误. 对于选项B，由，两边取倒数可得，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确. 对于选项C，由，两边同时除以可得：，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，C正确. 对于选项D，由，移项可得，两边同时除以得. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，D错误.故选BC . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. （改编）已知随机变量，且，则_________. 【答案】5 【解析】因，所以，所以. 13. （原创）已知已知A，B是概率均不为0的随机事件，若，则 。 【答案】 【解析】由全概率公式。 14. 已知点是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上异于，的一点，且以为直径的圆过点，点在轴上，且三点共线，为坐标原点，若成等比数列，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 因为以为直径的圆过点，所以， 由题意设直线（斜率显然存在，否则点就不存在了），不妨设点分别在第一象限、第三象限，则直线的斜率； 联立，解得，则， 而，成等比数列，则， 设，则， 从而，而不重合，也就是， 解得，则， 故直线的斜率， 设， 所以， 所以，故所求离心率. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 160 100 260 优秀 40 100 140 合计 200 200 400 （1）在这400人中随机抽一人，语文和数学都优秀和都不优秀的概率各是多少？ （2）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）记=“语文和数学都优秀”，=“语文和数学都不优秀” 则，；………………6分 （2）零假设为：数学成绩与语文成绩无关联， 根据列联表中的数据，计算得： ，………………10分 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为数学成绩和语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. ………………13分 16. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，且，成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， ，………………2分 当时，；时，， 所以在区间上单调递增，在上单调递减， ………………6分 所以当时，有极大值，无极小值； ………………7分 （2）当时，，则， 由得，，………………9分 设，则，………………11分 由，………………13分 当时，，所以的取值范围为.………………15分 17. （原创）在三棱锥中， 底面，，为的中点，且。 (1) 求证：； (2) 若​，求平面  与平面夹角的余弦值。 【解析】（1）因为 PA⊥ 底面 ABC，AD⊂ 底面 ABC，所以 PA⊥AD。 又 PC⊥AD，且 PA∩PC=P，所以 AD⊥平面 PAC。………………3分 因为 AC⊂ 平面 PAC，所以 AD⊥AC。 在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，所以 AD⊥BC。………………5分 于是 AC⊥AD且 AC⊥BC，而 AD与 BC 相交于点 D，故 AC⊥平面 ABD。 又 AB⊂ 平面 ABD，所以 AC⊥AB。………………7分 (2) 由 (1) 知 AB⊥AC，故以 A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为 x、y、z轴建立空间直角坐标系。 已知 AB=AC=4，，则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),D 为 BC中点，所以 D(2,2,0)。 ………………10分 平面 ADC即底面 ABC，其法向量可取 设平面 PBC的法向量为 由 ,得，取，则，故，………………13分 于是， 因为平面 PBC与平面 ADC的夹角为锐角，所以所求余弦值为​​。………………15分 18. 甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. （1）求； （2）记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； （3）若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 【解析】（1）由得：或，∵，∴；……………4分 （1）的可能取值为2，4，6，………………5分 由（1）知，当时 ，，， ，………………8分 所以的分布列如表所示： 2 4 6 的均值为；………………12分 （3）由题可得， 当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则， 当为偶数时，， ∴当为偶数时，数列是以为首项，为公比的等比数列，∴， 当为奇数时，为偶数，∴， 当时，也满足.………………15分（求出一个可以酌情给分） 所以通项公式. ………………17分 19. 已知双曲线的离心率为2，且过点. （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点（均不与点重合）.求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； （3）在（2）的条件下，若直线分别与两渐近线交于两点，问是否存在实数使得是线段的两个三等分点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【解析】 （1）由题知：，得，∴双曲线的标准方程为：.………………4分 （2）设，点， 由，得：， 则 ∴，………………7分 由于以为直径的圆过点，∴，即， 又， ∴， 则， 整理得：，即， ∴或，………………9分 当时 ，过定点，与重合，故舍去， 当时，恒过定点；………………11分 （3）由（2）知：，设， 由得：， ∴，………………13分 ∴， ∴，………………15分 若是线段的两个三等分点，则， 即，整理得：，方程无实数解， ∴不存在实数，使得是线段的两个三等分点.………………17分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高二数学期末考试 考试细目表 （考试范围：选择性必修第一册/第二册/第三册） 满分：150分，时间：120分钟 题号 题型 考点 分值 难度 1 单选题 线性回归方程（样本中心、均值计算） 5 易 2 单选题 导数的定义与极限 5 易 3 单选题 圆与圆的位置关系（公共弦所在直线方程） 5 易 4 单选题 等比数列的通项与求和 5 中 5 单选题 二项分布、独立重复试验的概率计算 5 中 6 单选题 抛物线的定义、焦点弦长公式 5 中 7 单选题 离散型随机变量的期望（全概率公式、条件概率） 5 中偏难 8 单选题 函数导数与不等式（构造函数解不等式） 5 中偏难 9 多选题 二项式定理（展开式系数、赋值法） 6 易 10 多选题 空间向量与立体几何（异面直线、线线垂直、平行） 6 中 11 多选题 数列递推关系与等差/等比数列的判定 6 中 12 填空题 正态分布的概率计算（对称性） 5 易 13 填空题 条件概率的基本性质 5 易 14 填空题 椭圆的性质、离心率（圆、等比数列、三点共线综合） 5 难 15 解答题 独立性检验（2×2列联表、卡方计算） 13 易 16 解答题 函数的极值、不等式恒成立（导数综合应用） 15 中 17 解答题 线面垂直的判定与性质、二面角的计算（向量法） 15 中 18 解答题 概率与随机变量（比赛问题、分布列、期望、递推数列） 17 难 19 解答题 双曲线的标准方程、直线与双曲线的综合（定点、三等分点） 17 难 学科网（北京）股份有限公司 $