专题02 万有引力与宇宙航行（期末复习讲义）高一物理下学期人教版

专题02 万有引力与宇宙航行（期末复习讲义） 目录 【考情透视·目标导航】 2 【知识梳理·方放技巧】 2 知识点01 开普勒三大定律（行星运动规律） 2 知识点02 万有引力定律 3 知识点03 天体运动规律公式（万有引力提供向心力） 3 知识点04 卫星分类辨析（期末最易混淆） 4 知识点05 三大宇宙速度 4 知识点06 卫星变轨问题（难点多选必考） 5 【典例引领·即时检测】 5 题型1 开普勒定律的应用 5 题型2 第一宇宙速度的两种求法 5 题型3 离星球表面一定高低的万有引力的计算 10 题型4 深坑（或深井）模型 13 题型5 中心天体质量和密度的计算 16 题型6 卫星的变轨问题 18 题型7 双星（或多星）模型 21 题型8 挖补法求万有引力 25 题型9 地表抛射与天体运动的综合问题 27 【考场练兵·分层实战】 30 基础通关练（测试时间：10分钟） 30 重难突破练（测试时间：15分钟） 32 综合拓展练（测试时间：18分钟） 37 1.分值占比 本专题是高一物理必修二必考重点，期末考试总分占比15-22分，考查形式全覆盖：单选题、多选题、填空题、计算题均会出题，公式逻辑性强、模型固定，属于最好拿分、最容易满分的板块。 2.核心考查方向 （1）基础层：开普勒三大定律理解、万有引力公式辨析、引力常量识记 （2）中层：天体五大公式推导、卫星轨道物理量比较、重力加速度计算 （3）拔高层：近地卫星、同步卫星、赤道物体三类天体对比、变轨动态分析 （4）综合层：中心天体质量密度计算、多星系统、宇宙速度综合判断 3.命题特点 模型固定、套路极强，紧贴课本公式，常结合我国航天工程、行星探测、同步卫星等真实情境出题，侧重考查公式记忆、比例运算、模型辨析，计算难度低，易错点多。 4.高频易错点 （1）混淆自转物体与环绕卫星，错误对地面物体使用万有引力全部提供向心力 （2）分不清轨道半径、星球半径、离地高度，代入公式时常代错数据 （3）卫星变轨时误判加速度大小，认为加速后加速度变大 （4）记错同步卫星条件，误以为同步卫星可以任意纬度发射 （5）混淆发射速度和环绕速度，记错第一宇宙速度物理意义 必备知识 知识点01 开普勒三大定律（行星运动规律） 定律 内容 图示 说明 开普勒第一定 律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 运动规律：近日点速度大，远日点速度小， 口诀：近快远慢。 开普勒第二定 律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 当行星离太阳较近时，运 动的速度比较快，而离太 阳较远时速度较慢 开普勒第三定 律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即 =k 同一中心天体k相同，不同的中心天体k一般不同 知识点02 万有引力定律 1.定律内容 自然界中任意两个有质量的物体之间都存在相互吸引力，引力大小与两物体质量乘积成正比，与两物体球心距离的平方成反比。 2.计算公式：，G为引力常量，且，由卡文迪许扭秤实验测出。r为质点间距、均匀球体球心间距。 3.适用条件 适用于质点、质量均匀球体、间距极大可视为质点的物体；不能直接用于不规则靠近物体。 4.黄金代换式（必考万能公式） 在星球表面，忽略星球自转，万有引力近似等于重力。 适用：星球表面附近、近地卫星，是天体计算使用频率最高公式。 5.高空重力加速度推导 距离星球表面高度h处： ，即：离地越高，重力加速度越小。 知识点03 天体运动规律公式（万有引力提供向心力） 1. 天体运动的基本物理量 所有环绕卫星做匀速圆周运动，向心力全部由中心天体的万有引力提供。 物理量 推导公式 变化规律（r越大） 线速度 减小 角速度 减小 周期 增大 向心加速度 减小 通用口诀：高轨、低速、大周期、小加速度。 2. 中心天体质量与密度计算 （1）自力更生法 利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R ①由=mg，得天体的质量M＝ ②天体密度 ③黄金带换算： （2）借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr得天体的质量M＝ ②若已知天体的半径R，则天体的密度 ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体的密度ρ＝，可见，只要测出卫星绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心体的密度。 知识点04 卫星分类辨析（期末最易混淆） 1.近地卫星 轨道半径近似等于地球半径，贴近地表飞行；万有引力完全提供向心力；具有最大环绕速度、最小公转周期。 2.地球同步卫星（五定原则） 特点 具体说明 定周期 周期为24h，与地球自转周期相同 定角速度 角速度等于地球自转角速度 定轨道 只能在赤道正上方 定高度 离地高度固定 定速度 环绕速度大小固定 3.赤道上随地球自转的物体 受力：万有引力一部分提供重力，一小部分提供自转向心力；不可使用卫星环绕公式；角速度等于同步卫星，但是线速度、向心加速度远小于同步卫星。 知识点05 三大宇宙速度 1.第一宇宙速度（7.9km/s） 是近地卫星的环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度，是所有环绕地球运转的卫星中最大的环绕速度。 2.第二宇宙速度（11.2km/s） 是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，当发射速度≥11.2km/s时，卫星将脱离地球引力，成为绕太阳运动的人造行星。 3.第三宇宙速度（16.7km/s） 是卫星脱离太阳引力束缚的最小发射速度，当发射速度≥16.7km/s时，卫星将脱离太阳引力，飞出太阳系。 知识点06 卫星变轨问题（难点多选必考） 1.低轨道变高轨道（离心运动） 卫星向后喷气加速，所需向心力变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动，进入高轨道。 速度变化：点火瞬间速度增大；稳定后轨道越高，环绕速度越小。 2.高轨道变低轨道（近心运动） 卫星向前喷气减速，所需向心力减小，万有引力大于向心力，卫星做近心运动，轨道降低。 3.变轨核心结论 同一位置，轨道半径相同，万有引力相同，加速度一定相等；变轨交点处，外轨速度大于内轨稳定速度；从低轨到高轨需要两次点火加速。 题型1 开普勒定律的应用 题｜型｜解｜读 开普勒定律在天体运动考题中多以基础选择题形式出现，核心考查三点：一是根据第一定律判断近日点远日点的速度大小关系，二是利用第二定律分析不同位置的运动速率变化，三是运用第三定律的比例关系计算不同行星的公转周期或轨道半长轴，整体难度较低，属于必拿分题型。 【典例1】（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图所示是地球绕太阳运动的椭圆轨迹，短轴和长轴的四个位置所对应的节气分别是春分、秋分、夏至和冬至。假设地球只受到太阳的引力，下列说法不正确的是（　　） A．春分和秋分时，地球运动的加速度不相同 B．从夏至到秋分，地球的运行时间等于公转周期的 C．若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，，则地球与木星对应的值相同 D．火星与太阳连线单位时间扫过的面积不等于地球与太阳连线单位时间扫过的面积 【答案】B 【详解】A．春分和秋分时，地球运动的加速度大小相同，方向不同，故A正确，不符合题意； B．越靠近太阳速度越快，可知从夏至到秋分的时间大于秋分到冬至的时间，故从夏至到秋分，地球的运行时间大于公转周期的，故B错误，符合题意； C．根据开普勒第三定律可知，若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，则有 因地球与木星都是围绕太阳公转，故地球与木星对应的值相同，故C正确，不符合题意； D．根据开普勒第二定律可知，对于太阳以及同一行星满足单位时间扫过的面积相同，故火星与太阳连线单位时间扫过的面积不等于地球与太阳连线单位时间扫过的面积，故D正确，不符合题意。 本题选错误的，故选B。 【即时检测1】（24-25高一下·吉林长春·期末）分别与地球公转轨道外切和内切的小行星甲和小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，公转周期为T，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于其在近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与小行星乙的运行周期之比 D．小行星甲从远日点到近日点的时间为 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误； B．根据，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误； C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之，故C错误； D．根据开普勒第三定律，小行星从远日点到近日点的时间为周期的一半，即，故D正确。 故选D。 【即时检测2】（24-25高一下·山东潍坊·期末）（多选）如图所示，月球探测器绕月球沿椭圆轨道运行，、分别为近月点和远月点，其间距为，已知月球质量为，引力常量为，则（　　） A．探测器在点的速度大于在点的速度 B．探测器在点的加速度小于在点的加速度 C．探测器从点第一次运行到点的时间为 D．探测器从点第一次运行到点的时间为 【答案】AC 【详解】A．根据开普勒第二定律，探测器在椭圆轨道上运行时，离月球越近速度越大，则探测器在P点的速度大于Q点的速度，故A正确； B．探测器的加速度由万有引力提供，根据牛顿第二定律 可得加速度 因P点到月球中心的距离小于Q点到月球中心的距离，则P点的加速度大于Q点的加速度，故B错误； CD．由题可知，椭圆的半长轴 由开普勒第三定律 假设有另一个绕月探测器，质量为，其轨道为圆轨道，轨道半径为，周期为 由万有引力提供向心力，有 则 同样，由开普勒第三定律 联立可得探测器在椭圆轨道的周期为 而探测器从点第一次运行到点的时间为 则，故C正确，D错误。 故选AC。 题型2 第一宇宙速度的两种求法 题｜型｜解｜读 第一宇宙速度是期末考试选择题、计算题的高频考点，必须熟练掌握两种推导求解方法，两种方法均依托万有引力的核心思路求解，具体推导过程如下： 方法一：近地卫星环绕法。 近地卫星的轨道半径近似等于中心天体的半径(R)，万有引力全部提供卫星做圆周运动的向心力，因此有，整理可得第一宇宙速度，只要知道中心天体的引力常量(G)、中心天体质量(M)和中心天体半径(R)，即可代入计算得到第一宇宙速度。 方法二：黄金代换推导法。 在中心天体表面，忽略自转影响时，万有引力近似等于物体重力，结合近地卫星向心力由重力提供，可得，整理得到第一宇宙速度，只要知道中心天体表面的重力加速度(g)和中心天体半径(R)，就可以快速算出第一宇宙速度。 该题型核心易错点为混淆第一宇宙速度是“最小发射速度，最大环绕速度”的物理意义，审题时需要注意问题问的是发射速度还是环绕速度，避免概念判断错误。 【典例2】（24-25高一下·江西南昌·期末）“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年终于到达木星周围。此后在秒内绕木星运行圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁。设这圈都是绕木星在同一轨道做匀速圆周运行，其运行的向心加速度大小为，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为（如图所示），设木星为一球体。求： (1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径； (2)木星的第一宇宙速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）探测器运行的周期 圆周运动向心加速度 解得 （2）根据几何关系可知，木星自身半径 探测器绕木星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 木星的第一宇宙速度近似等于在其表面运行的卫星的线速度，则有 解得 【即时检测1】（24-25高一下·湖北孝感·期末）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。质量为的飞船在距离月面的高度等于月球半径处绕月球做匀速圆周运动时，周期为，已知月球半径为，忽略月球自转。求： (1)月球表面的第一宇宙速度大小 (2)飞船停在月球上时受到的支持力的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设月球质量为，由万有引力提供向心力有 设月球的第一宇宙速度为，则有 两式联立解得月球表面的第一宇宙速度 （2）忽略月球自转得 由平衡条件得 由联立得 【即时检测2】（24-25高一下·湖南永州·期末）（多选）我国宇航员进行了“模拟登陆火星”实验，已知火星半径约为地球半径的，质量约为地球质量的。地球表面重力加速度为g，若宇航员在地球表面上能竖直向上跳起的最大高度为h，在忽略火星自转影响的条件下，下列说法正确的是（　　） A．宇航员在火星表面受到的万有引力是地球表面受到的万有引力的 B．火星表面的重力加速度为 C．火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 D．宇航员以相同的初速度在火星表面上能竖直向上跳起的最大高度为 【答案】BC 【详解】A．根据，可得宇航员在火星表面受到的万有引力与在地球表面受到的万有引力之比为，故A错误； B．根据 可知火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比 可得，故B正确； C．根据 可得星球的第一宇宙速度为，则有 即火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的，故C正确； D．根据，宇航员以相同的初速度在火星上竖直起跳时，跳起的最大高度满足 可得，故D错误。 故选BC。 题型3 离星球表面一定高低的万有引力的计算 题｜型｜解｜读 该题型的核心难点在于准确区分轨道半径、星球半径与离地高度三个物理量，解决这类问题的核心思路依然是万有引力提供向心力，结合黄金代换式进行推导计算。设星球半径为R，离地高度为h，那么卫星做圆周运动的轨道半径，结合万有引力提供向心力可得，再结合黄金代换式，就可以消去GM，直接用星球表面重力加速度推导得到对应高度处的线速度、角速度、周期、重力加速度等任意物理量。 该题型最常见的易错点就是计算时代错半径：直接把离地高度h当成轨道半径代入公式计算，因此解题第一步必须明确写出，再代入公式运算，就能避开这一高频失分陷阱。 【典例3】（24-25高一下·四川雅安·期末）将地球视为半径为R的均匀球体，物体受地球引力大小F随它距地面高度h变化的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据万有引力表达式 根据题图可知 当时， 故选D。 【即时检测1】（23-24高一下·山西·期末）月球对地球施加的引力是造成潮汐的主要原因。如图所示，当月球在某个位置时，它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用，导致海水向月球方向隆起，形成高潮。已知地球质量为M，地球半径为R，地球自转周期为T，月球质量为m，月球到地球的距离为r，引力常量为G，取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为的小水球作为研究对象，求： （1）小水球绕地心做圆周运动的向心力大小； （2）月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）地球表面上质量为的小水球，随地球自转，半径为，周期为，则向心力为 （2）月球对水球引力为 地球对水球引力 联立可得 【即时检测2】（23-24高一下·辽宁锦州·期末）中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术。如图所示，其发射过程简化如下：质量为m的飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为P、远地点为Q的椭圆轨道上，飞船通过变轨进入预定圆轨道。已知：点P距地面的高度为h，飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。求： （1）飞船从Q点到P点速度大小的变化情况； （2）飞船经过椭圆轨道近地点P时的地球引力大小； （3）Q点距地面的高度。 【答案】（1）变大；（2）；（3） 【详解】（1）飞船从Q点到P点过程，飞船所受万有引力方向与速度方向夹角为锐角，飞船做加速运动，可知， 飞船从点到点过程中，速度变大。 （2）飞船经过近地点时，根据万有引力公式有 在地球表面有 解得 （3）飞船在预定圆轨道上，由万有引力提供向心力，则有 其中周期为 结合上述解得点距地面的高度 题型4 深坑（或深井）模型 题｜型｜解｜读 该模型考查均匀球体内部不同深度处的重力加速度计算，核心结论为：只有深矿井内部到球心这部分球体对物体产生万有引力作用，外部球壳对物体的引力合力为零。 设星球半径为( R )，密度均匀为，物体距离星球表面深度为( d )，物体到球心的距离为( r = R - d )。根据万有引力提供重力，结合万有引力定律推导：，即，而，星球总质量，地表重力加速度。将M'代入g'表达式可得，又因为r = R - d，所以，即重力加速度随深度线性减小。 该模型的易错点在于，很多同学会误用高空重力加速度公式进行计算。注意高空重力加速度和深坑模型规律不同：高空是离地高度 h越高，g与成反比减小；而深坑中，深度d越大，g随d线性减小，需要区分模型，选择对应公式。 【典例4】（25-26高一上·湖北武汉·期末）假设地球是一个半径为、质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。若在地球内部，以地心为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。已知地表重力加速度为g，则其在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】地球表面由万有引力公式得 地球体积 地球密度 半径的球体体积为 半径的球体质量 隧道内，万有引力提供向心力，有 联立推导出 故选C。 【即时检测1】（24-25高一下·河南开封·期末）（多选）已知均匀球壳对内部任意一点的引力为零，若地球可视为质量分布均匀的球体，半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，若从地球表面沿半径方向挖一深度为的洞，忽略地球自转和空气阻力的影响，下列说法正确的是（　　） A．洞底的重力加速度大小为 B．洞底的重力加速度大小为 C．若从地表由静止掉落一物体，到达洞底时的速度大小为 D．若从地表由静止掉落一物体，到达洞底时的速度大小为 【答案】BD 【详解】AB．在地球表面，根据万有引力等于重力有 其中 可得 可以将地球视为一个球心相同而半径为的内部球体和厚度为的外部球壳，由题意可知洞底恰好位于内部球体表面，且外部球壳对洞底的物体的引力为零，而内部球体表面重力加速度满足 其中 解得，故A错误，B正确； CD．根据动能定理可知从地表到洞底，万有引力做功等于动能变化，则有 由于内部球体表面重力加速度与内部球体的半径成正比，利用平均值求做功，有 可得物体到达洞底时的速度大小为，故C错误，D正确。 故选BD。 【即时检测2】（23-24高一下·河北沧州·期末）已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零。如图所示，若通过地球球心打通一条光滑的细通道，一个质量为m，可看作质点的小球从入口M点处由静止释放，沿着通道到达另一端N。已知地球半径为R，小球在M点释放瞬间的加速度为a，地球质量分布均匀，不计细通道对地球质量分布的影响，则小球运动过程中的最大动能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球到达距O点为r处时，以r为半径的球的质量 则小球受到的引力 则 即F与距球心的距离r成正比。小球到达O点时引力为0，动能最大，则由M到O的过程，小球受到的平均力为 根据动能定理得 故最大动能 故选B。 题型5 中心天体质量和密度的计算 题｜型｜解｜读 该题型是高一物理期末考试计算题第一问的必考内容，也会在选择题中单独考查，核心是掌握两种不同条件下的计算思路，根据题目给出的已知量选择对应公式推导，具体分为两类场景： 模型1：自力更生法 给定星球表面重力加速度和星球半径，忽略星球自转时，利用黄金代换式，直接推导得到中心天体质量，再结合密度公式，代入化简就能得到密度。 模型2：借助外援法 给定环绕卫星的轨道半径(r)和公转周期(T)，利用万有引力提供向心力，，整理得到中心天体质量，再结合密度公式代入中心天体体积（R为中心天体自身半径），即可得到密度。如果是近地卫星，轨道半径r近似等于中心天体半径R，公式可以直接化简为，这一结论是选择题高频考点，需要牢记。 易错题型：一是计算密度时，误把卫星轨道半径当成中心天体的自身半径代入体积公式，只有近地卫星才能直接替换；二是混淆两种计算场景的条件，不会结合黄金代换式化简，解题时先明确题目给出的已知量，选对公式就能保证计算正确。 【典例5】（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）中国空间站距离地面的高度约为地球半径的，其环绕地球运行的周期为。已知引力常量为，则以下表达式最接近地球平均密度的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】中国空间站的轨道半径 根据万有引力提供向心力有 地球的平均密度 其中 联立得 故选B。 【即时检测1】（24-25高一下·四川达州·期末）2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道。经过一系列变轨后成功进入环月轨道，已知探测器绕行周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】探测器轨道半径，其中为月球半径，为轨道高度。由万有引力提供向心力 解得月球的质量 月球的体积 则月球的密度为 将 代入，化简得 故选B。 【即时检测2】（24-25高一下·四川攀枝花·期末）如图所示，有两颗绕地球做椭圆运动的卫星1和卫星2，它们轨道的近地点到地球表面的最近距离均为d，远地点到地球表面的最近距离分别为d1=1.5d、d2=10d。环绕地球运动的周期之比。忽略地球的自转，已知万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，求： (1)地球的半径R； (2)地球的平均密度ρ。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据开普勒第三定律，卫星1和卫星2的周期之比，可求卫星1和卫星2的半长轴之比为，根据几何关系 根据几何关系，联立解得地球的半径 （2）根据密度公式，忽略地球的自转，地球质量满足 地球体积为 联立解得地球的平均密度 题型6 卫星的变轨问题 题｜型｜解｜读 卫星变轨是期末考试多项选择题的难点考点，偶尔也会在计算题中结合万有引力定律考查，核心考查变轨过程中的速度、加速度、周期的大小比较，需要紧扣变轨核心结论分析判断。 该题型有几个高频考查结论需要牢记：第一，加速度只和位置有关，同一位置不同轨道的万有引力相同，因此加速度一定相等，不要被变轨过程的速度变化误导；第二，速度大小比较：低轨道变到高轨道，点火加速后速度才会大于原轨道的稳定速度，但是最终稳定在高轨道后，环绕速度会比原低轨道的环绕速度更小；第三，从低轨道转移到高轨道需要经过两次点火，第一次在低轨道加速进入转移椭圆轨道，第二次在椭圆轨道远地点再次加速进入高轨道圆轨道，整个过程需要消耗燃料，机械能增加。 常见的易错点有两个：一是误以为轨道越高稳定环绕速度越大，记错“高轨低速”的规律；二是比较变轨交点处的速度大小时混淆变轨过程，错认为内轨速度大于外轨速度，需要记住离心变轨时外轨交点速度更大，近心变轨时外轨交点速度更大这一结论。 【典例6】（24-25高一下·福建福州·期末）（多选）“天问一号”探测器，2020年发射，年月成功飞近火星，这在我国尚属首次。历时较长，过程复杂，若将过程模拟简化，示意如图，圆形轨道Ⅰ为地球绕太阳公转的轨道，轨道半径为，椭圆轨道Ⅱ为“天问一号”绕太阳公转的椭圆轨道，圆形轨道Ⅲ为火星绕太阳的公转轨道，轨道半径为；是轨道Ⅱ与Ⅰ的公切点，为轨道Ⅱ与Ⅲ的公切点，不计火星引力、地球引力对轨道Ⅱ中探测器的影响。下列说法正确的是（　　） A．“天问一号”在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期小于2年 B．“天问一号”从点运行到点的过程中引力先做正功后做负功 C．“天问一号”在轨道Ⅰ上运行的机械能小于在轨道Ⅲ上运行的机械能 D．“天问一号”在轨道Ⅱ上运行经过点速度大于火星在轨道Ⅲ上经过点的速度 【答案】AC 【详解】A．根据开普勒第三定律可得 因为，且，故（年），（年） 可知小于两年，故A正确； B．“天问一号”从P点运行到Q点的过程中，由近日点到远日点，万有引力与速度的夹角大于90°，万有引力对其做负功，故B错误； C．“天问一号”从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ上需要进行两次点火加速，除了万有引力外其他力做正功，机械能变大，即“天问一号”在轨道Ⅰ上运行的机械能小于在轨道Ⅲ上运行的机械能，故C正确； D．要让“天问一号”从轨道Ⅱ上变到轨道Ⅲ上，需要在轨道Ⅱ的Q点加速，所以在轨道Ⅱ上运行经过Q点的速度小于在轨道Ⅲ上运行经过Q点的速度，故D错误。 故选AC。 【即时检测1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选）2025年4月24日，三名航天员从神舟二十号载人飞船进入空间站（距地面的高度为）。神舟二十号的质量为，航天员的总质量为，地球半径为，地球表面的重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．神舟二十号与空间站对接后，神舟二十号（含航天员）受到地球的万有引力大小为 B．对接前，神舟二十号与空间站在同一轨道绕地球运动，稳定后神舟二十号加速追上去就可完成对接 C．空间站环绕地球运行的速度为 D．空间站环绕地球运行的周期为 【答案】AD 【详解】A．在地球表面有，可得 则神舟二十号（含航天员）受到地球的万有引力大小为，故A正确； B．对接前，若神舟二十号与空间站在同一轨道绕地球运动，稳定后神舟二十号加速追上去，神舟二十号将做离心运动，不能完成对接，故B错误； CD．空间站环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 联立解得，，故C错误，D正确。 故选AD。 【即时检测2】（24-25高一下·山东济南·期末）（多选）嫦娥六号探测器的发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回先河。探测器着陆月球表面的过程示意图如图所示，探测器先在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，从点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点点再次变轨到近月轨道Ⅲ，最后安全落在月球上。已知月球半径为，探测器在轨道Ⅲ运动的周期为，在椭圆轨道Ⅱ运动的周期为近月轨道Ⅲ的周期的倍。下列说法正确的是（　　） A．探测器在轨道Ⅲ运动的速率大于在轨道Ⅰ运动的速率 B．探测器在轨道Ⅲ运动的速率小于在轨道Ⅱ经过点时的速率 C．轨道Ⅰ的半径为 D．探测器在轨道Ⅰ的角速度为 【答案】ACD 【详解】A．万有引力提供向心力 解得 可知半径越大，线速度越小，故探测器在轨道Ⅲ运动的速率大于在轨道Ⅰ运动的速率，故A正确； B．探测器在轨道Ⅲ运动的速率大于在轨道Ⅰ运动时经过的速率，而在轨道Ⅰ运动时经过的速率大于在轨道Ⅱ经过点时的速率，即探测器在轨道Ⅲ运动的速率大于在轨道Ⅱ经过点时的速率，故B错误； C．探测器在轨道Ⅲ运动的周期为，在椭圆轨道Ⅱ运动的周期为近月轨道Ⅲ的周期的倍，由题意知探测器在轨道Ⅲ运动的半径为，设在椭圆轨道Ⅱ运动的半长轴为，根据开普勒第三定律 解得，即轨道Ⅱ的长轴为，即轨道Ⅰ的半径为，故C正确； D．探测器在轨道Ⅲ运动时，万有引力提供向心力 解得月球质量 探测器在轨道Ⅰ运动时，万有引力提供向心力 解得探测器在轨道Ⅰ的角速度为，故D正确。 故选ACD。 题型7 双星（或多星）模型 题｜型｜解｜读 双星模型是天体运动中考查频率较高的特色模型，核心特点是两颗恒星绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，二者的向心力均由彼此间的万有引力提供，需要牢记三个核心规律：第一，双星做圆周运动的角速度、周期一定相等，因为二者绕公共圆心转动，始终保持在同一直线上，所以角速度和周期完全相同；第二，两颗星做圆周运动的向心力大小相等，因为双星之间的万有引力是一对相互作用力，大小相等，各自做圆周运动的向心力都由这个万有引力提供，因此向心力大小相等；第三，双星做圆周运动的轨道半径之和等于两星之间的距离，设两星质量分别为、，轨道半径分别为、，两星间距为L，则满足。 解决双星问题的基本推导思路为：对有，对有，两式相加可得，整理可得周期公式，这是双星问题的常用结论。 该题型最常见的易错点是，误把双星的轨道半径当成两星之间的距离代入公式计算，一定要牢记轨道半径是星体到旋转公共圆心的距离，不是两星体之间的距离，只有先写出的关系，再结合推导才能得到正确结果。如果是多星模型，核心思路和双星一致，依然是万有引力的合力提供圆周运动向心力，结合角速度相等的特点推导即可。 【典例7】（23-24高一下·湖南衡阳·期末）有研究表明，在银河系中至少一半以上的恒星系统都是由双星构成的。由恒星1、2（可视为质点）组成的双星系统如图所示，两恒星以相等的角速度绕两者连线上的O点做圆周运动，测得恒星1、2到O点的距离分别为2r、r，已知恒星1的质量为m，引力常量为G。求： （1）恒星2的质量； （2）恒星1、2间的万有引力大小F； （3）恒星1的线速度大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）恒星1、2的向心力均由彼此间的万有引力提供，设两者的角速度为，有 ，解得 （2）恒星1、2间的万有引力大小，解得 （3）恒星1做匀速圆周运动，有，解得 【即时检测1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下均绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。求： （1）A星球做圆周运动的轨道半径R和B星球做圆周运动的轨道半径r； （2）两星球做圆周运动的周期； （3）如果把星球A质量不断地搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L。则组成新的稳定双星后那么星球A做圆周运动的轨道半径和周期如何变化。 【答案】（1）；（2）；（3）半径变大；周期不变 【详解】（1）两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有 可得 又因为 所以可以解得 （2）根据（1）可得 （3）根据（1）可知，，得变大，则变大； 根据（2）可知， 总质量保持不变，距离不变，则周期不变。 【即时检测2】（24-25高一下·北京海淀·期末）（多选）双星系统由两个天体组成，相对于其他天体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。图1是某双星系统示意图，该系统由两颗互相绕行且质量分布均匀的恒星组成。图2为该双星系统的简化图，为圆心。两恒星、的球心分别为、，已知，，。下列说法正确的是（　　） A．和做匀速圆周运动的半径之比为 B．和受到的向心力之比为 C．和质量之比为 D．和绕旋转的线速度之和与线速度之差的比值为 【答案】ACD 【详解】A．设恒星的轨道半径为，恒星的轨道半径为，则有， 解得， 故和做匀速圆周运动的半径之比为，A正确； B．恒星和以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第三定律可知，恒星和受到的向心力之比为，故B错误； C．设恒星的质量为，恒星的质量为 恒星绕做匀速圆周运动，则有 恒星绕做匀速圆周运动，则有 两式相除得恒星和的质量之比为，故C正确； D．根据公式 可知恒星和绕旋转的线速度之和 恒星和绕旋转的线速度之差 故恒星和绕旋转的线速度之和与线速度之差的比值，故D正确； 故选ACD。 题型8 挖补法求万有引力 题｜型｜解｜读 挖补法是解决“规则均匀球体挖去一部分后，计算剩余部分对挖去位置外某一质点万有引力”问题的特殊方法，核心思路是先将球体补成完整的均匀大球体，计算出完整球体对质点的万有引力，再计算出挖去部分对该质点的万有引力，最后用完整球体的引力减去挖去部分的引力，就得到剩余部分对质点的万有引力，本质是利用了万有引力的叠加原理。 这类问题的常见考查场景为：从均匀实心球体中挖去一个直径等于原球体半径的小球，在原小球球心、或者原球体表面原直径位置放置一个质点，计算剩余部分的万有引力，计算过程中需要结合球体质量和半径三次方成正比的关系，根据挖去小球的半径推导挖去部分的质量占原球体质量的比例，再代入计算。 该题型的易错点是找错挖去小球的球心位置，计算二者到质点的距离时出错，解题时需要先画出示意图，明确各部分的位置关系，再按步骤计算，就能得到正确结果。 【典例8】上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零 则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有 设半径为（R－d）球的质量为，由密度公式得 所以 解得，F的大小为，B正确，ACD错误。 故选B。 【即时检测1】如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则球体剩余部分对质点P的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设球体质量为，挖去的中央球体的质量为，球体的密度为，质点P的质量为，质点P距球心的距离为，则根据题意可得 ， 可知 两个球体对质点的万有引力分别为， 可知，当将中央球体挖去后剩余部分对质点P的万有引力大小为 故选D。 【即时检测2】（高一下·四川成都·月考）如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（　　） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律 故选C。 题型9 地表抛射与天体运动的综合问题 题｜型｜解｜读 这类问题是万有引力板块的综合性题型，多在计算题的压轴位置出现，需要结合竖直上抛、平抛等抛体运动规律和天体运动的核心公式联立求解，核心考查两个方向：一是结合抛射运动先求出星球表面的重力加速度，再利用黄金代换式进一步计算中心天体的质量、密度或第一宇宙速度；二是讨论抛体的最大射程、最大高度与星球第一宇宙速度的关联，整体解题的关键在于通过抛体运动的规律推导出星球表面的重力加速度。 这类题的解题步骤一般分为两步：第一步对地表抛射过程分析，根据竖直上抛的上升时间、最大高度，或是平抛的位移规律，结合运动学公式计算出星球表面的重力加速度g；第二步把得到的g代入万有引力的相关公式，结合题目要求计算中心天体的质量密度、第一宇宙速度或是卫星的环绕参量。 该题型的核心易错点是忽略地球自转对地表抛体的影响，或是在计算天体参量时混淆星球半径与离地高度，只要先通过抛体运动准确求出重力加速度，再严格按照天体运动公式代入对应物理量，就能顺利解决问题。 【典例8】（山西运城·期末）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球的半径为R，万有引力常量为G。求： （1）该星球的质量； （2）该星球的第一宇宙速度； （3）人造卫星绕该星球做匀速圆周运动的最小周期T。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设该星球表面重力加速度为g，由平抛运动规律可得，水平方向 ① 竖直方向 ② ③ 不考虑星球自转，对星球表面的物体m有，④ 由①②③④联立解得该星球的质量为 （2）根据万有引力提供向心力 解得该星球的第一宇宙速度为 （3）绕星球表面运行的卫星周期最小 解得人造卫星的最小周期为 【即时检测1】（24-25高一下·河北雄安·期末）电影《火星救援》的热映，激起了人们对火星的关注。若宇航员在火星表面将小球竖直向上抛出，取抛出位置的位移x＝0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，小球运动的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转。求： (1)火星表面的重力加速度g； (2)火星的密度ρ及其第一宇宙速度v。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）小球抛出后位移与时间关系式为 变形可得 所以图像的斜率，解得 （2）设小球的质量为，则小球在火星表面所受重力等于万有引力，即 又有，解得 设质量为的探测器在近火轨道做匀速圆周运动，则有，解得 【即时检测2】（24-25高一下·四川眉山·期末）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上，沿水平方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间t垂直打在斜坡上的P点（未画出），已知斜坡的倾角为，该星球的半径为R，引力常量为G，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)求该星球的密度和第一宇宙速度v。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）小球做平抛运动垂直落在斜坡上，将其速度分解得 解得星球表面的重力加速度为 （2）由万有引力与重力的关系知 因为密度 联立以上各式得 该星球的第一宇宙速度等于它近地卫星的运行速度，由万有引力提供向心力得 又 联立解得 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则 A．空间站变轨后在P点的加速度比变轨前的大 B．喷射气体后，空间站开始做近心运动 C．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 D．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大 【答案】D 【详解】A．空间站变轨前后，在P点受到的合力为万有引力不发生改变，根据牛顿第二定律可知加速度大小不改变，故A错误； BD．空间站做匀速圆周运动时，有，喷射气体后，空间站获得一定的反冲速度，速度增加，则，开始做离心运动，故B错误，D正确； C．空间站变轨后的轨道半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律 可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故C错误。 故选D。 2．（23-24高一下·河南安阳·期末）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同，已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，由此可知地球的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在地球表面两极处有 在地球表面赤道处有 联立可得，地球的半径为 故选B。 3．（24-25高一下·山东济宁·期末）“开普勒-90”星系是一个类太阳系的恒星系统。其中一颗行星“开普勒-90d”的公转轨道半径约为地球公转轨道半径的，公转周期约为地球公转周期的。该星系中心天体与太阳的质量之比约为（    ） A．4:3 B．9:4 C．3:1 D．4:1 【答案】A 【详解】根据万有引力提供向心力可得 解得中心天体的质量为 则该星系中心天体与太阳的质量之比约为 故选A。 4．（24-25高一下·天津西青·期末）如图所示，在地球赤道上的物体A和在天津的物体B，它们均随地球自转而做匀速圆周运动。当两个物体质量相等，则下列说法正确的是（　　） A．两个物体的线速度大小相等 B．物体B的向心加速度最大 C．物体A的周期大于物体B的周期 D．两个物体受到的万有引力大小相等 【答案】D 【详解】A．物体与物体同轴转动，它们的角速度相等，由于，则由可知，两个物体的线速度大小关系为，故A错误； B．物体与物体的角速度相等，由于，则由可知，两个物体的向心加速度大小关系为，故B错误； C．物体与物体同轴转动，它们的角速度相等，由可知，两个物体的周期相等，故C错误； D．两个物体质量相等，两物体到地心的距离相等，由可知，两个物体受到的万有引力大小相等，故D正确。 故选D。 5．（2022·湖北·模拟预测）中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R-h为半径的地球的质量为M'，则根据密度相等有 由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有 联立以上两式并整理可得，故D正确，ABC错误。 故选D。 重难突破练（测试时间：15分钟） 6．（24-25高一下·四川眉山·期末）（多选）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示。已知X星球的半径为R0，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（　　） A．X星球的第一宇宙速度 B．X星球的密度 C．X星球的质量 D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为R0的卫星周期 【答案】AD 【详解】A．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据 可得 小球在最高点时，根据牛顿第二定律有 变形得 由F-v2图像可知，当时， 当时， 此时 则 X星球的第一宇宙速度，A正确； BC．由 又 化简可得 星球密度，B错误，C错误； D．卫星轨道半径 根据万有引力提供向心力 结合 解得，D正确。 故选AD。 7．（24-25高一下·天津·期末）（多选）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船绕月球做匀速圆周运动的半径为2R，周期为T；已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．该飞船的线速度大小为 B．月球的质量为 C．月球的第一宇宙速度为 D．月球两极的重力加速度为 【答案】BC 【详解】A．该飞船在轨的速度大小为，故A错误； B．根据 解得月球的质量为，故B正确； C．根据得 月球的第一宇宙速度为，故C正确； D．根据可得 月球两极的重力加速度为，故D错误。 故选BC。 8．（24-25高一下·湖北孝感·期末）（多选）天问一号在绕火星运动过程中由于火星遮挡太阳光，也会出现类似于地球上观察到的日全食现象，如图所示。已知天问一号绕火星运动的轨道半径为r，火星质量为M，引力常量为G，天问一号相对于火星的张角为α（用弧度制表示），将天问一号环火星的运动看作匀速圆周运动，天问一号、火星和太阳的球心在同一平面内，太阳光可看作平行光，则（　　） A．火星表面的重力加速度为 B．火星的第一宇宙速度为 C．天问一号每次日全食持续的时间为 D．天问一号运行的角速度为 【答案】AC 【详解】A．天问一号相对于火星的张角为α，根据几何关系可得火星半径为 质量为m0的物体在火星表面有 联立解得火星表面的重力加速度为，故A正确； B．火星的第一宇宙速度等于卫星在火星表面做匀速圆周的运行速度，由万有引力提供向心力得 联立可得火星的第一宇宙速度为，故B错误； C．作出天问一号上观察到的日全食的示意图，如图所示 日全食持续的时间为天问一号在GE之间运行的时间，根据几何关系可得三角形OAB与三角形OED全等，则 DE平行于OA，则 同理可得，则观察到日全食时天问一号转过的角度为 设天问一号的周期为T，根据万有引力提供向心力，有 解得周期 观察到日全食的时间为，故C正确； D．天问一号运行的角速度为，故D错误。 故选AC。 9．（24-25高一下·福建南平·期末）（多选）如图，宇宙中某双星系统由A、B两颗恒星组成，它们分别以、为半径绕共同的圆心做匀速圆周运动，转动周期为。引力常量为，不考虑其他星球对该双星系统的影响，则（　　） A．A、B的质量之比为 B．A、B的线速度之比为 C．该双星系统的总质量为 D．该双星系统的总质量为 【答案】AC 【详解】A．双星系统中两星球之间的万有引力分别提供各自做圆周运动的向心力，且两者周期相同、角速度相同，有 解得A、B的质量之比为 故A正确； B．根据 可知A、B的线速度之比为 故B错误； CD．由A选项分析有 联立解得该双星系统的总质量为 故C正确，D错误。 故选AC。 10．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）（多选）2023年5月11日，天舟六号货运飞船成功对接中国空间站天和核心舱，空间站和另一地球卫星的轨道如图所示，两轨道在同一平面，二者的运动均可看成匀速圆周运动。已知卫星-地心的连线与卫星—空间站的连线的最大夹角为，地球半径为R，空间站距地面的高度为h，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转。下列判断正确的是（　　） A．中国空间站的运行周期为 B．卫星的轨道半径为 C．空间站与卫星的线速度之比为 D．空间站与卫星的角速度之比为 【答案】CD 【详解】A．在地表附近万有引力近似等于重力，则 根据万有引力提供向心力可知 联立解得中国空间站的运行周期为，故A错误； B．根据题意结合几何关系可知卫星的轨道半径为，故B错误； CD．由万有引力提供向心力可得 解得， 所以空间站与卫星的线速度之比为，角速度之比为，故CD正确。 故选CD。 综合拓展练（测试时间：18分钟） 11．（25-26高一上·北京海淀·期末）模型建构是物理学研究中常用的思想方法，它可以帮助人们抓住主要矛盾、忽略次要因素，更好的揭示和理解物理现象背后的规律。 (1)在研究地球-月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动；第二种是把地球-月球系统看成一个双星系统，它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为，月球的质量为，二者相距，引力常量为。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： （a）根据第一个模型，求月球绕地球转动的周期。 （b）根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期。 (2)如下图所示，行星绕太阳做椭圆运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近日点到太阳中心的距离为，已知太阳质量为，行星质量为，万有引力常量为，行星通过点处的速率为，求点的曲率半径（点附近的曲线运动可看作圆周运动，该圆周的半径叫曲率半径。） 【答案】(1)（a），（b） (2) 【详解】（1）（a）在第一个模型中，假设地球是静止的，月球绕地球做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律，得 解得 （b）在第二个模型中，地球和月球都绕定点做圆周运动。 设地球到质心的距离为R，月球到质心的距离为r，则有R+r=L 对于地球，根据牛顿第二定律，得 对于月球，同理有 解得 （2）设B点曲率半径为RB，可视为行星以此圆做圆周运动，万有引力提供向心力。则由牛顿第二定律，得 解得曲率半径为 12．（24-25高一下·北京·期末）19世纪末，有科学家提出了太空电梯的构想：在赤道上建设一座恰好直达地球同步卫星轨道的高塔，并在塔内架设电梯。这种电梯可用于发射人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯缓慢地提升到预定轨道高度处，然后再启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去，使其直接进入预定圆轨道。已知地球质量为M、半径为R、自转周期为T，万有引力常量为G，若规定无穷远时引力势能为零，地球对卫星的引力势能表达式为 ，其中r为卫星到地心之间的距离。 (1)求高塔的高度； (2)若某次通过太空电梯发射质量为m的卫星时，预定其轨道高度为（），以地心为参考系。 a.若该卫星上升到预定轨道高度时与太空电梯脱离，脱离时卫星相对太空电梯的速度可视为零，求缓慢提升该卫星过程中太空电梯对卫星所做的功； b.太空电梯把卫星运送到预定轨道高度后，需用推进装置将卫星在预定轨道处发射进入预定轨道做匀速圆周运动，求推进装置需要做的功。 【答案】(1) (2)a.；b. 【详解】（1）高塔的高度为静止卫星的轨道高度，设静止卫星质量为，由万有引力提供向心力有，可得 （2）a.由于脱离时卫星相对太空电梯的速度可视为零，则卫星脱离太空电梯时的角速度和地球自转角速度相同，均为 此时卫星的线速度大小为 卫星在地面时的线速度大小为 根据功能关系可知，缓慢提升该卫星过程中太空电梯对卫星所做的功等于卫星机械能的增加量，则有 联立可得 b.设卫星在预定轨道处绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为，由万有引力提供向心力得 解得 根据动能定理可得推进装置需要做的功为 13．（24-25高一下·北京通州·期末）如图所示，如果给圆轨道Ⅲ上运动的空间站运送货物，飞船先在近地轨道Ⅰ上绕地球做圆周运动，到达轨道Ⅰ的B点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点A时再次点火进入轨道Ⅲ恰好与空间站对接。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，轨道Ⅲ的轨道半径为r=4R，引力常量为G。回答下列问题： (1)求飞船在轨道Ⅲ上的运行速率v； (2)甲同学认为根据公式v=ωr可知，飞船的轨道半径增大，飞船的速度也增大。乙同学认为根据公式可知，轨道半径增大时，飞船的速度是减小的。请写出你的理解。 (3)若飞船在轨道Ⅰ的运行周期为T1、在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期为T2、在轨道Ⅲ上运行的周期为T3，求飞船在椭圆轨道Ⅱ上从B点到A点所用的最短时间t。 【答案】(1) (2)甲错误，乙正确，中，当轨道半径r增大时，角速度也会变化。（由，r增大，减小），不能仅根据，判断v随r的变化；而，G、M不变，r增大，v减小，该式能正确反映卫星绕地球做圆周运动时速度与轨道半径的关系。 (3)（或结合T1、T3的表达式） 【详解】（1）在地球表面，可得 飞船在轨道Ⅲ上，万有引力提供向心力 把代入，解得 （2）甲同学错误，乙同学正确。中，当轨道半径r增大时，角速度也会变化。（由，r增大，减小），不能仅根据，判断v随r的变化；而，G、M不变，r增大，v减小，该式能正确反映卫星绕地球做圆周运动时速度与轨道半径的关系。 （3）轨道Ⅰ半径 轨道Ⅲ半径 椭圆轨道Ⅱ的半长轴 根据开普勒第三定律 飞船在椭圆轨道II上从B到A的时间为半个周期，即 也可由 得 或结合T3，由 通常取 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 万有引力与宇宙航行（期末复习讲义） 目录 【考情透视·目标导航】 2 【知识梳理·方放技巧】 2 知识点01 开普勒三大定律（行星运动规律） 2 知识点02 万有引力定律 3 知识点03 天体运动规律公式（万有引力提供向心力） 3 知识点04 卫星分类辨析（期末最易混淆） 4 知识点05 三大宇宙速度 4 知识点06 卫星变轨问题（难点多选必考） 5 【典例引领·即时检测】 5 题型1 开普勒定律的应用 5 题型2 第一宇宙速度的两种求法 5 题型3 离星球表面一定高低的万有引力的计算 8 题型4 深坑（或深井）模型 9 题型5 中心天体质量和密度的计算 11 题型6 卫星的变轨问题 12 题型7 双星（或多星）模型 14 题型8 挖补法求万有引力 16 题型9 地表抛射与天体运动的综合问题 18 【考场练兵·分层实战】 19 基础通关练（测试时间：10分钟） 19 重难突破练（测试时间：15分钟） 21 综合拓展练（测试时间：18分钟） 23 1.分值占比 本专题是高一物理必修二必考重点，期末考试总分占比15-22分，考查形式全覆盖：单选题、多选题、填空题、计算题均会出题，公式逻辑性强、模型固定，属于最好拿分、最容易满分的板块。 2.核心考查方向 （1）基础层：开普勒三大定律理解、万有引力公式辨析、引力常量识记 （2）中层：天体五大公式推导、卫星轨道物理量比较、重力加速度计算 （3）拔高层：近地卫星、同步卫星、赤道物体三类天体对比、变轨动态分析 （4）综合层：中心天体质量密度计算、多星系统、宇宙速度综合判断 3.命题特点 模型固定、套路极强，紧贴课本公式，常结合我国航天工程、行星探测、同步卫星等真实情境出题，侧重考查公式记忆、比例运算、模型辨析，计算难度低，易错点多。 4.高频易错点 （1）混淆自转物体与环绕卫星，错误对地面物体使用万有引力全部提供向心力 （2）分不清轨道半径、星球半径、离地高度，代入公式时常代错数据 （3）卫星变轨时误判加速度大小，认为加速后加速度变大 （4）记错同步卫星条件，误以为同步卫星可以在任意纬度发射 （5）混淆发射速度和环绕速度，记错第一宇宙速度物理意义 必备知识 知识点01 开普勒三大定律（行星运动规律） 定律 内容 图示 说明 开普勒第一定 律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 运动规律：近日点速度大，远日点速度小， 口诀：近快远慢。 开普勒第二定 律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 当行星离太阳较近时，运 动的速度比较快，而离太 阳较远时速度较慢 开普勒第三定 律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即 =k 同一中心天体k相同，不同 的中心天体k一般不同 知识点02 万有引力定律 1.定律内容 自然界中任意两个有质量的物体之间都存在相互吸引力，引力大小与两物体质量乘积成正比，与两物体球心距离的平方成反比。 2.计算公式：，G为引力常量，且，由卡文迪许扭秤实验测出。r为质点间距、均匀球体球心间距。 3.适用条件 适用于质点、质量均匀球体、间距极大可视为质点的物体；不能直接用于不规则靠近物体。 4.黄金代换式（必考万能公式） 在星球表面，忽略星球自转，万有引力近似等于重力。 适用：星球表面附近、近地卫星，是天体计算使用频率最高公式。 5.高空重力加速度推导 距离星球表面高度h处： ，即：离地越高，重力加速度越小。 知识点03 天体运动规律公式（万有引力提供向心力） 1. 天体运动的基本物理量 所有环绕卫星做匀速圆周运动，向心力全部由中心天体的万有引力提供。 物理量 推导公式 变化规律（r越大） 线速度 减小 角速度 减小 周期 增大 向心加速度 减小 通用口诀：高轨、低速、大周期、小加速度。 2. 中心天体质量与密度计算 （1）自力更生法 利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R ①由=mg，得天体的质量M＝ ②天体密度 ③黄金带换算： （2）借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr得天体的质量M＝ ②若已知天体的半径R，则天体的密度 ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体的密度ρ＝，可见，只要测出卫星绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心体的密度。 知识点04 卫星分类辨析（期末最易混淆） 1.近地卫星 轨道半径近似等于地球半径，贴近地表飞行；万有引力完全提供向心力；具有最大环绕速度、最小公转周期。 2.地球同步卫星（五定原则） 特点 具体说明 定周期 周期为24h，与地球自转周期相同 定角速度 角速度等于地球自转角速度 定轨道 只能在赤道正上方 定高度 离地高度固定 定速度 环绕速度大小固定 3.赤道上随地球自转的物体 受力：万有引力一部分提供重力，一小部分提供自转向心力；不可使用卫星环绕公式；角速度等于同步卫星，但是线速度、向心加速度远小于同步卫星。 知识点05 三大宇宙速度 1.第一宇宙速度（7.9km/s） 是近地卫星的环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度，是所有环绕地球运转的卫星中最大的环绕速度。 2.第二宇宙速度（11.2km/s） 是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，当发射速度≥11.2km/s时，卫星将脱离地球引力，成为绕太阳运动的人造行星。 3.第三宇宙速度（16.7km/s） 是卫星脱离太阳引力束缚的最小发射速度，当发射速度≥16.7km/s时，卫星将脱离太阳引力，飞出太阳系。 知识点06 卫星变轨问题（难点多选必考） 1.低轨道变高轨道（离心运动） 卫星向后喷气加速，所需向心力变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动，进入高轨道。 速度变化：点火瞬间速度增大；稳定后轨道越高，环绕速度越小。 2.高轨道变低轨道（近心运动） 卫星向前喷气减速，所需向心力减小，万有引力大于向心力，卫星做近心运动，轨道降低。 3.变轨核心结论 同一位置，轨道半径相同，万有引力相同，加速度一定相等；变轨交点处，外轨速度大于内轨稳定速度；从低轨到高轨需要两次点火加速。 题型1 开普勒定律的应用 题｜型｜解｜读 开普勒定律在天体运动考题中多以基础选择题形式出现，核心考查三点：一是根据第一定律判断近日点远日点的速度大小关系，二是利用第二定律分析不同位置的运动速率变化，三是运用第三定律的比例关系计算不同行星的公转周期或轨道半长轴，整体难度较低，属于必拿分题型。 【典例1】（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图所示是地球绕太阳运动的椭圆轨迹，短轴和长轴的四个位置所对应的节气分别是春分、秋分、夏至和冬至。假设地球只受到太阳的引力，下列说法不正确的是（　　） A．春分和秋分时，地球运动的加速度不相同 B．从夏至到秋分，地球的运行时间等于公转周期的 C．若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，，则地球与木星对应的值相同 D．火星与太阳连线单位时间扫过的面积不等于地球与太阳连线单位时间扫过的面积 【即时检测1】（24-25高一下·吉林长春·期末）分别与地球公转轨道外切和内切的小行星甲和小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，公转周期为T，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于其在近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与小行星乙的运行周期之比 D．小行星甲从远日点到近日点的时间为 【即时检测2】（24-25高一下·山东潍坊·期末）（多选）如图所示，月球探测器绕月球沿椭圆轨道运行，、分别为近月点和远月点，其间距为，已知月球质量为，引力常量为，则（　　） A．探测器在点的速度大于在点的速度 B．探测器在点的加速度小于在点的加速度 C．探测器从点第一次运行到点的时间为 D．探测器从点第一次运行到点的时间为 题型2 第一宇宙速度的两种求法 题｜型｜解｜读 第一宇宙速度是期末考试选择题、计算题的高频考点，必须熟练掌握两种推导求解方法，两种方法均依托万有引力的核心思路求解，具体推导过程如下： 方法一：近地卫星环绕法。 近地卫星的轨道半径近似等于中心天体的半径(R)，万有引力全部提供卫星做圆周运动的向心力，因此有，整理可得第一宇宙速度，只要知道中心天体的引力常量(G)、中心天体质量(M)和中心天体半径(R)，即可代入计算得到第一宇宙速度。 方法二：黄金代换推导法。 在中心天体表面，忽略自转影响时，万有引力近似等于物体重力，结合近地卫星向心力由重力提供，可得，整理得到第一宇宙速度，只要知道中心天体表面的重力加速度(g)和中心天体半径(R)，就可以快速算出第一宇宙速度。 该题型核心易错点为混淆第一宇宙速度是“最小发射速度，最大环绕速度”的物理意义，审题时需要注意问题问的是发射速度还是环绕速度，避免概念判断错误。 【典例2】（24-25高一下·江西南昌·期末）“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年终于到达木星周围。此后在秒内绕木星运行圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁。设这圈都是绕木星在同一轨道做匀速圆周运行，其运行的向心加速度大小为，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为（如图所示），设木星为一球体。求： (1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径； (2)木星的第一宇宙速度大小。 【即时检测1】（24-25高一下·湖北孝感·期末）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。质量为的飞船在距离月面的高度等于月球半径处绕月球做匀速圆周运动时，周期为，已知月球半径为，忽略月球自转。求： (1)月球表面的第一宇宙速度大小 (2)飞船停在月球上时受到的支持力的大小。 【即时检测2】（24-25高一下·湖南永州·期末）（多选）我国宇航员进行了“模拟登陆火星”实验，已知火星半径约为地球半径的，质量约为地球质量的。地球表面重力加速度为g，若宇航员在地球表面上能竖直向上跳起的最大高度为h，在忽略火星自转影响的条件下，下列说法正确的是（　　） A．宇航员在火星表面受到的万有引力是地球表面受到的万有引力的 B．火星表面的重力加速度为 C．火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 D．宇航员以相同的初速度在火星表面上能竖直向上跳起的最大高度为 题型3 离星球表面一定高低的万有引力的计算 题｜型｜解｜读 该题型的核心难点在于准确区分轨道半径、星球半径与离地高度三个物理量，解决这类问题的核心思路依然是万有引力提供向心力，结合黄金代换式进行推导计算。设星球半径为R，离地高度为h，那么卫星做圆周运动的轨道半径，结合万有引力提供向心力可得，再结合黄金代换式，就可以消去GM，直接用星球表面重力加速度推导得到对应高度处的线速度、角速度、周期、重力加速度等任意物理量。 该题型最常见的易错点就是计算时代错半径：直接把离地高度h当成轨道半径代入公式计算，因此解题第一步必须明确写出，再代入公式运算，就能避开这一高频失分陷阱。 【典例3】（24-25高一下·四川雅安·期末）将地球视为半径为R的均匀球体，物体受地球引力大小F随它距地面高度h变化的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【即时检测1】（23-24高一下·山西·期末）月球对地球施加的引力是造成潮汐的主要原因。如图所示，当月球在某个位置时，它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用，导致海水向月球方向隆起，形成高潮。已知地球质量为M，地球半径为R，地球自转周期为T，月球质量为m，月球到地球的距离为r，引力常量为G，取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为的小水球作为研究对象，求： （1）小水球绕地心做圆周运动的向心力大小； （2）月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比。 【即时检测2】（23-24高一下·辽宁锦州·期末）中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术。如图所示，其发射过程简化如下：质量为m的飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为P、远地点为Q的椭圆轨道上，飞船通过变轨进入预定圆轨道。已知：点P距地面的高度为h，飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。求： （1）飞船从Q点到P点速度大小的变化情况； （2）飞船经过椭圆轨道近地点P时的地球引力大小； （3）Q点距地面的高度。 题型4 深坑（或深井）模型 题｜型｜解｜读 该模型考查均匀球体内部不同深度处的重力加速度计算，核心结论为：只有深矿井内部到球心这部分球体对物体产生万有引力作用，外部球壳对物体的引力合力为零。 设星球半径为( R )，密度均匀为，物体距离星球表面深度为( d )，物体到球心的距离为( r = R - d )。根据万有引力提供重力，结合万有引力定律推导：，即，而，星球总质量，地表重力加速度。将M'代入g'表达式可得，又因为r = R - d，所以，即重力加速度随深度线性减小。 该模型的易错点在于，很多同学会误用高空重力加速度公式进行计算。注意高空重力加速度和深坑模型规律不同：高空是离地高度 h越高，g与成反比减小；而深坑中，深度d越大，g随d线性减小，需要区分模型，选择对应公式。 【典例4】（25-26高一上·湖北武汉·期末）假设地球是一个半径为、质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。若在地球内部，以地心为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。已知地表重力加速度为g，则其在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【即时检测1】（24-25高一下·河南开封·期末）（多选）已知均匀球壳对内部任意一点的引力为零，若地球可视为质量分布均匀的球体，半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，若从地球表面沿半径方向挖一深度为的洞，忽略地球自转和空气阻力的影响，下列说法正确的是（　　） A．洞底的重力加速度大小为 B．洞底的重力加速度大小为 C．若从地表由静止掉落一物体，到达洞底时的速度大小为 D．若从地表由静止掉落一物体，到达洞底时的速度大小为 【即时检测2】（23-24高一下·河北沧州·期末）已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零。如图所示，若通过地球球心打通一条光滑的细通道，一个质量为m，可看作质点的小球从入口M点处由静止释放，沿着通道到达另一端N。已知地球半径为R，小球在M点释放瞬间的加速度为a，地球质量分布均匀，不计细通道对地球质量分布的影响，则小球运动过程中的最大动能为（    ） A． B． C． D． 题型5 中心天体质量和密度的计算 题｜型｜解｜读 该题型是高一物理期末考试计算题第一问的必考内容，也会在选择题中单独考查，核心是掌握两种不同条件下的计算思路，根据题目给出的已知量选择对应公式推导，具体分为两类场景： 模型1：自力更生法 给定星球表面重力加速度和星球半径，忽略星球自转时，利用黄金代换式，直接推导得到中心天体质量，再结合密度公式，代入化简就能得到密度。 模型2：借助外援法 给定环绕卫星的轨道半径(r)和公转周期(T)，利用万有引力提供向心力，，整理得到中心天体质量，再结合密度公式代入中心天体体积（R为中心天体自身半径），即可得到密度。如果是近地卫星，轨道半径r近似等于中心天体半径R，公式可以直接化简为，这一结论是选择题高频考点，需要牢记。 易错题型：一是计算密度时，误把卫星轨道半径当成中心天体的自身半径代入体积公式，只有近地卫星才能直接替换；二是混淆两种计算场景的条件，不会结合黄金代换式化简，解题时先明确题目给出的已知量，选对公式就能保证计算正确。 【典例5】（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）中国空间站距离地面的高度约为地球半径的，其环绕地球运行的周期为。已知引力常量为，则以下表达式最接近地球平均密度的是（　　） A． B． C． D． 【即时检测1】（24-25高一下·四川达州·期末）2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道。经过一系列变轨后成功进入环月轨道，已知探测器绕行周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【即时检测2】（24-25高一下·四川攀枝花·期末）如图所示，有两颗绕地球做椭圆运动的卫星1和卫星2，它们轨道的近地点到地球表面的最近距离均为d，远地点到地球表面的最近距离分别为d1=1.5d、d2=10d。环绕地球运动的周期之比。忽略地球的自转，已知万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，求： (1)地球的半径R； (2)地球的平均密度ρ。 题型6 卫星的变轨问题 题｜型｜解｜读 卫星变轨是期末考试多项选择题的难点考点，偶尔也会在计算题中结合万有引力定律考查，核心考查变轨过程中的速度、加速度、周期的大小比较，需要紧扣变轨核心结论分析判断。 该题型有几个高频考查结论需要牢记：第一，加速度只和位置有关，同一位置不同轨道的万有引力相同，因此加速度一定相等，不要被变轨过程的速度变化误导；第二，速度大小比较：低轨道变到高轨道，点火加速后速度才会大于原轨道的稳定速度，但是最终稳定在高轨道后，环绕速度会比原低轨道的环绕速度更小；第三，从低轨道转移到高轨道需要经过两次点火，第一次在低轨道加速进入转移椭圆轨道，第二次在椭圆轨道远地点再次加速进入高轨道圆轨道，整个过程需要消耗燃料，机械能增加。 常见的易错点有两个：一是误以为轨道越高稳定环绕速度越大，记错“高轨低速”的规律；二是比较变轨交点处的速度大小时混淆变轨过程，错认为内轨速度大于外轨速度，需要记住离心变轨时外轨交点速度更大，近心变轨时外轨交点速度更大这一结论。 【典例6】（24-25高一下·福建福州·期末）（多选）“天问一号”探测器，2020年发射，年月成功飞近火星，这在我国尚属首次。历时较长，过程复杂，若将过程模拟简化，示意如图，圆形轨道Ⅰ为地球绕太阳公转的轨道，轨道半径为，椭圆轨道Ⅱ为“天问一号”绕太阳公转的椭圆轨道，圆形轨道Ⅲ为火星绕太阳的公转轨道，轨道半径为；是轨道Ⅱ与Ⅰ的公切点，为轨道Ⅱ与Ⅲ的公切点，不计火星引力、地球引力对轨道Ⅱ中探测器的影响。下列说法正确的是（　　） A．“天问一号”在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期小于2年 B．“天问一号”从点运行到点的过程中引力先做正功后做负功 C．“天问一号”在轨道Ⅰ上运行的机械能小于在轨道Ⅲ上运行的机械能 D．“天问一号”在轨道Ⅱ上运行经过点速度大于火星在轨道Ⅲ上经过点的速度 【即时检测1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选）2025年4月24日，三名航天员从神舟二十号载人飞船进入空间站（距地面的高度为）。神舟二十号的质量为，航天员的总质量为，地球半径为，地球表面的重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．神舟二十号与空间站对接后，神舟二十号（含航天员）受到地球的万有引力大小为 B．对接前，神舟二十号与空间站在同一轨道绕地球运动，稳定后神舟二十号加速追上去就可完成对接 C．空间站环绕地球运行的速度为 D．空间站环绕地球运行的周期为 【即时检测2】（24-25高一下·山东济南·期末）（多选）嫦娥六号探测器的发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回先河。探测器着陆月球表面的过程示意图如图所示，探测器先在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，从点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点点再次变轨到近月轨道Ⅲ，最后安全落在月球上。已知月球半径为，探测器在轨道Ⅲ运动的周期为，在椭圆轨道Ⅱ运动的周期为近月轨道Ⅲ的周期的倍。下列说法正确的是（　　） A．探测器在轨道Ⅲ运动的速率大于在轨道Ⅰ运动的速率 B．探测器在轨道Ⅲ运动的速率小于在轨道Ⅱ经过点时的速率 C．轨道Ⅰ的半径为 D．探测器在轨道Ⅰ的角速度为 题型7 双星（或多星）模型 题｜型｜解｜读 双星模型是天体运动中考查频率较高的特色模型，核心特点是两颗恒星绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，二者的向心力均由彼此间的万有引力提供，需要牢记三个核心规律：第一，双星做圆周运动的角速度、周期一定相等，因为二者绕公共圆心转动，始终保持在同一直线上，所以角速度和周期完全相同；第二，两颗星做圆周运动的向心力大小相等，因为双星之间的万有引力是一对相互作用力，大小相等，各自做圆周运动的向心力都由这个万有引力提供，因此向心力大小相等；第三，双星做圆周运动的轨道半径之和等于两星之间的距离，设两星质量分别为、，轨道半径分别为、，两星间距为L，则满足。 解决双星问题的基本推导思路为：对有，对有，两式相加可得，整理可得周期公式，这是双星问题的常用结论。 该题型最常见的易错点是，误把双星的轨道半径当成两星之间的距离代入公式计算，一定要牢记轨道半径是星体到旋转公共圆心的距离，不是两星体之间的距离，只有先写出的关系，再结合推导才能得到正确结果。如果是多星模型，核心思路和双星一致，依然是万有引力的合力提供圆周运动向心力，结合角速度相等的特点推导即可。 【典例7】（23-24高一下·湖南衡阳·期末）有研究表明，在银河系中至少一半以上的恒星系统都是由双星构成的。由恒星1、2（可视为质点）组成的双星系统如图所示，两恒星以相等的角速度绕两者连线上的O点做圆周运动，测得恒星1、2到O点的距离分别为2r、r，已知恒星1的质量为m，引力常量为G。求： （1）恒星2的质量； （2）恒星1、2间的万有引力大小F； （3）恒星1的线速度大小。 【即时检测1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下均绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。求： （1）A星球做圆周运动的轨道半径R和B星球做圆周运动的轨道半径r； （2）两星球做圆周运动的周期； （3）如果把星球A质量不断地搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L。则组成新的稳定双星后那么星球A做圆周运动的轨道半径和周期如何变化。 【即时检测2】（24-25高一下·北京海淀·期末）（多选）双星系统由两个天体组成，相对于其他天体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。图1是某双星系统示意图，该系统由两颗互相绕行且质量分布均匀的恒星组成。图2为该双星系统的简化图，为圆心。两恒星、的球心分别为、，已知，，。下列说法正确的是（　　） A．和做匀速圆周运动的半径之比为 B．和受到的向心力之比为 C．和质量之比为 D．和绕旋转的线速度之和与线速度之差的比值为 题型8 挖补法求万有引力 题｜型｜解｜读 挖补法是解决“规则均匀球体挖去一部分后，计算剩余部分对挖去位置外某一质点万有引力”问题的特殊方法，核心思路是先将球体补成完整的均匀大球体，计算出完整球体对质点的万有引力，再计算出挖去部分对该质点的万有引力，最后用完整球体的引力减去挖去部分的引力，就得到剩余部分对质点的万有引力，本质是利用了万有引力的叠加原理。 这类问题的常见考查场景为：从均匀实心球体中挖去一个直径等于原球体半径的小球，在原小球球心、或者原球体表面原直径位置放置一个质点，计算剩余部分的万有引力，计算过程中需要结合球体质量和半径三次方成正比的关系，根据挖去小球的半径推导挖去部分的质量占原球体质量的比例，再代入计算。 该题型的易错点是找错挖去小球的球心位置，计算二者到质点的距离时出错，解题时需要先画出示意图，明确各部分的位置关系，再按步骤计算，就能得到正确结果。 【典例8】上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（　　） A． B． C． D． 【即时检测1】如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则球体剩余部分对质点P的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【即时检测2】（高一下·四川成都·月考）如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（　　） A． B． C． D．0 题型9 地表抛射与天体运动的综合问题 题｜型｜解｜读 这类问题是万有引力板块的综合性题型，多在计算题的压轴位置出现，需要结合竖直上抛、平抛等抛体运动规律和天体运动的核心公式联立求解，核心考查两个方向：一是结合抛射运动先求出星球表面的重力加速度，再利用黄金代换式进一步计算中心天体的质量、密度或第一宇宙速度；二是讨论抛体的最大射程、最大高度与星球第一宇宙速度的关联，整体解题的关键在于通过抛体运动的规律推导出星球表面的重力加速度。 这类题的解题步骤一般分为两步：第一步对地表抛射过程分析，根据竖直上抛的上升时间、最大高度，或是平抛的位移规律，结合运动学公式计算出星球表面的重力加速度g；第二步把得到的g代入万有引力的相关公式，结合题目要求计算中心天体的质量密度、第一宇宙速度或是卫星的环绕参量。 该题型的核心易错点是忽略地球自转对地表抛体的影响，或是在计算天体参量时混淆星球半径与离地高度，只要先通过抛体运动准确求出重力加速度，再严格按照天体运动公式代入对应物理量，就能顺利解决问题。 【典例8】（山西运城·期末）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球的半径为R，万有引力常量为G。求： （1）该星球的质量； （2）该星球的第一宇宙速度； （3）人造卫星绕该星球做匀速圆周运动的最小周期T。    【即时检测1】（24-25高一下·河北雄安·期末）电影《火星救援》的热映，激起了人们对火星的关注。若宇航员在火星表面将小球竖直向上抛出，取抛出位置的位移x＝0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，小球运动的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转。求： (1)火星表面的重力加速度g； (2)火星的密度ρ及其第一宇宙速度v。 【即时检测2】（24-25高一下·四川眉山·期末）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上，沿水平方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间t垂直打在斜坡上的P点（未画出），已知斜坡的倾角为，该星球的半径为R，引力常量为G，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)求该星球的密度和第一宇宙速度v。 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则 A．空间站变轨后在P点的加速度比变轨前的大 B．喷射气体后，空间站开始做近心运动 C．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 D．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大 2．（23-24高一下·河南安阳·期末）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同，已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，由此可知地球的半径为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东济宁·期末）“开普勒-90”星系是一个类太阳系的恒星系统。其中一颗行星“开普勒-90d”的公转轨道半径约为地球公转轨道半径的，公转周期约为地球公转周期的。该星系中心天体与太阳的质量之比约为（    ） A．4:3 B．9:4 C．3:1 D．4:1 4．（24-25高一下·天津西青·期末）如图所示，在地球赤道上的物体A和在天津的物体B，它们均随地球自转而做匀速圆周运动。当两个物体质量相等，则下列说法正确的是（　　） A．两个物体的线速度大小相等 B．物体B的向心加速度最大 C．物体A的周期大于物体B的周期 D．两个物体受到的万有引力大小相等 5．（2022·湖北·模拟预测）中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是（    ） A．B．C． D． 重难突破练（测试时间：15分钟） 6．（24-25高一下·四川眉山·期末）（多选）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示。已知X星球的半径为R0，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（　　） A．X星球的第一宇宙速度 B．X星球的密度 C．X星球的质量 D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为R0的卫星周期 7．（24-25高一下·天津·期末）（多选）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船绕月球做匀速圆周运动的半径为2R，周期为T；已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．该飞船的线速度大小为 B．月球的质量为 C．月球的第一宇宙速度为 D．月球两极的重力加速度为 8．（24-25高一下·湖北孝感·期末）（多选）天问一号在绕火星运动过程中由于火星遮挡太阳光，也会出现类似于地球上观察到的日全食现象，如图所示。已知天问一号绕火星运动的轨道半径为r，火星质量为M，引力常量为G，天问一号相对于火星的张角为α（用弧度制表示），将天问一号环火星的运动看作匀速圆周运动，天问一号、火星和太阳的球心在同一平面内，太阳光可看作平行光，则（　　） A．火星表面的重力加速度为 B．火星的第一宇宙速度为 C．天问一号每次日全食持续的时间为 D．天问一号运行的角速度为 9．（24-25高一下·福建南平·期末）（多选）如图，宇宙中某双星系统由A、B两颗恒星组成，它们分别以、为半径绕共同的圆心做匀速圆周运动，转动周期为。引力常量为，不考虑其他星球对该双星系统的影响，则（　　） A．A、B的质量之比为 B．A、B的线速度之比为 C．该双星系统的总质量为 D．该双星系统的总质量为 10．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）（多选）2023年5月11日，天舟六号货运飞船成功对接中国空间站天和核心舱，空间站和另一地球卫星的轨道如图所示，两轨道在同一平面，二者的运动均可看成匀速圆周运动。已知卫星-地心的连线与卫星—空间站的连线的最大夹角为，地球半径为R，空间站距地面的高度为h，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转。下列判断正确的是（　　） A．中国空间站的运行周期为 B．卫星的轨道半径为 C．空间站与卫星的线速度之比为 D．空间站与卫星的角速度之比为 综合拓展练（测试时间：18分钟） 11．（25-26高一上·北京海淀·期末）模型建构是物理学研究中常用的思想方法，它可以帮助人们抓住主要矛盾、忽略次要因素，更好的揭示和理解物理现象背后的规律。 (1)在研究地球-月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动；第二种是把地球-月球系统看成一个双星系统，它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为，月球的质量为，二者相距，引力常量为。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： （a）根据第一个模型，求月球绕地球转动的周期。 （b）根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期。 (2)如下图所示，行星绕太阳做椭圆运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近日点到太阳中心的距离为，已知太阳质量为，行星质量为，万有引力常量为，行星通过点处的速率为，求点的曲率半径（点附近的曲线运动可看作圆周运动，该圆周的半径叫曲率半径。） 12．（24-25高一下·北京·期末）19世纪末，有科学家提出了太空电梯的构想：在赤道上建设一座恰好直达地球同步卫星轨道的高塔，并在塔内架设电梯。这种电梯可用于发射人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯缓慢地提升到预定轨道高度处，然后再启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去，使其直接进入预定圆轨道。已知地球质量为M、半径为R、自转周期为T，万有引力常量为G，若规定无穷远时引力势能为零，地球对卫星的引力势能表达式为 ，其中r为卫星到地心之间的距离。 (1)求高塔的高度； (2)若某次通过太空电梯发射质量为m的卫星时，预定其轨道高度为（），以地心为参考系。 a.若该卫星上升到预定轨道高度时与太空电梯脱离，脱离时卫星相对太空电梯的速度可视为零，求缓慢提升该卫星过程中太空电梯对卫星所做的功； b.太空电梯把卫星运送到预定轨道高度后，需用推进装置将卫星在预定轨道处发射进入预定轨道做匀速圆周运动，求推进装置需要做的功。 13．（24-25高一下·北京通州·期末）如图所示，如果给圆轨道Ⅲ上运动的空间站运送货物，飞船先在近地轨道Ⅰ上绕地球做圆周运动，到达轨道Ⅰ的B点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点A时再次点火进入轨道Ⅲ恰好与空间站对接。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，轨道Ⅲ的轨道半径为r=4R，引力常量为G。回答下列问题： (1)求飞船在轨道Ⅲ上的运行速率v； (2)甲同学认为根据公式v=ωr可知，飞船的轨道半径增大，飞船的速度也增大。乙同学认为根据公式可知，轨道半径增大时，飞船的速度是减小的。请写出你的理解。 (3)若飞船在轨道Ⅰ的运行周期为T1、在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期为T2、在轨道Ⅲ上运行的周期为T3，求飞船在椭圆轨道Ⅱ上从B点到A点所用的最短时间t。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $