第八章 一元二次方程 习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程，涵盖概念、一般形式及建模，通过典例示范将方程化为一般形式，结合方法指导与跟踪训练，搭建从一元一次方程到一元二次方程的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于分层训练（基础、中档、综合题）与易错点提示，结合矩形面积、握手问题等实例，培养数学眼光（抽象能力）、思维（推理意识）和语言（模型意识）。学生能夯实基础提升应用能力，教师可获系统教学资源支持分层教学。

第八章 一元二次方程 6 一元二次方程的应用 第2课时 利用一元二次方程解决平均增长（降低）率问题 1 01 典例示范 【例】 改造老旧小区，建设仁和宜居新环境.某市2021年投入资金500 万元，2023年投入资金720万元，现假定每年投入资金的增长率相同. （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率. 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 .依题意，得 . 解得， （不合题意，舍去）. 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 2 （2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2024年为提高老 旧小区品质，每个小区改造费用增加 .如果投入资金的年平均增长 率保持不变，该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？ 解：设该市在2024年可以改造 个老旧小区.依题意，得 ，解得 . 又为整数， 的最大值为9. 答：该市在2024年最多可以改造9个老旧小区. 1 2 3 4 5 6 7 8 3 解决平均增长（降低）率问题时，注意变化率所依据的变化基础， 找出题中所含明显或隐含的等量关系，可直接套用公式：原有量 （平均增长率）现有量，原有量（平均降低率） 现有 量， 表示增（降）的次数. 【跟踪训练】 某服装厂今年6月的月产值为60万元，8月下降到28万元. 若设这两个月平均每月减少产值的百分率为 ，则可得方程( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 5 02 分层训练 1.某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长， 五月份销售量达到900万部，求月平均增长率.设月平均增长率为 ，根 据题意列方程为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 6 2.（2023·泰安泰山实验中学期中）一种药品经两次降价，由每盒50 元调至32元，平均每次降价的百分率是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 7 3.某商品每件300元，经过两次降价后，售价为243元.若每次降价的百 分比相同，则第一次降价后的售价为每件_____元. 270 1 2 3 4 5 6 7 8 8 4.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素， 某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2021年利润为2亿元， 2023年利润为2.88亿元. （1）求该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率. 解：设该企业从2021年到2023年年利润平均增长率为 .根据题意，得 . 解得， （不合题意，舍去）. 答：该企业从2021年到2023年年利润平均增长率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）若2024年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2024年的 利润能否超过3.4亿元？ 解：如果2024年仍保持相同的年平均增长率，那么2024年该企业年利 润为（亿元） 亿元. 答：该企业2024年的利润能超过3.4亿元. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 5.（2024·泰安肥城区期末）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收 入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为 亿元.若全国旅游收入日平均增长率为 ，则可以列出方程为 ( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 11 6.某地大力发展经济作物，果树种植已初具规模.今年受气候、雨水等 因素的影响，樱桃较去年有所增产，但售价却有所降低.某果农去年樱 桃的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年樱桃的市场 销售量比去年增加的百分数正好是销售均价比去年减少的百分数的2倍. 若该果农今年的销售总金额与去年的销售总金额相同，则销售均价比 去年减少的百分数为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 12 7.（2023·郴州）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2 月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人. （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率. 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 .根据题意，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）. 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两 个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万 人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 解：设5月份后10天日均接待游客人数是 万人.根据题意，得 ， 解得 . 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 1 2 3 4 5 6 7 8 14 8.据调查，泰安市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递 的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月投递的快递 总件数的增长率相同. （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率. 解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 .由题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的 21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能， 请问至少需要增加几名业务员？ 解：4月：（万件）， ， 该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递 任务. ， 至少还需增加2名业务员. 1 2 3 4 5 6 7 8 16 $第八章 一元二次方程 3 用公式法解一元二次方程 第1课时 用公式法解一元二次方程（一） 1 01 典例示范 【例】 用公式法解方程，其中___， ____， ___，____，_ _____， ______. 2 1 41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 用公式法解一般形式的一元二次方程时，先要准确找出，， 的值，再计算出的值，若 ，则可用求根公式求 出方程的根. 【跟踪训练】 方程的解是_ _____， ______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 02 分层训练 知识点 用公式法解一元二次方程 1.方程用公式法求解，先确定，， 的值，正确的 是( ) A A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 2.一元二次方程 根的判别式的值为___. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 3.一元二次方程 的解是_ ______________________. , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 4.解下列方程： （1） . 解：,, . ， . （2） . 解：,, . , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 5.一元二次方程的较大实数根为，则下面对 的估 计正确的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 6.方程 的负数根为_ _________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 7.已知三角形的两条边长分别是和 ，第三条边的长是 的根，则这个三角形的周长为_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.（教材习题变式）解下列方程： （1） . 解： . ,, . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 （2） . 解： . ,, . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 9.已知，，均为实数，且 ， 求方程 的根. 解：依题意，得 ， 且且 ， ，， . 代入方程可得 ， , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 10.已知，则 的值为___. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 $第八章 一元二次方程 2 用配方法解一元二次方程 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1 01 典例示范 【例】 用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) B A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 如果一元二次方程的二次项系数不为1，要先将二次项系数化为1， 再配方. 【跟踪训练】 方程配成 的形式为 _ _____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 02 分层训练 知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.用配方法解方程 时，先把二次项系数化为1，然后方程 的两边都应加上( ) A A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 2.一元二次方程 用配方法求解，配方结果是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 3.解下列方程： （1）（2023·淄博期末） . 解： . . ， . （2） . 解： . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 4.某赛车在一段时间内行使的路程米和时间 秒之间的关系为 ，那么在这段时间内该赛车行驶300米需多长时间？ 解：当时， ， 解得， （舍去）. 答：在这段时间内该赛车行使300米需7.5秒. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 易错点 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而 在右边忘记加 5.【注重学习过程】阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容. 解方程： . 解：移项，得 .① 两边同时除以2，得 .② 配方，得 ,③ 即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 .④ , .⑤ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤____（填序号），原因是___ _____________________________________________________________ ___. 请写出正确的解答过程. ③ 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：移项，得 . 两边同时除以2，得 . 配方，得,即 . . , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 6.方程 的根为( ) C A. B. C. 或 D. 以上均不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，则 的值为( ) B A. B. C. 2 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 8.若一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程 的一个根，则这个三角形的周长为_ __. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 9.（教材习题变式）解下列方程： （1） . 解： . . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 （2） . 解： . . . （3） . 解： , , 原方程无实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 10.一条长 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形.若两个正方形 的面积和等于 ,求两个正方形的边长. 解：设一个正方形的边长为 ，根据题意，得 . 解得， . 答：两个正方形的边长分别为和 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 11. 阅读理解先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式 的最小值. 解： . ， . 的最小值是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 （1）求代数式 的最小值. 解： . ， . 的最小值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 （2）求代数式 的最大值. 解： . ， . . 的最大值是5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 （3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 ）的空地上建 一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为 的栅栏 围成.设，请问：当 取何值时，花园的面积最大？最大面积 是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 解：设花园的面积为 ，根据题意，得 . ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 . 当 时，花园的面积最大，最大面积是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $第八章 一元二次方程 6 一元二次方程的应用 第3课时 利用一元二次方程解决销售问题 1 01 典例示范 【例】 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近 期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场 调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万 元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量（台）和销售单价 （万元）成一次函数关系. 1 2 3 4 5 6 7 2 （1）求年销售量与销售单价 的函数关系式. [答案] 设年销售量与销售单价的函数关系式为 . 将，代入,得 解得 年销售量与销售单价的函数关系式为 . 1 2 3 4 5 6 7 3 （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，若该公司想 获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 【解答】 [答案] 设此设备的销售单价为万元，则每台设备的利润为 万 元，销售数量为 台， 根据题意,得 ， 整理,得，解得， . 此设备的销售单价不得高于70万元， . 答：该设备的销售单价应是50万元. 1 2 3 4 5 6 7 4 解决与销售有关的问题，常涉及以下关系：利润 售价-进价，利 润率，售价进价（利润率），总利润 总 售价-总成本 单个利润×总销售量. 【跟踪训练】 李华在网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天可销售 20个，每个盈利40元.若每个降价1元，则每天可多销售5个.如果每天要 盈利1 700元，每个应降价___元（要求每个降价幅度不超过15元）. 6 1 2 3 4 5 6 7 6 02 分层训练 1.某商店出售一种商品，若每件售价为10元，则每天可销售50件，且 售价每降低1元，每天可多卖6件，要使该商品每天的销售额（总售价） 为504元，设每件降低 元，则可列方程为________________________. 1 2 3 4 5 6 7 7 2.某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，经市场预测，定价 为50元时，可销售200个，定价每增加1元，销售量将减少10个.如果商 店进货后全部销售完，赚了2 160元，该小家电定价是 ____________. 52元或58元 1 2 3 4 5 6 7 8 3.某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为30元/ 盏.试销一段时间后发现：按40元/盏的价格销售，每周可售出600盏； 当每盏台灯售价在40元至60元之间时，每盏售价每上涨2元，每周的销 售量将减少20盏. （1）若每盏台灯销售价为46元，则这周的销售利润是多少？ 解： （元）. 答：若每盏台灯销售价为46元，则这周的销售利润是8 640元. 1 2 3 4 5 6 7 9 （2）如果要实现每周的销售利润为10 000元的目标，求每盏台灯的销 售价格. 解：设每盏台灯的销售价格为 元.根据题意，得 , 解得， （不合题意，舍去）. 答：每盏台灯的销售价格为50元. 1 2 3 4 5 6 7 10 4.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定 价，若每件商品售价为元，则可卖出 件，但物价局限定 每件商品加价不能超过进价的 ，若商店计划要赚400元，需要卖 出_____件商品，每件商品应售价为____元. 100 25 1 2 3 4 5 6 7 11 5.列方程（组）解应用题. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的 对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低 3元，每天的销售量将增加120千克. 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3 640 元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果的销售价为每千克多少元？ 1 2 3 4 5 6 7 12 解：设每千克降低 元，超市每天可获得销售利润3 640元.由题意，得 ， 整理，得 ， 解得或 . 要尽可能让顾客得到实惠， . 售价为 （元/千克）. 答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3 640元. 1 2 3 4 5 6 7 13 6.（2023·淄博张店区一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售 价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月 的销售量月平均增长率不变. （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率. 解：设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为 .根据题意，得 ， 解得， （舍去）. 答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为 . 1 2 3 4 5 6 7 14 （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销.经调 查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其 销售量增加6个.若商场要想使4月份销售这种台灯获利4 800元，则这 种台灯售价应定为多少元？ 1 2 3 4 5 6 7 15 解：设这种台灯售价应定为 元.根据题意，得 ， 解得， . 售价在35元至40元范围内， . 答：这种台灯售价应定为38元. 1 2 3 4 5 6 7 16 7.中秋节前夕，某公司的李会计受公司委派去超市 购买若干盒月饼，超市给出了该种月饼不同购买数 量的价格优惠，如图，折线 表示购买这种月 饼每盒的价格（元）与盒数 （盒）之间的函数 关系. （1）当购买这种月饼盒数不超过10盒时，一盒月饼的价格为_____元. 240 1 2 3 4 5 6 7 17 （2）求出当时，与 之间的函数关 系式. 解：当时，设 ， 将 ，代入 中，得 解得 当时， . 1 2 3 4 5 6 7 18 （3）当时李会计支付了3 600元购买这种月饼， 那么李会计买了多少盒这种月饼？ 解： （盒）， （盒）， 收费标准在 段. 根据题意得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：李会计买了20盒这种月饼. 1 2 3 4 5 6 7 19 $第八章 一元二次方程 4 用因式分解法解一元二次方程 1 01 典例示范 【例】 下列方程中，不能用因式分解法求解的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式；当方程缺 少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式；当方程中含有括号时， 不要急于去掉括号，应观察是否能看作整体进行因式分解. 【跟踪训练】 方程 的解是________________. ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 02 分层训练 知识点1 用因式分解法求解一元二次方程 1.方程 的两根分别为( ) D A. , B. , C. , D. , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 2.用因式分解法解一元二次方程 时，原方程可化为 ( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 3.利用因式分解法求解下列方程： （1）（2024·滨州） . 解： . 或 . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 （2） . 解： . . 或 . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 （3）（2023·东营河口区期末） . 解： . . 或 . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 4.解方程 ，较简便的方法是( ) B A. 直接开平方法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 公式法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 5.用适当的方法解方程： （1）（2023·淄博张店区期中） . 解： . 或 . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 （2）（教材习题变式） . 解： . . 或 . ， . （3） . 解：,, . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 （4） . 解： . . 或 . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 易错点 在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根 6.解方程： . 解：将方程两边约去,得 .① 所以 .② 以上解答错在第____步，正确的答案是_________________. ① ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 7.解下列方程：； ； ； .用较简便的方法依 次是( ) D A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C. ①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 8.（2023·东营广饶县期末）若菱形的一条对角线长为8，边 的长是方程的一个根，则该菱形 的周长为____. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 9.若,则 的值是____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 10.用适当的方法解方程： （1） . 解: . . . , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 （2） . 解： . . 或 . , . （3）（2022·齐齐哈尔） . 解：或 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 （4） . 解： . . 或 . , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 11.如图，把小圆形场地的半径增加 得到大圆形场地， 场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径. 解：设小圆的半径为，则大圆的半径为 . 根据题意，得 , 解得或 （不合题意，舍去）. 答：小圆形场地的半径为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 12. 阅读理解由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得 到“十字相乘法”进行因式分解的公式： . 示例： 因式分解： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 尝试： （1）因式分解：（___）（ ___）. 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23 应用： （2）请用上述方法解方程： . 解： ， . . 或 . 解得或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 $第八章 一元二次方程 3 用公式法解一元二次方程 第2课时 用公式法解一元二次方程（二） 1 01 典例示范 【例】 方程 化成一般形式为________________， _____，由求根公式求得___， ____. 121 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 用公式法解一元二次方程时，要先化成一般形式，准确找出 ， ，的值，再计算出的值，若 ，则可用求根公 式求出方程的根. 【跟踪训练】 若代数式的值是12，则 的值为_______. 7或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 02 分层训练 知识点 用公式法解一元二次方程 1.用公式法解方程时，，， 的值依次是( ) B A. 0，， B. 1，3， C. 1，， D. 1，， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 2.用公式法解方程，其中求得 的值是 ( ) D A. 16 B. C. 32 D. 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 3.解方程： . 解： . ,, . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 4.解方程 时，有一位同学解答如下： 解：，，， ， ， 即， . 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解题过程. 解：解答有错误，正确的解法是： 方程整理得，其中，， ， ， ， 即， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 5.解下列方程，最适合用公式法求解的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 6.若关于的一元二次方程 的一个根为1，则另一个根为 ( ) C A. 2 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.已知代数式与代数式 的值互为相反数，则 _________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 8.（教材习题变式）解方程： . 解：,, . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 9. 跨学科子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑， 五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩.”——《论 语·为政篇》 读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴， 早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得 快，多少年华属周瑜？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 解：设周瑜逝世的年龄的个位数字为，则十位数字为 ，根据题 意,得 ，解得， . 当 时，周瑜逝世的年龄是25岁， ， 不符合题意，舍去. 当 时，周瑜逝世的年龄是36岁，符合题意. 答：周瑜逝世的年龄是36岁. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 $第八章 一元二次方程 5 一元二次方程的根与系数的关系 1 01 典例示范 【例1】 已知，是方程的两根，则 ____. 【思路点拨】 找出一元二次方程的系数，及 的值，利用根与系数 的关系求出两根之和与两根之积，然后利用分式的运算变形后，将求 出的两根之和与两根之积代入，即可求出式子的值. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 利用一元二次方程根与系数的关系求关于， 的代数式的值时， 关键是把所给的代数式进行恒等变形，化为含， 的形式， 然后把， 的值整体代入，即可求出所求代数式的值. 【跟踪训练1】 若，是方程的两根，则 ___. 9 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 【例2】 已知关于的一元二次方程 的实数根 ，满足，则 的取值范围是___________. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 一元二次方程的根与系数的关系以一元二次方程有两个实数根为 前提，注意由根与系数的关系求出的待定系数的值一定要代入判别式 中检验. 【跟踪训练2】 （2023·淄博临淄区一模）已知关于 的方程 的两实数根为， .若 ，则 的值为( ) A A. B. C. 或1 D. 或3 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 02 分层训练 知识点1 利用根与系数的关系求与两根相关的代数式的值 1.若，是一元二次方程的两个根，则 的 值是( ) A A. B. 10 C. D. 16 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2.若，是一元二次方程的两根，则 的值为 ( ) A A. B. 5 C. D. 4 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 3.（2023·宜昌）已知，是方程 的两根，则代数 式 的值为___. 1 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 4.（教材习题变式）已知,是一元二次方程 的两根， 不解方程求下列各式的值： （1） . 解：，是一元二次方程 的两根， . （2） . 解：，是一元二次方程 的两根, . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 （3） . 解： . （4） . 解： . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 知识点2 一元二次方程根与系数的关系的运用 5.已知实数,满足,,则以, 为根的一元二 次方程是( ) A A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 6.若是一元二次方程 的一个根，则方程的另一 个根及 的值分别是( ) B A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 7.设，是方程的两个根，且 ， 则 ___. 3 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易错点 忽视隐含条件 8.若关于的方程的两个根互为倒数，则 ____. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 9.（2023·乐山）若关于的一元二次方程 两根为 ，，且，则 的值为( ) C A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 10.（2023·淄博张店区期中）已知 ， 是方程 的 两个实数根，则 的值为___. 0 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 11.甲、乙两同学解方程 时，甲看错了一次项系数，解 得根为4和 ；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为_______ ___________. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 12.（2024·遂宁）已知关于 的一元二次方程 . （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根. 解：证明：, ， . 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 （2）如果方程的两个实数根为，，且，求 的值. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 解： 方程的两个实数根为， ， ， . ，即 ， . 整理，得 . , 解得， . 的值为 或1. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知关于的一元二次方程 有两个实数根. （1）求 的取值范围. 解: 关于的一元二次方程 有两个实数根， ,且 . 解得 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 （2）设方程的两根为,，且满足，求 的值. 解: 关于的一元二次方程有两个实数根, , , . ,即 . 解得 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知实数，且满足， .请解决下列问题： （1）当时， 的值为____. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 （2）当时，求 的值. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 解：， ， ， . ， . ，是一元二次方程的两个实数根，且 . ， . . . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $第八章 一元二次方程 1 一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解的估算 1 01 典例示范 【例】 （2024·凉山州）若关于 的一元二次方程 的一个根是，则 的值为( ) A A. 2 B. C. 2或 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 （1）代解、求解是解决与方程的根有关的问题的两种基本方法； （2）要注意关于的方程与关于 的一元二次方程的区别，后者 必须满足二次项系数不能为0. 【跟踪训练】 已知是一元二次方程 的一个根， 则 的值为___. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 02 分层训练 知识点1 一元二次方程的解 1.下列各数中，是方程 的解的是( ) C A. B. 0 C. 1 D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 2.小颖在做作业时，一不小心，将方程 的常数项用 墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解为 ，请你帮助 她求出被覆盖的数是多少. 解：设被覆盖的数是，将 代入原方程，得 . 解得 . 被覆盖的数是5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 知识点2 估计一元二次方程的近似解 3.方程 的一个根可能在( ) D A. 4和5之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 9和10之间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 4.根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程 的解的取值范围是( ) D A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 5.观察如下表格： 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.1 0.09 0.34 0.61 一元二次方程最精确的一个近似解是 ____. （精确到 ） 1.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 6.为估算方程 的解，填写下表： 0 1 2 3 4 ___ ____ ____ ____ ____ ____ __ 由此可判断方程 的解为_______________. 0 0 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 7.已知 是一元二次方程较大的根，则下面对 的估 计正确的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 8.若，那么关于的方程 必有一 根是( ) A A. 1 B. C. D. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 9.（2023·泰安期中）若的一个解为 ，则 的值为( ) A A. 5 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 10.填表并回答问题： 0 1 2 3 4 20 12 6 ___ ___ ___ __ 14 7 2 ____ ____ ____ __ 2 0 0 2 2 （1）根据上表可知方程 的根是_______________. （2）根据上表可知方程的根 的值介于______、 _______之间. ， 0与1 3与4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 11.小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多 ，求铁片的 长”时是这样做的：设铁片的长为 ，列出的方程为 ，整理得 .小贝列出方程后，想知道铁片 的长到底是多少，下面是他的探索过程： 第一步： 1 2 3 4 ____ ___ 所以___ ___. 3 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第二步： 3.1 3.2 3.3 3.4 _______ _____ 所以____ ____. （1）请你帮小贝填完空格，完成他未完成的部分. 0.36 3.3 3.4 （2）通过以上探索，估计出矩形铁片长的整数部分为___，十分位为___. 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 12.对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系： ,其中是离抛出点所在平面的高度，是初速度， 是重 力加速度， 是抛出后所经过的时间.如果将一物体以 的初速度向上抛出，几秒钟后它在离抛出点 高的地方？ 解：由题意，得当初速度时，关系式为 .列 表如下： 0 1 2 3 4 5 0 20 30 30 20 0 由表可知，当和时，物体在离抛出点 高的地方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 13.要做一个容积为,高为，底面长比宽多 的无盖长 方体铁盒. （1）若设长方体底面宽，则长方体底面长为________ ，根据 题意，可列方程为________________. （2）将（1）中的方程化为一般形式是__________________. （3）可能大于9.1吗？ 可能小于8.9吗？请说说你的理由. 解：不可能大于 ，也不可能小于8.9.理由： , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 14. 阅读理解阅读下列材料： （1）关于的方程方程两边同时乘以 得 ，即 ， ， . （2） ； . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 根据以上材料，解答下列问题： （1），则___， ____， _____. 4 14 194 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 （2），求 的值. 解： ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $第八章 一元二次方程 2 用配方法解一元二次方程 第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1 01 典例示范 【例】 用配方法解方程： . 解：移项，得 ___. 配方，得_________，即（___） ___. 开平方，得___ ______， 即_______或___ ______. 所以________, _________. 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 用配方法解一元二次方程的关键是配方，而配方的关键是将方程 的左边化成完全平方的形式，而方程的右边是一个常数.在配方时，方 程的两边一定要同时加上“一次项系数一半的平方”（二次项系数为1的 前提下）. 【跟踪训练】 一元二次方程 的根是( ) B A. B. C. 或 D. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 4 02 分层训练 知识点 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.（2023·泰安宁阳县期中）用配方法解一元二次方程 ，则方程可变形为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 5 2.若将方程化为，则 ___. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 6 3.（教材习题变式）解下列方程： （1）（2024·淄博临淄区期末） . 解： . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （2） . 解： . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 （3） . 解： . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.（2024·东营）用配方法解一元二次方程 ，将 它转化为的形式，则 的值为( ) D A. B. 2 024 C. D. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 10 5.当_________时，代数式 的值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 11 6.将 进行配方变形后，可得该多项式的最小值为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 12 7.如图，矩形花坛的面积是24平方米，两条邻边， 的和是 10米，则 的长为___米. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 13 8.解方程： . 解： . . , . 1 2 3 4 5 6 7 8 14 $第八章 一元二次方程 6 一元二次方程的应用 第1课时 利用一元二次方程解决几何图形的面积问题 1 01 典例示范 【例】 如图，某小区内有一块长、宽比为 的矩形 空地，计划在该空地上修筑两条宽均为 的互相垂 直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四 （1）请找出上述问题中的等量关系：____________________________ ___. 大矩形面积-小路面积草坪面积 块草坪的面积之和为 ，请求出原来大矩形空地的长和宽. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 （2）若设大矩形空地的宽为 ，可列出的方程为 ___________________________________，方程的解 为________________________________________，原 来大矩形空地的长和宽分别为_____________. 或（宽应为正数，故舍去） ， 与几何图形有关的面积问题，先找出未知量与已知量之间的内在 联系，根据相关公式列出方程，解之即可求出问题的解，但要注意所 求得的解应符合题意和实际意义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 【跟踪训练】 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、 宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小 道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 米，则根据题意，列方程为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 02 分层训练 知识点 利用一元二次方程解决几何图形的面积问题 1.用长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 .若设它的一 条边长为，则根据题意可列出关于 的方程为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 第2题图 2.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化， 原空地一边减少了，另一边减少了 ，剩余一 块面积为 的矩形空地，则原正方形空地的边长 是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 3. 数学文化《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出 的一个问题：直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及 长各几步？译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长 少12步，问长与宽各是多少步？若设矩形田地的宽为 步，则可列方 程为________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 4.如图，某小区有一块长为、宽为 的矩形空地，计划在其中 修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 ，两块绿地之间 及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为___ . 2 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 5.如图所示，有一长方形的空地，长为 米，宽 为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分， 甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙 建成商场，丙开辟成公园. （1）正方形乙的边长为_________米（用含 的代数式表示）. （2）若丙地的面积为32平方米，请求出 的值. 解：结合（1）得，丙的宽为 ，所以丙的面积为 . 列方程，得 . 解得， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 易错点 忽视根的合理性，忘记验根 6.（2024·通辽）如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个 一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中 间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则 长为( ) C A. 或 B. 或 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.（2023·泰安宁阳县期中）如图，在长为，宽为 的矩形地 面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使 小路的面积为，设小路的宽为 ，则下面所列方程正确的是 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 8.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤 （岸堤足够长）为一边，用总长为 的围网在水 库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这 三块矩形区域的面积相等.设的长度为 ，矩形 区域的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （1）求的长（用含 的代数式表示）. 解： 三块矩形区域的面积相等， 矩形 的面 积是矩形 面积的2倍. . 设，则，， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 （2）当时，求 的值. 解： ， . 整理,得，解得 或4. 即当时， 的值为36或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 9.某小区有一长、宽 的空地，现将其建成花园 广场，设计图案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区是 全等的矩形，设矩形的长边长为 ，短边比长边少 ），空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于 ， 不大于 ，预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50 元.如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出 为 整数的所有工程方案；若不能，请说明理由.（参考值： ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 解：由题意可得 ， 整理，得 . （负值舍去）. . ， . 投资46.9万元能完成工程任务. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 又 小区投资46.9万元， . 方案一：一块矩形绿地的长为，宽为 ； 方案二：一块矩形绿地的长为，宽为 ； 方案三：一块矩形绿地的长为，宽为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $第八章 一元二次方程 2 用配方法解一元二次方程 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 1 01 典例示范 【例】 一元二次方程 的两个根分别是( ) D A. ， B. ， C. ， D. ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 （1）对形如， 的一元二次方程， 可用直接开平方法求解； （2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开平方的条件 是被开方数必须是非负数，否则无解. 【跟踪训练】 一元二次方程 的解是_ ____________. , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 02 分层训练 知识点 用直接开平方法解一元二次方程 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 2.一元二次方程 的解是( ) D A. ， B. ， C. , D. , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 3.一元二次方程 的根是( ) D A. B. ， C. D. ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 4.解下列方程： （1） . 解： . ， . （2） . 解： . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 （3） . 解： . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 5.如果是一元二次方程 的一个根，那么该方程的另一个 根是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 6.方程 的较小的根为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.若一元二次方程的两个根分别是与 ，则 ___. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 8.解下列方程： （1） . 解： . . ， . （2） . 解： . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 9.已知与互为相反数，求 的值. 解：根据题意,知 ， 整理,得，解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 10.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为 ，根据这 个规则，方程 的解为_________________. ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 $第八章 一元二次方程 3 用公式法解一元二次方程 第3课时 一元二次方程的根的判别式 1 01 典例示范 【例1】 （2024·泰安泰山区期中）下列对一元二次方程 根的情况的判断，正确的是( ) A A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 要判断一元二次方程的根的情况，先计算 的值，若 ，则方程有两个不相等的实数根；若 ，则 方程有两个相等的实数根；若 ，则方程没有实数根. 【跟踪训练1】 （2024·淄博高青县模拟）一元二次方程 的根的情况是( ) A A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 【例2】 已知关于的一元二次方程 有两 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. 且 D. 且 【思路点拨】 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 且 ，列出关于 的不等式组，通 过解该不等式组，求得 的取值范围. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 应用根的判别式求字母的值或取值范围时，若二次项系数中含有 字母，一定要注意不要忽略隐含条件“ ”. 【跟踪训练2】 （2023·东营垦利区期末）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是( ) D A. B. C. 且 D. 且 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 02 分层训练 知识点1 利用根的判别式判定一元二次方程的根的情况 1.一元二次方程 的根的情况是( ) A A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2.下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) D A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 3.利用一元二次方程的根的判别式，判断下列方程的根的情况： （1） . 解：,, . . 此方程有两个相等的实数根. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 （2） . 解： . ,, . . 此方程没有实数根. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） . 解： . ,, . . 此方程有两个不相等的实数根. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 知识点2 利用一元二次方程的根的情况确定字母的取值 4.（2024·泰安）关于的一元二次方程 有实数根， 则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 5.关于的方程有两个相等的实数根，则 的值为_ __. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 6.若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 则 的最小整数值是____. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易错点1 应用根的判别式时，忽视二次项系数不为0 7.关于的一元二次方程有实根，则 的最大 整数解是_______. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 易错点2 未指明方程是一元二次方程时，忽视一元一次方程有实 数根的情况 8.（2023·淄博桓台县期末）关于的方程 有实数根， 则 的值不可能是( ) D A. B. 0 C. 1 D. 2 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 9.关于的一元二次方程有实数根，则 的取值范 围在数轴上表示正确的是( ) C A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 10.已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实 数根，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 11.下列选项中，能使关于的一元二次方程 ，为常数，且 一定有实数根的是( ) D A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 12.已知关于的一元二次方程有实数根， 为负 整数. （1）求 的值. 解：根据题意,得，解得 . 为负整数，， . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 （2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根. 解：当时， ， 方程没有整数根，不符合题意，舍去； 当时， ， 此时方程的根为 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知关于的一元二次方程 有两个相 等的实数根. （1）求 的值. 解：根据题意，得 ， 解得，即 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 （2）求出这时方程的根. 解：把代入原方程，得 . 原方程可化为 ， 原方程的根为 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知关于的一元二次方程 ，其中 ，，分别为 三边的长. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 （1）如果是方程的根，试判断 的形状，并说明理由. 解： 是等腰三角形. 理由： 是方程的根， . . . 是等腰三角形. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由. 解： 是直角三角形. 理由： 方程有两个相等的实数根， . . 是直角三角形. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 $第八章 一元二次方程 6 一元二次方程的应用 第4课时 利用一元二次方程解决动态几何问题 1 01 典例示范 【例】 如图，在中， ，， .点 从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿 边向点以 的速度移动. 1 2 3 4 5 6 7 2 （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒时， 的面积等于 ？ 【思路点拨】设经过，的面积等于，用含 的式子表 示出和 的长，根据面积公式可列方程求解； [答案] 设经过后面积为 .由题意，得 ， 整理，得，解得或 . 答：<m></m>或<m></m>时，<m></m>的面积等于<m></m>. 1 2 3 4 5 6 7 3 （2）如果，分别从， 同时出发，那么几秒时， 的长度等于 ？ [答案] 当时，在 中， ， ， 即，解得（舍去）， . 当时，的长度等于 . 1 2 3 4 5 6 7 4 【思路点拨】利用勾股定理列方程，解之即可，注意把 与实际不符的答案去掉； 1 2 3 4 5 6 7 5 （3）在（1）中，的面积能否等于 ？说明理由. 【解答】 【思路点拨】通过判定得到的方程的根的情况可得答案. 1 2 3 4 5 6 7 6 [答案] 的面积不能等于 ，理由： 设经过后面积为 .由题意，得 ，整理，得 . ， 解决与直角三角形有关的问题，常涉及利用三边满足勾股定理或 直角三角形的面积等知识来解答. 的面积不能等于 . 1 2 3 4 5 6 7 7 【跟踪训练】 （2023·泰安宁阳县期中改编）如图， 在中， ，， .点 从点开始沿边向点以 的速度移动、同时 点从点开始沿边向点以 的速度移动，当 其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动，则 ___后，四边形的面积等于 . 1 1 2 3 4 5 6 7 8 02 分层训练 1.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边长为( ) B A. B. 5 C. 25 D. 7 1 2 3 4 5 6 7 9 2.如图，在中，， ， ，点从点开始沿边向点以 的速度 匀速移动，同时另一点由点开始以 的速度沿着 射线匀速移动.当的面积等于 时，运动 时间为( ) C A. B. C. 或 D. 不确定 1 2 3 4 5 6 7 10 3.如图，将边长为的正方形沿其对角线 剪开，再把 沿着方向平移，得到 .若两个三角形重叠部分的面积 为，则它移动的距离 等于( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 11 4.如图，在中，点，同时由， 两点出发分别沿射线 ，方向匀速运动，其速度均为.当的面积是 的面积的一半时，所用的时间为_________ . 或 1 2 3 4 5 6 7 12 5.（2023·淄博桓台县期末改编）如图，在边长为 的等边三角形中，点从点开始沿边 向 点以的速度移动，点从点开始沿边 向点 以的速度移动.若，分别从， 同时出发， 2 其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动.则经过___ 后， 的面积等于 . 1 2 3 4 5 6 7 13 6.如图，在矩形中，，，点从点 出发 沿以的速度向点终点运动，同时点从点出发沿 以 的速度向点终点 运动，它们到达终点后停止运动. （1）几秒后，点，的距离是点， 的距离的2倍？ 1 2 3 4 5 6 7 14 解：设秒后点，的距离是点， 距离的2倍. . 四边形 是矩形， ， ， . ， ， 解得， . 时， . 答：3秒后，点，的距离是点， 的距离的2倍. 1 2 3 4 5 6 7 15 （2）几秒后，的面积是 ？ 解：设秒后的面积是 ， 则 ， 整理得，解得 . 答：4秒后，的面积是 . 1 2 3 4 5 6 7 16 7.如图，在矩形中，， ， 动点，分别以，的速度从点， 同时 出发，点从点向点 移动. 1 2 3 4 5 6 7 17 （1）若点从点移动到点停止，点随点 的停止而停止移动，点 ，分别从点，同时出发，经过多长时间， 两点之间的距离是 ？ 1 2 3 4 5 6 7 18 解：过点作于点.设秒后，点和点 的距离 是 . 根据题意，得 ， 即 ， 解得， . 经过或，，两点之间的距离是 . 1 2 3 4 5 6 7 19 （2）若点沿着移动，点，分别从点， 同时出 发，点从点移动到点停止时，点随点 的停止而停止移动，试求 经过多长时间的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 20 解：连接.设经过后的面积为 . ①当时，则 ， ，即 ， 解得 ； 1 2 3 4 5 6 7 21 ②当时，， ，则 ， 解得， （舍去）； 1 2 3 4 5 6 7 22 ③时， ， 则 ， 解得 （舍去）. 综上所述，经过或，的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 23 $第八章 一元二次方程 1 一元二次方程 第1课时 一元二次方程 1 01 典例示范 【例1】 把一元二次方程 化成一般形式为_________ _________，其二次项系数为___，一次项系数为____，常数项为______. 1 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 正确写出一个一元二次方程的各项及系数，先要把这个一元二次 方程化成一般形式，，为常数， ；确定 各项及系数时，不要忘记每一项前的符号. 【跟踪训练1】 一元二次方程 的二次项系数、一 次项和常数项分别是( ) D A. ，3， B. ，， C. 1，， D. 1，， 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 【例2】 某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如 下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一 张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同； D A. B. C. D. 矩形衬纸的面积为照片面积的3倍.设照片四周外露衬纸的宽度为 英寸 （如图），下面所列方程正确的是 ( ) 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 找出题目中的数量关系和等量关系，然后用未知数把各个量表示 出来，进而可列出方程. 【跟踪训练2】 为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时， 在小区中央设置一块面积为1 200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40 米.设绿地宽为 米，根据题意，可列方程为__________________. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 02 分层训练 知识点1 一元二次方程的概念 1.下列方程一定是一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 2.关于的方程是一元二次方程，则 的取 值是( ) C A. 任意实数 B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.（2024·淄博临淄区期末）一元二次方程 的一般形式是( ) A A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 4.（2023·泰安宁阳县期中）一元二次方程 的二次项系 数、一次项系数、常数项分别是( ) C A. 3，5，1 B. 3，1，5 C. 3，，1 D. 3，1， 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 5.已知一个关于 的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数 为3，常数项为 ，则这个一元二次方程是_________________. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 知识点3 建立一元二次方程模型 6.公园里有一块正方形的空地，后来从这块空地上 划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减 少了，另一边减少了 ，剩余空地的面积为 ，求原正方形空地的边长.设原正方形空地 的边长为 ,则可列方程为( ) C A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 7.三个连续奇数的平方和是251，求这三个数.若设最小的数为 ，则可 列方程为_____________________________. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 易错点1 确定各项时未化为一般形式而出错 8.若一元二次方程的一次项系数为，则 的值为___. 2 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 易错点2 忽视二次项系数不为零的条件而致错 9.（2024·东营市实验中学月考）若方程 是关于的一元二次方程，则 ___. 3 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.下列说法正确的是( ) B A. 形如 的方程称为一元二次方程 B. 方程 是一元二次方程 C. 方程 的常数项为0 D. 一元二次方程中,二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 11.若将关于的一元二次方程 化成一般形式 后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为___. 5 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 12. 数学文化我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题： “今有户高多于广六尺,两隅相去适一丈,问户高、广各几何？”大意是： “有一扇矩形门的高比宽多6尺,门的对角线长为1丈（1丈 尺）,那 么门的高和宽各是多少？”设门的宽为 尺,根据题意可列方程为______ ______________. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 13.若关于的一元二次方程 没有 一次项，则 的值为____. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 14.已知关于的方程为 . （1）当 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根. 解:由题意，得解得 . ,解得 . 当时,此方程为一元一次方程,根为 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 （2）当 取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方 程的二次项系数、一次项系数、常数项. 解:由题意，得,解得 . 当时, 是一元二次方程，二次 项系数为,一次项系数为,常数项为 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 15.根据题意列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式. （1）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多 少人参加聚会？ 解：设有 人参加聚会.根据题意，得 . 化为一般形式，得 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 （2）某兴趣活动小组成员将自己收集的资料向本组其他成员各送一份， 全组共互送了20份，这个小组共有多少名成员？ 解：设这个小组共有 人.根据题意，得 . 化为一般形式，得 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 $