第10讲 功和功率（讲义）-【划重点】2025-2026学年高一下学期期中期末物理复习（人教版必修第二册）

第10讲 功和功率 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 功的定义及公式 知识点2 变力做功 知识点3 关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功 知识点4 功率的定义及公式 知识点5 机车启动模型 知识点1：功的定义及公式 1.功的定义 力与在力的方向上位移的 。 2.功的两个要素 ①作用在物体上的 ；②物体在力的方向上发生的 。 3.物理意义 功是能量 的量度。 4.标矢性 功是 量，虽有正负之分，但 方向，功的运算遵循 法则。 5.功是过程量 描述了力的作用效果在 上的累积，它总与一个具体过程相联系。 6.功的单位 在国际单位制中，是 ，简称 ，符号是 。另外还有电子伏、千瓦时等。它们之间的换算关系1eV=1.6×10-19J，1KWh= J。 7.恒力做功的公式 W＝ ，α为恒力F的方向与位移l的方向之间的夹角，这是计算功的一般公式（只适用于恒力做功）。 对cosα的两种理解角度 把力按沿 方向与 方向分解，垂直位移方向的力不做功： W＝F∥l＝Fcos α·l 把位移按沿 方向与 分解．在垂直力方向的位移上力不做功：W＝Fl∥＝Flcos α 应用公式注意 ①式中的F一定是恒力（大小、方向都不变），即此式是求恒力做功的公式。 ②式中的位移l一般是相对 而言的。 ③力F与位移l具有同时性：只与有力作用的那一段位移有关，若力取消后物体仍在运动，则与力取消后物体发生的位移 。 ④力F对物体做的功只与F、l和α三者有关，与物体的 等因素无关。 8.合力功 方法一 当合力F为恒力时，先求 ，再用W合＝F合lcos α，α是合力F与物体位移l的夹角。 方法二 先求各个 做的功，再应用W合＝W1＋W2＋…＝F1l1cos α1＋F2l2cos α2＋…求合外力做的功。 9.正功和负功 夹角 功的正负 0≤α＜90° 力对物体做 90°＜α≤180° 力对物体做 ，或者说物体克服这个力做了功 α=90° 力对物体 10.判断力是否做功及做正、负功的方法 恒力做功的判断 若物体做直线运动，依据 与 的夹角来判断 曲线运动中功的判断 若物体做曲线运动，依据 与 的方向夹角来判断。当0≤α<90°，力对物体做正功，90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功 根据动能的变化 动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即W合＝Ek末－Ek初，当动能增加时合外力做正功；当动能减少时，合外力做负功 依据能量变化来判断 根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断 ①功的正负既不表示功有方向，也不表示功的数量的大小。既不能说“正功和负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”。比较做功多少时，只比较功的 ，不看功的 。例如，－8J的功要比5J的功多。 ②正功表示物体在这个过程中的力是 ，对物体起推动作用，使物体的能量 。负功表示物体在这个过程中的力是 ，对物体的运动起阻碍作用，使物体的能量 。 ③一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值），这两种说法在意义上是等同的。如：一个力对物体做了－6 J的功，可以说成是物体克服这个力做了 J的功。 【针对练习1】如图所示，在减速上升的升降机中，物块始终静止在固定的斜面上，关于物块所受各力做功的说法正确的是（　　） A．合力做正功 B．支持力做负功 C．摩擦力不做功 D．摩擦力做正功 【针对练习2】我国古代力学发展较为完善。例如，《淮南子》中记载“物之功，动而有益，则损随之”，这里的“功”已初步具备现代物理学中功的含义。关于功，下列说法正确的是（　　） A．力和位移都是矢量，所以功也是矢量 B．物体运动过程中，合力做功可能为零 C．作用力做功，反作用力也一定做功 D．滑动摩擦力一定对物体做负功 【针对练习3】（多选）专业的飞行者穿戴飞行服装和降落伞设备，从悬崖绝壁等高处跃下，无动力空中飞行，如图甲所示，飞行者到达一定高度时打开降落伞着陆。某一翼装飞行者在空中运动时竖直方向的图像如图乙所示，以竖直向下为正方向，下列说法正确的是（　　） A．0~10s内飞行者处于失重状态 B．0~10s内飞行者受到的合力对飞行者做负功 C．10s~15s内飞行者竖直方向的加速度在减小 D．10s~15s内合力对飞行者做正功 【针对练习4】如图所示，质量为m的物体，在与地面成角斜向下的力F的作用下，由静止沿水平方向运动了距离x，物体与地面间的动摩擦因数为。则此过程中（　　） A．F对物体做功为 B．地面摩擦力对物体做功为 C．重力对物体做功为 D．地面支持力对物体做功为 知识点2：变力做功 ①利用“微元法”求变力的功 物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解 不变、 改变的变力做功问题。 ②化变力的功为恒力的功 若通过转换研究的对象，有时可化变力为恒力做功。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。 ③利用F–x图象求变力的功 在F–x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为 ，位于x轴下方的“面积”为 ，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图形） ④利用平均力求变力的功 在求解变力做功时，若物体受到的力 不变，而大小随位移呈 变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝Flcosα求此力所做的功。 ⑤利用动能定理求变力的功 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。 【针对练习5】石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为20N的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中克服摩擦力所做的功约为（　　） A．0 B．6J C．19J D．38J 【针对练习6】如图所示，用一个大小不变的力拉着滑块（视为质点）使其沿半径为的水平圆轨道匀速运动半周，若力的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成夹角，则力做的功为（　　）    A． B． C． D． 【针对练习7】如图甲所示，质量为5kg的物体在斜向下、与水平方向成37°角的力F作用下，沿水平面开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则力F所做的功为（　　） A．200J B．160J C．100J D．80J 【针对练习8】如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，一轻质弹簧下端固定在斜面底端挡板上，上端与质量为1kg的小滑块A相连，A上叠放另一个质量为2kg的小滑块B，弹簧的劲度系数为k=50N/m，初始时系统处于静止状态。现用沿斜面向上的拉力F作用在滑块B上，使B开始沿斜面向上做加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动。重力加速度大小为10m/s2，不计空气阻力。从开始运动到A、B分离瞬间，拉力F做功为（　　） A．1.76J B．1.6J C．1.4J D．1.12J 【针对练习9】某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。 知识点3：关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功 1．静摩擦力做功分析 情景分析 如图所示，匀速运行的传送带上，货物与传送带间无相对滑动。传送带对货物的静摩擦力对货物做正功，货物对传送带的静摩擦力对传送带做负功。这一对静摩擦力做的功大小相等，方向相反，相互抵消，总功为零。另外，如果传送带静止，则静摩擦力不做功。 总结 ①静摩擦力可以做 ，也可以做 ，还可以 。 ②一对静摩擦力做功的代数和一定为 。 功能关系 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体 到另一个物体（静摩擦力起着传递机械能的作用）而没有机械能转化为其他形式的能量。 2．滑动摩擦力做功的特点 情景分析 如图所示，质量为M,长为L的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端滑过木板，并从木板右端离开。已知小物块与木板间的滑动摩擦力大小为f,则在这一过程中，木板对小物块的滑动摩擦力对小物块做负功，Wf =-f (s+L),小物块对木板的滑动摩擦力对木板做正功，。这一对滑动摩擦力做功的代数和。 若木板静止在粗糙的水平桌面上，且在小物块滑过木板的过程中，木板一直静止，则Wf =-f L，，。 总结 ①滑动摩擦力可以对物体做 ，也可以做 ，还可以 。 ②一对滑动摩擦力做的总功一定是 。 功能关系 ①一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ⅰ．机械能 转化为内能； ⅱ．有一部分机械能在相互摩擦的物体间 ，另外一部分转化为 。 ②一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功总为负值，系统损失的机械能转变成内能。 ③摩擦生热的计算：ΔQ＝ 。其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程。 ①无论是计算滑动摩擦力做功，还是计算静摩擦力做功，都代入物体相对于地面的位移。 ②摩擦生热ΔQ＝Fs相对中，若物体做往复运动时，则s相对为总的 。 3．作用力、反作用力做功的特点 如图所示,在光滑水平面上有甲、乙两辆小车,小车上各固定一条形磁铁,两磁铁N极间的力为一对相互作用力,这两个力做功的情况可总结如下。 序号 运动情况 做功情况 1 用手按住两小车，两小车均静止 这对相互作用力同时不做功 2 用手按住两小车后同时放手 这对相互作用力同时做正功 3 用手推两小车，使它们相向运动 这对相互作用力同时做负功 4 用手向右推甲车，河时放开乙车 甲车上磁铁受到的力做负功，乙车上磁铁受到的力做正功 5 将甲车固定，放开乙车 甲车上磁铁受到的力不做功，乙车上磁铁受到的力做正功 6 将甲车固定，用手推乙车使其向甲车靠近 甲车上磁铁受到的力不做功，乙车上磁铁受到的力做负功 总结 ①作用力、反作用力作用下的物体的运动特点：可能向相反方向运动，也可能向相同方向运动，也可能一个运动而另一个静止，还可能两物体都静止。 ②由W＝Flcosα可以判断，作用力与反作用力的功的特点是：没有必然关系，即 是一正一负，绝对值也 相等。即一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为 ，可能为 ，也可能为 。 4.一对平衡力做功的特点 一对平衡力作用在同一物体上，若物体静止，则两个力都 ；若物体运动，则这一对力所做的功在数值上一定 ，一 一 或均为 。 【针对练习10】关于摩擦力的做功情况，下列说法中正确的是（　　） A．静摩擦力一定对物体不做功，滑动摩擦力一定对物体做功 B．静摩擦力和它的反作用力对物体做功的代数和一定为零 C．滑动摩擦力和它的反作用力对物体做功的代数和不一定为零 D．滑动摩擦力对物体做正功，它的反作用力不一定对物体做功 【针对练习11】关于力对物体做功的下列说法中，正确的是（　　） A．一对平衡力在相同的时间内对物体做功的代数和一定为零 B．作用力与反作用力在相同的时间内所做的功一定大小相等，一正一负 C．合外力对物体不做功，物体必定做匀速直线运动 D．滑动摩擦力对物体一定做负功 【针对练习12】（多选）下列关于功的说法正确的是（　　） A．乘坐电梯上楼的过程中，电梯对人的支持力不做功 B．滑动摩擦力可能做负功、可能做正功、也可能不做功 C．一对相互作用力做功的代数和可以不为零 D．力大的做功一定比力小的做功多 知识点4：功率的定义及公式 1.定义 功与完成这些功所用时间的 。 2.物理意义 标量，描述力对物体做功的快慢。只有 值，没有 值。 3.定义式 P＝ ，P为时间t内的平均功率。 4.单位 国际单位是瓦特，符号是 ，常用的单位还有 。 平均功率和瞬时功率 区别 平均功率 瞬时功率 定义 在某一段时间内或某一过程的功率 在某一时刻或某一位置时的功率 意义 反映物体在某一段时间内做功的快慢 反映物体在某一时刻做功的快慢 计算 ①利用＝。 ②利用＝ ，其中为物体运动的平均速度。 ①利用公式P＝ ，其中v为t时刻的瞬时速度。 ②P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。 ③P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。 5.额定功率和实际功率 额定功率 实际功率 定义 发动机正常条件下长时间工作时的 功率 机械实际工作时输出的功率 特点 不同机械额定功率可能不同，但同一机械额定功率不变 同一机械实际功率随工作情况而变化 联系 为了机械的安全，P额 P实。 6．公式P =Fv的制约关系 定值 各量的关系 应用 F一定 P与v成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度 v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力 P一定 F与v成反比 汽车在额定功率下行驶，要增大牵引力，则必须降低行驶速度；反之则必须减小牵引力 【针对练习13】（24-25高一下·福建龙岩·期末）关于功和功率，下列说法中正确的是（　　） A．功率越大，做功越多 B．功率越小，做功越慢 C．功率相同，做功一定相等 D．功率不同，做功一定不相等 【针对练习14】（23-24高一下·天津河北·期末）关于功率，下列说法正确的是（　　） A．由可知，物体运动越快，功率越大 B．由可知，某一时刻，力大、速率也大，而功率不一定大 C．由可知，力做功越多，功率就越大 D．由可知，功率越大，力做功越多 【针对练习15】（24-25高一下·河南安阳·期末）质量为1kg的玩具小车在光滑xOy平面运动，其位置坐标随时间变化的关系为，，则时玩具小车所受合外力的功率是（　　） A．24W B．56W C．32W D．40W 【针对练习16】（24-25高一下·山西太原·期末）汽车行驶中牵引力为、车速为，根据及汽车行驶的实际情况，下列说法正确的是（　　） A．为汽车发动机的额定功率 B．为汽车行驶过程中发动机的平均功率 C．汽车匀速行驶中，若阻力一定，车速越大，发动机的功率越小 D．汽车发动机的功率达到最大时，可通过降低车速来增大牵引力 知识点5：机车启动模型 1.以恒定功率启动[ 汽车从静止开始以额定功率起动，开始时由于汽车的速度很小，由公式P = Fv知：牵引力F较 ，因而由牛顿第二定律F– f = ma知，汽车的加速度较 。随着时间的推移，汽车的速度将不断增大，牵引力F将 ，加速度 ，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽车的速度仍在不断 ，牵引力将继续减小，直至汽车的牵引力F和阻力f 为止。汽车的牵引力F和阻力f平衡时，F–f = 0，加速度a＝0，汽车的速度达到 vm。汽车的运动形式是做加速度越来越 的 直线运动，最终做 直线运动，其速度–时间图像如图所示。 2.以恒定牵引力启动 由于牵引力F恒定，根据牛顿第二定律F–f = ma，可知：加速度a恒定，汽车作 直线运动，随着时间的推移，实际功率将不断 ．由于汽车的实际功率不能超过其额定功率，汽车的匀加速直线运动只能维持到其实际功率 其额定功率时，此时汽车的速度达到它匀加速直线运动阶段的 速度v1，其后汽车只能以额定功率起动的方式进行再加速，其运动方式和第一种起动形式完全相同，即汽车继续做加速度越来越小的变加速直线运动，直至汽车进入匀速直线运动状态，速度达到最终的最大速度vm。汽车的起动过程经历了两阶段：一是 直线运动阶段，二是 直线运动阶段，最终做 直线运动，其速度–时间图像如图所示。 3.三个重要关系式 （1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即 （式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻）。 （2）匀加速启动持续时间的求法：牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度v′m＝，时间t＝。匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），速度不是最大，即v＝＜vm＝。 （3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk．此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。 ①汽车在匀加速直线运动阶段，汽车的瞬时功率Pt=Fvt＜P额。在匀加速直线运动阶段结束时，瞬时功率Pt等于额定功率P额，且满足Pt=P额=Fv1。在变加速直线运动阶段功率恒为额定功率。 ②从能的角度看：对于匀加速直线运动阶段，根据动能定理有 （W牵、s1分别表示匀加速运动阶段牵引力所做的功、位移 ），变加速直线运动阶段牵引力所做的功W'牵= P额t2（t2表示变加速直线运动阶段所经历的时间）， （s2为变加速直线运动阶段的位移）。 ③在用公式P＝Fv计算机车的功率时，F是指机车的牵引力而不是机车所受到的合力，也不是阻力。 【针对练习17】（25-26高一上·浙江杭州·期末）电动方程式（FormulaE）是目前世界上新能源汽车运动中级别最高的赛事，赛车在专业赛道水平路面上由静止启动，在前2s内做匀加速直线运动，2s末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其图像如图所示。已知汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的，取，下列说法正确的是（　　） A．赛车在2s时的瞬时功率 B．赛车在加速过程中牵引力保持不变 C．该赛车的最大速度是288km/h D．当速度时，其加速度为 【针对练习18】（25-26高一上·山西忻州·期末）一质量为m的汽车沿平直的公路由静止开始启动，通过计算机描绘了汽车牵引力的功率关于时间的变化规律，整个过程中汽车所受的阻力为f，时刻汽车达到额定功率。已知汽车启动瞬间的牵引力为，时汽车的速度刚好达到最大。则下列说法正确的是（   ） A．时间内，汽车的加速度逐渐增大 B．时间内，汽车的加速度保持不变 C．汽车的最大速度为 D．时间内，汽车的位移为 【针对练习19】（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）某科技公司研发的新型混合动力机车，其动力系统可在“纯电动模式”和“发动机辅助模式”间智能切换。已知机车行驶中所受阻力恒定，在平直公路上启动过程中，纯电动模式保持额定功率不变，发动机辅助模式额定功率。若启动过程中机车从静止开始先以纯电动模式行驶，时刻恰好达到该模式下的最大速度，随后立即切换为发动机辅助模式继续加速。则下列描述机车运动图像可能正确的是（图中是机车的牵引力）（　　） A． B． C． D． 【针对练习20】（多选）（24-25高一下·辽宁·期末）一辆电动平衡车含骑手的总质量约为80kg，在一次户外骑行中平衡车在平坦道路上以恒定功率加速，受到的阻力不变，其加速度随速度的倒数的变化规律如图所示（图像与纵轴交点为，与横轴交点为0.02，则平衡车在加速过程中（    ） A．速度增大时加速度减小 B．当速度为时，加速度大小为 C．输出功率为12kW D．所受阻力大小为240N 【针对练习21】如图甲，某高架桥的引桥可视为一个倾角为30°的斜面。一质量m=2000kg的电动汽车从引桥底端由静止开始加速，其加速度a随速度v变化的关系如图乙所示，电动汽车的速度达到1m/s后，牵引力功率保持恒定。已知行驶过程中电动汽车受到的阻力（摩擦和空气阻力）不变，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．电动汽车所受阻力为4000N B．电动汽车速度达到1m/s后，牵引力功率为24kW C．第1s内电动汽车牵引力功率P与时间t满足P=14000t D．第1s内电动汽车机械能的增加量等于牵引力与阻力做功的代数和，大小为12000J 一、单选题 1．（25-26高一下·湖北荆州·月考）下列关于功和功率的说法正确的是（　　） A．的功比的功小 B．公式只能求某一时刻的瞬时功率 C．额定功率是发动机的最大输出功率 D．功率是表示做功快慢的物理量，而不是表示做功多少的物理量 2．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）电动汽车日益走进千家万户，汽车在公路上行驶时，除了受到地面的摩擦阻力，更要受到空气阻力的影响，尤其是速度较大时，空气阻力将占有更大比例。我们假设汽车受到的总阻力与速度的平方成正比，即，当汽车以匀速行驶时，电动机输出的功率记为，若汽车以匀速行驶，电动机输出的功率为（　　） A． B． C． D． 3．图甲为建造桥梁时使用的穿巷式架桥机，支腿架在桥墩上架桥施工，在走行系统的水平方向作用力下，将桥梁水平推进到预设位置后放下与主体相接。已知桥梁的质量为m，在桥梁水平移动过程中，架桥机对桥梁的水平力F与桥梁的位移x之间的关系如图乙所示，桥梁所受阻力方向与运动方向相反，大小恒为f，重力加速度为g。则桥梁受架桥机水平力F作用过程中，下列说法正确的是（　　） A．桥梁向右做匀加速直线运动 B．力F做的功为 C．阻力做的功为 D．桥梁在处速度最大 4．（24-25高一下·宁夏银川·期末）某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为（k，已知），石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·云南丽江·期末）在矿山开采中，滑轮装置被用于提升和移动矿石。如图所示，一辆车通过定滑轮提升质量为M的矿石，滑轮左侧连接车的绳子在竖直方向的投影为h，当车以速度v匀速向左行驶一段距离后，连接车的绳子与水平方向的夹角从53°变为37°，，，则该过程中（　　） A．矿石重力的平均功率为Mgv B．矿石重力做功为 C．绳子对矿石拉力做的功等于矿石重力做的功 D．矿石也做匀速运动 6．在汽车的设计研发中，需要测试发动机的性能。汽车在倾角为的长直斜坡上由静止启动，汽车的输出功率与速度的关系图像如图所示，当汽车的速度增大到后保持最大功率不变，汽车能达到的最大速度为。汽车的质量为m，汽车启动过程中所受的阻力（不包括重力沿斜坡向下的分力）大小恒为f，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（    ）    A．汽车发动机的最大功率为 B．当汽车的速度大小为时，其加速度大小为 C．汽车的速度从0增大到所用的时间为 D．在汽车的速度从0增大到的过程中，汽车发动机做的功为 7．（24-25高二下·浙江舟山·期末）一辆起重机从t=0时刻由静止开始竖直提升质量为500kg的物体，物体的a−t图像如图所示，4s末起重机的功率达到额定功率并保持不变，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．物体在匀加速阶段的位移大小为2.0m B．该起重机的额定功率为10.0kW C．物体的最大速度大小为2.0m/s D．0~4s和4s~8s时间内牵引力对物体做的功之比为1∶2 8．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图所示的太阳能无人驾驶试验汽车，该车的质量为。在某次启动中，汽车以的恒定功率启动，所受阻力与速度成正比，比例系数为，汽车的最大速度为，下列说法正确的是（　　） A．启动过程中汽车的牵引力保持不变 B．汽车以最大速度行驶时牵引力大小为 C．比例系数的值为 D．启动过程中，当车速为时，汽车的加速度大小为 9．如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图所示，质量均为的物体甲、乙放在水平面上，在物体甲上施加一与水平方向成斜向上的恒力，使物体甲以恒定的速度向右做匀速直线运动；在物体乙上施加一与水平方向成斜向下的恒力，使物体乙以恒定的速度向右做匀速直线运动。已知物体甲、乙与水平面的动摩擦因数分别为、，重力加速度，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．物体甲、乙对水平面的压力之比为 C．1s的时间内物体甲克服摩擦力做功为10J D．1s的时间内摩擦力对物体乙做功32J 11．（25-26高二上·青海西宁·期末）如图甲为中国五大面食之一的山西大同刀削面的切削过程。某次连续削出的面片中有一片的空中运动轨迹如图乙所示，P、Q为轨迹上的两点，已知该面片以某一水平初速度由O点削出，从O到P与从P到Q的时间比为4∶5，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该面片从O到P的速度变化率比P到Q的速度变化率大 B．落到锅里的面片，飞得远的在空中运动时间较长 C．该面片运动到P点与Q点时，重力做功的瞬时功率之比为 D．从O到P与从P到Q过程，重力做功的平均功率之比为 12．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图甲所示，与水平面夹角的粗糙斜面上，放着可视为质点的两物块，质量分别为和。轻弹簧一端与物块相连，另一端与挡板相连。未施加拉力时，两物块恰好不下滑。从时刻开始，对施加一沿斜面向上的力使物块沿斜面向上做匀加速运动，力随时间变化如图乙，已知两物块与斜面的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，取，已知下列说法正确的是（　　） A．乙图中 B．弹簧的劲度系数为 C．到的过程中力做的功为 D．到分开的过程中，所受摩擦力做功为 二、多选题 13．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）如图所示，某次训练中，士兵在腰间系绳拖动轮胎在水平地面前进，已知连接轮胎的拖绳与地面夹角为，绳子拉力大小为100N。若士兵拖着轮胎以6m/s的速度匀速直线前进3s，则，，g取（　　） A．内，绳子拉力对轮胎做功为1440J B．末，绳子拉力功率为600W C．内，轮胎所受合力做功为0J D． 内，轮胎克服地面摩擦力做功为-680J 14．（25-26高一上·贵州遵义·期末）新能源汽车是指采用非常规的燃料作为动力来源的汽车。一次测试某品牌新能源汽车的性能时，得到该汽车在水平的公路上做直线运动的图像如图所示。已知汽车质量为，限定最大功率为，匀加速阶段内的加速度大小为，时刻汽车达到限定的最大功率并保持功率不变，运动过程中阻力恒定。下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为 B．图像中 C．在内，汽车牵引力做的功为 D．因不知道是否大于，故无法求出在内汽车牵引力做的功 15．无人快递车已经开始上路为人们带来很大便捷，某款无人驾驶快递车载货状态下质量，以的速度在平直路面上匀速行驶，此过程中发动机功率，当车载雷达探测到前方有障碍物时，主动刹车系统立即撤去发动机驱动力，同时施加制动力使车辆减速。在刚进入制动状态的瞬间，系统提供的制动功率（不计传动装置的摩擦热损失），则（　　） A．快递车匀速行驶过程中受到的阻力大小为6000N B．快递车制动瞬间制动力大小为3900N C．快递车制动瞬间的加速度大小为 D．快递车制动瞬间的加速度大小为 16．（24-25高一下·河南·期中）早在两千多年前，我国就发明了汉石磨盘，如图甲所示，它是一种可使谷物脱壳、粉碎的加工工具，凝聚着人类的高度智慧.后来人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，示意图如图乙所示，假设驴拉磨可以看作匀速圆周运动，驴对磨杆末端的平均拉力F=800N，拉力沿圆周切线方向，磨杆半径r=0.7m，驴拉磨转动一周的时间为7s，π≈3，则（　　） A．驴转动一周拉力所做的功为3360J B．驴转动一周拉力所做的功为0 C．驴转动一周拉力的平均功率为480W D．磨杆末端的线速度大小为 17．如图所示，可视为质点、质量为m的遥控动力玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定的速率v做完整的圆周运动，A、B为圆轨道上某一竖直方向上的两点，A点与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ。已知圆轨道的半径为R，玩具车与轨道间的摩擦力与轨道对车的支持力成正比，且比例系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力。玩具车在一次完整的圆周运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．玩具车在A点对轨道的压力方向沿半径指向圆心 B．玩具车在B点所受轨道支持力的大小为 C．玩具车通过A、B两点时对轨道的压力大小之和为 D．玩具车由最低点到最高点克服摩擦力做功为kmgπR 18．（24-25高一下·福建漳州·月考）一质量为的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出拉力随位移变化的关系图像，则根据以上信息，利用目前所学知识，取，能精确得出的物理量有（　　） A．物体与水平面间的动摩擦因数为 B．物体在处的加速度大小为 C．整个过程中拉力做功大小 D．整个过程中合力做功大小 19．（24-25高一下·北京海淀·期末）某同学用力沿水平方向推出铅球，用W表示铅球所受重力的功，P表示铅球所受重力的瞬时功率，h表示铅球下落的高度，t表示铅球运动的时间。忽略空气阻力，在铅球接触地面之前的运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·江西赣州·期末）一遥控玩具汽车以5W的恒定功率在水平地面上由静止开始做直线运动，其运动速度的倒数与加速度a的关系如图所示，若玩具汽车受到的阻力恒定，则下列结论正确的是（　　） A．玩具汽车的最大速度为5m/s B．玩具汽车的质量为1.0kg C．玩具汽车所受阻力大小为2N D．玩具汽车的加速度大小为时的速度大小为1.5m/s 三、解答题 21．人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 22．如图（a）所示，摩托车与小汽车前后停在同一平直的道路上等候交通灯。摩托车刚好在前面的停车线处，小汽车与停车线相距L=10m。当红灯熄灭绿灯亮起时，小汽车开始以的加速度启动，当运动到停车线处即改做匀速运动；摩托车看到绿灯亮起立即以的加速度启动做匀加速运动。已知两车在运动过程中可视为质点，所受阻力恒定，在运动时间t内摩托车牵引力的功为W，其图像如图（b）所示。求： （1）两车在运动过程中的最小距离； （2）摩托车运动的第2s末牵引力的功率P。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 功和功率 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 功的定义及公式 知识点2 变力做功 知识点3 关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功 知识点4 功率的定义及公式 知识点5 机车启动模型 知识点1：功的定义及公式 1.功的定义 力与在力的方向上位移的乘积。 2.功的两个要素 ①作用在物体上的力；②物体在力的方向上发生的位移。 3.物理意义 功是能量转化的量度。 4.标矢性 功是标量，虽有正负之分，但无方向，功的运算遵循代数运算法则。 5.功是过程量 描述了力的作用效果在空间上的累积，它总与一个具体过程相联系。 6.功的单位 在国际单位制中，是焦耳，简称焦，符号是J。另外还有电子伏、千瓦时等。它们之间的换算关系1eV=1.6×10-19J，1KWh=3.6×106J。 7.恒力做功的公式 W＝Flcosα，α为恒力F的方向与位移l的方向之间的夹角，这是计算功的一般公式（只适用于恒力做功）。 对cosα的两种理解角度 把力按沿位移方向与垂直位移方向分解，垂直位移方向的力不做功： W＝F∥l＝Fcos α·l 把位移按沿力方向与垂直力方向分解．在垂直力方向的位移上力不做功： W＝Fl∥＝Flcos α 应用公式注意 ①式中的F一定是恒力（大小、方向都不变），即此式是求恒力做功的公式。 ②式中的位移l一般是相对地面而言的。 ③力F与位移l具有同时性：只与有力作用的那一段位移有关，若力取消后物体仍在运动，则与力取消后物体发生的位移无关。 ④力F对物体做的功只与F、l和α三者有关，与物体的运动状态等因素无关。 8.合力功 方法一 当合力F为恒力时，先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α，α是合力F与物体位移l的夹角。 方法二 先求各个分力做的功，再应用W合＝W1＋W2＋…＝F1l1cos α1＋F2l2cos α2＋…求合外力做的功。 9.正功和负功 夹角 功的正负 0≤α＜90° 力对物体做正功 90°＜α≤180° 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功 α=90° 力对物体不做功 10.判断力是否做功及做正、负功的方法 恒力做功的判断 若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断 曲线运动中功的判断 若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断。当0≤α<90°，力对物体做正功，90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功 根据动能的变化 动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即W合＝Ek末－Ek初，当动能增加时合外力做正功；当动能减少时，合外力做负功 依据能量变化来判断 根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断 ①功的正负既不表示功有方向，也不表示功的数量的大小。既不能说“正功和负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”。比较做功多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如，－8J的功要比5J的功多。 ②正功表示物体在这个过程中的力是动力，对物体起推动作用，使物体的能量增加。负功表示物体在这个过程中的力是阻力，对物体的运动起阻碍作用，使物体的能量减少。 ③一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值），这两种说法在意义上是等同的。如：一个力对物体做了－6 J的功，可以说成是物体克服这个力做了6 J的功。 【针对练习1】如图所示，在减速上升的升降机中，物块始终静止在固定的斜面上，关于物块所受各力做功的说法正确的是（　　） A．合力做正功 B．支持力做负功 C．摩擦力不做功 D．摩擦力做正功 【答案】D 【详解】A．升降机减速上升，位移方向竖直向上，加速度方向向下，因此物块所受合力方向向下。根据功的计算公式 合力与位移方向夹角为，，因此合力做负功，故A错误； B．物块静止在斜面上，受重力、垂直斜面向上的支持力、沿斜面向上的静摩擦力，位移方向竖直向上。支持力垂直斜面向上，分解后存在竖直向上的分量，与位移方向同向，因此支持力做正功，故B错误； CD．摩擦力沿斜面向上，分解后也存在竖直向上的分量，与位移方向同向，因此摩擦力做正功，故C错误，D正确。 故选D。 【针对练习2】我国古代力学发展较为完善。例如，《淮南子》中记载“物之功，动而有益，则损随之”，这里的“功”已初步具备现代物理学中功的含义。关于功，下列说法正确的是（　　） A．力和位移都是矢量，所以功也是矢量 B．物体运动过程中，合力做功可能为零 C．作用力做功，反作用力也一定做功 D．滑动摩擦力一定对物体做负功 【答案】B 【详解】A．功的计算公式为，是标量，正负仅表示做功的性质，不代表方向，故A错误； B．当物体做匀速圆周运动时，合力始终与速度方向垂直，合力做功为0，因此合力做功可能为零，故B正确； C．例如木块沿固定地面滑动时，地面对木块的滑动摩擦力对木块做功，但木块对地面的滑动摩擦力作用下地面无位移，不做功，因此作用力做功时反作用力不一定做功，故C错误； D．将静止的物体轻放在运动的传送带上时，滑动摩擦力作为动力使物体加速，对物体做正功，因此滑动摩擦力不一定做负功，故D错误。 故选B。 【针对练习3】（多选）专业的飞行者穿戴飞行服装和降落伞设备，从悬崖绝壁等高处跃下，无动力空中飞行，如图甲所示，飞行者到达一定高度时打开降落伞着陆。某一翼装飞行者在空中运动时竖直方向的图像如图乙所示，以竖直向下为正方向，下列说法正确的是（　　） A．0~10s内飞行者处于失重状态 B．0~10s内飞行者受到的合力对飞行者做负功 C．10s~15s内飞行者竖直方向的加速度在减小 D．10s~15s内合力对飞行者做正功 【答案】AC 【详解】A．0~10s内飞行者加速下降,加速度向下,处于失重状态,故A正确; B．0~10s内飞行者加速下降,动能增大,则由动能定理知合力对飞行者做正功,故B错误; C．在v-t中直线的斜率表示加速度，而10s~15s内图像越来越平缓，即飞行者竖直方向的加速度在减小，故C正确； D．10s~15s内飞行者减速下降,动能减小,则合力对飞行者做负功，故D错误。 故选AC。 【针对练习4】如图所示，质量为m的物体，在与地面成角斜向下的力F的作用下，由静止沿水平方向运动了距离x，物体与地面间的动摩擦因数为。则此过程中（　　） A．F对物体做功为 B．地面摩擦力对物体做功为 C．重力对物体做功为 D．地面支持力对物体做功为 【答案】A 【详解】A．由功的计算公式知力F对物体做的功为 故A正确； B．分析物体受力可得物体受到地面的摩擦力为 摩擦力所做的功 故B错误； CD．重力和支持力都在竖直方向上，物体在竖直方向上的位移为零，所以重力和支持力都不做功，故CD错误。 故选A。 知识点2：变力做功 ①利用“微元法”求变力的功 物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。 ②化变力的功为恒力的功 若通过转换研究的对象，有时可化变力为恒力做功。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。 ③利用F–x图象求变力的功 在F–x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图形） ④利用平均力求变力的功 在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝Flcosα求此力所做的功。 ⑤利用动能定理求变力的功 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。 【针对练习5】石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为20N的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中克服摩擦力所做的功约为（　　） A．0 B．6J C．19J D．38J 【答案】D 【详解】与摩擦力一直是平衡力，克服摩擦力做功，因大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力，则微元功为 则转动一周的过程中克服摩擦力所做的功为 故选D。 【针对练习6】如图所示，用一个大小不变的力拉着滑块（视为质点）使其沿半径为的水平圆轨道匀速运动半周，若力的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成夹角，则力做的功为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将力分解为切线方向和径向方向两个分力，其中径向方向始终与速度方向垂直，不做功，切线方向分力始终与速度方向相同，则滑块匀速运动半周，力做的功为 故选A。 【针对练习7】如图甲所示，质量为5kg的物体在斜向下、与水平方向成37°角的力F作用下，沿水平面开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则力F所做的功为（　　） A．200J B．160J C．100J D．80J 【答案】B 【详解】根据 图像与坐标轴所围成的面积可知，B正确。 故选B。 【针对练习8】如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，一轻质弹簧下端固定在斜面底端挡板上，上端与质量为1kg的小滑块A相连，A上叠放另一个质量为2kg的小滑块B，弹簧的劲度系数为k=50N/m，初始时系统处于静止状态。现用沿斜面向上的拉力F作用在滑块B上，使B开始沿斜面向上做加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动。重力加速度大小为10m/s2，不计空气阻力。从开始运动到A、B分离瞬间，拉力F做功为（　　） A．1.76J B．1.6J C．1.4J D．1.12J 【答案】B 【详解】初始时系统处于静止状态，设此时弹簧压缩量为x0，对小滑块A和B组成的系统，根据胡克定律和平衡条件得 解得弹簧压缩量 小滑块A、B分离瞬间，两者之间的弹力恰好为零，且有相同的加速度a，设此时弹簧的压缩量为x1，则对小滑块A由牛顿第二定律得 解得 在小滑块A、B分离之前，设A、B的位移为x，对A、B整体，根据胡克定律和牛顿第二定律有 解得 则拉力做功 将各量代入上式可解得 故B正确。 故选B。 【针对练习9】某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。 【答案】50 J 【详解】由于不计绳的质量及绳与滑轮间的摩擦,故恒力F做的功和绳对物体的拉力做的功相等。由于恒力F作用在绳的端点,故需先求出绳的端点的位移l,再求恒力F做的功。 由几何关系知,绳的端点的位移为 l=-=h=0.5 m 在物体从A移到B的过程中,恒力F做的功为 W=Fl=100×0.5 J=50 J 故绳的拉力对物体所做的功为50 J。 知识点3：关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功 1．静摩擦力做功分析 情景分析 如图所示，匀速运行的传送带上，货物与传送带间无相对滑动。传送带对货物的静摩擦力对货物做正功，货物对传送带的静摩擦力对传送带做负功。这一对静摩擦力做的功大小相等，方向相反，相互抵消，总功为零。另外，如果传送带静止，则静摩擦力不做功。 总结 ①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 ②一对静摩擦力做功的代数和一定为0。 功能关系 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体（静摩擦力起着传递机械能的作用）而没有机械能转化为其他形式的能量。 2．滑动摩擦力做功的特点 情景分析 如图所示，质量为M,长为L的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端滑过木板，并从木板右端离开。已知小物块与木板间的滑动摩擦力大小为f,则在这一过程中，木板对小物块的滑动摩擦力对小物块做负功，Wf =-f (s+L),小物块对木板的滑动摩擦力对木板做正功，。这一对滑动摩擦力做功的代数和。 若木板静止在粗糙的水平桌面上，且在小物块滑过木板的过程中，木板一直静止，则Wf =-f L，，。 总结 ①滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功。 ②一对滑动摩擦力做的总功一定是负功。 功能关系 ①一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ⅰ．机械能全部转化为内能； ⅱ．有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能。 ②一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功总为负值，系统损失的机械能转变成内能。 ③摩擦生热的计算：ΔQ＝Fs相对。其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程。 ①无论是计算滑动摩擦力做功，还是计算静摩擦力做功，都代入物体相对于地面的位移。 ②摩擦生热ΔQ＝Fs相对中，若物体做往复运动时，则s相对为总的相对路程。 3．作用力、反作用力做功的特点 如图所示,在光滑水平面上有甲、乙两辆小车,小车上各固定一条形磁铁,两磁铁N极间的力为一对相互作用力,这两个力做功的情况可总结如下。 序号 运动情况 做功情况 1 用手按住两小车，两小车均静止 这对相互作用力同时不做功 2 用手按住两小车后同时放手 这对相互作用力同时做正功 3 用手推两小车，使它们相向运动 这对相互作用力同时做负功 4 用手向右推甲车，河时放开乙车 甲车上磁铁受到的力做负功，乙车上磁铁受到的力做正功 5 将甲车固定，放开乙车 甲车上磁铁受到的力不做功，乙车上磁铁受到的力做正功 6 将甲车固定，用手推乙车使其向甲车靠近 甲车上磁铁受到的力不做功，乙车上磁铁受到的力做负功 总结 ①作用力、反作用力作用下的物体的运动特点：可能向相反方向运动，也可能向相同方向运动，也可能一个运动而另一个静止，还可能两物体都静止。 ②由W＝Flcosα可以判断，作用力与反作用力的功的特点是：没有必然关系，即不一定是一正一负，绝对值也不一定相等。即一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正，可能为负，也可能为零。 4.一对平衡力做功的特点 一对平衡力作用在同一物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功在数值上一定相等，一正一负或均为零。 【针对练习10】关于摩擦力的做功情况，下列说法中正确的是（　　） A．静摩擦力一定对物体不做功，滑动摩擦力一定对物体做功 B．静摩擦力和它的反作用力对物体做功的代数和一定为零 C．滑动摩擦力和它的反作用力对物体做功的代数和不一定为零 D．滑动摩擦力对物体做正功，它的反作用力不一定对物体做功 【答案】C 【详解】A．静摩擦力可以做功。例如，人站在加速的传送带上时，静摩擦力对人做正功。滑动摩擦力也可能不做功，例如物体在地面上滑动时，滑动摩擦力对地面不做功，故A错误。 B．静摩擦力的作用力和反作用力分别作用在不同物体上，位移可能不同，做功代数和不一定为零。例如，人走路时，脚底静摩擦力对地面不做功，而地面对人的静摩擦力做功，代数和不为零，故B错误。 C．滑动摩擦力的作用力和反作用力作用在不同物体上，若两物体位移不同，做功代数和可能不为零。例如，木板在桌面滑动时，木板受到的滑动摩擦力做负功，桌面若静止则反作用力不做功，代数和不为零，故C正确。 D．当滑动摩擦力对物体做正功时，反作用力必然作用在另一物体上，且该物体必须有位移，因此反作用力一定做功。例如，木箱在加速运动的卡车水平底面上滑动时，滑动摩擦力对木箱做正功，反作用力对卡车做负功，故D错误。 故选C。 【针对练习11】关于力对物体做功的下列说法中，正确的是（　　） A．一对平衡力在相同的时间内对物体做功的代数和一定为零 B．作用力与反作用力在相同的时间内所做的功一定大小相等，一正一负 C．合外力对物体不做功，物体必定做匀速直线运动 D．滑动摩擦力对物体一定做负功 【答案】A 【详解】A．一对平衡力作用在同一物体上，大小相等、方向相反，由于这对平衡力的合力为零，根据总功的计算方法，它们对物体所做功的代数和（即合力的功）也一定为零，故A正确； B．作用力与反作用力大小相等、方向相反，但作用在不同物体上，两物体的位移可能不同，因此做功不一定大小相等，可能一正一负、也能两个都为正、可能两个都为负，还可能一个做功另一个不做功，故B错误； C．合外力对物体不做功时，物体动能不变，但速度方向可能改变（例如匀速圆周运动中，向心力不做功，但物体做曲线运动），故C错误； D．滑动摩擦力对物体做功的正负取决于摩擦力方向与物体位移方向的夹角：当摩擦力方向与位移方向相同时做正功，故D错误。 故选A。 【针对练习12】（多选）下列关于功的说法正确的是（　　） A．乘坐电梯上楼的过程中，电梯对人的支持力不做功 B．滑动摩擦力可能做负功、可能做正功、也可能不做功 C．一对相互作用力做功的代数和可以不为零 D．力大的做功一定比力小的做功多 【答案】BC 【详解】A．乘坐电梯上楼的过程中，人在电梯的支持力的方向上发生了位移，所以电梯对人做功，故A错误； B．滑动摩擦力可能做负功，如物体沿地面滑动，滑动摩擦力做负功；滑动摩擦力可能做正功，如物体在静止的木板上滑动，木板在摩擦力的作用下运动起来，则滑动摩擦力对木板做正功；滑动摩擦力可能不做功，如将长木板从固定的物块下抽出，滑动摩擦力对物块不做功，故B正确； C．一对相互作用力做功的代数和可以不为零，如一个物体在地面滑动，物体与地面间的一对滑动摩擦力，对物体做负功，对地面不做功（地面位移为 0 ），代数和不为零，故C正确； D．根据功 可知做功多少取决于力、位移、力与位移夹角，力大如果位移小、夹角大等，做功不一定多，故D错误。 故选BC。 知识点4：功率的定义及公式 1.定义 功与完成这些功所用时间的比值。 2.物理意义 标量，描述力对物体做功的快慢。只有正值，没有负值。 3.定义式 P＝，P为时间t内的平均功率。 4.单位 国际单位是瓦特，符号是W，常用的单位还有kW。 平均功率和瞬时功率 区别 平均功率 瞬时功率 定义 在某一段时间内或某一过程的功率 在某一时刻或某一位置时的功率 意义 反映物体在某一段时间内做功的快慢 反映物体在某一时刻做功的快慢 计算 ①利用＝。 ②利用＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度。 ①利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。 ②P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。 ③P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。 5.额定功率和实际功率 额定功率 实际功率 定义 发动机正常条件下长时间工作时的最大功率 机械实际工作时输出的功率 特点 不同机械额定功率可能不同，但同一机械额定功率不变 同一机械实际功率随工作情况而变化 联系 为了机械的安全，P额≥P实。 6．公式P =Fv的制约关系 定值 各量的关系 应用 F一定 P与v成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度 v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力 P一定 F与v成反比 汽车在额定功率下行驶，要增大牵引力，则必须降低行驶速度；反之则必须减小牵引力 【针对练习13】（24-25高一下·福建龙岩·期末）关于功和功率，下列说法中正确的是（　　） A．功率越大，做功越多 B．功率越小，做功越慢 C．功率相同，做功一定相等 D．功率不同，做功一定不相等 【答案】B 【详解】A．功率越大，只能说明单位时间做功多，但总功还与时间有关，故A错误； B．功率是描述做功快慢的物理量，功率越小，单位时间做功越少，即做功越慢，故B正确； C．功率相同，但时间不同时，总功W=P⋅t可能不同，故C错误； D．功率不同时，若时间不同，总功仍可能相等（如P1t1=P2t2），故D错误。 故选B。 【针对练习14】（23-24高一下·天津河北·期末）关于功率，下列说法正确的是（　　） A．由可知，物体运动越快，功率越大 B．由可知，某一时刻，力大、速率也大，而功率不一定大 C．由可知，力做功越多，功率就越大 D．由可知，功率越大，力做功越多 【答案】B 【详解】A．功率由物体运动的速度、力，以及力与速度方向夹角的余弦共同决定，可知，物体运动越快，即速度越大，功率不一定越大，故A错误； B．由可知，某一时刻，力大、速率也大，若夹角的余弦很小，功率也可能很小，即功率不一定大，故B正确； C．由可知，力做功越多，功率不一定就越大，还与时间有关，故C错误； D．由可知，功率越大，力做功不一定越多，还与时间有关，故D错误。 故选B。 【针对练习15】（24-25高一下·河南安阳·期末）质量为1kg的玩具小车在光滑xOy平面运动，其位置坐标随时间变化的关系为，，则时玩具小车所受合外力的功率是（　　） A．24W B．56W C．32W D．40W 【答案】C 【详解】小车在y轴方向上做匀速直线运动， 小车在x轴方向上做匀加速直线运动，根据， 小车的加速度为 解得 时玩具小车的速度为， 小车所受合外力为 时玩具小车所受合外力的功率是 故选C。 【针对练习16】（24-25高一下·山西太原·期末）汽车行驶中牵引力为、车速为，根据及汽车行驶的实际情况，下列说法正确的是（　　） A．为汽车发动机的额定功率 B．为汽车行驶过程中发动机的平均功率 C．汽车匀速行驶中，若阻力一定，车速越大，发动机的功率越小 D．汽车发动机的功率达到最大时，可通过降低车速来增大牵引力 【答案】D 【详解】A．题目未说明汽车处于额定功率工作状态， 中的是实际功率，而不一定是额定功率，选项A错误。 B．公式计算的是瞬时功率，而非平均功率，选项B错误。 C．匀速时牵引力等于阻力，故。若一定，越大，越大，选项C错误。 D．当功率最大时，由可知，降低车速会增大牵引力，选项D正确。 故选D。 知识点5：机车启动模型 1.以恒定功率启动[ 汽车从静止开始以额定功率起动，开始时由于汽车的速度很小，由公式P = Fv知：牵引力F较大，因而由牛顿第二定律F– f = ma知，汽车的加速度较大。随着时间的推移，汽车的速度将不断增大，牵引力F将减小，加速度减小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽车的速度仍在不断增大，牵引力将继续减小，直至汽车的牵引力F和阻力f相平衡为止。汽车的牵引力F和阻力f平衡时，F–f = 0，加速度a＝0，汽车的速度达到最大值vm。汽车的运动形式是做加速度越来越小的变加速直线运动，最终做匀速直线运动，其速度–时间图像如图所示。 2.以恒定牵引力启动 由于牵引力F恒定，根据牛顿第二定律F–f = ma，可知：加速度a恒定，汽车作匀加速直线运动，随着时间的推移，实际功率将不断增大．由于汽车的实际功率不能超过其额定功率，汽车的匀加速直线运动只能维持到其实际功率等于其额定功率时，此时汽车的速度达到它匀加速直线运动阶段的最大速度v1，其后汽车只能以额定功率起动的方式进行再加速，其运动方式和第一种起动形式完全相同，即汽车继续做加速度越来越小的变加速直线运动，直至汽车进入匀速直线运动状态，速度达到最终的最大速度vm。汽车的起动过程经历了两阶段：一是匀加速直线运动阶段，二是变加速直线运动阶段，最终做匀速直线运动，其速度–时间图像如图所示。 3.三个重要关系式 （1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即 （式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻）。 （2）匀加速启动持续时间的求法：牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度v′m＝，时间t＝。匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），速度不是最大，即v＝＜vm＝。 （3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk．此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。 ①汽车在匀加速直线运动阶段，汽车的瞬时功率Pt=Fvt＜P额。在匀加速直线运动阶段结束时，瞬时功率Pt等于额定功率P额，且满足Pt=P额=Fv1。在变加速直线运动阶段功率恒为额定功率。 ②从能的角度看：对于匀加速直线运动阶段，根据动能定理有 （W牵、s1分别表示匀加速运动阶段牵引力所做的功、位移 ），变加速直线运动阶段牵引力所做的功W'牵= P额t2（t2表示变加速直线运动阶段所经历的时间）， （s2为变加速直线运动阶段的位移）。 ③在用公式P＝Fv计算机车的功率时，F是指机车的牵引力而不是机车所受到的合力，也不是阻力。 【针对练习17】（25-26高一上·浙江杭州·期末）电动方程式（FormulaE）是目前世界上新能源汽车运动中级别最高的赛事，赛车在专业赛道水平路面上由静止启动，在前2s内做匀加速直线运动，2s末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其图像如图所示。已知汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的，取，下列说法正确的是（　　） A．赛车在2s时的瞬时功率 B．赛车在加速过程中牵引力保持不变 C．该赛车的最大速度是288km/h D．当速度时，其加速度为 【答案】C 【详解】A．赛车在2s内的加速度 则牵引力 2s时牵引力的瞬时功率，A错误； B．2s后功率不变，则根据P=Fv可知，随速度的增加，牵引力减小，则赛车在加速过程中牵引力不是保持不变，B错误； C．当牵引力等于阻力时加速度为零，此时赛车的速度最大，则该赛车的最大速度是，C正确； D．当速度时，其加速度为，D错误。 故选C。 【针对练习18】（25-26高一上·山西忻州·期末）一质量为m的汽车沿平直的公路由静止开始启动，通过计算机描绘了汽车牵引力的功率关于时间的变化规律，整个过程中汽车所受的阻力为f，时刻汽车达到额定功率。已知汽车启动瞬间的牵引力为，时汽车的速度刚好达到最大。则下列说法正确的是（   ） A．时间内，汽车的加速度逐渐增大 B．时间内，汽车的加速度保持不变 C．汽车的最大速度为 D．时间内，汽车的位移为 【答案】C 【详解】A．假设在时间内汽车做匀加速直线运动，设加速度为，经时间的速度为 则汽车的瞬时功率为 可知图像的斜率为 由图可知，在时间内图像的斜率保持不变，而，故加速度也保持不变，故在时间内汽车做匀加速直线运动，假设成立，故A错误； B．由题知，在时间内汽车的功率已达到额定功率，根据 可知当速度继续增大时，牵引力减小，根据牛顿第二定律有 可知加速度不断减小，故B错误； C．在时间内汽车做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 在时刻汽车的速度为 且在时刻汽车达到额定功率，则有 当加速度为零时速度最大，此时牵引力最小，大小为 根据 解得汽车的最大速度为，故C正确； D．在时间内汽车做匀加速直线运动，则汽车的位移为，故D错误。 故选C。 【针对练习19】（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）某科技公司研发的新型混合动力机车，其动力系统可在“纯电动模式”和“发动机辅助模式”间智能切换。已知机车行驶中所受阻力恒定，在平直公路上启动过程中，纯电动模式保持额定功率不变，发动机辅助模式额定功率。若启动过程中机车从静止开始先以纯电动模式行驶，时刻恰好达到该模式下的最大速度，随后立即切换为发动机辅助模式继续加速。则下列描述机车运动图像可能正确的是（图中是机车的牵引力）（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】AB．由题意可知，当以额定功率启动时，有 v逐渐增加，逐渐减小，做加速度减小的加速运动，时达到纯电动模式下的最大速度，有， 切换模式后，功率突然增大，牵引力瞬间增大后继续做加速度减小的加速运动。 故A正确，B错误； CD．纯电动模式下有， 切换模式后稳定时有， 且在图像中，斜率表示额定功率的大小，两段均为过原点的直线。 故C正确，D错误。 故选AC。 【针对练习20】（多选）（24-25高一下·辽宁·期末）一辆电动平衡车含骑手的总质量约为80kg，在一次户外骑行中平衡车在平坦道路上以恒定功率加速，受到的阻力不变，其加速度随速度的倒数的变化规律如图所示（图像与纵轴交点为，与横轴交点为0.02，则平衡车在加速过程中（    ） A．速度增大时加速度减小 B．当速度为时，加速度大小为 C．输出功率为12kW D．所受阻力大小为240N 【答案】ACD 【详解】A．由图像可知，平衡车的加速度随速度的增大而减小，故赛车初始阶段做加速度逐渐减小的加速运动，故A正确； BCD．由， 得 由图像得， 解得， 将代入 解得，故B错误，CD正确。 故选ACD。 【针对练习21】如图甲，某高架桥的引桥可视为一个倾角为30°的斜面。一质量m=2000kg的电动汽车从引桥底端由静止开始加速，其加速度a随速度v变化的关系如图乙所示，电动汽车的速度达到1m/s后，牵引力功率保持恒定。已知行驶过程中电动汽车受到的阻力（摩擦和空气阻力）不变，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．电动汽车所受阻力为4000N B．电动汽车速度达到1m/s后，牵引力功率为24kW C．第1s内电动汽车牵引力功率P与时间t满足P=14000t D．第1s内电动汽车机械能的增加量等于牵引力与阻力做功的代数和，大小为12000J 【答案】C 【详解】A．根据图像乙可知，匀加速过程的末速度（恒定功率时的初速度）与牵引力保持恒定功率过程的最大速度分别为（图中每小格为） 根据牛顿第二定律有 解得 故A错误； B．电动汽车速度达到1m/s后，根据上述可知牵引力功率为14kW，故B错误； C．第1s内电动汽车做匀加速直线运动，则牵引力为 根据上述有 ， 解得 故C正确； D．根据功能关系可知，第1s内电动汽车机械能的增加量等于牵引力与阻力做功的代数和，大小为 其中等于1s，解得 E=6000J 故D错误。 故选C。 一、单选题 1．（25-26高一下·湖北荆州·月考）下列关于功和功率的说法正确的是（　　） A．的功比的功小 B．公式只能求某一时刻的瞬时功率 C．额定功率是发动机的最大输出功率 D．功率是表示做功快慢的物理量，而不是表示做功多少的物理量 【答案】D 【详解】A．功是标量，正负号仅表示做功的性质（动力做功为正，阻力做功为负），不代表大小，功的大小由绝对值决定，，因此的功比的功大，故A错误； B．公式中，若为某段时间的平均速度、且为恒力，可计算这段时间的平均功率；若为瞬时速度，可计算瞬时功率，并非只能求瞬时功率，故B错误； C．额定功率是发动机正常工作时允许的最大输出功率，发动机可短时间输出高于额定功率的功率，因此额定功率不是发动机的实际最大输出功率，故C错误； D．功率是描述做功快慢的物理量，做功的多少由“功”这个物理量描述，故D正确。 故选D。 2．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）电动汽车日益走进千家万户，汽车在公路上行驶时，除了受到地面的摩擦阻力，更要受到空气阻力的影响，尤其是速度较大时，空气阻力将占有更大比例。我们假设汽车受到的总阻力与速度的平方成正比，即，当汽车以匀速行驶时，电动机输出的功率记为，若汽车以匀速行驶，电动机输出的功率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】汽车匀速行驶时受力平衡，牵引力大小等于总阻力，即 由题意总阻力与速度平方成正比，可写为（为定值比例常数）；电动机输出功率等于牵引力的瞬时功率，公式为 联立得 即输出功率与速度的三次方成正比。当速度从变为时，速度变为原来的2倍，因此功率变为原来的8倍，即输出功率为。 故选D。 3．图甲为建造桥梁时使用的穿巷式架桥机，支腿架在桥墩上架桥施工，在走行系统的水平方向作用力下，将桥梁水平推进到预设位置后放下与主体相接。已知桥梁的质量为m，在桥梁水平移动过程中，架桥机对桥梁的水平力F与桥梁的位移x之间的关系如图乙所示，桥梁所受阻力方向与运动方向相反，大小恒为f，重力加速度为g。则桥梁受架桥机水平力F作用过程中，下列说法正确的是（　　） A．桥梁向右做匀加速直线运动 B．力F做的功为 C．阻力做的功为 D．桥梁在处速度最大 【答案】C 【详解】B．由功的公式可知，图像与坐标轴所围的面积表示力F做的功，则力F做的功为 故B错误； C．由题可知，桥梁在受架桥机水平力F作用过程中，阻力恒定，桥梁在阻力方向上的位移为，则阻力做功为 故C正确； AD．对桥梁沿水平方向进行受力分析，由牛顿第二定律得 桥梁向前运动时，F越来越小，则桥梁加速度越来越小，当桥梁时，桥梁的加速度等于0，速度达到最大值，故AD错误。 故选C。 4．（24-25高一下·宁夏银川·期末）某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为（k，已知），石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阻力随深度线性变化，利用平均力法可得平均力 则 故选C。 5．（23-24高一下·云南丽江·期末）在矿山开采中，滑轮装置被用于提升和移动矿石。如图所示，一辆车通过定滑轮提升质量为M的矿石，滑轮左侧连接车的绳子在竖直方向的投影为h，当车以速度v匀速向左行驶一段距离后，连接车的绳子与水平方向的夹角从53°变为37°，，，则该过程中（　　） A．矿石重力的平均功率为Mgv B．矿石重力做功为 C．绳子对矿石拉力做的功等于矿石重力做的功 D．矿石也做匀速运动 【答案】B 【详解】A．令连接车的绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，可得沿绳方向的速度为，小车通过轻绳与矿石连接，根据沿绳方向速度大小处处相等，则可得矿石的速度为 矿石向上运动，重力做负功，故克服矿石重力的功率，故A错误； B．令滑轮到水平地面的高度差为h，则矿石上升的距离 矿石重力做功为，故B正确； CD．根据矿石的速度 可知，车以速度v匀速向左行驶，θ逐渐减小，矿石速度增大，即绳子拉力大小大于矿石重力，而拉力做正功，矿石重力做负功，所以绳子对矿石拉力做的功大于克服矿石重力做的功，故CD错误。 故选B。 6．在汽车的设计研发中，需要测试发动机的性能。汽车在倾角为的长直斜坡上由静止启动，汽车的输出功率与速度的关系图像如图所示，当汽车的速度增大到后保持最大功率不变，汽车能达到的最大速度为。汽车的质量为m，汽车启动过程中所受的阻力（不包括重力沿斜坡向下的分力）大小恒为f，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（    ）    A．汽车发动机的最大功率为 B．当汽车的速度大小为时，其加速度大小为 C．汽车的速度从0增大到所用的时间为 D．在汽车的速度从0增大到的过程中，汽车发动机做的功为 【答案】D 【详解】A．根据物体的平衡条件可知，当汽车的速度大小为时，汽车所受的牵引力大小为 因为在汽车的速度从增大到的过程中，汽车发动机的功率均为最大功率，所以汽车发动机的最大功率 解得 A错误； B．设当汽车的速度大小为时，汽车所受的牵引力大小为，有 设此时汽车的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有 解得 B错误； C．在汽车的速度从0增大到的过程中，汽车做匀加速直线运动，加速时间 C错误； D．该过程汽车通过的位移大小 设该过程汽车发动机做的功为W，根据动能定理有 解得 D正确。 故选D。 7．（24-25高二下·浙江舟山·期末）一辆起重机从t=0时刻由静止开始竖直提升质量为500kg的物体，物体的a−t图像如图所示，4s末起重机的功率达到额定功率并保持不变，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．物体在匀加速阶段的位移大小为2.0m B．该起重机的额定功率为10.0kW C．物体的最大速度大小为2.0m/s D．0~4s和4s~8s时间内牵引力对物体做的功之比为1∶2 【答案】D 【详解】A．物体在匀加速阶段的位移大小，故A错误； B．物体在匀加速阶段，根据牛顿第二定律可得 解得牵引力大小为 4s末物体的速度为 则该起重机的额定功率为，故B错误； C．当牵引力等于重力时，物体的速度达到最大，则有，故C错误； D．0~4s内牵引力对物体做的功为 4~8s时间内牵引力对物体做的功为 则0~4s和4~8s时间内牵引力对物体做的功之比为W1∶W2=1∶2，故D正确。 故选D。 8．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图所示的太阳能无人驾驶试验汽车，该车的质量为。在某次启动中，汽车以的恒定功率启动，所受阻力与速度成正比，比例系数为，汽车的最大速度为，下列说法正确的是（　　） A．启动过程中汽车的牵引力保持不变 B．汽车以最大速度行驶时牵引力大小为 C．比例系数的值为 D．启动过程中，当车速为时，汽车的加速度大小为 【答案】C 【详解】A．汽车以恒定功率启动，根据 启动过程中速度增大，功率不变，则牵引力减小，A错误； B．当汽车达到最大速度时，牵引力等于阻力。先将最大速度 根据 可得 即汽车以最大速度行驶时牵引力大小为，B错误； C．当汽车达到最大速度时，阻力 又因为阻力与速度成正比 则 C正确； D．当车速，根据 可得牵引力 阻力 根据牛顿第二定律 可得 D错误。 故选C。 9．如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，此时浮力大小为 解得 木块上表面刚浸没时，浮力大小为 则此过程中木块克服浮力做功为 解得 故选C。 10．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图所示，质量均为的物体甲、乙放在水平面上，在物体甲上施加一与水平方向成斜向上的恒力，使物体甲以恒定的速度向右做匀速直线运动；在物体乙上施加一与水平方向成斜向下的恒力，使物体乙以恒定的速度向右做匀速直线运动。已知物体甲、乙与水平面的动摩擦因数分别为、，重力加速度，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．物体甲、乙对水平面的压力之比为 C．1s的时间内物体甲克服摩擦力做功为10J D．1s的时间内摩擦力对物体乙做功32J 【答案】A 【详解】A．由平衡条件，对物体甲 解得 对物体乙 解得 可得 ，A正确； B．物体甲、乙对水平面的压力之比为，B错误； C．1s的时间内物体甲克服摩擦力做功为，C错误； D．1s的时间内摩擦力对物体乙做功，D错误。 故选A。 11．（25-26高二上·青海西宁·期末）如图甲为中国五大面食之一的山西大同刀削面的切削过程。某次连续削出的面片中有一片的空中运动轨迹如图乙所示，P、Q为轨迹上的两点，已知该面片以某一水平初速度由O点削出，从O到P与从P到Q的时间比为4∶5，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该面片从O到P的速度变化率比P到Q的速度变化率大 B．落到锅里的面片，飞得远的在空中运动时间较长 C．该面片运动到P点与Q点时，重力做功的瞬时功率之比为 D．从O到P与从P到Q过程，重力做功的平均功率之比为 【答案】C 【详解】A．由于面片做平抛运动，只受重力，则加速度恒定，即速度变化率恒定，A错误； B．落到锅里的面片，在空中运动时间 竖直高度相同，则运动时间相同，故B错误； C．面片平抛过程中竖直速度满足 故该面片运动到P点与Q点时，竖直速度之比为,重力做功的瞬时功率之比为,故C正确； D．面片抛出后，在竖直方向上做自由落体运动，满足 故在从O到P与从P到Q的时间内，面片竖直方向运动的位移之比为 则重力做功之比为 重力做功的平均功率为 面片从O到P与从P到Q过程，重力做功的平均功率之比为，故D错误。 故选C。 12．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图甲所示，与水平面夹角的粗糙斜面上，放着可视为质点的两物块，质量分别为和。轻弹簧一端与物块相连，另一端与挡板相连。未施加拉力时，两物块恰好不下滑。从时刻开始，对施加一沿斜面向上的力使物块沿斜面向上做匀加速运动，力随时间变化如图乙，已知两物块与斜面的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，取，已知下列说法正确的是（　　） A．乙图中 B．弹簧的劲度系数为 C．到的过程中力做的功为 D．到分开的过程中，所受摩擦力做功为 【答案】C 【详解】A．未施加外力时，A、B恰好不下滑，对系统受力分析如图 由正交分解可得 为此时弹簧的形变量，解得 时，，AB一起沿斜面向上匀加速直线运动，此时AB所受摩擦力沿斜面向下，受力分析如图 由正交分解可得 解得 时，A、B间无弹力，对B受力分析有 解得，故A错误； B．对A受力分析有 为AB刚分开时，弹簧的形变量，解得 AB一起匀加速直线运动位移 解得，故B错误； C．在过程，外力F为变力，对AB分析可得 解得 可得 所以F做功为，故C正确； D．摩擦力对A做负功，为，故D错误。 故选C。 二、多选题 13．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）如图所示，某次训练中，士兵在腰间系绳拖动轮胎在水平地面前进，已知连接轮胎的拖绳与地面夹角为，绳子拉力大小为100N。若士兵拖着轮胎以6m/s的速度匀速直线前进3s，则，，g取（　　） A．内，绳子拉力对轮胎做功为1440J B．末，绳子拉力功率为600W C．内，轮胎所受合力做功为0J D． 内，轮胎克服地面摩擦力做功为-680J 【答案】AC 【详解】A．轮胎3s内的位移 内，绳子拉力对轮胎做功 解得，故A正确； B．末，绳子拉力功率 解得P=480W，故B错误； C．轮胎做匀速直线运动，所受外力的合力为0，可知，内，轮胎所受合力做功为0J，故C正确； D．结合上述可知，合力做功为0J，则有 结合上述解得 即内，轮胎克服地面摩擦力做功为1440J，故D错误。 故选AC。 14．（25-26高一上·贵州遵义·期末）新能源汽车是指采用非常规的燃料作为动力来源的汽车。一次测试某品牌新能源汽车的性能时，得到该汽车在水平的公路上做直线运动的图像如图所示。已知汽车质量为，限定最大功率为，匀加速阶段内的加速度大小为，时刻汽车达到限定的最大功率并保持功率不变，运动过程中阻力恒定。下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为 B．图像中 C．在内，汽车牵引力做的功为 D．因不知道是否大于，故无法求出在内汽车牵引力做的功 【答案】BC 【详解】A．当汽车达到最大速度时，牵引力等于阻力，此时功率达到最大值，故阻力，故A错误； B．匀加速结束时汽车功率达到最大值，则有 因为 其中，联立解得， 故B正确； CD．在时间内，对汽车，根据牛顿第二定律有 解得牵引力 则汽车牵引力做的功 汽车牵引力做的功 故时间内汽车牵引力做的功，故C正确，D错误。 故选BC。 15．无人快递车已经开始上路为人们带来很大便捷，某款无人驾驶快递车载货状态下质量，以的速度在平直路面上匀速行驶，此过程中发动机功率，当车载雷达探测到前方有障碍物时，主动刹车系统立即撤去发动机驱动力，同时施加制动力使车辆减速。在刚进入制动状态的瞬间，系统提供的制动功率（不计传动装置的摩擦热损失），则（　　） A．快递车匀速行驶过程中受到的阻力大小为6000N B．快递车制动瞬间制动力大小为3900N C．快递车制动瞬间的加速度大小为 D．快递车制动瞬间的加速度大小为 【答案】BC 【详解】A．根据题意可知，快递车匀速行驶，则牵引力等于阻力，有 其中， 解得，故A错误； B．由可得，汽车的制动力大小，故B正确； CD．由牛顿第二定律可得，加速度大小为，故C正确，D错误。 故选BC。 16．（24-25高一下·河南·期中）早在两千多年前，我国就发明了汉石磨盘，如图甲所示，它是一种可使谷物脱壳、粉碎的加工工具，凝聚着人类的高度智慧.后来人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，示意图如图乙所示，假设驴拉磨可以看作匀速圆周运动，驴对磨杆末端的平均拉力F=800N，拉力沿圆周切线方向，磨杆半径r=0.7m，驴拉磨转动一周的时间为7s，π≈3，则（　　） A．驴转动一周拉力所做的功为3360J B．驴转动一周拉力所做的功为0 C．驴转动一周拉力的平均功率为480W D．磨杆末端的线速度大小为 【答案】AC 【详解】AB．驴转动一周拉力所做的功为 故A正确，B错误； C．驴转动一周拉力的平均功率为 故C正确； D．磨杆末端的线速度大小为 故D错误。 故选AC。 17．如图所示，可视为质点、质量为m的遥控动力玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定的速率v做完整的圆周运动，A、B为圆轨道上某一竖直方向上的两点，A点与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ。已知圆轨道的半径为R，玩具车与轨道间的摩擦力与轨道对车的支持力成正比，且比例系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力。玩具车在一次完整的圆周运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．玩具车在A点对轨道的压力方向沿半径指向圆心 B．玩具车在B点所受轨道支持力的大小为 C．玩具车通过A、B两点时对轨道的压力大小之和为 D．玩具车由最低点到最高点克服摩擦力做功为kmgπR 【答案】BC 【详解】A．在A、B两点的受力如图所示，玩具车在A点受轨道所给支持力沿半径指向圆心，由牛顿第三定律可得，玩具车在A点对轨道的压力沿半径背离圆心，A错误； B．在B点，由向心力公式有 解得，B正确； C．在A点，由向心力公式有 两式相加可得 根据牛顿第三定律，玩具车通过A、B两点时对轨道的压力大小之和为，C正确； D．将圆轨道分成N段，每段的长度为 因玩具车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，在轨道上下关于水平直径对称的位置上取两小段P、Q 则在P、Q两小段的压力之和为定值，摩擦力做功之和为 解得 所以玩具车从最低点到最高点克服摩擦力做功为，D错误。 故选BC。 18．（24-25高一下·福建漳州·月考）一质量为的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出拉力随位移变化的关系图像，则根据以上信息，利用目前所学知识，取，能精确得出的物理量有（　　） A．物体与水平面间的动摩擦因数为 B．物体在处的加速度大小为 C．整个过程中拉力做功大小 D．整个过程中合力做功大小 【答案】AD 【详解】A．物体做匀速运动时，受力平衡，则 则物体与水平面间的动摩擦因数为 故A正确； B．由图可知在8m处拉力大小为4N，根据牛顿第二定律可得 可得加速度大小为 故B错误； CD．图像与坐标轴围成的面积表示拉力做的功，则有 滑动摩擦力做的功为 所以合外力做功大小为 故C错误，D正确； 故选AD。 19．（24-25高一下·北京海淀·期末）某同学用力沿水平方向推出铅球，用W表示铅球所受重力的功，P表示铅球所受重力的瞬时功率，h表示铅球下落的高度，t表示铅球运动的时间。忽略空气阻力，在铅球接触地面之前的运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A．由题意可知，铅球做平抛运动，根据 可判断W与h成正比，故A正确； B．平抛运动竖直方向的分运动为自由落体运动，则 根据 可知W—t图像为过原点的抛物线，故B正确； C．竖直方向的分速度 根据 可知P与t成正比，故C正确； D．因 则由 可知P—h图像不是抛物线，故D错误。 故选ABC。 20．（24-25高一下·江西赣州·期末）一遥控玩具汽车以5W的恒定功率在水平地面上由静止开始做直线运动，其运动速度的倒数与加速度a的关系如图所示，若玩具汽车受到的阻力恒定，则下列结论正确的是（　　） A．玩具汽车的最大速度为5m/s B．玩具汽车的质量为1.0kg C．玩具汽车所受阻力大小为2N D．玩具汽车的加速度大小为时的速度大小为1.5m/s 【答案】BC 【详解】ABC．设玩具汽车质量为m，受到的阻力为f，对汽车，由牛顿第二定律有 整理得 可知图像斜率 代入题中功率，解得 图像纵截距 解得 玩具汽车速度最大时加速度为0，则有 联立解得 故A错误，BC正确； D．玩具汽车的加速度大小为时，对汽车，由牛顿第二定律有 联立解得 故D错误。 故选BC。 三、解答题 21．人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 【答案】732J 【详解】人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，设人手到定滑轮的竖直距离为h，物体上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即 又 所以人对绳的拉力做的功 22．如图（a）所示，摩托车与小汽车前后停在同一平直的道路上等候交通灯。摩托车刚好在前面的停车线处，小汽车与停车线相距L=10m。当红灯熄灭绿灯亮起时，小汽车开始以的加速度启动，当运动到停车线处即改做匀速运动；摩托车看到绿灯亮起立即以的加速度启动做匀加速运动。已知两车在运动过程中可视为质点，所受阻力恒定，在运动时间t内摩托车牵引力的功为W，其图像如图（b）所示。求： （1）两车在运动过程中的最小距离； （2）摩托车运动的第2s末牵引力的功率P。 【答案】（1）7.5m；（2）6000W 【详解】（1）两车速度相等时间距最小。汽车运动至停车线的过程中，有 得 两车共速时 得 两车最小间距为 （2）摩托车做匀加速直线运动，牵引力做功为 得 图线斜率为 得摩托车牵引力为 则摩托车运动的第2s末牵引力的功率为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $