命题大赛 江西省高一数学下学期期中阶段测试2025-2026学年（北师大版必修第二册）

**基本信息** 高一数学下学期中测试聚焦三角函数、向量、函数性质等核心内容，通过原创题（如单位向量数量积）与改编题（如扇形内接矩形），结合潮汐问题等现实情境，考查数学建模、数据意识及逻辑推理能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|13题/58分|圆心角弧长、向量平行、函数奇偶性|单选基础巩固，多选综合三角函数性质与向量基底判断| |填空题|3题/15分|单位向量数量积、三角恒等变换、扇形几何计算|原创题考查向量运算，改编题融合几何直观| |解答题|5题/77分|三角函数定义、向量投影、函数单调区间、潮汐函数模型|第19题以潮汐数据构建函数模型，体现数学语言表达现实世界；第18题综合向量与几何证明，培养逻辑推理|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 弧长的有关计算 0.95 2 单选题 5 由向量共线（平行）求参数 0.95 3 单选题 5 特殊角的三角函数值；比较指数幂的大小；比较对数式的大小 0.85 4 单选题 5 向量的线性运算的几何应用；用基底表示向量 0.85 5 单选题 5 利用平方关系求参数；基本不等式“1”的妙用求最值 0.62 6 单选题 5 函数奇偶性的应用；函数周期性的应用；函数对称性的应用；由抽象函数的周期性求函数值 0.4 7 单选题 5 三角函数的化简、求值——诱导公式；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 0.65 8 单选题 5 辅助角公式；求图象变化前（后）的解析式；根据函数零点的个数求参数范围 0.4 9 多选题 6 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求图象变化前（后）的解析式；求含sinx(型)函数的值域和最值；求sinx型三角函数的单调性 0.85 10 多选题 6 由坐标判断向量是否共线；基底的概念及辨析 0.82 11 多选题 6 数量积的运算律；基本不等式“1”的妙用求最值；用基底表示向量；余弦定理解三角形 0.55 12 填空题 5 数量积的运算律；向量夹角的计算 0.85 13 填空题 5 三角函数的化简、求值——诱导公式；给值求值型问题 0.82 14 填空题 5 特殊角的三角函数值，弧长的有关计算 0.6 15 解答题 13 诱导公式一；诱导公式二、三、四；诱导公式五、六；由终边或终边上的点求三角函数值 0.85 16 解答题 15 数量积的运算律；已知数量积求模；向量夹角的计算 0.75 17 解答题 15 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；三角恒等变换的化简问题；求cosx型三角函数的单调性；求含sinx（型）的二次式的最值 0.64 18 解答题 17 已知数量积求模；向量的线性运算的几何应用；垂直关系的向量表示；平面向量基本定理的应用 0.63 19 解答题 17 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；三角函数在生活中的应用；正、余弦定理的其他应用 0.52 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 高一数学下学期中阶段测试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在半径为5的圆中，的圆心角所对弧长为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 6．定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C．4是的一个周期 D． 7．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数将函数图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍得到，若在区间上恰有个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（   ） A．函数的最小值为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10．在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（原创）设、为单位向量，若，则________． 13．已知，则___________． 14．（改编）如下图，已知是圆心角为的扇形，是扇形弧上的点，四边形是扇形的内接矩形，其中，，则的长度为______． 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 16．（15分）（原创）已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求在上的投影向量． 17．（15分）已知函数，． （1）求的单调递增区间； （2）求函数的对称中心； （3）直线与曲线、分别交于点、，求的最大值． 18．（17分）如图，在中，已知，，，E，F分别为，上的点，且，． （1）求； （2）用向量方法证明：； （3）若线段上一动点P满足，试确定点P的位置． 19．（17分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“3:00”）变化符合函数，其中，， （1）求函数的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期期中阶段测试 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C A B D D B 9 10 11 AB ACD ACD 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【答案】B 【解析】弧长公式，已知，， 代入得弧长．故选：B． 2．【答案】B 【解析】因为，所以，解得：．故选：B． 3．【答案】C 【解析】由，，，故．故选：C． 4．【答案】A 【解析】连接， 因为是线段的中点，所以， 则． 因为是线段的中点， 所以．故选：A． 5．【答案】B 【解析】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3．故选：B． 6．【答案】D 【解析】由，把换成可得：， 两式相加得：，故关于点对称，故A正确； 再由为偶函数可得，， 可知：关于直线对称，故B正确； 再由上面关于两式可得：， 即有，可知：4是的一个周期，故C正确； 令，有，， 又因为，所以， 则，故D不正确．故选：D． 7．【答案】D 【解析】因为，则， 又因为，则，且， 所以．故选：D． 8．【答案】B 【解析】因， 将其图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得到， 则，由，可得， 因为在区间上恰有个零点， 令，即，则，其中，因， ①使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，解得； ②使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，解得； ③使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，无解； 同理，使得的的取值是和时，其中，同样无解， 综上所述，的取值范围为．故选B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】AB 【解析】对于A，当，时，函数取得最小值，A正确； 对于B，，点是函数图象的一个对称中心，B正确； 对于C，由，得，因此函数在区间上单调递减，C错误； 对于D，的图象向左平移个单位长度得到，D错误． 故选：AB． 10．【答案】ACD 【解析】选项A：因为是零向量，零向量与任意向量共线，因此不可以作为基底； 选项B：因为，，且， 所以两向量不共线，可以作为基底； 选项C：因为，，且， 所以 ，即两向量共线，不可以作为基底； 选项D：因为，，且， 所以，即两向量共线，不可以作为基底． 故选：ACD． 11．【答案】ACD 【解析】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确．故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】（或）（6分） 【解析】因为、为单位向量，，则， 所以，因为，故．故答案为：． 13．【答案】（5分） 【解析】．故答案为： 14．【答案】（5分） 【解析】在矩形中，有，，且， 则在中，，所以，解得， 所以在中，，所以， 即扇形半径的平方为，，； 所以的长度为．故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【答案】（1）， （2） 【解析】（1）由题意角的终边过点，则，（3分） 根据任意角三角函数的定义可得，．（6分） （2）由诱导公式得．（13分） 16．【答案】（1）； （2），． 【解析】（1）∵，且与夹角为， ∴，（3分） ∴（5分） ；（7分） （2）设在上的投影向量为，，（10分） （13分） ∴．（15分） 17．【答案】（1）最小正周期为，递增区间为； （2）； （3）． 【解析】（1）因为，余弦函数单调增区间为， 所以，（3分） 所以的单调增区间为（4分） （2）化简，则，正弦函数的对称中心为，（6分） 所以令，（8分） 即函数的对称中心为；（9分） （3）由题意可知，、两点的坐标为、， 则，即，（10分） 故 ，（12分） 因为，所以，（13分） 所以，（14分） 所以在时的最大值为．（15分） 18．【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）是线段的中点． 【解析】（1）依题意，记， 因为，所以，，（2分） 因为， 所以， 则，（4分） 故．（5分） （2）因为，所以，（7分） 所以，（8分） 则，即．（10分） （3）因为，所以是的中点，故，（13分） 因为，所以， 即，（15分） 所以是线段的中点．（17分） 19．【答案】（1）； （2）①由（1）的结论，利用正弦函数性质解不等式即可； ②求出吃水深度的函数关系，借助单调性求解不等式． 【解析】（1）由数据可知，，，，， 由，解得，（3分） 所以．（5分） （2）①由题意可得，时就可以进出港， 由，可得， 所以，，（7分） 解得，，因为，（9分） 因此或，所以该船可以进港， 则可以离港，又在到这段时间内，水深最浅时为， 且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时．（12分） ②由题意可得，吃水深度，则要求为，， 当，时，（14分） 单调递增，（15分） 又当时，，则由，，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口．（17分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $