9.1 成比例线段课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

第九章 图形的相似 1　成比例线段 第1课时　成比例线段(1) 知识点1 条线段的比 如果选用_______长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m， n，那么这两条线段的比就是它们_____的比，即AB∶CD＝m∶n， 或写成 ，其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的_____ 和_____． 同一个 长度 前项 后项 k k 数 【注意】 (1)求两条线段的比时，两条线段的长度单位要统一．长度单位不统一时，要先化成同一长度单位；(2)两条线段的比是指两条线段长度的比，是关于线段比值的运算结果，是一个没有单位的正实数；(3)两条线段的比具有顺序性，不能随意更换前项和后项． 知识点2 比例尺 在地图或工程图纸上，_________与它所表示_________的比通 常称为比例尺． 即比例尺 . 比例尺通常写成前项为1的比，即1∶a的形式，表示图上长度为 1时，实际长度为a，1和a的长度单位是统一的． 图上长度 实际长度 知识点3 成比例线段 1．成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的___等于c与d的___，即 (或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做___________， 简称比例线段． 两条线段的比实际上就是两个数的比；四条线段成比例实际上 就是四个数成比例． 比 比 成比例线段 2．比例的项 在比例 (或a∶b＝c∶d)中，a，b，c，d叫做这个比例的 项，a，d叫做比例的_____，b，c叫做比例的_____． 当比例的两个内项_____时，即 (或a∶b＝b∶c)，b叫做a 和c的_________． 外项 内项 相等 比例中项 【注意】 成比例线段是有顺序的，如a，b，c，d是成比例线段，则a∶b＝c∶d，不能写成其他形式． 6或2 考点2 成比例线段 典例2 已知四条线段a，b，c，d的长度如下： (1)a＝8 cm，b＝4 cm，c＝2.5 cm，d＝5 cm，试判断它们是否是成比例线段； (2)a＝8 cm，b＝0.05 dm，c＝0.6 cm，d＝10 cm，试判断它们是否是成比例线段． 思路导析 判断四条线段是否成比例，关键是看是否有两条线段之比等于另外两条线段之比． (2)四条线段的长度化成同一单位后，由小到大的顺序是b，c，a，d，则有b∶c＝0.5∶0.6＝5∶6，a∶d＝8∶10＝4∶5，所以b∶c≠c∶d，同理b∶a≠c∶d，b∶d≠c∶a，所以四条线段b，c，a，d不是成比例线段． 变式1 [2025·城东区三模]下列各组中的四条线段成比例的 是( ) A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8 变式2 [2025·金山区期中]有2，3，6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能是( ) A．1　　 B．4 C．9 D．12 变式3 [2025·松江区期末]已知2是 和x的比例中项，那么 x＝__． 6 考点3 比例尺的应用 典例3 在比例尺是1∶100的地图上量得长方形菜地的长是10 cm， 宽是8 cm，这个长方形菜地的实际占地面积是( ) A．80 m2 B．800 m2 C．40 m2 D．400 m2 思路导析 根据比例尺由图上距离求出实际距离，进而求出实际面积即可． 变式1 [2025·盱眙县模拟]小颖在一幅比例尺为1∶5 000 000 的地图上量得桂林到南宁的距离为8厘米，则桂林到南宁的实际 距离是____千米． 400 变式2 [跨学科·地理][2025·三元区一模]小明家乡有一小山， 他查阅资料得到该山“等高线示意图”(如图所示)，山上有三 处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意 图”后，刚好都在相应的等高线上，设A，B两地的实际直线距 离为m，B，C两地的实际直线距离为n，则 的值为__． 2 第2课时　成比例线段(2) ad＝bc 思路导析 根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断． 思路导析 利用比例的合比性质，可以直接得到答案；也可以用这一性质的证明方法求解． 思路导析 利用比例的等比性质直接求解． eq \f(AB,CD)＝eq \f(m,n) 如果把eq \f(m,n)表示成比值k，那么eq \f(AB,CD)＝ ，或AB＝ ·CD.两条线段的比实际上就是两个 的比． eq \f(图上长度,实际长度) eq \f(a,b)＝eq \f(c,d) eq \f(a,b)＝eq \f(c,d) eq \f(a,b)＝eq \f(c,d) 考点1 两条线段的比 典例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，若AC＝5 cm，BC＝13 cm. (1)求eq \f(AB,AC)的值；(2)求eq \f(AD,BC)的值． 思路解析：(1)在Rt△ABC中，已知AC和BC，利用勾股定理可求出另一条直角边AB的长，进而求出eq \f(AB,AC)的值；(2)利用三角形的面积公式，可求出斜边上的高AD，进而求出eq \f(AD,BC)的值． 解：(1)由勾股定理， 得AB＝eq \r(BC2－AC2)＝eq \r(132－52)＝12(cm)， 则eq \f(AB,AC)＝eq \f(12,5)； (2)∵△ABC的面积＝eq \f(1,2)AB·AC＝eq \f(1,2)BC·AD， ∴AB·AC＝BC·AD， 即12×5＝13AD， 解得AD＝eq \f(60,13) cm， ∴eq \f(AD,BC)＝eq \f(60,13)∶13＝eq \f(60,169). 变式1 (1)等腰直角三角形底边上的高与腰长的比是 ； (2)等边三角形的高与它的边长之比是 ． 变式2 如果一个矩形的两条对角线的夹角是60°，那么这个矩形的短边与长边的比是 ． 1∶eq \r(2) eq \r(3)∶2 1∶eq \r(3) 变式3 [分类讨论][2024·北碚区期末]已知线段AB，延长AB至点C，使得BC＝2AB，点D是线段AC上一点，且BD＝eq \f(1,2)AB，则eq \f(AC,AD)的值为 ． 解：(1)四条线段由小到大的顺序是c，b，d，a， ∵c∶b＝2.5∶4＝5∶8，d∶a＝5∶8， ∴eq \f(c,b)＝eq \f(d,a)， ∴c，b，d，a是成比例线段； eq \f(2,3) eq \f(m,n) 知识点1 比例的基本性质 如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么 ． 如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么eq \f(a,b)＝eq \f(c,d). 知识点2 比例的合比性质 如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么 ． 知识点3 比例的等比性质 如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝ ． eq \f(a±b,b)＝eq \f(c±d,d) eq \f(a,b) 考点1 比例的基本性质 典例1 [2025·东莞三模]已知eq \f(x,y)＝eq \f(3,5)，则下列式子不成立的是( ) A．5x＝3y　 B．3x＝5y C.eq \f(5,y)＝eq \f(3,x)　　 D．eq \f(y,x)＝eq \f(5,3) 变式 [2024·石景山区期末]若3y＝2x(xy≠0)，则下列比例式正确的是( ) A.eq \f(x,y)＝eq \f(2,3)　　 B．eq \f(x,2)＝eq \f(3,y) C.eq \f(x,3)＝eq \f(y,2)　　 D．eq \f(3,2)＝eq \f(y,x) 考点2 比例的合比性质 典例2 [2025·定西模拟]已知eq \f(a,b)＝eq \f(2,3)，则eq \f(a＋b,b)的值为( ) A.eq \f(5,2)　　 B．eq \f(5,3) C．eq \f(3,2)　　　 D．eq \f(2,3) 变式 [2025·合浦县期中]若eq \f(n,m)＝eq \f(3,7)，则eq \f(m＋n,m)的值是( ) A.eq \f(7,10)　　　　 B．eq \f(10,3) C．eq \f(10,7)　 D．eq \f(3,10) 考点3 比例的等比性质 典例3 已知eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝eq \f(e,f)＝eq \f(4,3)，若b＋d＋f＝9，则a＋c＋e＝( ) A．12 B．15 C．16 D．4 变式 [2025·盱眙县模拟]已知：eq \f(b,a)＝eq \f(d,c)＝eq \f(f,e)＝eq \f(h,g)＝eq \f(2,3)，若a－c＋2e－3g≠0，求eq \f(b－d＋2f－3h,a－c＋2e－3g)＝ ． eq \f(2,3) 考点4 比例的性质综合应用 典例4 [2024·临淄区期末]已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果eq \f(a,b)＝3，求eq \f(a＋b,b)与eq \f(a－b,a＋b)的值； (2)如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)(a≠b，c≠d)，求证：eq \f(a,b－a)＝eq \f(c,d－c)； (3)如果eq \f(a＋c,b＋d)＝eq \f(a,b)，求证：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d). 思路解析：(1)先根据已知条件得到eq \f(a＋b,b)＝eq \f(a,b)＋1＝4，a＝3b，再把a＝3b代入eq \f(a－b,a＋b)中进行求解即可； (2)设eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝k，则a＝kb，c＝kd，再分别计算出eq \f(a,b－a)和eq \f(c,d－c)的值即可证明结论； (3)求出bc＝ad，进而可得eq \f(a,b)＝eq \f(c,d). 解：(1)∵eq \f(a,b)＝3， ∴eq \f(a＋b,b)＝eq \f(a,b)＋1＝4，a＝3b， ∴eq \f(a－b,a＋b)＝eq \f(3b－b,3b＋b)＝eq \f(1,2)； (2)证明：设eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝k，则a＝kb，c＝kd， ∴eq \f(a,b－a)＝eq \f(kb,b－kb)＝eq \f(k,1－k)，eq \f(c,d－c)＝eq \f(kd,d－kd)＝eq \f(k,1－k)， ∴eq \f(a,b－a)＝eq \f(c,d－c)； (3)证明：∵eq \f(a＋c,b＋d)＝eq \f(a,b)， ∴ab＋bc＝ab＋ad， ∴bc＝ad， ∴eq \f(a,b)＝eq \f(c,d). $