第8讲 万有引力定律及其应用（讲义）-【划重点】2025-2026学年高一下学期期中期末物理复习（人教版必修第二册）

第8讲 万有引力定律及其应用 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 开普勒三定律的理解和应用 知识点2 万有引力定律的理解 知识点3 不能忽略自转的万有引力定律的应用 知识点4 忽略自转的万有引力定律的应用 知识点1：开普勒三定律的理解和应用 1.内容 定律 内容 图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在椭圆的一个 上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过 的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都 .表达式： ，k是一个与行星无关的常量 天体运动的处理方法 ①行星绕太阳的运动通常按 轨道处理。 ②开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 ③开普勒第三定律＝k中，k值只与 有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 2.应用 【针对练习1】（25-26高一下·广东·期中）火星和土星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，已知火星的公转轨道比土星更接近太阳。根据开普勒行星运动定律可知（　　） A．相同时间内，火星与太阳的连线扫过的面积相等 B．火星绕太阳运行的速度大小始终不变 C．太阳位于土星运行椭圆轨道的中心 D．若已知火星的公转周期和土星与太阳的平均距离，则可直接计算土星的公转周期 【针对练习2】（25-26高一下·重庆忠县·期中）北京冬奥会开幕式“节气倒计时”节目惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（　　） A．春分和秋分时地球的运行速度相同 B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的 C．若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，则，地球和火星对应的值是不相同的 D．太阳在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上 【针对练习3】（多选）（25-26高三上·山东菏泽·期中）如图所示，地球的公转轨道接近圆，周期为。哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，周期为。已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，地球公转轨道半径为。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点2：万有引力定律的理解 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 ，与它们之间距离r的平方成 。 2.表达式 F＝ ，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由 利用扭秤实验测出。 ①公式适用于 间的相互作用。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是 的距离。 ③不能得出：当时，物体、间引力趋于无穷大。因为当时两个物体无法看做 。 3.万有引力定律的特性 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小 ，方向 ，分别作用在两个物体上 宏观性 一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常 ，万有引力可以忽略不计。 4.万有引力与重力的关系 如图所示，在纬度为的地表处，物体所受的万有引力为F=，而物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的南北两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个 。 越靠近南北两极g值越 ，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力 重力，即 = mg。 5.月—地检验 牛顿认为：太阳与行星之间的引力、行星与卫星之间的引力以及地球作用于物体上的重力都是 的力。 根据引力公式，对“月—地系统”和地面上的物体分别可得到 ， 两式相比，得月球绕地球运动的向心加速度。因为地球和月球之间的距离r地月约为地球半径r地的 60 倍，所以 用观测的结果加以对照。根据天文观测，月球绕地球运动的周期 T =27.3天，地球与月球间的距离 r地月=3.8×108m，因此从运动学公式可直接得到月球运动的向心加速度 。 检验结果：地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力是同一性质的力，遵循完全相同的规律。 【针对练习4】（25-26高一下·北京丰台·期中）下列关于万有引力的说法正确的是（　　） A．伽利略发现了万有引力定律，并测得了引力常量 B．根据可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．两天体质量不变，距离变为原来的2倍，它们之间的万有引力变为原来的 D．引力常量G的单位是N·m2/kg2 【针对练习5】（25-26高一下·四川达州·期中）如图所示，有一半径为、密度均匀的球体，现从中挖去半径为的球体，为球体球心，为球形空腔的球心，为球形空腔与球体的切点，为连线上与点距离为的点，球体的体积公式。若质量为的质点始终位于位置，则在挖去前（无空腔）和挖去后（有空腔）质点受到的万有引力之比为（    ） A． B． C． D． 【针对练习6】（多选）（25-26高一下·北京丰台·期中）1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月―地检验证明了地面处苹果受到的引力与地球对月球的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球的半径R，地球表面的重力加速度g，月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是地球半径的k倍，月球的公转周期T。下列关于“月―地检验”的说法正确的是（　　） A．根据以上条件无法求得月球的向心加速度 B．需要测量地球的自转周期 C．需假定地球对月球的引力与地球对苹果的引力满足距离平方反比关系 D．若等式成立，证明月球受到的引力和苹果受到的引力遵循同样的规律 知识点3：不能忽略自转的万有引力定律的应用 不忽略地球自转的影响，地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图。 ①在赤道上： 。 ②在两极上： 。 ③在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 1.物体在赤道上完全失重的条件 设想地球自转角速度加快,使赤道上的物体刚好处于完全失重状态,即FN = 0,有mg=mω2R 所以完全失重的临界条件为(地球半径R=6400km) a=g=9.8m/s2，rad/s,, 上述结果恰好是近地人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。 2.地球不因自转而瓦解的最小密度 地球以T =24h的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力,即 根据质量与密度的关系,有 所以,地球的密度应为 即最小密度为ρmin=18.9 kg/m3。地球平均密度的公认值为ρ0=5507.85 kg/m3,足以保证地球处于稳定状态。 【针对练习7】（多选）（25-26高一下·天津·期中）月球探测器分别在月球极地和赤道用弹簧秤称量一质量为的物体，弹簧秤示数分别为和。已知月球的自转周期为，引力常量为，则月球的（　　） A．质量为 B．质量为 C．密度为 D．密度为 【针对练习8】（多选）（24-25高一下·山东菏泽·期中）将质量为m的物体悬挂在弹簧测力计上，物体处于静止状态。若在地球赤道表面测量，弹簧测力计的示数为，若在地球两极表面测量，弹簧测力计的示数为。已知地球半径为R，当质量为的物体静止在赤道表面时，下列说法正确的是（　　） A．该物体对地面的压力为 B．该物体的向心加速度为 C．该物体的角速度为 D．该物体的线速度为 【针对练习9】（24-25高一下·山东烟台·期末）2025年4月，詹姆斯·韦布空间望远镜发现在系外行星K2-18b的大气中可能有二甲基硫醚（DMS）和二甲基二硫醚（DMDS）的存在。这两种化合物在地球上主要由海洋藻类产生，因此被视为外星生命存在的潜在标记。已知该行星地质结构与地球非常类似，可认为密度与地球密度相同，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。 (1)观测发现，该行星自转速度在缓慢加快，求该星球将要瓦解时的自转周期； (2)进一步观测发现，该行星半径为地球半径的p倍，自转周期为T0，若发射一颗该行星的同步卫星，求同步卫星离该行星表面的高度。 知识点4：忽略自转的万有引力定律的应用 由于地球自转缓慢，向心力很小，所以在一般计算中只要题目不强调自转不可忽略或者提及赤道两极的重力加速度不一样，则可认为重力近似等于万有引力，重力方向竖直向下。 1.忽略地球自转影响的应用 ①地球表面重力加速度g＝，距地面高r处重力加速度g′＝。有＝。 ②某深度处的重力加速度： 推论1 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF引＝ 推论2 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力 球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G 举个栗子 假想有一个深度为h的矿井，其底部的重力加速度为g”，则由 mg＝G①， ②， ③， 可得 2.万有引力应用的解题思路 ①利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是 的质量，并非 的质量。 ②区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈ ；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是 的半径。 【针对练习10】（25-26高一下·云南昆明·期中）假设地球是一个半径为、质量分布均匀的球体，地表重力加速度为，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。如图所示，若在地球内部以地心为圆心、为半径挖一条圆形隧道，现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则小球在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【针对练习11】（多选）（25-26高一下·广东·期中）2026年春节期间，某天文学家团队通过射电望远镜捕捉到由“中国天眼FAST”首先发现的一颗近地小行星。已知该小行星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，公转周期为T，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转影响，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【针对练习12】（25-26高一下·江西·期中）宇航员在地球表面离地面高度h处将小球由静止自由释放，经t时间小球恰好落到地面。现宇航员站在某质量分布均匀的星球表面，同样在离该星球表面高度h处将小球由静止自由释放，小球经（t和未知）的时间也落在星球表面上。已知该星球的半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度。 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）下列说法中正确的是（　　） A．卡文迪什发现了万有引力定律 B．由可知，当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．开普勒通过分析第谷的天文观测数据，总结出了太阳系中行星运动的规律 D．牛顿通过实验推算出来引力常量的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人 2．（25-26高一下·重庆北碚·期中）关于行星的运动，下列说法正确的是（　　） A．第谷通过对行星的观测，得出了行星运动定律 B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的中心 C．开普勒第三定律中的常数k与太阳半径有关 D．同一行星沿椭圆轨道绕太阳运动，靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小 3．（25-26高一下·江苏南通·期中）2026年3月13日试验三十号卫星从西昌发射后绕地球做顺时针方向椭圆轨道运动，其轨迹如图所示。其中A是近地点，B是远地点，C是轨迹AB的中点。卫星从A运动至C的时间为，从C运动至B的时间为。则（　　） A． B． C． D．无法比较 4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）两个实心均质小球，球心间距为L时，它们之间的万有引力大小为F，若把其中一个小球质量增大为原来的2倍，而小球球心间距增大为2L，其他条件不变，则它们之间的万有引力大小为（　　） A．2F B．F C．4F D．F 5．（25-26高三下·安徽·阶段检测）如图所示，地球赤道上方有两颗卫星A、B，轨道半径分别为、，其中（），若卫星A的周期为，则卫星B的周期为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·云南昆明·期中）2017年3月16日消息，高景一号卫星发回清晰影像图，可区分单个树冠。天文爱好者观测该卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间通过的弧长为，该弧长对应的圆心角为弧度。已知引力常量为，则（　　） A．高景一号的轨道半径为 B．高景一号的线速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的质量为 7．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）地球可视为质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球的半径为R，则距离地心处的重力加速度为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·山东菏泽·期中）我国“天问一号”探测器成功实现火星环绕与着陆，开启了中国深空探测的新篇章。已知火星质量约为地球质量的，忽略地球和火星的自转影响，一个在地球表面重力为50N的物体，在火星表面的重力为20N，则火星的半径与地球的半径之比约为（　　） A．2∶1 B．3∶1 C．1∶2 D．1∶3 9．（25-26高一下·重庆·期中）火星表面特征非常接近地球，适合人类居住。已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是，若王同学在地面上能向上跳起的最大高度是，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度是 B．火星表面的重力加速度是 C．王同学在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍 D．王同学在火星表面上能向上跳起的最大高度为 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，是一个半径为，质量为M的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为R的球，并在空心球内某点P放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常量G，则球剩余部分对该质点的万有引力（　　） A．方向由P点指向 B．方向由指向 C．大小为 D．大小为 二、多选题 11．（25-26高一下·天津河西·期中）“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳运动的公转轨道是一个椭圆，将地球绕日一年转360度分为24份，约15度为一个节气。如图所示为地球公转位置与节气的对照图。下列说法正确的是（　　） A．太阳不在椭圆的中心，而是在其中一个焦点上 B．地球公转到夏至时的速度比冬至时的速度大 C．地球每转过相同的角度，地球与太阳的连线扫过的面积都相等 D．所有行星绕太阳公转时，其轨道半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等 12．（25-26高一下·湖北·期中）将一质量为的物体分别放到地球的北极点时，该物体的重力为。将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为，已知引力常量为，则由以上信息可得出（    ） A． B．地球的质量为 C．地球自转的周期为 D．地球的平均密度 13．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）我国科学家利用天眼观测到一颗宜居行星，这是迄今为止发现的最像地球的行星，这颗行星的直径是地球的a倍，质量是地球的b倍。已知近地卫星绕地球运动的周期为T，引力常量为G。则（　　） A．宜居行星的密度为 B．宜居行星的密度为 C．地球的密度为 D．地球的密度为 14．（25-26高一下·云南昆明·期中）行星A、B绕太阳运动的轨迹为椭圆，太阳在椭圆轨道的焦点上，A、B所受的引力随时间的变化如图所示，其中。假设A、B只受到太阳的引力，下列叙述正确的是（　　） A．行星A、B的运行周期之比为 B．行星A、B的轨道半长轴之比为 C．行星A的近日点到太阳的距离与远日点到太阳的距离之比为 D．行星A与行星B的质量之比为 三、解答题 15．（25-26高一下·山东菏泽·期中）“嫦娥工程”正在循序渐进地实现中国的航天梦。若“嫦娥五号”绕月做匀速圆周运动时，轨道距月球表面的高度为，周期为；“嫦娥六号”绕月做匀速圆周运动时，轨道距月球表面的高度为。已知引力常量为G，月球半径为R，忽略月球自转。求： (1)月球的质量M； (2)月球表面的重力加速度大小g； (3)“嫦娥六号”绕月运行周期。 16．（23-24高一下·山东潍坊·期中）近期我国科学家使用云南丽江双子天文台WO RC14望远镜再次观测了大熊座螺旋星系M108，该星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为，引力常量为G。求： （1）区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小与的关系； （2）研究表明，星系M108还在高速自转，假设其自转周期为T0，求该螺旋星系不会瓦解的最小密度； （3）已知一个质量均匀分布的球体内，某点所受外层球壳对其万有引力的合力为零，即如图所示P处物质受阴影部分物质的万有引力合力为零。求区域的恒星做匀速圆周运动的周期T。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 万有引力定律及其应用 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 开普勒三定律的理解和应用 知识点2 万有引力定律的理解 知识点3 不能忽略自转的万有引力定律的应用 知识点4 忽略自转的万有引力定律的应用 知识点1：开普勒三定律的理解和应用 1.内容 定律 内容 图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.表达式：＝k，k是一个与行星无关的常量 天体运动的处理方法 ①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 ②开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 ③开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 2.应用 【针对练习1】（25-26高一下·广东·期中）火星和土星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，已知火星的公转轨道比土星更接近太阳。根据开普勒行星运动定律可知（　　） A．相同时间内，火星与太阳的连线扫过的面积相等 B．火星绕太阳运行的速度大小始终不变 C．太阳位于土星运行椭圆轨道的中心 D．若已知火星的公转周期和土星与太阳的平均距离，则可直接计算土星的公转周期 【答案】A 【详解】AB．开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化，距离太阳越近，则速度越大，故A项正确，B项错误； C．开普勒第一定律的内容为所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，太阳处于椭圆的一个焦点上，故C项错误； D．根据开普勒第三定律可得，k为与中心天体相关的常数，计算土星的公转周期需要知道火星、土星的轨道半长轴和火星的公转周期，D项错误。 故选A。 【针对练习2】（25-26高一下·重庆忠县·期中）北京冬奥会开幕式“节气倒计时”节目惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（　　） A．春分和秋分时地球的运行速度相同 B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的 C．若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，则，地球和火星对应的值是不相同的 D．太阳在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上 【答案】D 【详解】A．春分和秋分时，地球在轨道上关于长轴对称的位置，根据对称性，地球的速率相等，但速度方向不同，速度是矢量，故速度不相同，故A错误； B．近日点附近速度大，远日点附近速度小，所以从冬至到春分的时间小于从春分到夏至的时间，则从冬至到春分的运行时间小于公转周期的，故B错误； C．根据开普勒第三定律，值由中心天体质量决定，地球和火星均绕太阳运动，中心天体相同，则值相同，故C错误； D．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，所以太阳在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故D正确。 故选D。 【针对练习3】（多选）（25-26高三上·山东菏泽·期中）如图所示，地球的公转轨道接近圆，周期为。哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，周期为。已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，地球公转轨道半径为。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB．根据开普勒第二定律可得 解得，故A正确；B错误； CD．根据开普勒第三定律可得 解得，故C错误；D正确。 故选AD。 知识点2：万有引力定律的理解 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。 2.表达式 F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出。 ①公式适用于质点间的相互作用。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 ③不能得出：当时，物体、间引力趋于无穷大。因为当时两个物体无法看做质点。 3.万有引力定律的特性 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上 宏观性 一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。 4.万有引力与重力的关系 如图所示，在纬度为的地表处，物体所受的万有引力为F=，而物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的南北两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。 越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 = mg。 5.月—地检验 牛顿认为：太阳与行星之间的引力、行星与卫星之间的引力以及地球作用于物体上的重力都是同种性质的力。 根据引力公式，对“月—地系统”和地面上的物体分别可得到 ， 两式相比，得月球绕地球运动的向心加速度。因为地球和月球之间的距离r地月约为地球半径r地的 60 倍，所以 用观测的结果加以对照。根据天文观测，月球绕地球运动的周期 T =27.3天，地球与月球间的距离 r地月=3.8×108m，因此从运动学公式可直接得到月球运动的向心加速度 。 检验结果：地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力是同一性质的力，遵循完全相同的规律。 【针对练习4】（25-26高一下·北京丰台·期中）下列关于万有引力的说法正确的是（　　） A．伽利略发现了万有引力定律，并测得了引力常量 B．根据可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．两天体质量不变，距离变为原来的2倍，它们之间的万有引力变为原来的 D．引力常量G的单位是N·m2/kg2 【答案】D 【详解】A．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什通过扭秤实验测得了引力常量，故A错误； B．万有引力公式的适用条件是质点（或均匀球体），当r趋近于零时，物体不能视为质点，公式不再适用，无法得出万有引力趋近无穷大的结论，故B错误； C．两天体质量不变，距离变为原来的2倍，根据万有引力公式，可知它们之间的万有引力变为原来的，故C错误； D．根据万有引力公式，可得 可知引力常量G的单位是N·m2/kg2，故D正确。 故选D。 【针对练习5】（25-26高一下·四川达州·期中）如图所示，有一半径为、密度均匀的球体，现从中挖去半径为的球体，为球体球心，为球形空腔的球心，为球形空腔与球体的切点，为连线上与点距离为的点，球体的体积公式。若质量为的质点始终位于位置，则在挖去前（无空腔）和挖去后（有空腔）质点受到的万有引力之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设原大球密度为，原大球质量 挖去的小球半径为​，其质量 由位置关系可得（大球球心）到的距离，（小球球心）到的距离；均匀球体对球外质点的引力可等效为质量集中在球心，则在挖去前（无空腔）质点受到的万有引力大小为 被挖去的小球对质点的万有引力大小为 则在挖去前（无空腔）和挖去后（有空腔）质点受到的万有引力之比为 故选B。 【针对练习6】（多选）（25-26高一下·北京丰台·期中）1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月―地检验证明了地面处苹果受到的引力与地球对月球的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球的半径R，地球表面的重力加速度g，月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是地球半径的k倍，月球的公转周期T。下列关于“月―地检验”的说法正确的是（　　） A．根据以上条件无法求得月球的向心加速度 B．需要测量地球的自转周期 C．需假定地球对月球的引力与地球对苹果的引力满足距离平方反比关系 D．若等式成立，证明月球受到的引力和苹果受到的引力遵循同样的规律 【答案】CD 【详解】A．根据以上条件可求得月球的向心加速度，A错误； BCD．需假定地球对月球的引力与地球对苹果的引力满足距离平方反比关系，即，则地面上的苹果受到的引力 月球受地球的引力 可得 即若等式成立，证明月球受到的引力和苹果受到的引力遵循同样的规律，则不需要测量地球的自转周期，B错误，CD正确。 故选CD。 知识点3：不能忽略自转的万有引力定律的应用 不忽略地球自转的影响，地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图。 ①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg2。 ③在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 1.物体在赤道上完全失重的条件 设想地球自转角速度加快,使赤道上的物体刚好处于完全失重状态,即FN = 0,有mg=mω2R 所以完全失重的临界条件为(地球半径R=6400km) a=g=9.8m/s2，rad/s,, 上述结果恰好是近地人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。 2.地球不因自转而瓦解的最小密度 地球以T =24h的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力,即 根据质量与密度的关系,有 所以,地球的密度应为 即最小密度为ρmin=18.9 kg/m3。地球平均密度的公认值为ρ0=5507.85 kg/m3,足以保证地球处于稳定状态。 【针对练习7】（多选）（25-26高一下·天津·期中）月球探测器分别在月球极地和赤道用弹簧秤称量一质量为的物体，弹簧秤示数分别为和。已知月球的自转周期为，引力常量为，则月球的（　　） A．质量为 B．质量为 C．密度为 D．密度为 【答案】AC 【详解】AB．极地：物体随月球自转不需要向心力，万有引力全部等于重力（弹簧秤示数），因此 赤道：万有引力一部分提供重力，一部分提供自转向心力，因此 联立有 整理得月球半径，月球质量 ，故A正确，B错误； CD．密度公式 ，代入化简，故C正确，D错误。 故选AC。 【针对练习8】（多选）（24-25高一下·山东菏泽·期中）将质量为m的物体悬挂在弹簧测力计上，物体处于静止状态。若在地球赤道表面测量，弹簧测力计的示数为，若在地球两极表面测量，弹簧测力计的示数为。已知地球半径为R，当质量为的物体静止在赤道表面时，下列说法正确的是（　　） A．该物体对地面的压力为 B．该物体的向心加速度为 C．该物体的角速度为 D．该物体的线速度为 【答案】AD 【详解】A．质量为m的物体，静止在赤道表面时，有 当质量为的物体，静止在赤道表面时，有 联立解得 根据牛顿第三定律可知压力，故A正确； B．题意知在两极 因为 联立解得向心加速度，故B错误； C．因为 解得，故C错误； D．该物体的线速度为，故D正确。 故选 AD。 【针对练习9】（24-25高一下·山东烟台·期末）2025年4月，詹姆斯·韦布空间望远镜发现在系外行星K2-18b的大气中可能有二甲基硫醚（DMS）和二甲基二硫醚（DMDS）的存在。这两种化合物在地球上主要由海洋藻类产生，因此被视为外星生命存在的潜在标记。已知该行星地质结构与地球非常类似，可认为密度与地球密度相同，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。 (1)观测发现，该行星自转速度在缓慢加快，求该星球将要瓦解时的自转周期； (2)进一步观测发现，该行星半径为地球半径的p倍，自转周期为T0，若发射一颗该行星的同步卫星，求同步卫星离该行星表面的高度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据万有引力提供圆周运动向心力，有 在星球表面，万有引力等于重力，有 联立解得该星球将要瓦解时的自转周期为 （2）根据万有引力提供圆周运动向心力，有 在地球表面，万有引力等于重力，有 地球质量 联立解得 知识点4：忽略自转的万有引力定律的应用 由于地球自转缓慢，向心力很小，所以在一般计算中只要题目不强调自转不可忽略或者提及赤道两极的重力加速度不一样，则可认为重力近似等于万有引力，重力方向竖直向下。 1.忽略地球自转影响的应用 ①地球表面重力加速度g＝，距地面高r处重力加速度g′＝。有＝。 ②某深度处的重力加速度： 推论1 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF引＝0 推论2 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G 举个栗子 假想有一个深度为h的矿井，其底部的重力加速度为g”，则由 mg＝G①， ②， ③， 可得 2.万有引力应用的解题思路 ①利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 ②区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 【针对练习10】（25-26高一下·云南昆明·期中）假设地球是一个半径为、质量分布均匀的球体，地表重力加速度为，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。如图所示，若在地球内部以地心为圆心、为半径挖一条圆形隧道，现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则小球在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设地球总质量为，对地表物体，因万有引力等于重力有 可得 地球密度均匀，因此 根据题意，均匀球壳对内部物体引力为零，小球在半径的隧道内做圆周运动，只有半径以内的球体对小球有引力作用，该部分球体质量 万有引力提供小球做匀速圆周运动的向心力 整理得 代入、 解得 故选D。 【针对练习11】（多选）（25-26高一下·广东·期中）2026年春节期间，某天文学家团队通过射电望远镜捕捉到由“中国天眼FAST”首先发现的一颗近地小行星。已知该小行星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，公转周期为T，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转影响，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB．由万有引力提供向心力可得 解得，故A项正确，B项错误； CD．根据黄金代换式 得 解得，故C项错误，D项正确。 故选AD。 【针对练习12】（25-26高一下·江西·期中）宇航员在地球表面离地面高度h处将小球由静止自由释放，经t时间小球恰好落到地面。现宇航员站在某质量分布均匀的星球表面，同样在离该星球表面高度h处将小球由静止自由释放，小球经（t和未知）的时间也落在星球表面上。已知该星球的半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据自由落体运动位移公式,地球表面 星球表面 已知 联立得 化简得 （2）星球表面物体重力等于万有引力，即 整理得星球质量 星球体积，密度 代入得 将代入化简得 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）下列说法中正确的是（　　） A．卡文迪什发现了万有引力定律 B．由可知，当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．开普勒通过分析第谷的天文观测数据，总结出了太阳系中行星运动的规律 D．牛顿通过实验推算出来引力常量的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人 【答案】C 【详解】A．万有引力定律由牛顿发现，卡文迪什的贡献是测出引力常量，故A错误； B．公式仅适用于质点或均匀球体，当趋近于零时，物体不能被视为质点，公式不再适用，无法推出万有引力趋近无穷大，故B错误； C．开普勒通过分析第谷的天文观测数据，总结得出了太阳系行星运动的三大定律，故C正确； D．引力常量是卡文迪什通过扭秤实验测得的，卡文迪什被誉为第一个“称量地球质量”的人，故D错误。 故选C。 2．（25-26高一下·重庆北碚·期中）关于行星的运动，下列说法正确的是（　　） A．第谷通过对行星的观测，得出了行星运动定律 B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的中心 C．开普勒第三定律中的常数k与太阳半径有关 D．同一行星沿椭圆轨道绕太阳运动，靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小 【答案】D 【详解】A．开普勒研究了第谷的行星观测记录，得出了行星运动定律，第谷仅完成了观测数据积累，故A错误； B．根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，并非椭圆中心，故B错误； C．开普勒第三定律中的常数k仅与中心天体（太阳）的质量有关，和太阳半径没有关系，故C错误； D．根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，因此靠近太阳时轨道半径小，速度增大，远离太阳时轨道半径大，速度减小，故D正确。 故选D。 3．（25-26高一下·江苏南通·期中）2026年3月13日试验三十号卫星从西昌发射后绕地球做顺时针方向椭圆轨道运动，其轨迹如图所示。其中A是近地点，B是远地点，C是轨迹AB的中点。卫星从A运动至C的时间为，从C运动至B的时间为。则（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】设卫星运行的周期为T，根据开普勒第二定律可知，卫星从A运动至C的时间，从C运动至B的时间，故选B。 4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）两个实心均质小球，球心间距为L时，它们之间的万有引力大小为F，若把其中一个小球质量增大为原来的2倍，而小球球心间距增大为2L，其他条件不变，则它们之间的万有引力大小为（　　） A．2F B．F C．4F D．F 【答案】B 【详解】根据万有引力定律，两个均质小球间的万有引力满足公式（其中为两球质量，为球心间距） 初始状态：球心间距为时，万有引力 变化后：一个小球质量变为，球心间距变为，新的万有引力 故选B。 5．（25-26高三下·安徽·阶段检测）如图所示，地球赤道上方有两颗卫星A、B，轨道半径分别为、，其中（），若卫星A的周期为，则卫星B的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据开普勒第三定律 得到 故选B。 6．（25-26高一下·云南昆明·期中）2017年3月16日消息，高景一号卫星发回清晰影像图，可区分单个树冠。天文爱好者观测该卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间通过的弧长为，该弧长对应的圆心角为弧度。已知引力常量为，则（　　） A．高景一号的轨道半径为 B．高景一号的线速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的质量为 【答案】C 【详解】A．根据弧长公式，可得轨道半径，故A错误； B．线速度为单位时间内通过的弧长，大小为，故B错误； CD．卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 约去卫星质量，得地球质量 代入、，解得，故C正确，D错误。 故选C。 7．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）地球可视为质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球的半径为R，则距离地心处的重力加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】忽略地球自转，物体重力等于万有引力。设地球密度为，地球总质量 对地面物体有 整理得 设距离地心处的重力加速度为，根据题意，只有地心到半径范围内的球体对物体产生引力，该部分球体质量 同理对该处物体有 整理得 代入 可得。 故选A。 8．（25-26高一下·山东菏泽·期中）我国“天问一号”探测器成功实现火星环绕与着陆，开启了中国深空探测的新篇章。已知火星质量约为地球质量的，忽略地球和火星的自转影响，一个在地球表面重力为50N的物体，在火星表面的重力为20N，则火星的半径与地球的半径之比约为（　　） A．2∶1 B．3∶1 C．1∶2 D．1∶3 【答案】C 【详解】忽略星球自转影响时，物体在星球表面的重力等于万有引力，公式为，其中为引力常量，为星球质量，为物体质量，为星球半径。 对同一物体，重力与星球质量成正比，与星球半径的平方成反比，因此有比例关系： 代入已知条件、、 得 解得 故选C。 9．（25-26高一下·重庆·期中）火星表面特征非常接近地球，适合人类居住。已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是，若王同学在地面上能向上跳起的最大高度是，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度是 B．火星表面的重力加速度是 C．王同学在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍 D．王同学在火星表面上能向上跳起的最大高度为 【答案】A 【详解】AB．根据题意，在地球表面由万有引力等于重力有 解得地球表面重力加速度 同理火星表面的重力加速度是，故A正确，B错误； C．根据题意，由公式可知，王同学在火星表面受的万有引力与在地球表面受万有引力之比为，故C错误： D． 王同学在火星表面上向上跳起 在地球表面上跳起 可得王同学在火星表面上能向上跳起的最大高度为，故D错误。 故选A。 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，是一个半径为，质量为M的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为R的球，并在空心球内某点P放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常量G，则球剩余部分对该质点的万有引力（　　） A．方向由P点指向 B．方向由指向 C．大小为 D．大小为 【答案】B 【详解】AB．设球的密度为，则实心大球质量可表示为，由题意可知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，实心大球对P点的引力等于以为半径的实心小球对质点P的引力。以为半径的实心小球的质量为 所以为半径的实心小球对P点的引力为 同理，以为半径的实心小球的质量为 则以为半径的实心小球对P点的引力为 受力情况如下图，由几何关系可知 故平行于，故A错误B正确； CD．由上述分析可知，解得，故CD错误。 故选B。 二、多选题 11．（25-26高一下·天津河西·期中）“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳运动的公转轨道是一个椭圆，将地球绕日一年转360度分为24份，约15度为一个节气。如图所示为地球公转位置与节气的对照图。下列说法正确的是（　　） A．太阳不在椭圆的中心，而是在其中一个焦点上 B．地球公转到夏至时的速度比冬至时的速度大 C．地球每转过相同的角度，地球与太阳的连线扫过的面积都相等 D．所有行星绕太阳公转时，其轨道半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等 【答案】AD 【详解】A.根据开普勒第一定律，太阳位于椭圆的一个焦点上，故A正确； B.根据开普勒第二定律，近日点的速度大于远日点的速度，所以地球公转到冬至的速度更大，故B错误； C.根据开普勒第二定律，相同时间内，地球与太阳的连线扫过的面积相同，地球在椭圆轨道运动时，速度大小在变化，转过相同的角度，所用的时间不一定相同，所以地球与太阳的连线扫过的面积不一定相等，故C错误； D.根据开普勒第三定律，所有行星绕太阳公转的轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比是一个定值，故D正确。 故选AD。 12．（25-26高一下·湖北·期中）将一质量为的物体分别放到地球的北极点时，该物体的重力为。将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为，已知引力常量为，则由以上信息可得出（    ） A． B．地球的质量为 C．地球自转的周期为 D．地球的平均密度 【答案】BC 【详解】ABC．在两极处物体受到的万有引力等于重力，则有 解得地球质量为 设地球自转周期为，在赤道处有 可得，，故A错误，BC正确； D．由， 联立解得地球的平均密度，故D错误。 故选BC。 13．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）我国科学家利用天眼观测到一颗宜居行星，这是迄今为止发现的最像地球的行星，这颗行星的直径是地球的a倍，质量是地球的b倍。已知近地卫星绕地球运动的周期为T，引力常量为G。则（　　） A．宜居行星的密度为 B．宜居行星的密度为 C．地球的密度为 D．地球的密度为 【答案】BC 【详解】AB．对地球的近地卫星可得 解得 所以该行星的密度为，故B正确，A错误； CD．对地球的近地卫星可得 解得 所以地球的密度为，故C正确，D错误。 故选BC。 14．（25-26高一下·云南昆明·期中）行星A、B绕太阳运动的轨迹为椭圆，太阳在椭圆轨道的焦点上，A、B所受的引力随时间的变化如图所示，其中。假设A、B只受到太阳的引力，下列叙述正确的是（　　） A．行星A、B的运行周期之比为 B．行星A、B的轨道半长轴之比为 C．行星A的近日点到太阳的距离与远日点到太阳的距离之比为 D．行星A与行星B的质量之比为 【答案】BCD 【详解】A．行星从近日点运动到远日点为半个周期，由图可知行星A的半个周期 行星B的周期 结合 得 因此周期比 ，故A错误； B．根据开普勒第三定律，绕同一中心天体太阳，满足 因此 得，故B正确； C．对行星A，最大引力 最小引力 两式相除得 开方得，故C正确； D．对B同理可得 半长轴， 结合半长轴之比得 又 结合 可推得，故D正确。 故选BCD。 三、解答题 15．（25-26高一下·山东菏泽·期中）“嫦娥工程”正在循序渐进地实现中国的航天梦。若“嫦娥五号”绕月做匀速圆周运动时，轨道距月球表面的高度为，周期为；“嫦娥六号”绕月做匀速圆周运动时，轨道距月球表面的高度为。已知引力常量为G，月球半径为R，忽略月球自转。求： (1)月球的质量M； (2)月球表面的重力加速度大小g； (3)“嫦娥六号”绕月运行周期。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对绕月做匀速圆周运动的“嫦娥五号”，其轨道半径为 万有引力提供向心力，可知 解得月球的质量 （2）忽略月球自转，月球表面物体的重力等于万有引力，对月球表面质量为的物体，有 解得 （3）“嫦娥五号”与“嫦娥六号”所绕行的中心天体均为月球，其中“嫦娥六号”的轨道半径为 根据开普勒第三定律有 故“嫦娥六号”绕月运行周期 16．（23-24高一下·山东潍坊·期中）近期我国科学家使用云南丽江双子天文台WO RC14望远镜再次观测了大熊座螺旋星系M108，该星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为，引力常量为G。求： （1）区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小与的关系； （2）研究表明，星系M108还在高速自转，假设其自转周期为T0，求该螺旋星系不会瓦解的最小密度； （3）已知一个质量均匀分布的球体内，某点所受外层球壳对其万有引力的合力为零，即如图所示P处物质受阴影部分物质的万有引力合力为零。求区域的恒星做匀速圆周运动的周期T。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有 解得 （2）设螺旋星系的半径为，由万有引力提供向心力得 解得 体积为 则该螺旋星系不会瓦解的最小密度为 （3）在内部，星体质量 由万有引力提供向心力得 解得 学科网（北京）股份有限公司 $