易错点13 多体机械能守恒问题 讲义 -2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册复习易错微专题讲练

易错点13 多体机械能守恒问题 一、易错点分析 1、对系统机械能守恒条件的判断不准确 易错点：不能准确判断多体系统是否满足机械能守恒条件，容易忽略系统内非保守力做功的情况。 2、难以确定研究对象和系统 易错点：在多体问题中，不能正确选取合适的研究对象和系统，导致无法正确应用机械能守恒定律。 对于多个物体组成的系统，需要根据问题的特点和已知条件，合理选取研究对象和系统。如果选取不当，会使问题变得复杂甚至无法求解。 3、不明确各物体机械能的变化情况 易错点：在多体系统中，不能准确分析每个物体机械能的变化情况，以及它们之间机械能的转化关系。在多体系统中，各个物体的机械能可能会发生相互转化，但系统的总机械能守恒。学 4、计算各物体的位移和速度关系错误 易错点：在多体系统中，不能正确找出各物体位移和速度之间的关系，导致在应用机械能守恒定律列方程时出现错误。在多体系统中，各物体的运动情况往往相互关联，它们的位移和速度之间存在一定的关系。 二、多物体组成的系统机械能守恒是否守恒的判断方法 看是否有其他形式的能与机械能相互转化。 三、三种守恒表达式的比较 角度 公式 意义 注意事项 守恒 观点 Ek1＋Ep1 ＝Ek2＋Ep2 系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 初、末状态必须用同一零势能面计算势能 转化 观点 ΔEk＝－ΔEp 系统减少(或增加)的势能等于系统增加(或减少)的动能 应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差 转移 观点 ΔEA增＝ΔEB减 若系统由A、B两物体组成，则A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等 常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题 四、几种常见类型 类型一：质量均匀的链条或柔软的绳索 类型二：轻绳连接的物体系统 (1)常见情景 (2)三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。(易错点) ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 类型三：轻杆连接的物体系统 (1)常见情景 (2)三大特点 ①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况： a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。 b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 题型一：质量均匀的链条模型 [例题1] （多选）（2023•喀什市校级开学）如图，长为L的链条（质量为m）被手固定在光滑桌面上，的链条垂直于桌面，松手后链条掉落，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．链条做非匀加速运动 B．链条只受重力而下滑 C．当链条刚好离开桌面时，速度 D．当链条刚好离开桌面时，速度 【解答】解：AB、对链条分析受力可知，链条在桌面上的部分受到桌面的支持力，以及该部分的重力，链条还受下垂部分的重力，对整体分析可知，垂下桌面部分链条的重力为整个链条的合外力，随着链条掉落，垂下桌面部分的链条重力的增加，链条所受的合个力变大，根据牛顿第二定律可知，随着链条的掉落，其加速度不断变大，直至全部掉下后加速度变为重力加速度，所以链条做非匀加速运动，故A正确，B错误； CD、取桌面为零势能面，设当链条刚好离开桌面时的速度为v。根据机械能守恒定律有，解得：，故C正确，D错误。 故选：AC。 [例题2] （2024春•抚顺期末）如图所示，有一根长为L，质量为M的均匀链条AB静止在光滑水平桌面上，其长度的悬于桌边外，如果在链条的A端施加一个拉力使链条AB以0.4g（g为重力加速度）的加速度运动，直到把悬着的部分拉回桌面。设拉动过程中链条与桌边始终保持接触，则拉力需做功（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，由运动学公式，悬着的部分拉回桌面时，链条的速度满足： 即： 设拉力需做功W，整个过程，由动能定理有： 联立并代入数据解得：，故C正确，ABD错误； 故选：C。 [例题3] （2023秋•石家庄月考）如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内。重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，重力的功率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：链条从静止至左侧斜面上的链条完全滑到右端的过程中，重力做功为 然后链条下端到达斜劈底端这一过程重力做功为 设链条运动至底端时速度的大小为v，有 联立解得v 可知P＝mgvsin30° 故A正确，BCD错误。 故选：A。 题型二：轻绳连接的物体系统 [例题4] （2024秋•叶县校级期末）如图所示，小滑块P套在竖直固定的光滑长杆上，小物块Q与P用跨过定滑轮的足够长无弹性轻绳连接。将P从位置a由静止释放，经过位置b时，左边轻绳刚好水平，图中ab＝bc（忽略所有摩擦），则（　　） A．滑块P从a到b的过程，物块Q先做加速运动后做减速运动 B．滑块P从a到b的过程，物块P先做加速运动后做减速运动 C．滑块P从b到c的过程，物块P先做加速运动后做减速运动 D．滑块P从b到c的过程，物块Q先做加速运动后做减速运动 【解答】解：A.将P从位置a由静止释放，刚释放的瞬间，Q向下加速运动，当P经过位置b时，根据运动的分解可知，b点P速度沿绳子方向的分速度为0，则此时Q速度也为0，由此可知，滑块P从a到b的过程，物块Q先做加速运动后做减速运动，故A正确； B.由题意可知，滑块P从a到b的过程，轻绳的拉力一直对其做正功，则其机械能增加，又因为该过程滑块P的重力势能一直在减小，则其动能一直在增加，则该过程，滑块P一直做加速运动，故B错误； CD.滑块P从b到c的过程，若P的重力一直大于绳子竖直方向的分力，则物块P和Q一直做加速运动，故CD错误。 故选：A。 [例题5] （多选）（2025•福建校级一模）如图，用光滑细杆弯成半径为R的四分之三圆弧ABCDE，固定在竖直面内，C、E与圆心O在同一水平线上，D为最低点。质量为m的小环P（可视为质点）穿在圆弧细杆上，通过轻质细绳与相同的小环Q相连，细绳绕过固定在E处的轻小光滑定滑轮。开始小环P处于圆弧细杆上B点，小环Q与D点等高，两环均处于静止状态。给小环微小扰动，使P沿圆弧向下运动。已知重力加速度为g。则下列选项正确的是（　　） A．小环P在B点静止时对细杆的压力大小为2mg B．小环P下滑到C点时，绳对P做的功为 C．小环P下滑到C点时，小环P的速度大小 D．小环P经过D点时，小环Q重力的瞬时功率 【解答】解：A.由题意知，小环Q在重力mg、细绳拉力T的作用下，处于平衡状态， 则由平衡条件可知：T＝mg， 小环P在B点静止时，受到重力mg、细绳的拉力T，杆的支持力N作用，如下图： 因为T＝mg，则由平衡条件可知，OB连线与P的重力、细绳BE的夹角相等，则结合几何关系可知：3θ＝90°， 解得：θ＝30°， 由平衡条件可得：N＝2mgcosθ， 解得：， 故A错误； C.由几何关系可得：BE＝2Rcosθ， 小环P下滑到C点时速度竖直向下，则沿绳方向速度为0，则Q的速度为0， 则小环P下滑到C点时，对该系统，根据机械能守恒定律可得： ， 解得： ， 故C正确； B.结合前面分析可知，对小环P从B点下滑到C点，由动能定理得： ， 解得绳对P做的功为： ， 故B错误； D.由几何关系可知，小环P经过D点时，细绳DE部分与水平方向的夹角为： α＝45°， 则： DEsin45°＝R， 解得： ， 此时小环P的速度vP与Q的速度vQ的关系为：vPcosα＝vQ， 对该系统，根据机械能守恒定律得： ， 联立可得：， 则此时Q的重力做功的功率为： ， 故D正确； 故选：CD。 [例题6] （2025•泰州开学）平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴水平。一细杆沿x轴固定，杆上穿有质量不计的小环A。总长为L的细线一端固定在O点，另一端系在A环上，细线上穿有质量为m的小环B。起初A环静止于O处，B环在A环正下方保持静止。已知重力加速度大小为g，不计一切阻力，结果保留根号。 （1）如图1所示，用沿杆的拉力将A环从O处缓慢移到位置，求该过程中拉力的最大值Fm以及拉力所做的功W； （2）如图2所示，将两环一起移到最右端使细线伸直，然后由静止同时释放两环。只讨论B环到达y轴之前的运动，已知此过程中绳上张力大小与OB间绳长成反比，且B环轨迹（图中虚线）最低点附近可看作半径为L的一小段圆弧。求： ①绳上张力的最大值Tm； ②两环加速度大小相等时B环位置的横坐标x2。 【解答】解：（1）当小环运动到处时拉力最大，设此时绳上张力大小为T1， 对B环有2T1cos30°＝mg，解得 A环水平方向平衡，有 根据功能关系，拉力做的功等于B环重力势能的增量，有 W＝mgΔh，，解得； （2①由于A环质量不计，所以运动过程中A环始终在B环正上方，B环到达最低点前瞬间绳上张力最大， 设此时B环的速度大小为vm，根据动能定理可得，指向圆心合力提供向心力可得，解得Tm＝mg ②设OB段绳长度l，则绳上张力大小（k为比例常数），当时，T＝Tm＝mg，得， A、B两环加速度大小相同，则B环在y方向加速度为0，设∠OBA＝α，有T+Tcosα＝mg ，解得， ， ， 由x2＝lsinα解得。 题型三：轻杆连接的物体系统 [例题7] （2024秋•金坛区校级期末）如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径0.2m的圆弧，BC部分水平，质量均为400g的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为0.2m，小球可视为质点。开始时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．a球下滑过程中机械能保持不变 B．两球都滑到水平轨道上时，a球速度大小为2m/s C．从释放小球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆不对两球做功 D．从释放小球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做功0.4J 【解答】解：ABD．从释放小球到a、b球都滑到水平轨道上，两球组成的系统满足机械能守恒，根据机械能守恒定律可得 解得a、b两球的速度大小均为 从释放小球到a、b球都滑到水平轨道上，对a球根据动能定理可得 解得 W杆＝0.4J 所以整个过程中轻杆对a球做功0.4J，a球下滑过程中机械能不守恒，故AB错误，D正确； C．从释放小球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中由于轻杆对a球做正功，所以轻杆对b球做负功，故C错误。 故选：D。 [例题8] （2025•广州一模）如图，小滑块P、Q的质量分别为m、3m，P、Q间通过轻质铰链用长为L的刚性轻杆连接，Q套在固定的水平横杆上，P和竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上。当轻杆与竖直方向的夹角α＝30°时，弹簧处于原长状态，此时，将P由静止释放，P下降到最低点时α＝60°。整个运动过程中P、Q始终在同一竖直平面内，滑块P始终没有离开竖直墙壁，弹簧始终在弹性限度内。忽略一切摩擦，重力加速度为g，在P下降的过程中（　　） A．P、Q组成的系统机械能守恒 B．两个滑块的速度大小始终一样 C．弹簧弹性势能的最大值为 D．P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q受到水平横杆的支持力大小等于4mg 【解答】解：A.不计一切摩擦，对于P、Q和弹簧三者组成的系统只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，由于弹簧的弹性势能是变化的，所以P、Q组成的系统机械能不守恒，故A错误； B.初始时P、Q的速度均为零，在P下降的过程中，Q一直沿着杆向左运动，P下降至最低点时，P的速度为零，Q速度也为零，但由速度的分解可知P、Q的速度大小不是始终一样，故B错误； C.P下降至最低点时，弹簧弹性势能最大，此时P、Q的速度都为零，由于P、Q和弹簧三者组成的系统机械能守恒，故此时弹簧弹性势能等于系统减少的重力势能，即弹簧弹性势能的最大值为：，故C正确； D.根据P、Q和弹簧三者组成的系统机械能守恒可知，当P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q的机械能最大，即Q的动能最大，速度最大，轻杆对Q的作用力为零，则水平横杆对Q的支持力大小等于Q的重力3mg，故D错误； 故选：C。 [例题9] （2024秋•新吴区校级月考）如图所示，长为L的轻杆一端连接在M处的铰链上，另一端连接在质量为2m的小球A上，轻绳穿过N处的光滑圆环，一端连接在小球A上，另一端吊着质量为m的小球B，用向上的力F拉着小球A，使A、B两球均处于静止状态，此时轻杆和连接小球A的轻绳与水平方向的夹角均为30°，铰链和圆环在同一水平直线上，不计小球大小，不计一切摩擦，重力加速度为g，某时刻撤去拉力F，从撤去F到轻杆水平的过程中，下列说法正确的是（　　） A．撤去拉力F的瞬间，小球A的加速度为零 B．轻杆对小球A做正功 C．当轻杆水平时，轻杆和轻绳对小球的拉力大小相等 D．当轻杆水平时，小球A的速度大小为 【解答】解：A．撤去拉力F的瞬间，小球A受竖直向下的重力，沿杆方向的弹力和沿绳方向的拉力，合外力不可能为零，加速度不为零，故A错误； B．杆对小球A的拉力始终沿杆的方向与小球A的速度垂直，轻杆对小球A不做功，故B错误； C．由于小球A绕铰链做圆周运动，当轻杆水平时，小球A水平方向合力指向M，杆对小球A的拉力大于绳对小球A的拉力，故C错误； D．设当轻杆水平时，小球A的速度为v，此时小球B的速度为零，根据系统机械能守恒，有 解得，故D正确。 故选：D。 [练习1] （2024秋•绿园区校级月考）如图所示，小滑块A、B的质量分别为2m、m，其中A套在固定的竖直杆上，B静置于水平地面上，A、B间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接。一轻弹簧左端与B相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平。当α＝30°时，弹簧处于原长状态，此时将A由静止释放，下降到最低点时α变为45°，整个运动过程中，A、B始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则A下降过程中（　　） A．A、B组成的系统机械能守恒 B．弹簧弹性势能的最大值为（）mgL C．竖直杆对A的弹力一定大于弹簧弹力 D．A的速度达到最大值前，地面对B的支持力大于3mg 【解答】解：A、根据能量守恒知，A、B、弹簧组成的系统机械能守恒，A、B组成的系统机械能不守恒，故A错误； B、根据系统机械能守恒可知A下降至最低点时弹簧弹性势能最大，则有 Ep＝2mgL（cos 30°﹣cos 45°）＝（）mgL 故B正确； C、对B，水平方向的合力 Fx＝F杆sin α﹣F弹＝ma 滑块先做加速运动后做减速运动，而竖直杆对A的弹力大小等于F杆sinα， 所以竖直杆对A的弹力并不是始终大于弹簧弹力，故C错误； D、A下降过程中动能达到最大前，A加速下降，对A、B整体， 在竖直方向上根据牛顿第二定律有 3mg﹣N＝2ma 则有 N＜3mg 故D错误。 故选：B。 [练习2] （2024•济南开学）如图所示，物块A用不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与置于光滑水平面上的物块B连接，物块A、B的质量均为m，施加外力使物块A、B保持静止，此时轻绳恰好处于伸直状态。某时刻撤去外力，两物块同时由静止开始运动，当物块A下落高度为h时，其加速度大小为a，方向竖直向下，此时连接物块B的轻绳与水平方向的夹角为θ，整个过程物块B始终未离开水平面，已知重力加速度为g。当物块A下落高度为h时，下列说法正确的是（　　） A．物块B的加速度大小为 B．物块B的加速度大小为（g+a）cosθ C．物块A的速度大小为 D．物块A的速度大小为 【解答】解：AB、对物块A由牛顿第二定律得：mg﹣T＝ma 对物块B由牛顿第二定律得：Tcosθ＝maB 联立解得物块B的加速度大小为：aB＝（g﹣a）cosθ，故AB错误； CD、对物块A和B整体，根据机械能守恒定律的： A、B的速度的关联如下图所示，可得A、B的速度大小关系为：vA＝vBcosθ 联立解得：，故C错误，D正确。 故选：D。 [练习3] （2024秋•建邺区校级月考）用轻杆通过铰链相连的小球A、B、C处于竖直平面内，质量均为m，两段轻杆等长，现将C球置于距地面高h处，由静止释放，假设三个小球只在同一竖直面内运动，不计一切摩擦，则在小球C下落过程中以下说法错误的是（　　） A．小球A、B、C组成的系统动量不守恒 B．小球C的机械能先减小后增大 C．小球C落地前瞬间的速度大小为 D．当小球C的机械能最小时，地面对小球B的支持力大于mg 【解答】解：A、对于小球A、B、C组成的系统，由于水平方向不受力，所以系统水平方向动量守恒，但由于竖直方向所受合力不为零，所以系统动量不守恒，故A正确； B、开始时A、B两球的速度为零，当小球C落地前瞬间A、B两球的速度也为零，则知在小球C下落过程中，A、B两球的动能先增大后减小，而它们的重力势能不变，则A、B两球的机械能先增大后减小，结合系统的机械能守恒知，小球C的机械能先减小后增大，故B正确； C、小球C落地前瞬间A、B两球的速度为零，根据系统的机械能守恒有：mgh，得：v，故C正确； D、A、B两球的机械能先增大后减小，知轻杆对A、B两球先做正功后做负功，当小球C的机械能最小时，A、B两球的机械能最大，轻杆对A、B两球的作用力为零，地面对小球B的支持力等于mg，故D错误。 本题选错误的， 故选：D。 [练习4] （2024•故城县校级开学）如图所示，两个质量相等可视为质点的小球a、b通过铰链用长为的刚性轻杆连接，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°。两根足够长的细杆M、N不接触（a、b球均可无碰撞通过O点），且两杆间的距离忽略不计，将两小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　） A．a、b两球组成系统机械能不守恒 B．a球到达与b球等高位置时速度大小为 C．a球运动到最低点时，b球速度最大 D．a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力一直做负功 【解答】解：A．a球和b球所组成的系统只有重力做功，则机械能守恒，故A错误； B．根据系统机械能守恒，可知a球到达与b球等高位置时，b球速度为零，有 解得 故B错误； C．当a球运动到两杆的交点后再往下运动，此时b球到达两杆的交点处，a球的速度为0，b球的速度达到最大，有 解得 故C正确； D．由于系统机械能守恒，a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力先做负功后做正功再做负功，故D错误。 故选：C。 [练习5] （2024•武城县校级开学）质量分别为2kg、3kg的物块A和B，系在一根不可伸长的轻绳两端，细绳跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的轻质定滑轮上，此时物体A离地面的高度为0.8m，如图所示，斜面光滑且足够长，始终保持静止，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．物体A落地的速度为4m/s B．物体A落地的速度为 C．物体B沿斜面上滑的最大高度为0.68m D．物体B沿斜面上滑的最大高度为0.96m 【解答】解：AB、物块A下落过程中，物块A、B组成的系统机械能守恒，则有 解得物体A落地的速度为：，故A错误，B正确； CD、根据题图可知，物块A落地之前B沿斜面上滑的距离为 x1＝h＝0.8m 设物块A落地之后B继续沿斜面上滑的距离为x2，对B，由机械能守恒定律有 解得：x2＝0.16m 则物体B沿斜面上滑的最大距离为x＝x1+x2＝0.8m+0.16m＝0.96m 物体B沿斜面上滑的最大高度为 h＝xsin30°＝0.96×0.5m＝0.48m，故CD错误。 故选：B。 [练习6] （2024春•青羊区校级期末）如图，足够长光滑斜面的倾角为θ＝30°，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a＝3m，斜面上的物体和穿过细杆的小物块m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，已知M＝5.5kg，m＝3.6kg，g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．小物块m下降b＝4m时小物块的速度为5m/s B．小物块m下降b＝4m时小物块的速度为4m/s C．小物块m下降b＝4m的过程中，绳子拉力对小物块m做功为71.5J D．小物块m下降b＝4m的过程中，绳子拉力对物体M做功为71.5J 【解答】解：AB．设小物块m下降b＝4m时，m的速度大小为v1，此时M的速度大小为v2；如图所示 根据系统机械能守恒可得 由运动的合成与分解，结合几何知识，有 联立解得 v1＝5m/s，v2＝4m/s 故A正确，B错误； CD．小物块m下降b＝4m的过程中，对小物块根据动能定理可得 解得 WT＝﹣99J 则绳子拉力对小物块m做功为﹣99J； 小物块m下降b＝4m的过程中，对大物块M根据动能定理可得 解得 W′T＝99J 绳子拉力对物体M做功为99J，故CD错误。 故选：A。 [练习7] （2024春•即墨区校级期末）如图，圆环A和B分别套在竖直杆和水平杆上，A、B两环用一不可伸长的轻绳连接。初始时，在外力作用下A、B两环均处于静止状态，轻绳处于伸直状态且与竖直杆夹角为60°。撤去外力后，小环A和B各自沿着竖直杆和水平杆运动。已知A、B两环的质量均为m，绳长为l，重力加速度为g，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．若外力作用在A上，则外力大小为2mg B．若外力作用在B上，且B环不受杆的弹力，则外力大小为mg C．轻绳与竖直杆夹角为37°时，小环A的速率为 D．轻绳与竖直杆夹角为37°时，小环B的速率为 【解答】解：A．若外力作用在A上，对B受力分析可知，绳子的拉力为零，对A分析，由于A静止，故合力为零，施加的外力等于A环的重力，故外力大小为 F＝mg 方向竖直向上，故A错误； B．若外力作用在B上，对A受力分析可得 FTcos60°＝mg 解得绳子的拉力为 FT＝2mg B环不受杆的弹力，则外力大小为 解得 故B错误； CD．将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳子的方向，两物体沿绳子方向的速度大小相等，有vAcos37°＝vBsin37° 在运动过程中，A、B组成的系统机械能守恒，则 解得， 故C正确，D错误。 故选：C。 [练习8] （2024•东西湖区校级模拟）一抛物线形状的光滑固定导轨竖直放置，O为抛物线导轨的顶点，O点离地面的高度为h，A、B两点相距2h，轨道上套有一个小球M，小球M通过轻杆与光滑地面上的小球N相连，两小球的质量均为m，轻杆的长度为2h。现将小球M从距地面竖直高度为处静止释放，下列说法正确的是（　　） A．小球M即将落地时，它的速度方向与水平面的夹角为30° B．小球M 即将落地时，它的速度方向与水平面的夹角为60° C．从静止释放到小球M即将落地，轻杆对小球N 做的功为 D．若小球M 落地后不反弹，则地面对小球M 的作用力的冲量大小为 【解答】解：AB、小球M 即将落地时，它的速度方向与抛物线轨道相切，根据平抛规律的推论可知，小球M 的速度方向与水平方向的夹角满足： 所以可得：θ＝45°，故AB错误； C、设小球 M 即将落地时，速度大小为v1，小球N的速度大小为 v2，根据系统机械能守恒有 小球 M 与小球 N沿杆方向的速度相等，有：v1cosθ＝v2 解得： 根据动能定理可得，从静止释放到小球 M 即将落地，轻杆对小球 N 做的功为：，故C正确； D、小球 M 落地与地面相互作用的过程中不反弹，以竖直向上方向为正，根据动量定理有：I地+IG+I杆+I轨＝0﹣（），由于轨道、轻杆对小球有作用力，且小球M 有重力，所以|I地|＞|I合|，故D错误。 故选：C。 [练习9] （2024春•江岸区期末）图甲为科技活动节学生自制小型抛石机。首先将石块放在长臂一端的凹槽中，在短臂端固定重物，发射前将长臂端往下拉至地面，然后突然松开，凹槽中的石块过最高点时就被抛出。现将其简化为如图乙所示的模型，将一质量m＝10g的小石块（可视为质点）装在长L1＝10cm的长臂末端的凹槽中，质量为M的重物装在长L2＝2cm的短臂末端的筐子内。初始时长臂与水平面的夹角为30°，松开后长臂与短臂转至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上，测得石块落地点与O点的水平距离为x＝30cm。此过程中，重物没有从筐中洒落，不计空气阻力，不考虑杆与转轴的摩擦力。取地面为零势能面，重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．重物的质量M＝125g B．石块着地时，重力做功的功率为PW C．石块被水平抛出时的动能为Ek＝1.5×10﹣1J D．重物重力势能的减少量等于石块机械能的增加量 【解答】解：BC．石块被水平抛出时的高度为 h＝L1+L1sin30°＝10cm+10cm×0.5＝15cm 重力势能增加量为 石块被水平抛出后做平抛运动，水平方向有 竖直方向有 联立解得 石块被水平抛出时的动能为 石块着地时重力的功率为 解得 故BC错误； AD．石块从最低点到最高点的过程中，由能量守恒有，重物重力势能的减小量等于石块动能和势能的增加量和重物动能增加量之和，而 Ep重＝Mg（L2+L2sin30°） 且 Ep重＝Ek+Ek重+Ep石 根据 解得 M＝125g 故A正确，D错误。 故选：A。 [练习10] （2024•西宁二模）如图所示，有两个物块，质量分别为m1、m2，m2是m1的两倍，用轻绳将两个物块连接在滑轮组上，滑轮的质量不计，轻绳与滑轮的摩擦也不计。现将两滑块从静止释放，m1上升一小段距离h高度，在这一过程中，下列说法正确的是（　　） A．m1和m2的重力势能之和不变 B．m1上升到h位置时的速度为 C．轻绳的拉力大小为m1g D．轻绳对m1和m2的功率大小不相等 【解答】解：A、根据机械能守恒定律可知，m2减小的重力势能全部转化为m1的重力势能和两物体的动能，所以，m1和m2的重力势能之和减小，故A错误； B、设m1上升到h位置时的速度为v1，m2的速度为v2，根据动滑轮的特点可知，v2＝2v1，根据m1和m2组成的系统机械能守恒可得 m2g•2h﹣m1gh，联立解得v1，故B正确； C、根据动滑轮的特点可知，m1的加速度为m2的加速度的一半，根据牛顿第二定律可得： 对m1有 2T﹣m1g＝m1a1， 对m2有 m2g﹣T＝m2a2 结合a2＝2a1 联立解得轻绳的拉力大小：T，故C错误； D、绳子的拉力相同，故轻绳对m2做功的功率P2＝Fv2，轻绳对m1做功的功率P1＝2Fv1，由于v2＝2v1，故轻绳对m2做功的功率与轻绳对m1做功的功率大小相等，故D错误。 故选：B。 [练习11] （2024春•洛阳期中）图甲为科技活动节学生自制小型抛石机。将石块放在长臂一端的凹槽中，在短臂端固定重物，发射前将长臂端往下拉至地面，然后突然松开，凹槽中的石块过最高点时就被抛出。现将其简化为如图乙所示的模型，将一质量m＝10g可视为质点的小石块，装在长L＝10cm的长臂末端的凹槽中，初始时长臂与水平面的夹角为30°，松开后长臂转至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上，测得石块落地点与O点的水平距离为30cm，以地面为零势能面，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．石块被水平抛出时的动能为1.5×10﹣1J B．石块从A点到最高点机械能增加3.0×10﹣2J C．石块着地时，重力做功的功率为 D．石块从A点到最高点的过程中，其重力势能的增加量等于重物重力势能的减小量 【解答】解：A、石块被抛出后做平抛运动，根据几何关系可知石块的下降高度h＝L+Lsin30°，代入数据解得h＝15cm＝0.15m，根据自由落体运动的规律h，石块的水平位移x＝v0t，石块被抛出时的动能，其中x＝30cm＝0.3m，联立解得Ek＝1.5×10﹣2J，故A错误； B、石块从A点到最高点机械能增加量为E＝Ek+mgh＝1.5×10﹣2J+10×10﹣3×10×0.15J＝3.0×10﹣2J，故B正确； C、根据h，vy＝gt，P＝mgvy，联立解得PW，故C错误； D、根据能量守恒可知，石块从A点到最高点的过程中，石块重力势能的增加量等于重物重力势能的减少量减去石块与重物动能之和，故D错误； 故选：B。 [练习12] （2023秋•牡丹江期末）如图所示，水平光滑长杆上套有小物块A，细线跨过位于O点的轻质光滑定滑轮，一端连接A，另一端悬挂小物块A，物块A、B质量相等。C为O点正下方杆上的点，滑轮到杆的距离OC＝h，重力加速度为g。开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为37°，现将A、B由静止释放，下列说法正确的是（　　） A．物块A运动到C点过程中机械能变小 B．物块A经过C点时的速度大小为 C．物块A在杆上长为的范围内做往复运动 D．在物块A由P点出发第一次到达C点过程中，物块B克服细线拉力做的功等于B重力势能的减少量 【解答】解：A、物块A运动过程中，细线对A始终做正功，其他力不做功，所以物块A的速度始终增大，故A错误； B、物块A经过C点时，细线与物块A的运动方向垂直，则物块B的速度为0，根据A与B组成的系统机械能守恒得 解得此时物块A的速度为：，故B错误； C、由于机械能守恒，物块A在水平光滑杆上往复运动，结合对称性可知A的运动范围为，故C错误； D、在物块A由P点出发第一次到达C点的过程中，物块B的动能变化量为0，根据功能关系可知，物块B克服细线拉力做的功等于B重力势能的减少量，故D正确。 故选：D。 [练习13] （多选）（2024•河北模拟）如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L，OP与杆垂直，杆上M、N两点与O点的距离均为2L。已知弹簧原长为，重力加速度为g。现让小球从M处由静止释放，下列说法正确的是（　　） A．小球从M运动到N的过程中，有三个位置小球的合力就是重力 B．小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒 C．小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大 D．小球通过N点时速率为 【解答】解：A.已知：OM ＝ ON ＝ 2L，OP ＝ L，弹簧的原长为，所以小球在MP之间和PN之间各有一个位置弹簧处于原长，在此位置弹簧弹力为零，小球与杆之间无弹力，此位置小球的合力等于重力。当小球经过P点时弹簧对小球的弹力与杆对小球的弹力等大反向，此位置小球受到的合力等于重力，可知小球从M运动到N的过程中，有三个位置小球的合力等于重力，故A正确； B.小球从M运动到N的过程中，弹簧弹力对小球做功，故小球的机械能不守恒，故B错误； C.小球从M运动到N的过程中，从M到P的过程，弹簧由伸长状态变为原长再变为压缩状态，从P到N的过程，弹簧由压缩状态变为原长再变为伸长状态，可知弹簧的弹性势能先减小后增大，再减小再增大，故C错误； D.小球在M、N两个位置时，弹簧的长度相等，所以弹簧的弹性势能相等，小球从M运动到N的过程中，小球的重力势能全部转化为它的动能，由几何关系可得MN之间的距离为，设小球通过N点时速率为v，则有：，解得：，故D正确。 故选：AD。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点13 多体机械能守恒问题 一、易错点分析 1、对系统机械能守恒条件的判断不准确 易错点：不能准确判断多体系统是否满足机械能守恒条件，容易忽略系统内非保守力做功的情况。 2、难以确定研究对象和系统 易错点：在多体问题中，不能正确选取合适的研究对象和系统，导致无法正确应用机械能守恒定律。 对于多个物体组成的系统，需要根据问题的特点和已知条件，合理选取研究对象和系统。如果选取不当，会使问题变得复杂甚至无法求解。 3、不明确各物体机械能的变化情况 易错点：在多体系统中，不能准确分析每个物体机械能的变化情况，以及它们之间机械能的转化关系。在多体系统中，各个物体的机械能可能会发生相互转化，但系统的总机械能守恒。学 4、计算各物体的位移和速度关系错误 易错点：在多体系统中，不能正确找出各物体位移和速度之间的关系，导致在应用机械能守恒定律列方程时出现错误。在多体系统中，各物体的运动情况往往相互关联，它们的位移和速度之间存在一定的关系。 二、多物体组成的系统机械能守恒是否守恒的判断方法 看是否有其他形式的能与机械能相互转化。 三、三种守恒表达式的比较 角度 公式 意义 注意事项 守恒 观点 Ek1＋Ep1 ＝Ek2＋Ep2 系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 初、末状态必须用同一零势能面计算势能 转化 观点 ΔEk＝－ΔEp 系统减少(或增加)的势能等于系统增加(或减少)的动能 应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差 转移 观点 ΔEA增＝ΔEB减 若系统由A、B两物体组成，则A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等 常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题 四、几种常见类型 类型一：质量均匀的链条或柔软的绳索 类型二：轻绳连接的物体系统 (1)常见情景 (2)三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。(易错点) ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 类型三：轻杆连接的物体系统 (1)常见情景 (2)三大特点 ①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况： a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。 b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 题型一：质量均匀的链条模型 [例题1] （多选）（2023•喀什市校级开学）如图，长为L的链条（质量为m）被手固定在光滑桌面上，的链条垂直于桌面，松手后链条掉落，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．链条做非匀加速运动 B．链条只受重力而下滑 C．当链条刚好离开桌面时，速度 D．当链条刚好离开桌面时，速度 [例题2] （2024春•抚顺期末）如图所示，有一根长为L，质量为M的均匀链条AB静止在光滑水平桌面上，其长度的悬于桌边外，如果在链条的A端施加一个拉力使链条AB以0.4g（g为重力加速度）的加速度运动，直到把悬着的部分拉回桌面。设拉动过程中链条与桌边始终保持接触，则拉力需做功（　　） A． B． C． D． [例题3] （2023秋•石家庄月考）如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内。重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，重力的功率为（　　） A． B． C． D． 题型二：轻绳连接的物体系统 [例题4] （2024秋•叶县校级期末）如图所示，小滑块P套在竖直固定的光滑长杆上，小物块Q与P用跨过定滑轮的足够长无弹性轻绳连接。将P从位置a由静止释放，经过位置b时，左边轻绳刚好水平，图中ab＝bc（忽略所有摩擦），则（　　） A．滑块P从a到b的过程，物块Q先做加速运动后做减速运动 B．滑块P从a到b的过程，物块P先做加速运动后做减速运动 C．滑块P从b到c的过程，物块P先做加速运动后做减速运动 D．滑块P从b到c的过程，物块Q先做加速运动后做减速运动 [例题5] （多选）（2025•福建校级一模）如图，用光滑细杆弯成半径为R的四分之三圆弧ABCDE，固定在竖直面内，C、E与圆心O在同一水平线上，D为最低点。质量为m的小环P（可视为质点）穿在圆弧细杆上，通过轻质细绳与相同的小环Q相连，细绳绕过固定在E处的轻小光滑定滑轮。开始小环P处于圆弧细杆上B点，小环Q与D点等高，两环均处于静止状态。给小环微小扰动，使P沿圆弧向下运动。已知重力加速度为g。则下列选项正确的是（　　） A．小环P在B点静止时对细杆的压力大小为2mg B．小环P下滑到C点时，绳对P做的功为 C．小环P下滑到C点时，小环P的速度大小 D．小环P经过D点时，小环Q重力的瞬时功率 [例题6] （2025•泰州开学）平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴水平。一细杆沿x轴固定，杆上穿有质量不计的小环A。总长为L的细线一端固定在O点，另一端系在A环上，细线上穿有质量为m的小环B。起初A环静止于O处，B环在A环正下方保持静止。已知重力加速度大小为g，不计一切阻力，结果保留根号。 （1）如图1所示，用沿杆的拉力将A环从O处缓慢移到位置，求该过程中拉力的最大值Fm以及拉力所做的功W； （2）如图2所示，将两环一起移到最右端使细线伸直，然后由静止同时释放两环。只讨论B环到达y轴之前的运动，已知此过程中绳上张力大小与OB间绳长成反比，且B环轨迹（图中虚线）最低点附近可看作半径为L的一小段圆弧。求： ①绳上张力的最大值Tm； ②两环加速度大小相等时B环位置的横坐标x2。 题型三：轻杆连接的物体系统 [例题7] （2024秋•金坛区校级期末）如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径0.2m的圆弧，BC部分水平，质量均为400g的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为0.2m，小球可视为质点。开始时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．a球下滑过程中机械能保持不变 B．两球都滑到水平轨道上时，a球速度大小为2m/s C．从释放小球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆不对两球做功 D．从释放小球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做功0.4J [例题8] （2025•广州一模）如图，小滑块P、Q的质量分别为m、3m，P、Q间通过轻质铰链用长为L的刚性轻杆连接，Q套在固定的水平横杆上，P和竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上。当轻杆与竖直方向的夹角α＝30°时，弹簧处于原长状态，此时，将P由静止释放，P下降到最低点时α＝60°。整个运动过程中P、Q始终在同一竖直平面内，滑块P始终没有离开竖直墙壁，弹簧始终在弹性限度内。忽略一切摩擦，重力加速度为g，在P下降的过程中（　　） A．P、Q组成的系统机械能守恒 B．两个滑块的速度大小始终一样 C．弹簧弹性势能的最大值为 D．P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q受到水平横杆的支持力大小等于4mg [例题9] （2024秋•新吴区校级月考）如图所示，长为L的轻杆一端连接在M处的铰链上，另一端连接在质量为2m的小球A上，轻绳穿过N处的光滑圆环，一端连接在小球A上，另一端吊着质量为m的小球B，用向上的力F拉着小球A，使A、B两球均处于静止状态，此时轻杆和连接小球A的轻绳与水平方向的夹角均为30°，铰链和圆环在同一水平直线上，不计小球大小，不计一切摩擦，重力加速度为g，某时刻撤去拉力F，从撤去F到轻杆水平的过程中，下列说法正确的是（　　） A．撤去拉力F的瞬间，小球A的加速度为零 B．轻杆对小球A做正功 C．当轻杆水平时，轻杆和轻绳对小球的拉力大小相等 D．当轻杆水平时，小球A的速度大小为 [练习1] （2024秋•绿园区校级月考）如图所示，小滑块A、B的质量分别为2m、m，其中A套在固定的竖直杆上，B静置于水平地面上，A、B间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接。一轻弹簧左端与B相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平。当α＝30°时，弹簧处于原长状态，此时将A由静止释放，下降到最低点时α变为45°，整个运动过程中，A、B始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则A下降过程中（　　） A．A、B组成的系统机械能守恒 B．弹簧弹性势能的最大值为（）mgL C．竖直杆对A的弹力一定大于弹簧弹力 D．A的速度达到最大值前，地面对B的支持力大于3mg [练习2] （2024•济南开学）如图所示，物块A用不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与置于光滑水平面上的物块B连接，物块A、B的质量均为m，施加外力使物块A、B保持静止，此时轻绳恰好处于伸直状态。某时刻撤去外力，两物块同时由静止开始运动，当物块A下落高度为h时，其加速度大小为a，方向竖直向下，此时连接物块B的轻绳与水平方向的夹角为θ，整个过程物块B始终未离开水平面，已知重力加速度为g。当物块A下落高度为h时，下列说法正确的是（　　） A．物块B的加速度大小为 B．物块B的加速度大小为（g+a）cosθ C．物块A的速度大小为 D．物块A的速度大小为 [练习3] （2024秋•建邺区校级月考）用轻杆通过铰链相连的小球A、B、C处于竖直平面内，质量均为m，两段轻杆等长，现将C球置于距地面高h处，由静止释放，假设三个小球只在同一竖直面内运动，不计一切摩擦，则在小球C下落过程中以下说法错误的是（　　） A．小球A、B、C组成的系统动量不守恒 B．小球C的机械能先减小后增大 C．小球C落地前瞬间的速度大小为 D．当小球C的机械能最小时，地面对小球B的支持力大于mg [练习4] （2024•故城县校级开学）如图所示，两个质量相等可视为质点的小球a、b通过铰链用长为的刚性轻杆连接，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°。两根足够长的细杆M、N不接触（a、b球均可无碰撞通过O点），且两杆间的距离忽略不计，将两小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　） A．a、b两球组成系统机械能不守恒 B．a球到达与b球等高位置时速度大小为 C．a球运动到最低点时，b球速度最大 D．a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力一直做负功 [练习5] （2024•武城县校级开学）质量分别为2kg、3kg的物块A和B，系在一根不可伸长的轻绳两端，细绳跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的轻质定滑轮上，此时物体A离地面的高度为0.8m，如图所示，斜面光滑且足够长，始终保持静止，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．物体A落地的速度为4m/s B．物体A落地的速度为 C．物体B沿斜面上滑的最大高度为0.68m D．物体B沿斜面上滑的最大高度为0.96m [练习6] （2024春•青羊区校级期末）如图，足够长光滑斜面的倾角为θ＝30°，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a＝3m，斜面上的物体和穿过细杆的小物块m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，已知M＝5.5kg，m＝3.6kg，g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．小物块m下降b＝4m时小物块的速度为5m/s B．小物块m下降b＝4m时小物块的速度为4m/s C．小物块m下降b＝4m的过程中，绳子拉力对小物块m做功为71.5J D．小物块m下降b＝4m的过程中，绳子拉力对物体M做功为71.5J [练习7] （2024春•即墨区校级期末）如图，圆环A和B分别套在竖直杆和水平杆上，A、B两环用一不可伸长的轻绳连接。初始时，在外力作用下A、B两环均处于静止状态，轻绳处于伸直状态且与竖直杆夹角为60°。撤去外力后，小环A和B各自沿着竖直杆和水平杆运动。已知A、B两环的质量均为m，绳长为l，重力加速度为g，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．若外力作用在A上，则外力大小为2mg B．若外力作用在B上，且B环不受杆的弹力，则外力大小为mg C．轻绳与竖直杆夹角为37°时，小环A的速率为 D．轻绳与竖直杆夹角为37°时，小环B的速率为 [练习8] （2024•东西湖区校级模拟）一抛物线形状的光滑固定导轨竖直放置，O为抛物线导轨的顶点，O点离地面的高度为h，A、B两点相距2h，轨道上套有一个小球M，小球M通过轻杆与光滑地面上的小球N相连，两小球的质量均为m，轻杆的长度为2h。现将小球M从距地面竖直高度为处静止释放，下列说法正确的是（　　） A．小球M即将落地时，它的速度方向与水平面的夹角为30° B．小球M 即将落地时，它的速度方向与水平面的夹角为60° C．从静止释放到小球M即将落地，轻杆对小球N 做的功为 D．若小球M 落地后不反弹，则地面对小球M 的作用力的冲量大小为 [练习9] （2024春•江岸区期末）图甲为科技活动节学生自制小型抛石机。首先将石块放在长臂一端的凹槽中，在短臂端固定重物，发射前将长臂端往下拉至地面，然后突然松开，凹槽中的石块过最高点时就被抛出。现将其简化为如图乙所示的模型，将一质量m＝10g的小石块（可视为质点）装在长L1＝10cm的长臂末端的凹槽中，质量为M的重物装在长L2＝2cm的短臂末端的筐子内。初始时长臂与水平面的夹角为30°，松开后长臂与短臂转至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上，测得石块落地点与O点的水平距离为x＝30cm。此过程中，重物没有从筐中洒落，不计空气阻力，不考虑杆与转轴的摩擦力。取地面为零势能面，重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．重物的质量M＝125g B．石块着地时，重力做功的功率为PW C．石块被水平抛出时的动能为Ek＝1.5×10﹣1J D．重物重力势能的减少量等于石块机械能的增加量 [练习10] （2024•西宁二模）如图所示，有两个物块，质量分别为m1、m2，m2是m1的两倍，用轻绳将两个物块连接在滑轮组上，滑轮的质量不计，轻绳与滑轮的摩擦也不计。现将两滑块从静止释放，m1上升一小段距离h高度，在这一过程中，下列说法正确的是（　　） A．m1和m2的重力势能之和不变 B．m1上升到h位置时的速度为 C．轻绳的拉力大小为m1g D．轻绳对m1和m2的功率大小不相等 [练习11] （2024春•洛阳期中）图甲为科技活动节学生自制小型抛石机。将石块放在长臂一端的凹槽中，在短臂端固定重物，发射前将长臂端往下拉至地面，然后突然松开，凹槽中的石块过最高点时就被抛出。现将其简化为如图乙所示的模型，将一质量m＝10g可视为质点的小石块，装在长L＝10cm的长臂末端的凹槽中，初始时长臂与水平面的夹角为30°，松开后长臂转至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上，测得石块落地点与O点的水平距离为30cm，以地面为零势能面，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．石块被水平抛出时的动能为1.5×10﹣1J B．石块从A点到最高点机械能增加3.0×10﹣2J C．石块着地时，重力做功的功率为 D．石块从A点到最高点的过程中，其重力势能的增加量等于重物重力势能的减小量 [练习12] （2023秋•牡丹江期末）如图所示，水平光滑长杆上套有小物块A，细线跨过位于O点的轻质光滑定滑轮，一端连接A，另一端悬挂小物块A，物块A、B质量相等。C为O点正下方杆上的点，滑轮到杆的距离OC＝h，重力加速度为g。开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为37°，现将A、B由静止释放，下列说法正确的是（　　） A．物块A运动到C点过程中机械能变小 B．物块A经过C点时的速度大小为 C．物块A在杆上长为的范围内做往复运动 D．在物块A由P点出发第一次到达C点过程中，物块B克服细线拉力做的功等于B重力势能的减少量 [练习13] （多选）（2024•河北模拟）如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L，OP与杆垂直，杆上M、N两点与O点的距离均为2L。已知弹簧原长为，重力加速度为g。现让小球从M处由静止释放，下列说法正确的是（　　） A．小球从M运动到N的过程中，有三个位置小球的合力就是重力 B．小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒 C．小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大 D．小球通过N点时速率为 学科网（北京）股份有限公司 $$