精品解析：江西吉安市五所县二中2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷

江西吉安市五所县二中2023-2024学年高一下学期期中考试联考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边过点，且，则的值为(　 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B. 2. 在中，若，则的形状是 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角的范围可知，故可知，若同为锐角或其中一直角一锐角不满足不等式，故可知必有一角为钝角. 【详解】∵中每个角都在内，∴．∵， ∴．若，同为锐角，则，若，两角一直角一锐角，不成立，∴，中必定有一个钝角，∴是钝角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形中角的范围及三角函数在各象限的符号，属于中等题. 3. 设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝（ ） A. － B. ＋ C. － D. ＋ 【答案】B 【解析】 【分析】 设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，化简即可. 【详解】设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4x－4y，则 ，解得， 即=＋， 故选B. 【点晴】此题考平面向量的线性运算，要注意使用三角形法则时首位顺次连接，向量的方向. 4. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象依次确定的值，再利用诱导公式化简即得. 【详解】由图知，该函数的周期满足，即，解得， 则，将点代入，可得， 由图知，函数图象在点附近单调递减，故，即， 故. 5. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式化简可得结果. 【详解】因为，所以， ， 故. 7. 在中，若点满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算结合已知条件可得，即可得 ，由平面向量基本定理可得和的值即可求解. 【详解】在中，若点满足， 所以，即， 所以，又因为， 所以，，所以， 故选：D. 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆半径为，且，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合正弦定理边化角得，再由三角函数知识可得角，再由正弦定理和余弦定理可解，从而求解面积. 【详解】由及正弦定理得， 且，化简得， 即得，又，得． 又的外接圆的半径， 由正弦定理，解得． 由余弦定理得， 解得，则，即的面积为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（不与点，重合），若，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，则，结合可得实数的取值范围. 【详解】依题意，知，，，四点共线，可设， 则； 因为，点在线段上，且不与，重合，所以， 又因为， 所以由平面向量基本定理，比较系数得， 知实数的取值范围是，而，，， 故ACD正确． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量，可以作为平面向量的一组基底 B. 若非零向量与满足，则为等腰三角形 C. 已知点，，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 D. 中，D为的中点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基底的定义判断A；利用数量积的定义及运算律求解判断BD；利用向量线性运算的坐标表示求解判断C. 【详解】对于A，由向量，，得，与共线，不能作为平面向量的一组基底，A错误； 对于B，在中，由，得， 则，因此，，， 为等腰三角形，B正确； 对于C，由点P是线段AB的三等分点，得或，而， 则或，即点P的坐标可以为或，C错误； 对于D，在中，D为的中点，则 ，D正确. 11. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式和辅助角公式即可得出答案. 【详解】对于A，， 已知，，，代入可得： ，故A错误； 对于B，由于，由辅助角公式可得，故B正确； 对于C，已知，则，由于，根据同角三角函数基本公式可得： ，又因为，根据两角和的余弦公式，可得： ，故C正确； 对于D，已知，根据正切公式，可得， 又因为，所以，根据两角和的正弦公式，可得： ，故D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的半径为r，记扇形的圆心角为α，利用扇形面积等于圆面积的，解得α，然后再由弧长公式与圆周长公式求解. 【详解】设圆的半径为r，则扇形的半径为， 记扇形的圆心角为α， 由扇形面积等于圆面积的， 可得， 解得α＝. 所以扇形的弧长与圆周长之比为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查扇形面积公式，弧长公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13. 平面向量与的夹角为，，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】平面向量与的夹角为，，， ，，， . 14. 设的内角所对的边分别为.若，则角__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互换得到，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】由， 得到， 即， 由正弦定理化简得到， 由余弦定理， 因为， 所以. 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数满足： ①相邻两条对称轴的距离为；②在处取得最大值2． （1）求的解析式及其单调递增区间； （2）若，求满足的的值． 【答案】（1），递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数图像的性质可得振幅，周期，再将点代入运算，结合求解即可，应用正弦函数单调区间计算求解； （2）由可得，再结合，即可求得的值. 【小问1详解】 由题意知，最大值，周期，∴，∴． 将点代入得：， 则，又，故， 故， 因为，所以, 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 因为， 所以，且. 则， 所以，所以. 16. 在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 （1）求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正余弦定理的边角关系及向量数量积的定义，结合已知可得，再由三角形的面积公式列方程求各边长； （2）根据是上的点，结合（1）得到，，进而得，最后应用基本不等式的“1”的代换求目标式的最小值. 【小问1详解】 由，则， 所以，故，则，故， 由，则， 综上，； 【小问2详解】 由，且是上的点， 所以，且， 所以，则， 当且仅当，且，即时取等号， 所以的最小值. 17. 如图，某港口一天从6时到18时的水深变化曲线近似满足函数其中，. （1）试确定，，的值； （2）请估计在上午9点钟时，港口水深是多少米？并求出一天中港口水深的最大值是多少？ 【答案】（1），，． （2）一天中港口水深的最大值是8米． 【解析】 【分析】（1）利用图像的周期特征求出，结合五点法相位关系求出，再由函数最小值求出，确定三角函数解析式的全部参数； （2）将代入已求得的解析式计算对应水深，再根据正弦函数的最大值求出港口一天中的最大水深. 【小问1详解】 根据函数在上的图像，可知，且得，解得； 由五点法作图原理得，，且，解得； 又，解得． 综合可知，，． 【小问2详解】 由（1）知，函数； 则当时，，即在上午9点钟时，港口水深大约是米． 易得，即一天中港口水深的最大值是8米． 18. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 . 周期； 【小问2详解】 由可知，，化简得， ，，， ； 【小问3详解】 由可得，即， 又，则，则，所以. 由余弦定理知： ， 当且仅当时“”成立， 此时为等边三角形， 又所以的周长的最大值为. 19. 设平面向量，满足，，. （1）求向量，的夹角的余弦值； （2）求的值； （3）求向量在方向上的投影数量； （4）求向量在方向上的投影向量． 【答案】（1）． （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 由两边平方得， 因为，， 代入可得，解得， 设，的夹角为，则. 【小问2详解】 由（1）得，，， 所以. 【小问3详解】 由（1）得，，， 所以， 向量在方向上的投影数量为. 【小问4详解】 由（3）可得，，， 所以向量在方向上的投影数量为， 因此向量在方向上的投影向量为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西吉安市五所县二中2023-2024学年高一下学期期中考试联考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边过点，且，则的值为(　 　) A. B. C. D. 2. 在中，若，则的形状是 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 3. 设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝（ ） A. － B. ＋ C. － D. ＋ 4. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若点满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆半径为，且，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（不与点，重合），若，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量，可以作为平面向量的一组基底 B. 若非零向量与满足，则为等腰三角形 C. 已知点，，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 D. 中，D为的中点，则 11. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________． 13. 平面向量与的夹角为，，，则__________. 14. 设的内角所对的边分别为.若，则角__________ 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数满足： ①相邻两条对称轴的距离为；②在处取得最大值2． （1）求的解析式及其单调递增区间； （2）若，求满足的的值． 16. 在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 （1）求的值； （2）求的最小值. 17. 如图，某港口一天从6时到18时的水深变化曲线近似满足函数其中，. （1）试确定，，的值； （2）请估计在上午9点钟时，港口水深是多少米？并求出一天中港口水深的最大值是多少？ 18. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 19. 设平面向量，满足，，. （1）求向量，的夹角的余弦值； （2）求的值； （3）求向量在方向上的投影数量； （4）求向量在方向上的投影向量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $