精品解析：江西九江市六校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试卷

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版必修第一册、必修第二册第一章～第四章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合在全集中的补集，再计算该补集与集合的交集即可得解. 【详解】已知 ， ， 因此 ，又 ，因此 . 2. 已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为 ，弧长为，已知圆心角 ， 由题意可得 ， ，解得 ， ； 代入扇形面积公式，计算得. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由题意得： . 4. 若角的终边上有一点，且，则（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 5. 已知向量，向量在向量上的投影向量的坐标为，则 （ ） A. B. C. 5 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】先根据投影向量的定义求出的值，再展开所求数量积代入计算即可 【详解】因为 ，所以，由向量模的计算公式得 ， 因为向量在上的投影向量为，向量在向量上的投影向量的坐标为， 所以  ，对比等式左右两边的横坐标，可得，解得 ， 所以 . 6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（ ） A. 28cm B. C. 26cm D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是先将AC与BD延长交于点P，由正弦定理可求出其他边长度，最后在中用余弦定理可求出CD. 【详解】 如图，将AC与BD延长交于点P 在中，由正弦定理可知，，则，即，解得：，则，，在中，由余弦定理得：，则. 7. 若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，将不等式转化为不等式组，再结合偶函数及函数单调性求解. 【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式 ，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为 . 8. 已知函数的最大值为，若存在实数，，使得对任意实数，都有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数为，得到最大值，结合图象性质分析知为图象上相邻最高点最低点的横坐标符合题意，进而得解. 【详解】， 结合辅助角公式，于是， ，则最大值， 根据正弦函数周期公式，的周期， 由于，存在，使得， 则， 当为图象上相邻的最高点和最低点的横坐标时，最小，最小值， 则的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质、幂函数与指数函数的单调性或可通过举反例判断各选项即可. 【详解】选项A：若取，，满足，但，故A错误； 选项B：由可得， 则 ，故 ，B正确； 选项C：幂函数在上单调递增， 当时，必有，故，C正确； 选项D：因为，指数函数单调递增，故等价于， 取，，满足， 但 ，此时，故D错误. 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】考查三角恒等变换的核心知识点，选项A确定范围后由同角三角函数平方关系即可算出；选项B和C把正切的条件转化为正弦余弦的等量关系，即可判断；选项D首先算出，通过判断角的范围即可判断. 【详解】对于A：已知，则，则，A正确； 对于B：已知，则，即， 由选项A可知，， 将可得，则，B错误； 对于C：因，则，C正确； 对于D：，，则，D正确. 11. 如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在点，使得 C. 的最大值为 D. 若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先建立直角坐标系，对于A，需要将用、表示出来，进而求出的值；对于B，可取中点，通过极化恒等式判断；对于C，根据向量数量积的坐标运算求的最大值；对于D，利用坐标进行化简，再根据模的坐标计算公式求出其最小值. 【详解】我们先建立平面直角坐标系，根据正八边形边长为2的性质，得到各顶点坐标： ， ， ， ， ， ， . 选项A： 由 得 ， 解得 ，故A正确； 选项B：取的中点， ，故B错误； 选项C： ， 当点在上时，，故C正确； 选项D：则 ，当横坐标为0时其模取得最小值，等于纵坐标的绝对值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足 ，，且，则向量与的夹角为_______. 【答案】 【解析】 【详解】由，，得 ， 因此 ，， 而，所以. 13. 已知函数的部分图象如图所示.则_______；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由图可计算出，再将代入计算可得空一；求出点后，可表示出点，再将点坐标代入函数解析式计算即可得. 【详解】由题可得，则，又，故， 且有，解得，又，故， 则，故； ，则，则， 则，故或， 解得或，则的最小值为. 14. 已知是的外心，点为的中点，满足，，若，则面积的最大值为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】通过外心的性质和向量的线性运算得到向量之间的关系，进而求解三角形面积的最大值. 【详解】因为是的外心，点为的中点，所以，所以，所以， 因为，所以 ，即 ， 因为，所以 ，即，因为 ， 因为 ，又因为， 所以，因为， 所以， 令，则， 对于二次函数，其二次项系数，图象开口向下，对称轴为， 所以当时，取最大值，则， 则的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 【答案】（1） ，平均数为 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为组距为，所以 ， 解得. 平均数为 . 【小问2详解】 没人满分的概率为， 所以至少一人满分的概率为. 16. （1）已知，，求； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）借助两角差的正切公式计算即可得； （2）借助诱导公式与同角三角函数基本关系求出后，借助同角三角函数将目标二次齐次式弦化切代入计算. 【详解】（1）； （2），即， 则. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的大小； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和性质、两角和的正弦公式化简得 的值，结合角B的范围求角B； （2）先由正弦定理结合已知 的值求，再由余弦定理求，进而得三角形周长， 【小问1详解】 由正弦定理（为外接圆半径），得，， 代入已知等式：   因为，故 ， 两边约去 得：   又 ， 故 ， 代入上式：   ， 展开左边消去两边同类项 得：   由 ， 得，又，故 【小问2详解】 由正弦定理得：   故 ， ，则 ， 代入得。;由余弦定理， 代入已知值：  化简得，结合 ， 代入得：   解得 ，因故， 因此的周长为. 18. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）若函数. （ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （ⅱ）设函数 ，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）的最小正周期为，单调递增区间为； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）将向量坐标代入计算结合三角恒等变换得到正弦函数，代入已知条件求值，再通过两角和的余弦公式计算即可； （2）（ⅰ）利用正弦函数的性质得出最小正周期，利用整体法解不等式得到单调递增区间； （ⅱ）由已知条件可知问题转化为，利用整体法结合正弦函数性质可得，通过换元将化为含参的二次函数，结合二次函数性质求最大值，最后解不等式即可. 【小问1详解】 由已知， ， 因为，所以，因为，所以， . 【小问2详解】 （ⅰ） ，最小正周期， 令，因为的单调递增区间为， 所以，解得， 所以的单调递增区间为. （ⅱ） ， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 令，所以， 在上单调递增，在单调递减， 所以，所以， 令，所以， 函数可化为，开口向下，对称轴， 当，在上单调递增，， 即 ，由于，所以，解得， 所以； 当，在上单调递增，在上单调递减， 则，即 ， 由于，所以，解得， 所以； 当，在上单调递减，， 即 ，由于，所以，解得， 所以； 综上所述，的取值范围为. 19. 如图，在四边形中，，，点是的中点，点满足，且与交于点. （1）求的值； （2）已知，点在以为圆心，1为半径的圆上运动. （ⅰ）求； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】（1） （2）①6 ② 【解析】 【分析】（1）通过平面向量基本定理以及向量共线求解即可； （2）①由（1）设出的基底，由已知条件，再由向量积以及向量的模长求解即可； ②由（1）可得为线段的中点，再由向量的减法运算，通过向量的数量积转化为关于两向量夹角的函数即可求解. 【小问1详解】 设，，因为，所以， 因为在四边形中，，所以， 因为， 已知，所以，所以，， 因为，，共线，设，因为点是的中点， 所以，， 因为，，三点共线，设， ， 由平面向量基本定理可得，，解得， 因为，所以向量与方向相同，故. 【小问2详解】 ①，因为， 所以 ， 所以 ，所以， 所以 ，所以. ②因为，所以为线段的中点，即有， 所以 ， 所以 ，进而得到 ， 因为点在以为圆心，1为半径的圆上运动，所以 ，设， 因为，， 所以 ，， 设与的夹角为，则 ，所以 ， 所以， 令，所以， 因为，所以，所以当时，取得最小值，所以最小值为 ， 当时，取得最大值，最大值为 ， 所以 ，所以，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版必修第一册、必修第二册第一章～第四章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 若角的终边上有一点，且，则（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或 5. 已知向量，向量在向量上的投影向量的坐标为，则 （ ） A. B. C. 5 D. 13 6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（ ） A. 28cm B. C. 26cm D. 7. 若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最大值为，若存在实数，，使得对任意实数，都有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在点，使得 C. 的最大值为 D. 若函数，则函数的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足 ，，且，则向量与的夹角为_______. 13. 已知函数的部分图象如图所示.则_______；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为______. 14. 已知是的外心，点为的中点，满足，，若，则面积的最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 16. （1）已知，，求； （2）若，求的值. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的大小； （2）若，，求的周长. 18. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）若函数. （ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （ⅱ）设函数 ，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 19. 如图，在四边形中，，，点是的中点，点满足，且与交于点. （1）求的值； （2）已知，点在以为圆心，1为半径的圆上运动. （ⅰ）求； （ⅱ）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $