专题03 机械能及其守恒定律（期末复习讲义）高一物理下学期人教版

专题03 机械能及其守恒定律（期末复习讲义） 目录 2 【知识梳理·方法技巧】 2 知识点01 功与功率 2 知识点02 重力势能与弹性势能 3 知识点03 动能与动能定理 4 知识点04 机械能守恒定律 4 知识点05 功能关系总结（期末必背） 4 【典例引领·即时检测】 5 题型1 求解变力做功 5 题型2 机车的两种启动方式 7 题型3 动能定理求解多过程问题 11 题型4 绳连接体的机械能守恒 14 题型5 杆连接体的机械能守恒 17 题型6 弹簧连接体机械能守恒 20 题型7 匀质链条下滑问题 23 题型8 能量守恒定律在传送带中的应用 23 题型9 能量守恒定律在板块问题中的应用 24 【考场练兵·分层实战】 31 基础通关练（测试时间：8分钟） 31 重难突破练（测试时间：15分钟） 34 综合拓展练（测试时间：25分钟） 40 1.分值占比 本专题为高一物理必修二最难、分值最高板块，期末考试总分占比20-28分。单选、多选、填空、实验、压轴计算题全部出题，综合性极强，结合直线运动、曲线运动、圆周运动综合考查，是拉开分数的核心重难点。 2.核心考查方向 （1）基础层：功的正负判断、恒力做功计算、功率定义式与推导式辨析 （2）中层：势能变化规律、动能定理理解、机械能守恒条件判断 （3）拔高层：机车启动两类模型、变力做功、传送带能量问题 （4）综合层：竖直圆周运动+机械能守恒、连接体系统机械能守恒压轴大题 3.命题特点 命题综合性极强，喜欢结合生活情景：汽车启动、滑道运动、弹簧模型、链条滑落、传送带运送物体。侧重考查能量思想、全过程分析，不需要复杂受力分析，弱化加速度、强化能量守恒。 4.高频易错点 （1）混淆平均功率与瞬时功率公式，乱用 （2）判断功的正负出错，夹角判断错误 （3）重力势能参考平面随意选取，混淆势能变化与势能大小 （4）忽略机械能守恒条件，有摩擦力、拉力仍乱用守恒 （5）机车启动混淆匀加速最大速度、额定速度 （6）系统机械能守恒遗漏弹簧弹力、内力做功 必备知识 知识点01 功与功率 1. 功的定义与计算公式 一个物体在力的作用下发生位移，力对物体做功。做功两个必要因素：力、力方向上的位移。 恒力做功公式： 说明：本公式只适用于恒力做功，l为对地位移，为力与位移夹角。 2. 功的正负判断（必考） 夹角范围 做功正负 物理意义 正功 动力，促进物体运动 不做功 力与位移垂直，不改变速率 负功 阻力，阻碍物体运动 3. 功率（描述做功快慢） （1）平均功率 定义式：（通用所有情况） （2）瞬时功率 推导式：（为力与瞬时速度夹角） （3）机车专用功率公式 牵引力与速度共线： 4. 正负功物理总结 合外力做正功，动能增加；合外力做负功，动能减小；重力做正功，重力势能减小；弹力做正功，弹性势能减小。 知识点02 重力势能与弹性势能 1. 重力势能 （1）公式： （2）性质：①相对性，h相对于零势能参考面；②标量，有正负、无方向，其正负表示大小；③系统属性，属于物体与地球共有。 2. 重力做功与重力势能变化关系： （1）重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。 （2）重力做功只与初末位置高度差有关，与运动路径无关。 3. 弹性势能 （1）产生条件：物体发生弹性形变；常见模型：弹簧、橡皮筋。 （2）规律：形变量越大，弹性势能越大；弹力做正功，弹性势能减小。 知识点03 动能与动能定理 1. 动能 （1）公式： （2）性质：标量、恒为正值、只有大小没有方向。 2. 动能定理（万能解题神器） （1）内容：合外力对物体所做的功，等于物体动能的变化量。 （2）公式： 3. 动能定理四大优点 ①无需分析加速度、不用判定运动性质；②无需关注中间过程，只看初末状态；③适用于恒力、变力；④适用于直线、曲线运动。 4. 总功两种计算方法 方法一：先求合力，再算合力做功； 方法二：分别求各个力做功，代数相加。 方法三：先求动能变化ΔEk，再利用动能定理W合＝ΔEk求功。 知识点04 机械能守恒定律 1. 机械能组成 机械能是动能、重力势能与弹性势能的总和，重力势能和弹性势能都属于势能范畴。 2. 守恒判定条件（必考背诵） 只有重力或系统内的弹力做功，其他力不做功或者总功为零，系统的机械能总量保持不变。 3. 三大表达公式 （1）状态式：（初态机械能=末态机械能） （2）转化式：，系统增加的动能等于减少的重力势能（或弹性势能） （3）转移式：，A物体增加的机械能等于B物体减少的机械能 4. 单体与系统区别 单个物体：只有重力做功机械能守恒；含弹簧、多个物体：必须看成系统，内力做功不消耗机械能。 知识点05 功能关系总结（期末必背） 做功的力 能量变化关系 公式 合外力 动能变化 重力 重力势能变化 弹簧弹力 弹性势能变化 除重力弹力外其他力 机械能变化 滑动摩擦力 内能产生 题型1 求解变力做功 题｜型｜解｜读 变力做功是高一期末考查变力做功的核心题型，无法直接使用恒力做功公式计算，需根据题目情景选择对应方法，期末常考方法分为以下四类： 1.动能定理法：这是变力做功最常用的方法，先确定物体初末状态的动能，分析过程中所有恒力做的功，利用W合=ΔEk，即可间接求出变力做的功。 2.平均力做功法：若变力的大小随位移线性变化，可先求出初末位置变力的平均值，再按恒力做功公式计算做功，典型应用为弹簧弹力做功。 3.功率法：若变力的功率保持恒定，可利用W=Pt计算变力做的功，典型应用为机车恒定功率启动过程中牵引力做功。 4.微元法：将整个过程分割为无数个小段，每一小段可近似看做恒力做功，计算出每一小段的功再求和即可，适用于大小不变、方向始终与运动方向共线的变力。 【典例1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图所示的装置由一半径为的半圆管与半径为的半圆管组合而成，将装置固定在水平面上，一直径略小于圆管内径的小球置于M点，该小球受到一方向始终沿轨道切线方向的外力，且保持其大小F不变，当小球由M点运动到管口的另一端N点的过程中，该外力对小球所做的功为（    ） A．0 B．FR C． D． 【答案】C 【详解】根据做功的基本公式，力的大小不变，方向在改变，但力的方向一直与速度方向相同，由微元法可知 故选C。 【即时检测1】（24-25高一下·贵州毕节·期末）如图甲，质量为1kg的物体静止在光滑水平面上，受到水平向右的力F作用后开始运动。力F随物体运动的位移x变化关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．前5m内物体做匀加速运动 B．前5m内力F对物体所做的功为50J C．位移为5m时物体的速度为m/s D．位移为5m时力F的功率为100W 【答案】C 【详解】A．前5m内，力F大小在增大，地面光滑，根据牛顿第二定律，物体做加速运动，故A错误； B．力F随物体运动的位移x变化的图像与坐标轴围成的面积表示该力对物体做的功，故前5m内力F对物体所做的功为25J，故B错误； C．根据动能定理，位移为5m时物体的速度为m/s，故C正确； D．位移为5m时力F的功率为，故D错误。 故选C。 【即时检测2】（24-25高一下·山东菏泽·期末）某游乐场有一种多锤敲钉子的娱乐活动，一位游客6锤刚好把一颗钉子垂直锤进木板，假设每次锤击做功相同，且钉子所受木板阻力与深度成正比。求钉子第1次与第5次进入木板的深度之比（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，阻力与深度d成正比，f-x图像如图所示 F-x图像与坐标轴所形成图形的面积等于力所做的功，每次钉钉子时做功相同，如图所示可得：每次所围面积相同，根据几何关系可知 则 其中， 故 则钉子前5次进入木板的深度之比为 故钉子第1次与第5次进入木板的深度之比 故选D。 题型2 机车的两种启动方式 题｜型｜解｜读 机车启动问题是期末考查功率的核心题型，两类启动方式的运动过程分析、速度变化规律、最大速度求解是考查重点，解题核心公式为，当机车达到最大速度时，牵引力与阻力大小相等，即，此时最大速度。两类启动方式的过程规律如下： 1. 恒定功率启动 运动过程：机车以额定功率启动后，由可知，速度增大时牵引力 减小，加速度也随之减小，机车做加速度逐渐减小的加速直线运动，直到()减小到与阻力()相等时，加速度减为0，达到最大速度，之后保持最大速度匀速运动。 2. 恒定加速度启动（匀加速启动） 运动过程：第一阶段，保持加速度不变，则牵引力()恒定，由()可知，随着速度()增大，输出功率(P)逐渐增大，直到功率增大到额定功率()，匀加速阶段结束，此时匀加速的末速度，匀加速能达到的最大速度小于最终的最大速度；第二阶段，功率已经达到额定功率不再变化，之后速度继续增大时牵引力逐渐减小，加速度逐渐减小，做加速度减小的加速运动，直到牵引力减小到等于阻力(f)，达到最终最大速度，之后保持匀速运动。 这类问题高频易错点是混淆“匀加速阶段的最大速度”和“机车最终的最大速度”，解题时需要先判定启动方式，分阶段分析运动过程，抓住“功率达到额定功率”是匀加速阶段结束的节点，再对应计算相关物理量即可。 【典例2】（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）（多选）一段公路由一部分下坡路与一部分水平路组成，下坡路的坡度较小，汽车在下坡路和水平路上行驶受到的阻力大小均为。一辆质量为m的汽车从下坡路的顶端由静止启动，其运动的图像如图所示，OA段为直线，从时刻开始汽车的功率保持恒定。则由图像可知（　　） A．汽车运动过程中的最大功率为 B．从时刻开始，汽车在水平路段行驶 C．在时间内，汽车的加速度逐渐减小 D．在时间内，汽车的牵引力恒定，其大小为 【答案】BC 【详解】A．由题图可知，汽车在过程是恒加速度启动且此时是处于下坡路，其在时刻达到最大功率，此后一直保持不变，汽车在时处于匀速运动，其受力情况如图所示 汽车受到的牵引力为 则汽车的最大功率为，故A项错误； B．由题图可知，时刻汽车的速度减小，而由题意可知，汽车受到的阻力没有变，所以此时汽车的牵引力小于阻力，即汽车由下坡路进入了水平路段，故B项正确； C．物体运动的图像的斜率表示物体运动的加速度，由题图可知，时间内，汽车的加速度在减小，故C项正确； D．由于物体的图像表示物体的加速度，所以在时间内汽车的加速度为 结合之前汽车的受力分析，对汽车有 解得，故D项错误。 故选BC。 【即时检测1】（24-25高一下·四川绵阳·期末）（多选）一辆汽车在平直公路上由静止启动，汽车输出功率P与汽车速度v的关系图像如图所示，当汽车速度达到后，汽车的功率保持恒定，汽车能达到的最大速度为，若运动过程中汽车所受阻力恒为f，汽车的质量为m，下列说法正确的是（　　） A．汽车先做匀加速运动，后做匀速运动 B．汽车速度为时，加速度大小为 C．汽车从静止到速度通过的位移为 D．若汽车速度达到所用时间为t，则经过的位移为 【答案】BD 【详解】A．汽车先做匀加速运动，后做加速度减小的变加速运动，最后匀速，A错误； B．最大速度时， 汽车速度为时，牵引力 加速度大小为，B正确； C．汽车从静止到速度，由动能定理，，解得，C错误； D．汽车速度达到时，牵引力，由 可得 汽车先做匀加速直线运动，后做变加速直线运动，最终匀速。设匀加速阶段末速度为，此阶段牵引力为，由 且 则 匀加速阶段，根据牛顿第二定律，可得 匀加速阶段时间 位移 变加速阶段，时间 根据动能定理 将代入，化简可得 总位移 D正确。 故选BD。 【即时检测2】（24-25高一下·辽宁·期末）（多选）一辆电动平衡车含骑手的总质量约为80kg，在一次户外骑行中平衡车在平坦道路上以恒定功率加速，受到的阻力不变，其加速度随速度的倒数的变化规律如图所示（图像与纵轴交点为，与横轴交点为0.02，则平衡车在加速过程中（    ） A．速度增大时加速度减小 B．当速度为时，加速度大小为 C．输出功率为12kW D．所受阻力大小为240N 【答案】ACD 【详解】A．由图像可知，平衡车的加速度随速度的增大而减小，故赛车初始阶段做加速度逐渐减小的加速运动，故A正确； BCD．由，，得 由图像得，，解得， 将代入，解得，故B错误，CD正确。 故选ACD。 题型3 动能定理求解多过程问题 题｜型｜解｜读 多过程问题往往包含多个不同的运动阶段，受力、运动性质都可能发生变化，使用牛顿运动定律分析需要逐段拆分讨论，过程繁琐，而动能定理只需要关注初末状态，不需要分析中间过程的细节，是解决这类问题最优方法。解题基本步骤如下： 1.划分运动过程，明确物体的初状态速度和末状态速度，确定动能变化量。 2.对研究物体进行受力分析，计算每个力在整个过程中做的总功，注意力做功的正负判断。 3.列动能定理方程()，代入数据求解对应物理量。 多过程问题中，既可以分段应用动能定理逐段列方程，也可以直接对整个全过程列方程，灵活选择整体分析的方法，能有效简化计算过程。 【典例3】（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图所示，某体质训练比赛中，选手需要借助悬挂在高处点的轻绳、静止在水面上的浮台从左岸到达右岸。一选手（可视为质点）在左岸抓住绳，此时绳与竖直方向夹角，然后由静止开始运动摆到最低点时选手处于浮台正上方，但脚恰好未与浮台接触，此时松手，选手落到浮台后立即与浮台共速，一同向右侧岸边运动；当浮台速度减为原来的一半时，恰要撞上岸边，选手立即以的速度水平向右跳离浮台，跳离瞬间浮台以的速度水平向左运动。已知选手的质量，绳的长度，浮台向右移动时水的阻力大小恒定，不计空气阻力，重力加速度取。 (1)求选手摆到最低点时对绳的拉力大小； (2)求浮台的质量； (3)若该过程浮台向右移动的距离，求其所受水的阻力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）选手开始运动至最低点过程，根据动能定理，有 解得 最低点时选手满足 解得 （2）选手落到浮台时，水平方向动量守恒 选手跳离浮台时，水平方向动量守恒 联立可得， （3）对人和浮台一起向右移动的过程，根据动能定理 解得 【即时检测1】（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图所示，在竖直面内，粗糙的斜面轨道的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝0.2m，现有一个质量m＝0.1kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，物体恰好能到达斜面上A处。已知DE距离h＝0.6m，物体与斜面间的动摩擦因数。重力加速度。（取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求： (1)物体第一次到达C点时对轨道的压力大小； (2)斜面上A、B两点间的距离L； (3)物块在斜面上滑行的总路程s。 【答案】(1)9N (2)0.76m (3)1.9m 【详解】（1）设物体到达C点的速度为v，从E到C，由动能定理得 代入数据得v＝4m/s 在C点，有 代入数据得N＝9N 由牛顿第三定律，压力N'＝N，压力N'＝9N。 （2）从C到A，由动能定理得 代入数据得L＝0.76m （3）因为 所以物块到达A点但不能在斜面上静止，在斜面上多次往返，最后在OC左右两侧37°范围内往返运动，即最后B点速度为零，则有全程由能量守恒定律，可得 解得s＝1.9m 【即时检测2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）载人登月是我国的“探月工程”计划中实质性的目标。假设航天员登上月球后，在一处斜坡附近自高处的点以初速度水平抛出质量为的小球，小球落到月面上的点，如图所示，测量出小球的水平射程为，已知月球半径为，引力常量为。（和远小于月球半径） (1)求月球表面处的重力加速度大小； (2)求月球的质量； (3)随后，航天员将一个质量也为的物块放在坡面上，物块从点由静止开始沿斜坡自由滑下，然后在月面上前进至点停下，在图中均未画出，且两点间的水平距离为，假设在转角处物块的速度大小不变，已知物块与月面（含坡面）间的动摩擦因数为，求物块在段运动的过程中摩擦力所做的功。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）根据题意可得小球做平抛运动水平位移 竖直位移 解得 （2）根据万有引力定律有 解得 （3）如图所示 物块的运动可分为两个阶段，在斜坡上运动阶段，摩擦力做的功 在月面上运动阶段，摩擦力做的功 故物块在段运动过程中，摩擦力做的功 解得 题型4 绳连接体的机械能守恒 题｜型｜解｜读 绳连接体问题中，两个物体通过不可伸长的轻绳连接，运动过程中两物体的速度大小通常相等，部分特殊情况需沿绳方向分解速度得到速度关系。由于轻绳的弹力对两个物体做的总功为零，系统只有重力做功，因此系统机械能守恒，解题基本步骤如下： 1.确定研究系统，明确守恒过程，选好零势能面，确定系统的初末机械能。 2.分析运动关系，得到两物体的速度、位移关系，注意重力势能变化的正负。 3.列机械能守恒方程求解，必要时结合受力分析验证结果。 【典例4】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）（多选）如图所示，物块甲套在光滑的细直杆上，杆倾斜固定放置，与水平方向夹角为，轻质细线跨过光滑定滑轮，与物块甲、乙相连，物块甲、乙的质量均为m。甲在平行于杆方向的拉力作用下静止在A点，此时与甲连接的细线刚好水平，滑轮与A点的间距为2L，乙悬在空中。现让甲从A点由静止释放，当甲运动到B点时，与甲连接的细线刚好与杆垂直，重力加速度为g，运动中细线始终伸直，则甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块甲、乙组成的系统机械能守恒 B．细线对物块乙所做的功为－mgL C．物块甲的重力势能增加了 D．物块甲经过B点时的动能为 【答案】ABD 【详解】A．细直杆光滑，系统没有机械能向其他形式的能量转化，故物块甲、乙组成的系统机械能守恒，故A正确； B．甲从A点运动到B点时，其速度沿绳方向的分量为0，故此时乙的速度为0，且乙下降的高度为，对乙，根据动能定理，其中重力做功为，故细线拉力做功为，故B正确； C．由几何关系可知，甲的高度下降了，所以甲的重力势能减小了，故C错误； D．甲经过B点时的动能为，根据系统机械能守恒可得 解得，故D正确。 故选ABD。 【即时检测1】（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图甲所示，可视为质点的a、b两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，a球在外力作用下静止在地面，b球悬空。取地面为重力势能的零势能面，从t＝0时静止释放a球，到b球落地前的过程中，a、b两球的重力势能随时间t的变化关系如图乙，a始终没有与定滑轮相碰，忽略空气阻力，重力加速度g取。则（　　） A．a、b两球质量之比为2：3 B．b球落地时的动能为3J C．t＝0.6s时，a球离地的高度为0.9m D．当b球的重力势能与动能相等时，b球距地面的高度为0.5m 【答案】C 【详解】A．初始时，b重力势能 b球落地时，a重力势能 设b球释放时离地高度为，则，，得，A错误； B．系统机械能守恒，初始机械能18J（b重力势能），b落地时，a重力势能6J，则系统动能 因 b动能，B错误； C．a、b匀加速，由牛顿第二定律，代入数据得 t＝0.6s时，a球离地的高度为，C正确； D．t＝0.6s时，两球的重力势能相等，则有，解得 设b距地y时，，即，又，解得，D错误。 故选C。 【即时检测2】（24-25高一下·广西河池·期末）（多选）如图所示，不可伸长的轻绳的一端绕过固定在墙上O点的光滑轻质小定滑轮（大小可忽略），与套在光滑固定水平杆上的小物块A连接，另一端连接小球B。从图中位置P由静止释放小物块A，当A向右运动经过位置Q时速度大小为vA，此时轻绳与杆的夹角为α（0°<α<90°），已知A和B的质量相等，O点到水平杆的距离为H，重力加速度大小为g，则（　　） A．小物块A经过位置Q时小球B的速度大小为vB=vA B．小物块A从位置P运动到位置Q时，小球B下降的高度为 C．位置P与位置Q之间的距离大于小球B下降的高度 D．位置P与O点之间的距离为 【答案】BCD 【详解】A．在Q点有 根据运动的合成和分解可得，故A错误； B．把A、B看成一个系统，根据能量守恒，有，联立解得，故B正确； C．由于小球B下降的高度 根据三角形两边之差小于第三边，可知位置P与位置Q之间的距离大于小球B下降的高度，故C正确； D．根据几何关系可知 可得位置P与O点之间的距离为 故D正确。 故选BCD。 题型5 杆连接体的机械能守恒 题｜型｜解｜读 杆连接模型是期末机械能守恒考查的经典题型，这类问题通常将两个物体通过轻杆连接，绕固定转轴转动，两物体角速度大小相等，线速度大小与转动半径成正比，且轻杆的弹力对一个物体做正功时，会对另一个物体做负功，总功为零，因此将两物体看做系统时，只有重力做功，系统机械能守恒。解题基本步骤如下： 1. 确定研究系统，判断是否满足机械能守恒条件，明确两物体线速度的关系； 2. 选取零势能参考面，确定系统初态和末态的机械能，找到重力势能的变化量与动能变化量； 3. 根据机械能守恒列方程，结合线速度关系联立求解未知量。 这类问题的易错点是容易忽略杆弹力做功，单独对单个物体应用机械能守恒出错，因此需要将两物体看成系统，利用系统机械能守恒定律求解。 【典例5】（24-25高一下·广西南宁·期末）（多选）如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距L，B放在地面上。A、B通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，A、B可视为质点，重力加速度大小为g，A落地后不反弹。则（　　） A．A一直加速，B也一直加速 B．在A落地之前轻杆对B一直做正功 C．A刚到达地面时的速度大小为 D．当A的机械能最小时，水平面对B的支持力大小为mg 【答案】CD 【详解】A．当A刚落地时，B的速度为零，可知B先加速后减速，故A错误； B．滑块B 初速度为零，末速度也为零，可知轻杆对B先做正功后做负功，故B错误； C．当滑块A运动到最低点时滑块B速度为零，设A刚到达地面时的速度大小为v，A、B构成的系统机械能守恒有 解得 故C正确； D．A、B构成的系统机械能守恒，当A 的机械能最小时，B的机械能最大，即速度最大，此时B的加速度为零，杆对A和B的弹力为零，地面对B的支持力大小等于B的重力，故D正确。 故选CD。 【即时检测1】（24-25高一下·江西宜春·期末）（多选）如图所示，固定光滑斜面的倾角为，与光滑水平面在点连接。质量均为的两个小球、用长为的轻杆相连，外力作用在小球上，使得小球靠在斜面上，小球位于水平面上的点。撤去外力后两球由静止开始运动。重力加速度大小为，取，。对于从两球开始运动到轻杆与水平面的夹角为的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的动能增加量大于小球的动能增加量 B．小球的动能增加量为 C．小球的机械能减少量等于b球的动能增加量 D．轻杆对小球做的功小于 【答案】BC 【详解】A．轻杆与水平面的夹角为37°时，小球a的速度大小与小球b的速度大小的关系为 即 因此该过程中小球a的动能增加量等于小球b的动能增加量，故A错误； BD．对小球a、b构成的系统有 解得 则a小球的动能增加量为 由动能定理可知，轻杆对小球b做的功为，故B正确，D错误； C．小球a的机械能减少量等于小球b的机械能增加量，小球b的重力势能不变，因此小球a的机械能减少量等于小球b的动能增加量，故C正确。 故选BC。 【即时检测2】（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图所示，一倾角的光滑倾斜轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上M点的左侧光滑、右侧粗糙且足够长。质量均为的滑块A和B，用长且与斜面平行的轻杆相连，置于光滑倾斜轨道上，B到斜面底端P点的距离、两点的距离均为L，滑块与粗糙轨道间的动摩擦因数均为。两滑块可视为质点，不计两滑块经过P点的机械能损失，重力加速度g取。现同时静止释放A、B，求： (1)A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量； (2)A从释放运动到P点过程中，轻杆对A做的功； (3)A停止运动时的位置与M点的距离。 【答案】(1) (2)J (3) 【详解】（1）A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量为 解得J （2）A从释放运动到P点过程中，根据系统机械能守恒可得 解得A运动到P点时，A、B的速度大小均为 对A根据动能定理可得2 解得轻杆对A做的功为J （3）设A停止运动时的位置与M点的距离为，以A、B为整体，根据动能定理可得 解得 题型6 弹簧连接体机械能守恒 题｜型｜解｜读 弹簧连接体模型通常以弹簧和多个物体组成系统，在运动过程中，弹簧的形变量会发生变化，弹性势能随之改变，只有重力和系统内弹簧的弹力做功，因此整个系统满足机械能守恒条件。这类问题需要特别注意：弹簧弹性势能的大小只和形变量有关，若初态和末态弹簧形变量相同，系统初末态的弹性势能相等，计算中可以相互抵消，简化求解过程。解题基本步骤如下： 1. 确定研究系统，分析各力做功情况，判断系统是否满足机械能守恒条件； 2. 明确弹簧初态和末态的形变量，确定初末状态弹性势能、动能和重力势能的大小； 3. 根据机械能守恒列方程，代入相关关系求解未知量。 这类问题的高频易错点，是计算系统机械能时遗漏弹簧的弹性势能，或是忽略初末态弹性势能的变化，因此分析状态时，一定要注意弹簧形变量的变化，将弹性势能纳入系统机械能中计算。 【典例7】（24-25高一下·山东泰安·期末）（多选）如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 【答案】AC 【详解】AB．若要把链条全部拉回桌面上，只要克服垂于桌面外的部分的重力做功即可，至少要克服重力做的功，A正确，B错误； CD．若自由释放链条，只有重力做功整个链条的机械能守恒，取桌面为参考平面，则有 解得，C正确，D错误。 故选AC。 【即时检测1】（24-25高一下·宁夏银川·期末）如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】链条从静止至左侧斜面上的链条完全滑到右端的过程中，重力做功为 然后链条下端到达斜劈底端这一过程重力做功为 设链条运动至底端的速度为v，有 解得 故选B。 【即时检测2】如图，有一条长为的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，链条由静止释放后开始滑动，重力加速度g=10m/s2，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（　　）    A．m/s B．5m/s C．m/s D．m/s 【答案】B 【详解】设链条的质量为，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为 链条全部滑出后，动能为 重力势能为 由机械能守恒定律可得 即 解得 故选B。 题型7 匀质链条下滑问题 题｜型｜解｜读 匀质链条下滑问题是机械能守恒定律的经典应用题型，匀质链条的重力势能需要根据其重心位置来计算，解题的核心是准确计算初态和末态链条各部分的重力势能，进而得到系统重力势能的变化量，结合动能变化利用机械能守恒求解末速度。这类问题常见的情景为：链条一部分光滑水平桌面上，另一部分悬空，由静止释放后链条下滑，求解链条离开桌面时的速度，解题基本步骤如下： 1. 选取零势能参考面，通常将初始时桌面位置设为零势能面，方便计算； 2. 分别计算初始时桌面上链条和悬空部分链条的重心位置，进而得到初始状态整个链条的总重力势能； 3. 计算链条刚好全部离开桌面时的重心位置，得到此时链条的总重力势能； 4. 整个过程中只有重力做功，链条机械能守恒，根据初末态机械能相等列方程，求解对应物理量。 这类问题的易错点是重心位置判断错误，计算重力势能时错误将整段链条的重力势能按端点位置计算，因此一定要结合匀质链条质量分布均匀的特点，重心在各段的几何中心，分段计算再求和即可。 题型8 能量守恒定律在传送带中的应用 题｜型｜解｜读 传送带问题是期末能量守恒考查的热点题型，解题核心需要抓住两个关键规律：一是物体和传送带间的滑动摩擦力对物体做正功，改变物体的动能，二是滑动摩擦力乘以物体与传送带间的相对位移，等于系统产生的内能，总能量守恒，物体增加的机械能加上系统产生的内能，等于电动机多做的功。这类问题通常分水平传送带和倾斜传送带两种情景分析： 1.水平传送带 若传送带匀速运动，物体无初速度轻放在传送带上，滑动摩擦力带动物体加速，直到物体和传送带共速后一起匀速运动。此过程中，物体动能的增加量等于滑动摩擦力对物体做的功，系统产生的内能Q=f·x相对，其中x相对是传送带位移减去物体的位移，电动机多消耗的电能等于物体增加的动能加上产生的内能。 2.倾斜传送带 倾斜传送带需要额外考虑重力势能的变化，除了动能变化和内能产生，物体上升过程中重力势能也会增加，总能量关系为：电动机多做的功等于物体增加的动能加上增加的重力势能，再加上系统产生的内能。解题基本步骤为：先分析物体受力和运动过程，计算物体加速到共速的位移、时间，再求出传送带的位移，得到相对位移，分别计算动能变化、重力势能变化和内能，最后利用能量守恒关系列式求解。 这类问题的易错点是混淆物体位移和相对位移，错把物体位移当成相对位移计算内能，解题时一定要区分对地位移和相对位移的不同物理意义，对地位移用来计算摩擦力对物体做的功，改变物体动能，相对位移用来计算系统产生的内能。 题型9 能量守恒定律在板块问题中的应用 题｜型｜解｜读 板块问题是能量守恒定律和功能关系的综合应用经典题型，通常由滑块和木板组成，两者间通过滑动摩擦力相互作用，滑动摩擦力对滑块做负功，对木板做正功，一对滑动摩擦力做的总功等于系统机械能的减少量，减少的机械能全部转化为内能，即，其中是滑块与木板间的相对路程，这是解题的核心规律。这类问题通常分为滑块从一端滑到另一端、滑块最终与木板共速、滑块在木板上往复运动几类情景，解题的基本步骤如下： 1.先通过受力分析，明确滑块和木板各自的运动性质，计算两者运动的加速度，结合运动学公式求解共速时间或相对位移； 2.分别计算滑块、木板的动能变化，根据能量守恒，系统损失的动能等于摩擦力产生的内能，即； 3.若水平面不光滑，还需要考虑木板与地面间摩擦力做功消耗的能量，总能量守恒关系为：滑块初始动能等于末态总动能加上滑块与木板间的内能，再加上克服地面摩擦力做的功。 这类问题的高频易错点是混淆相对位移和绝对位移，且往复运动情景中相对位移是总路程不是位移，只要抓住“滑动摩擦力乘以相对路程等于产生的内能”这一核心，结合动能定理和能量守恒分析即可正确求解。 【典例8】（24-25高一下·江西宜春·期末）一杂技演员踩小独轮车沿图示路径表演。轨道是由水平直轨道和圆弧轨道构成，两轨道在点相切，是倾角为的传送带，连线水平，间距，轨道和传送带在同一竖直平面内。演员沿轨道行进，在点腾空，在点沿方向以臀部接触传送带的坐姿滑上传送带。演员裤料和传送带间的动摩擦因数，传送带长，以的速度顺时针匀速转动，演员的质量为，重力加速度取，独轮车的质量不计，演员和独轮车均可视为质点，不计空气阻力，求： (1)演员在点的速度大小； (2)演员从运动到的过程中，传送带对演员所做的功。 【答案】(1) (2)W=-8040J 【详解】（1）如图所示，演员离开运动到，做斜抛运动，设速度与水平方向夹角为，由对称性，知 将速度分解，水平方向有 竖直方向有 设运动时间为，有 水平位移 代入数据得 （2）演员沿方向以臀部接触传送带的坐姿滑上传送带，由于，则演员先做匀减速运动，设运动加速度大小为，演员与传送带共速所用时间为，位移为，依据牛顿第二定律，有 依据匀变速规律，有， 解得 匀减速阶段，传送带对演员所做的功 演员速度等于传送带的速度时，因，此后演员随传送带一起做匀速运动，传送带对演员所做的功 演员从D运动，传送带对演员做的总功W=W1+W2=-8040J 【即时检测1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图所示，某固定装置由长度的水平传送带，圆心角、半径的两光滑圆弧管道BC、CD及粗糙水平面DE组成，且处有一竖直挡板，装置各部分间平滑连接。质量的物块从传送带左端A点由静止释放经过BCD滑出圆弧管道。已知传送带以速度顺时针转动，物块a与传送带的动摩擦因数为，物块与粗糙水平面的动摩擦因数，DE长度，物块视为质点，不计空气阻力，取重力加速度。 (1)求物块第一次到达点过程中与传送带之间因摩擦产生的热量； (2)求物块第一次到达点时对管道的作用力； (3)物块每次与挡板碰撞后均按原速率反弹，求最终物块停止的位置。 【答案】(1)30J (2)6N，方向竖直向上 (3)距离挡板0.5m处或距D点1m处 【详解】（1）由题知，物块在传送带上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 物块加速到与传送带共速的位移为 说明物块从A点到B点一直加速，且到B点时速度小于传送带的速度，设此时物块的速度为，根据速度位移公式有 解得 此时物块运动的时间为 传送带运动的位移为 则物块相对传送带的位移为 产生的热量为 代入数据解得Q=30J （2）物块从B运动到D过程，根据动能定理有 解得 物块在D点，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 根据牛顿第三定律，物块在D点对管道的作用力大小为6N，方向竖直向上。 （3）对全过程应用动能定理，则有 解得 因DE长度，所以 最终停在距离挡板0.5m处或距D点1m处。 【即时检测2】（24-25高一下·海南海口·期末）如图所示，静止的水平传送带的左端有一固定的半径为的竖直四分之一光滑圆弧轨道，末端B点与长为的传送带相切，右端有一固定的倾角为30°的光滑斜面。一质量为的滑块（可视为质点）从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经过C点后立即让传送带以的速率顺时针方向匀速转动，滑块第一次冲上斜面能达到的最高点为D。已知传送带与滑块间的动摩擦因数为，不计空气阻力，滑块经过B和C点时均无碰撞造成机械能损失，重力加速度。求： (1)滑块经过B点时受到轨道的支持力FN大小和C、D两点间的距离d； (2)滑块第二次滑上传送带后，向左滑行的最远距离x0和向左运动的时间； (3)滑块从第二次滑上传送带到离开传送带过程中，滑块与传送带之间因摩擦而产生的热量Q。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）滑块从A点运动到B点过程中，由动能定理得： ① 滑块到达B点时，由牛顿第二定律得： ② 联立①②式得： 滑块从A点运动到D点过程中，由动能定理得： ③ 代入数据得： （2）滑块从A点开始运动到第二次滑上传送带的过程中，由动能定理得： ④ 解得： 从滑块第二次滑上传送带开始计时，到滑块向左滑行到最远距离的过程中，由动能定理得： ⑤ 解得： 由牛顿第二定律得：⑥ 解得： 且⑦ 代入数据得： （3）设滑块从第一次向左滑到最远处到第二次滑出传送带过程的时间为t，由运动学公式得： ⑧ 解得： 滑块从第二次滑上传送带到第二次离开传送带的过程中，滑块相对于传送带滑动的路程为： ⑨ 产生的摩擦热为： 【典例9】（24-25高一下·福建南平·期末）如图，水平地面上固定放置一光滑斜面，紧靠斜面右侧有一小车，其上表面与点等高，斜面末端与小车左端平滑连接。小车上表面右端固定有一轻弹簧，初始时弹簧处于原长，水平地面距小车右端m处有一固定的竖直墙壁，墙壁与小车等高处安装一锁定装置。现将一可视为质点的物块从斜面顶端点由静止开始滑下，从点滑上小车，当小车运动到墙壁时立即被锁定。已知、两点高度差为m，物块质量为kg，小车质量kg、长度m，物块与小车上表面的动摩擦因数，弹簧原长m，物块向右运动过程中弹簧的最大压缩量m，水平地面光滑，重力加速度m/s²。求： (1)物块刚滑到点时的速度大小； (2)物块刚与弹簧接触时的速度大小； (3)物块最终停止的位置与小车左端的距离。 【答案】(1) (2)1m/s (3)1.45m 【详解】（1）由机械能守恒定律，得 （2）对滑块由牛顿第二定律得μmg = ma1 对小车由牛顿第二定律得μmg = Ma2 解得 设经过时间t0共速，则vB - a1t0 = a2t0，解得 小车位移： 则此时小车刚好运动到墙壁并锁定 滑块位移： 有 s1-s2=L-l0 此时物块恰好与弹簧接触则：v 1=vB - a1t0 =1 m/s （3）从刚接触到弹簧最短，功能关系： 滑块返回过程得 d=L-s0+x-x2=1.45 m 【即时检测1】（24-25高一下·河南郑州·期末）如图所示，质量为的足够长木板放在粗糙水平面上，长木板的左端紧靠一平台且上表面与光滑平台平齐。半径为的光滑圆弧形轨道固定在平台上，且圆弧底端与平台相切。质量为、可视为质点的物体由距离平台高处静止释放，物体刚好由圆弧轨道的最高点进入圆弧轨道，物体运动到最低点时对轨道的压力为。现将物体从处静止释放，经过一段时间后从圆弧滑下，经光滑平台滑上长木板；当物体在长木板上相对长木板滑动的距离为时，物体与长木板达到共同速度，且该过程中物体运动的位移是长木板运动位移的4倍。重力加速度取。求： (1)物体的质量； (2)物体与长木板之间的动摩擦因数，长木板与水平面之间的动摩擦因数； (3)试判断物体与木板共速后各自的运动性质，要求写出判断理由；并求出共速后到静止的过程中，木板损失的机械能。 【答案】(1) (2)， (3)物体与木板共速后将一起以加速度向右做匀减速直线运动，直至停下来， 【详解】（1）根据题意可知，对物体，从释放到滑动到轨道最低点的过程中，由机械能守恒定律得 在最低点时，由牛顿第二定律得 由牛顿第三定律得 解得 （2）同理，物体从处静止释放后，设其运动到轨道最低点时的速度为，根据机械能守恒定律得 解得 根据题意可知，物体在木板上滑动。当它们达到共速前，设物体相对地面运动的位移为，木板相对于地面运动的位移；该过程中 对物体，根据动能定理可得 对木板，根据动能定理可得 根据题意知 联立各式解得， （3）物体与木板共速后，对整体而言，根据牛顿第二定律得 解得 对物体而言，其相对木板滑动的临界加速度 因为，可判断物体与木板共速后将一起以加速度向右做匀减速直线运动，直至停下来。 则共速后木板损失的机械能就等于木板减小的动能，即 【即时检测2】（河南驻马店·期末）如图所示，固定斜面的倾角为，斜边长。从斜面顶端由静止释放一质量为的小物块，到达斜面底端时，滑上放在光滑水平地面上的长木板。假定物块从斜面底端滑上长木板时速度大小不变，物块与斜面间的动摩擦因数，与长木板间的动摩擦因数为，长木板质量为且足够长，物块不会从木板上滑落。已知重力加速度g大小取，，，求： （1）物块在斜面上运动过程中，摩擦力做的功； （2）物块滑到斜面底端时，重力做功的功率； （3）物块在和长木板相互作用过程中，摩擦力对物块做的功及系统产生的热量各为多少?    【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）在斜面上运动过程中，摩擦力做的功为 代入数据得 （2）设物块滑至斜面底端时速度大小为，则由动能定理有 则物块下滑到斜面底端时，重力做功的功率为 解得， （3）物块滑上木板后，物块做匀减速运动，设其加速度大小为，木板做匀加速运动，设其加速度大小为，当二者速度相等时，将一起做匀速运动。设匀速运动时速度为，则对物块有， 对木板有， 物块在和长木板相互作用过程中，摩擦力对物块做的功为，代入数据得 系统产生的热量为，解得 基础通关练（测试时间：8分钟） 1．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，摆球质量为，悬线长度为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从点运动到点的过程中空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力的瞬时功率在不断增大 B．悬线的拉力做功不为 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 【答案】D 【详解】A．在最初的位置，因为小球的速度为零，则重力做功的功率为零；在摆动过程中，重力与小球的速度成锐角，功率不为零；在最低点时，小球的速度与重力垂直，则重力做功的功率为零，由此可知，重力做功的功率先增大后减小，故A错误； B．悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为，故B错误； CD．空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为，故C错误，D正确。 故选D。 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）一辆轿车在平直公路上运行，启动阶段牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过时间，其速度由零增大到最大值，若轿车所受的阻力恒定，关于轿车的速度、牵引力、功率随时间变化的情况不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】汽车以恒定的牵引力启动，由 可知轿车先做匀加速运动，由 可知轿车输出功率均匀增加，当功率达到额定功率时，功率不变，牵引力减小，加速度减小，物体做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力等于阻力时，速度达到最大，之后物体做匀速运动。 本题选择不正确的，故选A。 3．（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图所示，固定在地面上的光滑斜面，其顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，重力加速度为g，则小球从A到C的过程中弹簧弹力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球A到C由动能定理有 解得 故选A。 4．（25-26高一上·北京海淀·期末）如图所示，质量为m的小球从距桌面h1高处的A点由静止释放，自由下落到地面上的B点，桌面离地高为h2。选择桌面为参考平面，忽略空气阻力影响，则小球（　　） A．在A点时的重力势能为 B．在A点时的机械能为 C．经过桌面时的动能为 D．在B点时的机械能为 【答案】D 【详解】A．在A点时的重力势能为，故A错误； B．在A点时的机械能为，故B错误； CD．根据机械能守恒定律可知，小球经过桌面时的动能为，故C错误，D正确。 故选D。 5．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为f，则（　　） A．f对木块做功为 B．f对子弹做功为 C．木块与子弹间一对摩擦力的总功为 D．该过程中系统动能的减少量为 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，木块在摩擦力作用下的位移为，则摩擦力对木块做正功 故A错误； B．子弹的位移为，则摩擦力对子弹做功 故B错误； C．木块与子弹间一对摩擦力的总功为 故C错误； D．由能量守恒得该过程中系统动能的减少量为摩擦力对木块和子弹做的总功的绝对值，所以该过程中系统动能的减少量为fd，故D正确。 故选D。 重难突破练（测试时间：15分钟） 6．（多选）如图甲所示，在水平地面上放置一木块，其质量，木块在水平推力F作用下运动，推力F的大小随位移x变化的图像如图乙所示。已知木块与地面间的动摩擦因数，重力加速度g取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．木块先做匀变速直线运动，后做匀速直线运动 B．木块运动的过程中，其克服摩擦力所做的功 C．木块运动的过程中，合力做的功为 D．木块在运动过程中的加速度一直变大 【答案】BC 【详解】AD．由题意可得木块受到的滑动摩擦力大小 对木块，由牛顿第二定律可得 可得 所以a随F的变化先增大后不变，木块先做非匀变速运动，后做匀变速运动，故AD错误； B．木块运动的过程中，滑动摩擦力对木块做负功，则木块克服摩擦力所做的功 故B正确； C．图线与横轴围成的面积表示F所做的功，木块运动的过程中F对木块做正功，则有 则 故C正确。 故选BC。 7．（24-25高一下·江西赣州·期末）（多选）一遥控玩具汽车以5W的恒定功率在水平地面上由静止开始做直线运动，其运动速度的倒数与加速度a的关系如图所示，若玩具汽车受到的阻力恒定，则下列结论正确的是（　　） A．玩具汽车的最大速度为5m/s B．玩具汽车的质量为1.0kg C．玩具汽车所受阻力大小为2N D．玩具汽车的加速度大小为时的速度大小为1.5m/s 【答案】BC 【详解】ABC．设玩具汽车质量为m，受到的阻力为f，对汽车，由牛顿第二定律有 整理得 可知图像斜率 代入题中功率，解得 图像纵截距 解得 玩具汽车速度最大时加速度为0，则有 联立解得 故A错误，BC正确； D．玩具汽车的加速度大小为时，对汽车，由牛顿第二定律有 联立解得 故D错误。 故选BC。 8．（25-26高三上·河南驻马店·期末）（多选）如图甲所示，质量的物块在恒定拉力F的作用下由静止开始沿水平地面做直线运动，其位置坐标与速度的平方的关系图像如图乙所示。已知拉力，方向与水平方向的夹角为37°，经10s撤去拉力。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，，重力加速度大小，下列分析正确的是（　　） A．撤去拉力前，物块运动的加速度大小为 B．物块与水平地面间的动摩擦因数为0.125 C．撤去拉力时，物块的动能为12.5J D．物块最终停在处 【答案】BC 【详解】A．物块由静止开始运动，由，可得 结合题图乙可知，，，A错误； B．由牛顿运动定律有 解得，B正确； C．由，可知撤去拉力时物块的动能，C正确； D．撤去拉力时，物块所在位置 撤去拉力后，由动能定理有 解得， 即物块最终停在处，D错误。 故选BC。 9．（24-25高一下·河南商丘·期末）（多选）如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆轨道与水平面连接并相切于C点，绷紧的水平传送带AB（足够长）与光滑水平平台BC连接。电动机带动水平传送带以恒定的速率顺时针匀速转动，在水平平台上有一质量的物体（可视为质点）以的速度向左滑上传送带，经过2s物体的速度减为零，物体返回到平台后沿着半圆轨道刚好能运动到E点（物体从E点飞出后即被取走），重力加速度g取，不计空气阻力，在连接处没有能量损失。则（　　） A．物体滑上传送带后做匀减速直线运动加速度大小为 B．物体与传送带之间的动摩擦因数为0.2 C．半圆轨道的半径为0.5m D．物体在传送带上滑动过程中系统产生的热量等于150J 【答案】AC 【详解】AB．物体滑上传送带后在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动，设其运动的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 根据加速度定义式有 联立解得运动的加速度大小为 物体与传送带之间的动摩擦因数为，故A正确，B错误； C．根据题意可知，又由题意可知，物体返回到光滑的水平面且沿着半圆轨道恰能运动到点，设经过最高点时的速度为，在处，根据牛顿第二定律和向心力公式有 在由运动至的过程中，根据动能定理有 联立解得，故C正确； D．物体向左滑行时，相对传送带的位移为 物体向右滑行时，相对传送带的位移为 物体在传送带上滑动过程中系统产生的热量为 联立并代人数据解得，故D错误。 故选AC。 10．（24-25高一下·重庆·期末）（多选）如图所示，在倾角为37°的斜面上，轻质弹簧一端连接固定在斜面底端的挡板C上，另一端连接滑块A。一轻细绳通过斜面顶端的定滑轮（质量忽略不计），一端系在物体A上，另一端与球B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住球B，此时弹簧长度为原长，滑块A刚好要沿斜面向上运动。现在由静止释放球B，不计轻绳与滑轮间的摩擦。已知，滑块A与斜面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，弹簧的劲度系数。若弹簧原长时弹性势能为0，弹簧伸长x时的弹性势能为。（，）下列说法正确的是（　　） A．释放B球前，B球对手的压力为10N B．滑块A向上滑行0.2m时速度最大 C．滑块A向上滑行过程中的最大速度为 D．弹簧、滑块A和B球组成的系统在滑块A向上滑行过程中损失的机械能为0.8J 【答案】ACD 【详解】A．释放B球前用手托住球B，此时弹簧刚好处于原长，设绳子拉力为T，滑块A刚要沿斜面向上运动可知 对B受力分析，设手的托力为F ， 根据牛顿第三定律可知，手受到B球的压力为10N，A正确； B．松手后，A做加速度减小的加速运动，当A受到的合力为零时，速度最大，当A加速度为零时，B的加速度也为零，对A受力分析得， 代入解得 ， B错误； C．根据能量守恒定律，松手后到滑块A最大速度时，据能量守恒定律得，解得  ，C正确； D．当滑块A向上滑行的最大距离时，A、B的速度都为0，物块B的重力势能转化为A的重力势能、弹性势能和摩擦产生的内能，根据能量守恒定律 解得 在此过程中系统损失的机械能等于克服摩擦力做的功，D正确。 故选ACD。 综合拓展练（测试时间：25分钟） 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，半径为R=0.2m的光滑圆弧轨道AB固定在光滑水平地面上，A点与圆心O等高，圆弧轨道与放在地面上质量为M=3kg的长木板上表面相切于B点。现将质量m=1.0kg的小物块（视为质点）从A点由静止释放，小物块从B点离开圆弧后滑上长木板，一段时间后共速，继续运动一段时间后，长木板与右侧竖直墙壁碰撞后以原速率反弹（碰撞时间忽略不计）。已知小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，重力加速度g=10m/s2，求： (1)小物块滑至圆弧末端B点时对圆弧轨道的压力大小； (2)小物块从滑上长木板到两者第一次共速过程中产生的热量及小物块相对长木板滑行的位移大小； (3)长木板与墙碰撞后，长木板与小物块再次共速时的速度大小。 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）根据题意由A运动到B的过程中，由机械能守恒得 解得 由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律得小物块对圆弧轨道的压力大小为 （2）小物块滑上长木板后，设共同速度为，设水平向右为正方向，由系统动量守恒可得 解得 小物块从滑上长木板到两者第一次共速过程中产生的热量为 解得 根据功能关系有 解得 （3）设水平向左为正方向，碰撞后的共同速度为，由动量守恒定律可得 解得 12．（24-25高一下·陕西榆林·期末）如图所示，有一个可视为质点、质量的小物块，初速度为零，经由水平顺时针转动的传送带从最左端A送到最右端B，滑过光滑水平面后，滑上紧靠面末端的质量的静止长木板。已知传送带速度恒为，传送带间长度，木板上表面与面相平，木板下表面光滑，小物块与传送带、长木板上表面间的动摩擦因数均为0.40。长木板足够长，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小物块到达点的速度大小； (2)木板获得的最大速度； (3)整个运动过程中，因摩擦产生的热量（结果可用分数表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小物块在传送带上做匀加速直线运动时，由牛顿第二定律 解得小物块的加速度 若物块在传送带上做匀加速直线运动的末速度与传送带的速度相等时，根据运动学公式，解得物块做匀加速直线运动的位移 所以物块到达传送带端前已经与传送带同速，物块与传送带共速后物块做匀速直线运动，物块滑上光滑的水平面也做匀速直线运动，所以 （2）小物块在长木板上运动的过程中，对于小物块根据牛顿第二定律，解得 对于长木板根据牛顿第二定律，解得 当小物块与长木板共速时长木板的速度最大，设经过时间小物块与长木板共速，根据运动学公式，时刻小物块的速度 长木板的速度， 联立解得时间 长木板获得的最大速度 （3）物块在传送带上做匀加速直线运动时，根据运动学公式，解得 在此过程中传送带的位移，解得 小物块的位移，解得 小物块与传送带的相对位移，解得 小物块与传送带因摩擦产生的热量，解得 从小物块滑上长木板到两物体相对静止的过程中，小物块的位移，解得 长木板的位移，解得 小物块与长木板的相对位移 小物块与长木板因摩擦产生的热量，解得 整个过程中因摩擦产生的热量，解得 13．（23-24高一下·四川南充·期末）如图，水平光滑平台左端固定一竖直挡板，轻质弹簧左端与其相连；平台右方有一光滑圆弧轨道CD，半径，圆心角，半径OD与水平光滑轨道DE垂直；DE与长为的水平传送带EF等高，传送带静止不动。一质量的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，弹簧的弹性势能，滑块离开弹簧后从平台边缘B点水平飞出，刚好在C点沿切线滑入圆弧轨道CD，最终停在传送带正中央。不计空气阻力，g取，。 （1）求滑块离开平台时的速度大小以及运动到C点的速度大小； （2）求滑块与传送带之间的动摩擦因数； （3）若传送带以速度逆时针匀速转动，只考虑滑块从滑上传送带到第一次离开传送带的过程，求滑块与传送带间因摩擦产生的热量。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）弹性势能转化成物体的动能，则 解得 在C点，分解速度可得 （2）滑块从C点到D点，由动能定理可知 解得 滑块从D点到传送带正中央，由能量守恒可知 解得 （3）滑块滑上传送带时的速度 滑块向右做匀减速直线运动至速度为0，根据牛顿第二定律 由可知 此时滑块位移 传送带位移 滑块与传送带间因摩擦产生的热量 由于滑块速度为0时，解得 故不会从传送带右端离开。然后滑块向左匀加速至与传送带共速 此过程滑块位移 传送带位移 滑块与传送带间因摩擦产生的热量 以后滑块与传送带一起匀速至离开传送带，滑块与传送带间因摩擦产生的总热量 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 机械能及其守恒定律（期末复习讲义） 目录 2 【知识梳理·方法技巧】 2 知识点01 功与功率 2 知识点02 重力势能与弹性势能 3 知识点03 动能与动能定理 4 知识点04 机械能守恒定律 4 知识点05 功能关系总结（期末必背） 4 【典例引领·即时检测】 5 题型1 求解变力做功 5 题型2 机车的两种启动方式 6 题型3 动能定理求解多过程问题 8 题型4 绳连接体的机械能守恒 10 题型5 杆连接体的机械能守恒 12 题型6 弹簧连接体机械能守恒 14 题型7 匀质链条下滑问题 15 题型8 能量守恒定律在传送带中的应用 16 题型9 能量守恒定律在板块问题中的应用 16 【考场练兵·分层实战】 20 基础通关练（测试时间：8分钟） 20 重难突破练（测试时间：15分钟） 21 综合拓展练（测试时间：25分钟） 24 1.分值占比 本专题为高一物理必修二最难、分值最高板块，期末考试总分占比20-28分。单选、多选、填空、实验、压轴计算题全部出题，综合性极强，结合直线运动、曲线运动、圆周运动综合考查，是拉开分数的核心重难点。 2.核心考查方向 （1）基础层：功的正负判断、恒力做功计算、功率定义式与推导式辨析 （2）中层：势能变化规律、动能定理理解、机械能守恒条件判断 （3）拔高层：机车启动两类模型、变力做功、传送带能量问题 （4）综合层：竖直圆周运动+机械能守恒、连接体系统机械能守恒压轴大题 3.命题特点 命题综合性极强，喜欢结合生活情景：汽车启动、滑道运动、弹簧模型、链条滑落、传送带运送物体。侧重考查能量思想、全过程分析，不需要复杂受力分析，弱化加速度、强化能量守恒。 4.高频易错点 （1）混淆平均功率与瞬时功率公式，乱用 （2）判断功的正负出错，夹角判断错误 （3）重力势能参考平面随意选取，混淆势能变化与势能大小 （4）忽略机械能守恒条件，有摩擦力、拉力仍乱用守恒 （5）机车启动混淆匀加速最大速度、额定速度 （6）系统机械能守恒遗漏弹簧弹力、内力做功 必备知识 知识点01 功与功率 1. 功的定义与计算公式 一个物体在力的作用下发生位移，力对物体做功。做功两个必要因素：力、力方向上的位移。 恒力做功公式： 说明：本公式只适用于恒力做功，l为对地位移，为力与位移夹角。 2. 功的正负判断（必考） 夹角范围 做功正负 物理意义 正功 动力，促进物体运动 不做功 力与位移垂直，不改变速率 负功 阻力，阻碍物体运动 3. 功率（描述做功快慢） （1）平均功率 定义式：（通用所有情况） （2）瞬时功率 推导式：（为力与瞬时速度夹角） （3）机车专用功率公式 牵引力与速度共线： 4. 正负功物理总结 合外力做正功，动能增加；合外力做负功，动能减小；重力做正功，重力势能减小；弹力做正功，弹性势能减小。 知识点02 重力势能与弹性势能 1. 重力势能 （1）公式： （2）性质：①相对性，h相对于零势能参考面；②标量，有正负、无方向，其正负表示大小；③系统属性，属于物体与地球共有。 2. 重力做功与重力势能变化关系： （1）重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。 （2）重力做功只与初末位置高度差有关，与运动路径无关。 3. 弹性势能 （1）产生条件：物体发生弹性形变；常见模型：弹簧、橡皮筋。 （2）规律：形变量越大，弹性势能越大；弹力做正功，弹性势能减小。 知识点03 动能与动能定理 1. 动能 （1）公式： （2）性质：标量、恒为正值、只有大小没有方向。 2. 动能定理（万能解题神器） （1）内容：合外力对物体所做的功，等于物体动能的变化量。 （2）公式： 3. 动能定理四大优点 ①无需分析加速度、不用判定运动性质；②无需关注中间过程，只看初末状态；③适用于恒力、变力；④适用于直线、曲线运动。 4. 总功两种计算方法 方法一：先求合力，再算合力做功； 方法二：分别求各个力做功，代数相加。 方法三：先求动能变化ΔEk，再利用动能定理W合＝ΔEk求功。 知识点04 机械能守恒定律 1. 机械能组成 机械能是动能、重力势能与弹性势能的总和，重力势能和弹性势能都属于势能范畴。 2. 守恒判定条件（必考背诵） 只有重力或系统内的弹力做功，其他力不做功或者总功为零，系统的机械能总量保持不变。 3. 三大表达公式 （1）状态式：（初态机械能=末态机械能） （2）转化式：，系统增加的动能等于减少的重力势能（或弹性势能） （3）转移式：，A物体增加的机械能等于B物体减少的机械能 4. 单体与系统区别 单个物体：只有重力做功机械能守恒；含弹簧、多个物体：必须看成系统，内力做功不消耗机械能。 知识点05 功能关系总结（期末必背） 做功的力 能量变化关系 公式 合外力 动能变化 重力 重力势能变化 弹簧弹力 弹性势能变化 除重力弹力外其他力 机械能变化 滑动摩擦力 内能产生 题型1 求解变力做功 题｜型｜解｜读 变力做功是高一期末考查变力做功的核心题型，无法直接使用恒力做功公式计算，需根据题目情景选择对应方法，期末常考方法分为以下四类： 1.动能定理法：这是变力做功最常用的方法，先确定物体初末状态的动能，分析过程中所有恒力做的功，利用W合=ΔEk，即可间接求出变力做的功。 2.平均力做功法：若变力的大小随位移线性变化，可先求出初末位置变力的平均值，再按恒力做功公式计算做功，典型应用为弹簧弹力做功。 3.功率法：若变力的功率保持恒定，可利用W=Pt计算变力做的功，典型应用为机车恒定功率启动过程中牵引力做功。 4.微元法：将整个过程分割为无数个小段，每一小段可近似看做恒力做功，计算出每一小段的功再求和即可，适用于大小不变、方向始终与运动方向共线的变力。 【典例1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图所示的装置由一半径为的半圆管与半径为的半圆管组合而成，将装置固定在水平面上，一直径略小于圆管内径的小球置于M点，该小球受到一方向始终沿轨道切线方向的外力，且保持其大小F不变，当小球由M点运动到管口的另一端N点的过程中，该外力对小球所做的功为（    ） A．0 B．FR C． D． 【即时检测1】（24-25高一下·贵州毕节·期末）如图甲，质量为1kg的物体静止在光滑水平面上，受到水平向右的力F作用后开始运动。力F随物体运动的位移x变化关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．前5m内物体做匀加速运动 B．前5m内力F对物体所做的功为50J C．位移为5m时物体的速度为m/s D．位移为5m时力F的功率为100W 【即时检测2】（24-25高一下·山东菏泽·期末）某游乐场有一种多锤敲钉子的娱乐活动，一位游客6锤刚好把一颗钉子垂直锤进木板，假设每次锤击做功相同，且钉子所受木板阻力与深度成正比。求钉子第1次与第5次进入木板的深度之比（　　） A． B． C． D． 题型2 机车的两种启动方式 题｜型｜解｜读 机车启动问题是期末考查功率的核心题型，两类启动方式的运动过程分析、速度变化规律、最大速度求解是考查重点，解题核心公式为，当机车达到最大速度时，牵引力与阻力大小相等，即，此时最大速度。两类启动方式的过程规律如下： 1. 恒定功率启动 运动过程：机车以额定功率启动后，由可知，速度增大时牵引力 减小，加速度也随之减小，机车做加速度逐渐减小的加速直线运动，直到()减小到与阻力()相等时，加速度减为0，达到最大速度，之后保持最大速度匀速运动。 2. 恒定加速度启动（匀加速启动） 运动过程：第一阶段，保持加速度不变，则牵引力()恒定，由()可知，随着速度()增大，输出功率(P)逐渐增大，直到功率增大到额定功率()，匀加速阶段结束，此时匀加速的末速度，匀加速能达到的最大速度小于最终的最大速度；第二阶段，功率已经达到额定功率不再变化，之后速度继续增大时牵引力逐渐减小，加速度逐渐减小，做加速度减小的加速运动，直到牵引力减小到等于阻力(f)，达到最终最大速度，之后保持匀速运动。 这类问题高频易错点是混淆“匀加速阶段的最大速度”和“机车最终的最大速度”，解题时需要先判定启动方式，分阶段分析运动过程，抓住“功率达到额定功率”是匀加速阶段结束的节点，再对应计算相关物理量即可。 【典例2】（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）（多选）一段公路由一部分下坡路与一部分水平路组成，下坡路的坡度较小，汽车在下坡路和水平路上行驶受到的阻力大小均为。一辆质量为m的汽车从下坡路的顶端由静止启动，其运动的图像如图所示，OA段为直线，从时刻开始汽车的功率保持恒定。则由图像可知（　　） A．汽车运动过程中的最大功率为 B．从时刻开始，汽车在水平路段行驶 C．在时间内，汽车的加速度逐渐减小 D．在时间内，汽车的牵引力恒定，其大小为 【即时检测1】（24-25高一下·四川绵阳·期末）（多选）一辆汽车在平直公路上由静止启动，汽车输出功率P与汽车速度v的关系图像如图所示，当汽车速度达到后，汽车的功率保持恒定，汽车能达到的最大速度为，若运动过程中汽车所受阻力恒为f，汽车的质量为m，下列说法正确的是（　　） A．汽车先做匀加速运动，后做匀速运动 B．汽车速度为时，加速度大小为 C．汽车从静止到速度通过的位移为 D．若汽车速度达到所用时间为t，则经过的位移为 【即时检测2】（24-25高一下·辽宁·期末）（多选）一辆电动平衡车含骑手的总质量约为80kg，在一次户外骑行中平衡车在平坦道路上以恒定功率加速，受到的阻力不变，其加速度随速度的倒数的变化规律如图所示（图像与纵轴交点为，与横轴交点为0.02，则平衡车在加速过程中（    ） A．速度增大时加速度减小 B．当速度为时，加速度大小为 C．输出功率为12kW D．所受阻力大小为240N 题型3 动能定理求解多过程问题 题｜型｜解｜读 多过程问题往往包含多个不同的运动阶段，受力、运动性质都可能发生变化，使用牛顿运动定律分析需要逐段拆分讨论，过程繁琐，而动能定理只需要关注初末状态，不需要分析中间过程的细节，是解决这类问题最优方法。解题基本步骤如下： 1.划分运动过程，明确物体的初状态速度和末状态速度，确定动能变化量。 2.对研究物体进行受力分析，计算每个力在整个过程中做的总功，注意力做功的正负判断。 3.列动能定理方程()，代入数据求解对应物理量。 多过程问题中，既可以分段应用动能定理逐段列方程，也可以直接对整个全过程列方程，灵活选择整体分析的方法，能有效简化计算过程。 【典例3】（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图所示，某体质训练比赛中，选手需要借助悬挂在高处点的轻绳、静止在水面上的浮台从左岸到达右岸。一选手（可视为质点）在左岸抓住绳，此时绳与竖直方向夹角，然后由静止开始运动摆到最低点时选手处于浮台正上方，但脚恰好未与浮台接触，此时松手，选手落到浮台后立即与浮台共速，一同向右侧岸边运动；当浮台速度减为原来的一半时，恰要撞上岸边，选手立即以的速度水平向右跳离浮台，跳离瞬间浮台以的速度水平向左运动。已知选手的质量，绳的长度，浮台向右移动时水的阻力大小恒定，不计空气阻力，重力加速度取。 (1)求选手摆到最低点时对绳的拉力大小； (2)求浮台的质量； (3)若该过程浮台向右移动的距离，求其所受水的阻力大小。 【即时检测1】（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图所示，在竖直面内，粗糙的斜面轨道的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝0.2m，现有一个质量m＝0.1kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，物体恰好能到达斜面上A处。已知DE距离h＝0.6m，物体与斜面间的动摩擦因数。重力加速度。（取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求： (1)物体第一次到达C点时对轨道的压力大小； (2)斜面上A、B两点间的距离L； (3)物块在斜面上滑行的总路程s。 【即时检测2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）载人登月是我国的“探月工程”计划中实质性的目标。假设航天员登上月球后，在一处斜坡附近自高处的点以初速度水平抛出质量为的小球，小球落到月面上的点，如图所示，测量出小球的水平射程为，已知月球半径为，引力常量为。（和远小于月球半径） (1)求月球表面处的重力加速度大小； (2)求月球的质量； (3)随后，航天员将一个质量也为的物块放在坡面上，物块从点由静止开始沿斜坡自由滑下，然后在月面上前进至点停下，在图中均未画出，且两点间的水平距离为，假设在转角处物块的速度大小不变，已知物块与月面（含坡面）间的动摩擦因数为，求物块在段运动的过程中摩擦力所做的功。 题型4 绳连接体的机械能守恒 题｜型｜解｜读 绳连接体问题中，两个物体通过不可伸长的轻绳连接，运动过程中两物体的速度大小通常相等，部分特殊情况需沿绳方向分解速度得到速度关系。由于轻绳的弹力对两个物体做的总功为零，系统只有重力做功，因此系统机械能守恒，解题基本步骤如下： 1.确定研究系统，明确守恒过程，选好零势能面，确定系统的初末机械能。 2.分析运动关系，得到两物体的速度、位移关系，注意重力势能变化的正负。 3.列机械能守恒方程求解，必要时结合受力分析验证结果。 【典例4】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）（多选）如图所示，物块甲套在光滑的细直杆上，杆倾斜固定放置，与水平方向夹角为，轻质细线跨过光滑定滑轮，与物块甲、乙相连，物块甲、乙的质量均为m。甲在平行于杆方向的拉力作用下静止在A点，此时与甲连接的细线刚好水平，滑轮与A点的间距为2L，乙悬在空中。现让甲从A点由静止释放，当甲运动到B点时，与甲连接的细线刚好与杆垂直，重力加速度为g，运动中细线始终伸直，则甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块甲、乙组成的系统机械能守恒 B．细线对物块乙所做的功为－mgL C．物块甲的重力势能增加了 D．物块甲经过B点时的动能为 【即时检测1】（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图甲所示，可视为质点的a、b两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，a球在外力作用下静止在地面，b球悬空。取地面为重力势能的零势能面，从t＝0时静止释放a球，到b球落地前的过程中，a、b两球的重力势能随时间t的变化关系如图乙，a始终没有与定滑轮相碰，忽略空气阻力，重力加速度g取。则（　　） A．a、b两球质量之比为2：3 B．b球落地时的动能为3J C．t＝0.6s时，a球离地的高度为0.9m D．当b球的重力势能与动能相等时，b球距地面的高度为0.5m 【即时检测2】（24-25高一下·广西河池·期末）（多选）如图所示，不可伸长的轻绳的一端绕过固定在墙上O点的光滑轻质小定滑轮（大小可忽略），与套在光滑固定水平杆上的小物块A连接，另一端连接小球B。从图中位置P由静止释放小物块A，当A向右运动经过位置Q时速度大小为vA，此时轻绳与杆的夹角为α（0°<α<90°），已知A和B的质量相等，O点到水平杆的距离为H，重力加速度大小为g，则（　　） A．小物块A经过位置Q时小球B的速度大小为vB=vA B．小物块A从位置P运动到位置Q时，小球B下降的高度为 C．位置P与位置Q之间的距离大于小球B下降的高度 D．位置P与O点之间的距离为 题型5 杆连接体的机械能守恒 题｜型｜解｜读 杆连接模型是期末机械能守恒考查的经典题型，这类问题通常将两个物体通过轻杆连接，绕固定转轴转动，两物体角速度大小相等，线速度大小与转动半径成正比，且轻杆的弹力对一个物体做正功时，会对另一个物体做负功，总功为零，因此将两物体看做系统时，只有重力做功，系统机械能守恒。解题基本步骤如下： 1. 确定研究系统，判断是否满足机械能守恒条件，明确两物体线速度的关系； 2. 选取零势能参考面，确定系统初态和末态的机械能，找到重力势能的变化量与动能变化量； 3. 根据机械能守恒列方程，结合线速度关系联立求解未知量。 这类问题的易错点是容易忽略杆弹力做功，单独对单个物体应用机械能守恒出错，因此需要将两物体看成系统，利用系统机械能守恒定律求解。 【典例5】（24-25高一下·广西南宁·期末）（多选）如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距L，B放在地面上。A、B通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，A、B可视为质点，重力加速度大小为g，A落地后不反弹。则（　　） A．A一直加速，B也一直加速 B．在A落地之前轻杆对B一直做正功 C．A刚到达地面时的速度大小为 D．当A的机械能最小时，水平面对B的支持力大小为mg 【即时检测1】（24-25高一下·江西宜春·期末）（多选）如图所示，固定光滑斜面的倾角为，与光滑水平面在点连接。质量均为的两个小球、用长为的轻杆相连，外力作用在小球上，使得小球靠在斜面上，小球位于水平面上的点。撤去外力后两球由静止开始运动。重力加速度大小为，取，。对于从两球开始运动到轻杆与水平面的夹角为的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的动能增加量大于小球的动能增加量 B．小球的动能增加量为 C．小球的机械能减少量等于b球的动能增加量 D．轻杆对小球做的功小于 【即时检测2】（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图所示，一倾角的光滑倾斜轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上M点的左侧光滑、右侧粗糙且足够长。质量均为的滑块A和B，用长且与斜面平行的轻杆相连，置于光滑倾斜轨道上，B到斜面底端P点的距离、两点的距离均为L，滑块与粗糙轨道间的动摩擦因数均为。两滑块可视为质点，不计两滑块经过P点的机械能损失，重力加速度g取。现同时静止释放A、B，求： (1)A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量； (2)A从释放运动到P点过程中，轻杆对A做的功； (3)A停止运动时的位置与M点的距离。 题型6 弹簧连接体机械能守恒 题｜型｜解｜读 弹簧连接体模型通常以弹簧和多个物体组成系统，在运动过程中，弹簧的形变量会发生变化，弹性势能随之改变，只有重力和系统内弹簧的弹力做功，因此整个系统满足机械能守恒条件。这类问题需要特别注意：弹簧弹性势能的大小只和形变量有关，若初态和末态弹簧形变量相同，系统初末态的弹性势能相等，计算中可以相互抵消，简化求解过程。解题基本步骤如下： 1. 确定研究系统，分析各力做功情况，判断系统是否满足机械能守恒条件； 2. 明确弹簧初态和末态的形变量，确定初末状态弹性势能、动能和重力势能的大小； 3. 根据机械能守恒列方程，代入相关关系求解未知量。 这类问题的高频易错点，是计算系统机械能时遗漏弹簧的弹性势能，或是忽略初末态弹性势能的变化，因此分析状态时，一定要注意弹簧形变量的变化，将弹性势能纳入系统机械能中计算。 【典例7】（24-25高一下·山东泰安·期末）（多选）如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 【即时检测1】（24-25高一下·宁夏银川·期末）如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（　　） A． B． C． D． 【即时检测2】如图，有一条长为的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，链条由静止释放后开始滑动，重力加速度g=10m/s2，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（　　）    A．m/s B．5m/s C．m/s D．m/s 题型7 匀质链条下滑问题 题｜型｜解｜读 匀质链条下滑问题是机械能守恒定律的经典应用题型，匀质链条的重力势能需要根据其重心位置来计算，解题的核心是准确计算初态和末态链条各部分的重力势能，进而得到系统重力势能的变化量，结合动能变化利用机械能守恒求解末速度。这类问题常见的情景为：链条一部分光滑水平桌面上，另一部分悬空，由静止释放后链条下滑，求解链条离开桌面时的速度，解题基本步骤如下： 1. 选取零势能参考面，通常将初始时桌面位置设为零势能面，方便计算； 2. 分别计算初始时桌面上链条和悬空部分链条的重心位置，进而得到初始状态整个链条的总重力势能； 3. 计算链条刚好全部离开桌面时的重心位置，得到此时链条的总重力势能； 4. 整个过程中只有重力做功，链条机械能守恒，根据初末态机械能相等列方程，求解对应物理量。 这类问题的易错点是重心位置判断错误，计算重力势能时错误将整段链条的重力势能按端点位置计算，因此一定要结合匀质链条质量分布均匀的特点，重心在各段的几何中心，分段计算再求和即可。 题型8 能量守恒定律在传送带中的应用 题｜型｜解｜读 传送带问题是期末能量守恒考查的热点题型，解题核心需要抓住两个关键规律：一是物体和传送带间的滑动摩擦力对物体做正功，改变物体的动能，二是滑动摩擦力乘以物体与传送带间的相对位移，等于系统产生的内能，总能量守恒，物体增加的机械能加上系统产生的内能，等于电动机多做的功。这类问题通常分水平传送带和倾斜传送带两种情景分析： 1.水平传送带 若传送带匀速运动，物体无初速度轻放在传送带上，滑动摩擦力带动物体加速，直到物体和传送带共速后一起匀速运动。此过程中，物体动能的增加量等于滑动摩擦力对物体做的功，系统产生的内能Q=f·x相对，其中x相对是传送带位移减去物体的位移，电动机多消耗的电能等于物体增加的动能加上产生的内能。 2.倾斜传送带 倾斜传送带需要额外考虑重力势能的变化，除了动能变化和内能产生，物体上升过程中重力势能也会增加，总能量关系为：电动机多做的功等于物体增加的动能加上增加的重力势能，再加上系统产生的内能。解题基本步骤为：先分析物体受力和运动过程，计算物体加速到共速的位移、时间，再求出传送带的位移，得到相对位移，分别计算动能变化、重力势能变化和内能，最后利用能量守恒关系列式求解。 这类问题的易错点是混淆物体位移和相对位移，错把物体位移当成相对位移计算内能，解题时一定要区分对地位移和相对位移的不同物理意义，对地位移用来计算摩擦力对物体做的功，改变物体动能，相对位移用来计算系统产生的内能。 题型9 能量守恒定律在板块问题中的应用 题｜型｜解｜读 板块问题是能量守恒定律和功能关系的综合应用经典题型，通常由滑块和木板组成，两者间通过滑动摩擦力相互作用，滑动摩擦力对滑块做负功，对木板做正功，一对滑动摩擦力做的总功等于系统机械能的减少量，减少的机械能全部转化为内能，即，其中是滑块与木板间的相对路程，这是解题的核心规律。这类问题通常分为滑块从一端滑到另一端、滑块最终与木板共速、滑块在木板上往复运动几类情景，解题的基本步骤如下： 1.先通过受力分析，明确滑块和木板各自的运动性质，计算两者运动的加速度，结合运动学公式求解共速时间或相对位移； 2.分别计算滑块、木板的动能变化，根据能量守恒，系统损失的动能等于摩擦力产生的内能，即； 3.若水平面不光滑，还需要考虑木板与地面间摩擦力做功消耗的能量，总能量守恒关系为：滑块初始动能等于末态总动能加上滑块与木板间的内能，再加上克服地面摩擦力做的功。 这类问题的高频易错点是混淆相对位移和绝对位移，且往复运动情景中相对位移是总路程不是位移，只要抓住“滑动摩擦力乘以相对路程等于产生的内能”这一核心，结合动能定理和能量守恒分析即可正确求解。 【典例8】（24-25高一下·江西宜春·期末）一杂技演员踩小独轮车沿图示路径表演。轨道是由水平直轨道和圆弧轨道构成，两轨道在点相切，是倾角为的传送带，连线水平，间距，轨道和传送带在同一竖直平面内。演员沿轨道行进，在点腾空，在点沿方向以臀部接触传送带的坐姿滑上传送带。演员裤料和传送带间的动摩擦因数，传送带长，以的速度顺时针匀速转动，演员的质量为，重力加速度取，独轮车的质量不计，演员和独轮车均可视为质点，不计空气阻力，求： (1)演员在点的速度大小； (2)演员从运动到的过程中，传送带对演员所做的功。 【即时检测1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图所示，某固定装置由长度的水平传送带，圆心角、半径的两光滑圆弧管道BC、CD及粗糙水平面DE组成，且处有一竖直挡板，装置各部分间平滑连接。质量的物块从传送带左端A点由静止释放经过BCD滑出圆弧管道。已知传送带以速度顺时针转动，物块a与传送带的动摩擦因数为，物块与粗糙水平面的动摩擦因数，DE长度，物块视为质点，不计空气阻力，取重力加速度。 (1)求物块第一次到达点过程中与传送带之间因摩擦产生的热量； (2)求物块第一次到达点时对管道的作用力； (3)物块每次与挡板碰撞后均按原速率反弹，求最终物块停止的位置。 【即时检测2】（24-25高一下·海南海口·期末）如图所示，静止的水平传送带的左端有一固定的半径为的竖直四分之一光滑圆弧轨道，末端B点与长为的传送带相切，右端有一固定的倾角为30°的光滑斜面。一质量为的滑块（可视为质点）从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经过C点后立即让传送带以的速率顺时针方向匀速转动，滑块第一次冲上斜面能达到的最高点为D。已知传送带与滑块间的动摩擦因数为，不计空气阻力，滑块经过B和C点时均无碰撞造成机械能损失，重力加速度。求： (1)滑块经过B点时受到轨道的支持力FN大小和C、D两点间的距离d； (2)滑块第二次滑上传送带后，向左滑行的最远距离x0和向左运动的时间； (3)滑块从第二次滑上传送带到离开传送带过程中，滑块与传送带之间因摩擦而产生的热量Q。 【典例9】（24-25高一下·福建南平·期末）如图，水平地面上固定放置一光滑斜面，紧靠斜面右侧有一小车，其上表面与点等高，斜面末端与小车左端平滑连接。小车上表面右端固定有一轻弹簧，初始时弹簧处于原长，水平地面距小车右端m处有一固定的竖直墙壁，墙壁与小车等高处安装一锁定装置。现将一可视为质点的物块从斜面顶端点由静止开始滑下，从点滑上小车，当小车运动到墙壁时立即被锁定。已知、两点高度差为m，物块质量为kg，小车质量kg、长度m，物块与小车上表面的动摩擦因数，弹簧原长m，物块向右运动过程中弹簧的最大压缩量m，水平地面光滑，重力加速度m/s²。求： (1)物块刚滑到点时的速度大小； (2)物块刚与弹簧接触时的速度大小； (3)物块最终停止的位置与小车左端的距离。 【即时检测1】（24-25高一下·河南郑州·期末）如图所示，质量为的足够长木板放在粗糙水平面上，长木板的左端紧靠一平台且上表面与光滑平台平齐。半径为的光滑圆弧形轨道固定在平台上，且圆弧底端与平台相切。质量为、可视为质点的物体由距离平台高处静止释放，物体刚好由圆弧轨道的最高点进入圆弧轨道，物体运动到最低点时对轨道的压力为。现将物体从处静止释放，经过一段时间后从圆弧滑下，经光滑平台滑上长木板；当物体在长木板上相对长木板滑动的距离为时，物体与长木板达到共同速度，且该过程中物体运动的位移是长木板运动位移的4倍。重力加速度取。求： (1)物体的质量； (2)物体与长木板之间的动摩擦因数，长木板与水平面之间的动摩擦因数； (3)试判断物体与木板共速后各自的运动性质，要求写出判断理由；并求出共速后到静止的过程中，木板损失的机械能。 【即时检测2】（河南驻马店·期末）如图所示，固定斜面的倾角为，斜边长。从斜面顶端由静止释放一质量为的小物块，到达斜面底端时，滑上放在光滑水平地面上的长木板。假定物块从斜面底端滑上长木板时速度大小不变，物块与斜面间的动摩擦因数，与长木板间的动摩擦因数为，长木板质量为且足够长，物块不会从木板上滑落。已知重力加速度g大小取，，，求： （1）物块在斜面上运动过程中，摩擦力做的功； （2）物块滑到斜面底端时，重力做功的功率； （3）物块在和长木板相互作用过程中，摩擦力对物块做的功及系统产生的热量各为多少?    基础通关练（测试时间：8分钟） 1．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，摆球质量为，悬线长度为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从点运动到点的过程中空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力的瞬时功率在不断增大 B．悬线的拉力做功不为 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）一辆轿车在平直公路上运行，启动阶段牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过时间，其速度由零增大到最大值，若轿车所受的阻力恒定，关于轿车的速度、牵引力、功率随时间变化的情况不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图所示，固定在地面上的光滑斜面，其顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，重力加速度为g，则小球从A到C的过程中弹簧弹力做的功为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京海淀·期末）如图所示，质量为m的小球从距桌面h1高处的A点由静止释放，自由下落到地面上的B点，桌面离地高为h2。选择桌面为参考平面，忽略空气阻力影响，则小球（　　） A．在A点时的重力势能为 B．在A点时的机械能为 C．经过桌面时的动能为 D．在B点时的机械能为 5．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为f，则（　　） A．f对木块做功为 B．f对子弹做功为 C．木块与子弹间一对摩擦力的总功为 D．该过程中系统动能的减少量为 重难突破练（测试时间：15分钟） 6．（多选）如图甲所示，在水平地面上放置一木块，其质量，木块在水平推力F作用下运动，推力F的大小随位移x变化的图像如图乙所示。已知木块与地面间的动摩擦因数，重力加速度g取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．木块先做匀变速直线运动，后做匀速直线运动 B．木块运动的过程中，其克服摩擦力所做的功 C．木块运动的过程中，合力做的功为 D．木块在运动过程中的加速度一直变大 7．（24-25高一下·江西赣州·期末）（多选）一遥控玩具汽车以5W的恒定功率在水平地面上由静止开始做直线运动，其运动速度的倒数与加速度a的关系如图所示，若玩具汽车受到的阻力恒定，则下列结论正确的是（　　） A．玩具汽车的最大速度为5m/s B．玩具汽车的质量为1.0kg C．玩具汽车所受阻力大小为2N D．玩具汽车的加速度大小为时的速度大小为1.5m/s 8．（25-26高三上·河南驻马店·期末）（多选）如图甲所示，质量的物块在恒定拉力F的作用下由静止开始沿水平地面做直线运动，其位置坐标与速度的平方的关系图像如图乙所示。已知拉力，方向与水平方向的夹角为37°，经10s撤去拉力。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，，重力加速度大小，下列分析正确的是（　　） A．撤去拉力前，物块运动的加速度大小为 B．物块与水平地面间的动摩擦因数为0.125 C．撤去拉力时，物块的动能为12.5J D．物块最终停在处 9．（24-25高一下·河南商丘·期末）（多选）如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆轨道与水平面连接并相切于C点，绷紧的水平传送带AB（足够长）与光滑水平平台BC连接。电动机带动水平传送带以恒定的速率顺时针匀速转动，在水平平台上有一质量的物体（可视为质点）以的速度向左滑上传送带，经过2s物体的速度减为零，物体返回到平台后沿着半圆轨道刚好能运动到E点（物体从E点飞出后即被取走），重力加速度g取，不计空气阻力，在连接处没有能量损失。则（　　） A．物体滑上传送带后做匀减速直线运动加速度大小为 B．物体与传送带之间的动摩擦因数为0.2 C．半圆轨道的半径为0.5m D．物体在传送带上滑动过程中系统产生的热量等于150J 10．（24-25高一下·重庆·期末）（多选）如图所示，在倾角为37°的斜面上，轻质弹簧一端连接固定在斜面底端的挡板C上，另一端连接滑块A。一轻细绳通过斜面顶端的定滑轮（质量忽略不计），一端系在物体A上，另一端与球B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住球B，此时弹簧长度为原长，滑块A刚好要沿斜面向上运动。现在由静止释放球B，不计轻绳与滑轮间的摩擦。已知，滑块A与斜面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，弹簧的劲度系数。若弹簧原长时弹性势能为0，弹簧伸长x时的弹性势能为。（，）下列说法正确的是（　　） A．释放B球前，B球对手的压力为10N B．滑块A向上滑行0.2m时速度最大 C．滑块A向上滑行过程中的最大速度为 D．弹簧、滑块A和B球组成的系统在滑块A向上滑行过程中损失的机械能为0.8J 综合拓展练（测试时间：25分钟） 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，半径为R=0.2m的光滑圆弧轨道AB固定在光滑水平地面上，A点与圆心O等高，圆弧轨道与放在地面上质量为M=3kg的长木板上表面相切于B点。现将质量m=1.0kg的小物块（视为质点）从A点由静止释放，小物块从B点离开圆弧后滑上长木板，一段时间后共速，继续运动一段时间后，长木板与右侧竖直墙壁碰撞后以原速率反弹（碰撞时间忽略不计）。已知小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，重力加速度g=10m/s2，求： (1)小物块滑至圆弧末端B点时对圆弧轨道的压力大小； (2)小物块从滑上长木板到两者第一次共速过程中产生的热量及小物块相对长木板滑行的位移大小； (3)长木板与墙碰撞后，长木板与小物块再次共速时的速度大小。 12．（24-25高一下·陕西榆林·期末）如图所示，有一个可视为质点、质量的小物块，初速度为零，经由水平顺时针转动的传送带从最左端A送到最右端B，滑过光滑水平面后，滑上紧靠面末端的质量的静止长木板。已知传送带速度恒为，传送带间长度，木板上表面与面相平，木板下表面光滑，小物块与传送带、长木板上表面间的动摩擦因数均为0.40。长木板足够长，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小物块到达点的速度大小； (2)木板获得的最大速度； (3)整个运动过程中，因摩擦产生的热量（结果可用分数表示）。 13．（23-24高一下·四川南充·期末）如图，水平光滑平台左端固定一竖直挡板，轻质弹簧左端与其相连；平台右方有一光滑圆弧轨道CD，半径，圆心角，半径OD与水平光滑轨道DE垂直；DE与长为的水平传送带EF等高，传送带静止不动。一质量的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，弹簧的弹性势能，滑块离开弹簧后从平台边缘B点水平飞出，刚好在C点沿切线滑入圆弧轨道CD，最终停在传送带正中央。不计空气阻力，g取，。 （1）求滑块离开平台时的速度大小以及运动到C点的速度大小； （2）求滑块与传送带之间的动摩擦因数； （3）若传送带以速度逆时针匀速转动，只考虑滑块从滑上传送带到第一次离开传送带的过程，求滑块与传送带间因摩擦产生的热量。 3 / 3 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