上海市奉贤中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高中数学期中试卷以基础巩固为核心，通过梯度化问题设计考查抽象能力、推理意识及模型观念，适配阶段性学情诊断与核心素养培育。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题60分|函数性质、立体几何初步|结合生活情境考查数感与空间观念| |填空题|4题20分|数列、概率统计|设置开放型问题发展创新意识| |解答题|6题70分|函数应用、解析几何|以科技数据为背景设计综合题，考查数学建模与逻辑推理|

2026年奉贤中学高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1.若tana=V3,a∈(-)则a= 【解析】-产 3 2、已知角a的终边经过点P(4,-3),则sinc+cos@ sina-cosa 【解折)号 3.已知z=a,aeR,且lzl=V5,则a=一 1-i 【解析】±2 4.己知cos(倍-a）=号，则sin(g-a= 【解1兮 5.已知向量a=(-3,4)，万=(1,0)，向量a在向量五上的投影为 【解析】-3 6.已知角a终边上-点P(-1,m),且sna=9,则m=一 【解析】2 7.函数f()=sin2x+4sinx,-石≤x≤号，则f)的最小值为 【解-子 8.己知函数f(x)=Asin(ωx+p)(x>0,w>0,lpl<π)的一段图象如图所示，则p= 【解析】3 9.已知复数z满足z+i=z-i,则z+1+2的最小值为 【解析】2 10.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.3a=bcosC-ccosB, 则的最小值是 ac 【解析】2√5 11.如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成.已知 AB=BF=1，设0为等边三角形ABC内一点（含边界），若G0=λG丽+FE, 则1的取值范围为 【解析 4'8 12.定义对于点A(x1y)，B(x2,y2)的三角距离为d(A,B)=xy2,记点 、好听+呢 M,N分别位于函数f(x)=x2+(x>0)与函数9(x)=xcosx(x>0)上，则 d(M,N)的最大值为 【解析】 d(M,N)=cos<OA,OB>,d(M,N)的最大值本质是向量夹角最小。画图，f(x)=x2+ 切线为y=V3x,g(x)=xcosx切线为y=x。夹角最小为15°， dM,Wm=cos15°=V6-2 4 2 二、选择题 13.角a满足cos(π+a)=,则tana=() A士9 B.y5 C. 2 0.±9 【解析】A 14.在平行四边形ABCD中，E为AB中点，F为BC上一点，且BC=3BF,则 EF=() A.AB+AD B.-丽+AdC.A丽+d D.-A丽-AD 【解析】C 15.已知函数f(x)=cosx+sinx,则以下结论正确的个数为（) ①函数f(x)最小正周期是π： ②函数f(x)最大值与最小值距离为1+V2: ③函数f)在区间（任，）上是严格诚函数： ④对任意x∈R,使得"f(x)=f(a-x)”成立的充要条件是"a=kπ（化∈Z”. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】B 16.己知函数f)=V3 Bsinwx+COSwx(u>0)在后，习上是严格增函数，且当xE [子-习时，f)≤0，则w的取值范围为 ) 3 AE劉u8 B.u[臣c.臣D.[8 【解析】B 解：fx)=V3 Bsinwx+cOS@x=2 2sinlwx+a),w>0, 当x∈侣，引时，t=ox+答+，烂+骨整个区间需落在某个增区间 内， 因此： +2km≤g+号 2 +后≤+2k 4 得：12k-4≤ω≤8k+kEZ,ω>0 若k=0,则0<ω≤号，若k=1,则8≤ω≤召，若k≥2，无解， 因此w∈(o,u8,, 当x∈，-习时，t=wx+培-受+培-学+周 要使sint≤0恒成立，整个区间需落在 [m+2nm,2π+2nπ]，n∈Z, 因此： 红+2nm≤-肾+培 {-+≤2m+2w' 46 化简得：-n-号≤w≤-6n-多，neZ 当0<ω≤号时：取n=-1,得≤ω≤交集为，司， 当8≤ω≤9时：取n=-2,得否≤ω≤号，交集为臣（因为<）， 综上，ω的取值范围是 E30 三、解答题 17.(本大题共14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分) 己知复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i, (1)若复数z是实数，求实数m的值： (2)若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数m的取值范围！ 【解析】 (1)因为复数z是实数，所以m2-5m-14=0,解得m=7或m=-2: 所以实数m的值为7或2； (2)因为复数z表示的点在第四象限， 所以然+40即细-m0 解得-2<m<3或5<m<7,所以实数m的取值范围为(-2,3)U(5,)· 18.(本大题共14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分) 已知向量a=(cosx+sinx,V3cosx),b=(cosx-sinx,2sinx)，记函数f(x)=a.五. (1)求函数f(x)的最小正周期： (2)在△ABC中，若f(A)=1,a=2,求△ABC面积的最大值 【解析】 f(x)=a.b=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+V3cosx.2sinx cos?x-sinx+V3sin2x =oa2x+v6sn-2传oa2x+9n2an(x月 所以函数fx)的最小正周期T=”: =π。 (2)由fA)=1得： 5 2sin(2A+a)=1sin(2A+君）=月 因为0<A<π，所以名<2A+培<g 6 所以2A+8=8,解得A=背。 由余弦定理Q2=b2+c2-2 bccosA得：4=b2+c2-2bc·号=b2+c2-bc 因为b2+c2≥2bc,所以4≥2bc-bc=bc,即bc≤4。 所以△ABC的面积：S=号besinA=besin号=号bc≤×4=V5 当且仅当b=c=2时，△ABC而积的最大值为√3。 19.(本大题共14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分) 目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都 能见到5G基站的身影如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G 基站AB,已知基站高AB=50m.该同学眼高1.5m(眼睛到地面的距离)，该同学 在初始位置C处（限晴所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°. 45 图一 图二 (1)求出山高BE(参考数据：sin8°≈0.14，sin3°≈0.6，sin45°≈0.7，sin12r≈ 0.8: (2)如图二，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位 置C处（眼晴所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm,且记在C处观 测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为B,试问当x多大时，观 测基站的视角∠ACB最大？ 【解析】 (1)由题意可知，在△ABC中，∠ACB=45°-3T=8°。 在Rt△ADC中，∠ACD=45°，∠ADC=90°， .∠CAD=90°-45°=45°： 出正弦定理n20nD得：8c=8g*2g2-250m. sin8° 0.14 在Rt△BDC中，∠BCD=37°， BD=BC.sin3≈250×0.6=150(m)。 山高BE=BD+1.5=150+1.5=151.5(m). 答：山高BE约为151.5m。 (2)由(1)知BD=150m,则AD=AB+BD =50+150=200(m)。 设∠ACD=B,∠BCD=a,则tanB=铝-9，tana=铝= CD x tanβ-tana :tanACB=tan(B-a)= 1+tanBtana 200150 50 =x 50 1420030÷ 130o00-、 xx 430000。 :x>0,由基本不等式得： 30000 30000 x+- ≥2 X· =2V30000 =200W5。 当且仅当x=30000 即x=100V3时，等号成立。 此时分母最小，tanACB最大，视角∠ACB最大。 答：当x为100W3时，观测基站的视角∠ACB最大 7 20.(本大题共18分，第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题8分)如图 所示，在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC,O是线段AP的中 点，过点O的直线与线段AB,AC分别交于点E,F,设EB=λAE,FC=A下. (1)当EF∥BC时，请用AE与AF表示AP (2)求证：21+u为定值； (3到设△AEF的面积为S:，△ABC的面积为S2,求号的最小值 【解析】(1)由2BP=PC可知P为BC的三等分点， AP=AB+AC。 EF II BC, △AEF~△ABC, 怎=荒=k,即丽=证， AC=示。 丽=头征+或 0。 O为AP中点，且E,O,F共线， ·AP=2AO,且AP关于AE,AF的系数和为2。 “灵+元=2，解得北=号。 Ad=AE+AF。 (2)EB=AE,F元=LAF. AB=I+元)AE,AC=I+)AF :O是AP的中点， 8 A0=丽-店+AC)=丽+君AC。 “A0=华正+答证。 rE,O,F三点共线， 号+g-1。 整理得2(1+)+(1+)=6，即22+u=3。 21+μ为定值3。 (3)S1=AB-AF 1 S2 ABAC(1+0(2+D9 出(2)知4=3-21， 1 52(1+0(4-20。 令t=1+1,则1=t-1, λ>0，u>0,1<t<2.5。 号o--可a-a京。：6t-2=-2(c-引}+3 1 1 当t=号时，分母取最大值号。 号的最小值为音号。 21.(本大题共18分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分) 已知定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的x∈R,都有f(x+2π)=f(x)+ f(2π)，则称函数f(x)具有性质P. (1)设函数y=f(x),y=g(x)的表达式分别为f(x)=sinx+x,g(x)=cosx,判断函 数y=f(x)与y=g(x)是否具有性质P,说明理由； (2)已知函数f(x)=sin(wx+p),(<w<,lp<)具有性质P,求函数F(x)= lf(x)川+2sinx在[0,2026π]上零点的个数； (3)在(2的条件下，将函数f(x)向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的 函数h(x)，己知函数g(x)=[h(x)]-2ah(x)+a2-1在o,上有3个零点， 求实数a的取值范围. 【解析】 (1)函数y=f(x)具有性质P,y=g(x)不 具有性质P,说明如下：f(x+2π)=sin(x+2π)+x+2π=sinx+x+2π， f(x+2π)=sin(x+2π)+x+2r=sinx+x+2π， 对任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x)+f(2π)，所以y=f(x)具有性质P; 2 g(x+2m)=cosx,9x)+9(2m)=cosx+1,C=3元， 所以y=g(x)不具有性质P. (2)由函数fx)具有性质P得C=三π，即sing=f(o)=0, 而|p|<3,则p=0,f(x)=sinωx, 若C=π，不妨设C=π，由f(x+2π)=fx)+f(2π)， 得f(2kπ)=f(o)+kf(2π)=kf(2π) (k∈Z),只要k充分大时，kf(2π)将大于1， 而f(x)的值域为【-1,1]，则上述等式不可能成立，因此必有f(2π)=0成立，即 sin(2ωr)=0 又<ω<号，即3<2wm<5n,则2wn=4n,解得w=2, 此时fx)=sin2x,则f(x+2π)=sin2(x+2π)=sin2x, 10 而f(x)+f(2π)=sin2x+sin4π=sin2x, 即有f(x+2m)=sin(x+2m)+x+2π=sinx+x+2n成立，符合题意， 令F(x)=lfxl+2sinx=0,即lsin2x|+2sinx=0, ①当sin2x≥0时，sin2x+2sinx=0,即2sinx(cosx+1)=0, 得sinx=0或cosx=-1,得x=kπ，k∈Z或x=π+2kπ，k∈Z; ②当sin2x<0时，-sin2x+2sinx=0, 即2sinx(1-cosx)=0,而sinx>0,无解， 因此fx)=0的解为x=kπ，k∈Z,在[0,2026π]内，x=0,π，2m,…,2026m, 共2027个零点。 (3)函数hMx)=8sim(2x+到，由xEo,,得2x+∈匠，到，函数h)在o, 上递增，函数值从42增大到8，日，止递减，函数 值从8减小到-4√2， 令g(x)=[h(x)]2-2ah(x)+a2-1=0 即[h(x)-(a+1)][h(x)-(a-1)]=0 解得hl)=a+1或l)=a-1,由gx在[0，习上有3个零点，得在[0，到上 方程h(x)=a+1有2个不同的实根，h(x)=a一1有1个实根 或h(x)=a+1有1个实根，h(x)=a-1有2个不同的实根， 因此色3月8A5g8-29架特4-1三a+1成 a=7,所以a的取值范围为[4V2-1,4V2+1)U{7乃 112026年奉贤中学高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1.若tana=V,ae(-)则a= 2、已知角a的终边经过点P(4,-3),则sinc+cos= sina-cosa 3.已知z=a0,a∈R,且zl=V5,则a= 1-i 4.己知cos(侣-a）=号，则sin(g-a）= 5.已知向量a=(-3,4)，五=(1,0)，向量a在向量万上的投影为 6.己知角a终边上一点P(-1,m),且sina=9 ,则m=」 7.函数f)=sin2x+4sinx,-君≤x≤写，则f)的最小值为 8.己知函数f(x)=Asin(wx+p)(x>O,w>0,lpl<π)的一段图象如图所示，则p= 9.己知复数z满足z+i=z-〢，则z+1+2训的最小值为 10.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a=bcosC-ccosB, 则的最小值是 11.如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成.已知 AB=BF=1,设0为等边三角形ABC内一点（含边界），若G0=G丽+F尼， 则入的取值范围为 12.定义对于点A(x1,y)，B(x2,y2)的三角距离为d(A,B)=2y2,记点 好 M,N分别位于函数f)=x2+(x>0)与函数g()=xcosx((x>0)上，则 d(M,N)的最大值为 二、选择题 13.角a满足cos(r+a)=号，则tana=( A士 c D.±26 14.在平行四边形ABCD中，E为AB中点，F为BC上一点，且BC=3BF,则 EF=() A.A丽+AD B.-AB+AD C.AB+AD D.-号AB-AD 15.已知函数f(x)=lcosxl+sinx,则以下结论正确的个数为() ①函数f(x)最小正周期是π： ②函数f(x)最大值与最小值距离为1+V2: ③函数f)在区间(：，到)上是严格减函数： ④对任意x∈R,使得"f(x)=f(a-x)”成立的充要条件是”a=kπ(k∈Z)”. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16.己知函数fx)=V3 3sinwx+COswx(ω>0)在后，习上是严格增函数，且当x∈ 上子-习时，f)≤0，则ω的取值范围为州 AE到[8，B.臣， ]c臣 o.[8, 三、解答题 17.(本大题共14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分) 己知复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i. (1)若复数z是实数，求实数m的值： (2)若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数m的取值范围， 18.(本大题共14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分) 已知向量a=(cosx+sinx,V3cosx),b=(cosx-sinx,2sinx)，记函数f(x)=a.方. (1)求函数f(x)的最小正周期： (2)在△ABC中，若f(A)=1,a=2,求△ABC面积的最大值. 19.(本大题共14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分) 日前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都 能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G 基站AB,已知基站高AB=50m.该同学眼高1.5m(眼晴到地面的距离)，该同学 在初始位置C处（限晴所在位置）测得基站底部B的仰为3？，测得基站顶端A 的仰角为45° 459 图一 图二 (1)求出山高BE(参考数据：sin8°≈0.14，sin3r≈0.6，sin45°≈0.7，sin12T≈ 0.8: (2)如图二，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位 置C处（眼晴所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm,且记在C处观 测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为B.试问当x多大时，观 测基站的视角∠ACB最大？ 20.(本大题共18分，第1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题8分)如图 所示，在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC,O是线段AP的中 点，过点O的直线与线段AB,AC分别交于点E,F,设EB=AE,F元=AF. (1)当EF/∥BC时，请用AE与AF表示AP (2)求证：21+4为定值： (3)设△AEF的面积为S:，△ABc的面积为S2,求号的最小值， 21.(本大题共18分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分) 已知定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的x∈R,都有f(x+2π)=f(x)+ f(2π)，则称函数f(x)具有性质P. (1)设函数y=f(x),y=g(x)的表达式分别为f(x)=sinx+x,g(x)=cosx,判断函 数y=f(x)与y=g(x)是否具有性质P,说明理由； (2)已知函数f)=sin(awx+p),(侵<w<3lpl<习具有性质P,求函数F()= If(x引+2sinx在[0,2026m上零点的个数； (3)在(2)的条件下，将函数f()向左移动日，纵坐标扩大为原米的8倍得到新的 函数h()，已知函数9)=[h(x)-2ah()+a2-1在[b,月上有3个零点， 求实数a的取值范围.