专题01 抛体运动与圆周运动（期末复习讲义）高一物理下学期人教版

专题01 抛体运动与圆周运动（期末复习讲义） 目录 【考情透析】 2 【知识梳理】 2 知识点01 曲线运动基础 2 知识点02 抛体运动 3 知识点03 圆周运动 4 【典例引领·即时检测】 5 题型1 小船渡河 5 题型2 速度关联问题 6 题型3 斜面上的抛体运动 11 题型4 水平面内的圆周运动 13 题型5 竖直面内的圆周运动 17 题型6 斜面内的圆周运动 20 题型7 抛体运动与圆周运动的结合问题 23 【考场练兵·分层实战】 26 基础通关练（测试时间：10分钟） 26 重难突破练（测试时间：10分钟） 30 综合拓展练（测试时间：15分钟） 35 1.分值占比 本专题是高一物理曲线运动核心内容，期末考试总分占比18-25分，考查形式全覆盖：单选题、多选题、填空题、实验题、压轴计算题均会出题，属于必拿分+拉分重点板块。 2.核心考查方向 （1）基础层：平抛运动分运动规律、位移速度计算、运动时间判断 （2）中层：圆周运动线速度、角速度、周期、向心加速度换算，向心力受力分析 （3）拔高层：水平面匀速圆周运动模型、竖直面圆周运动临界极值问题 （4）综合层：平抛运动与圆周运动结合综合大题 3.命题特点 紧贴课本基础公式，结合生活实景命题（投篮、飞车转弯、水流平抛、过山车等），重点考查运动的合成与分解物理思想，题型灵活，公式变式多。 4.高频易错点 （1）混淆合运动、分运动独立性，错误认为水平运动影响竖直下落快慢 （2）记错平抛速度偏角与位移偏角倍数关系 （3）把向心力当成实际受到的独立力，受力分析多画向心力 （4）轻绳、轻杆竖直圆周最高点临界速度混淆混用 （5）同轴转动、皮带传动物理量相等关系记反 必备知识 知识点01 曲线运动基础 1. 曲线运动定义：物体运动轨迹为曲线的运动。 2. 速度方向：轨迹切线方向，时刻发生改变。 3. 运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动是变速运动。 4. 曲线运动条件：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。 5. 运动合成与分解 （1）遵循平行四边形定则 （2）分运动具有独立性、等时性、等效性 （3）小船渡河、绳端速度分解为基础应用 技巧：合速度分解到沿绳（或杆）方向和沿垂直与绳（或杆）方向。 知识点02 抛体运动 1. 平抛运动 （1）定义：只受重力，初速度沿水平方向的抛体运动 （2）运动性质：匀变速曲线运动，加速度恒定，方向竖直向下 （3）运动分解（核心解题思想） 运动方向 运动类型 受力情况 速度公式 位移公式 水平方向 匀速直线运动 不受力，合力为0 竖直方向 自由落体运动 初速度为0，只受重力 （4）核心推导公式 ①平抛总运动时间：，平抛运动时间只由下落高度决定，与水平初速度无关 ②落地合速度大小： ③速度偏角（合速度与水平夹角）： ④位移偏角（合位移与水平夹角）： ⑤秒杀结论： ⑥合位移大小： （5）平抛两大推论 ①平抛任意时刻，速度反向延长线必过水平位移中点 ②同一高度平抛，初速度越大，水平射程越远 2. 斜抛运动 （1）初速度斜向上/斜向下，只受重力，依旧为匀变速曲线运动 （2）分解：水平匀速直线运动，竖直上抛/竖直下抛运动 （3）最高点特点：竖直分速度为0，水平速度保持不变 （4）对称规律：上升过程与下落过程运动轨迹、时间、速度大小对称 知识点03 圆周运动 1. 描述圆周运动五大基本物理量 物理量 符号 公式 单位 线速度 m/s 角速度 rad/s 周期 转动一周所用时间 s 频率 单位时间转动圈数， Hz 转速 单位时间转动圈数， r/s 物理量核心关系 （1）线速度与角速度： （2）同轴转动：角速度相等，半径越大线速度越大 （3）皮带/齿轮传动：边缘线速度相等，半径越大角速度越小 2. 向心加速度 （1）作用：只改变线速度方向，不改变速度大小 （2）方向：始终指向圆心，时刻变化，属于变加速运动 （3）三大公式： 3. 向心力 （1）本质：效果力，不是物体实际受到的力，由重力、弹力、摩擦力、拉力等合力/分力提供 （2）计算公式： （3）方向：始终指向圆心，与瞬时速度垂直 （4）受力分析禁忌：画受力图绝对不能单独画出向心力 4. 两大经典圆周运动模型 （1）水平面匀速圆周运动 常见模型：圆锥摆、火车转弯、转盘物体、漏斗模型 受力特点：重力与支持力/拉力的合力水平指向圆心，提供向心力 运动特点：高度不变、速度大小不变、匀速圆周运动 （2）竖直面内圆周运动（期末重中之重） Ⅰ. 轻绳模型（无支撑，绳子拴小球） ①最高点受力：重力+绳子拉力共同提供向心力 ②最高点临界最小速度：，若速度小于，则小球无法完成完整圆周运动，中途下落 ③最低点：绳子拉力最大，合力向上提供向心力 ④运动规律：全程只有重力做功，机械能守恒 Ⅱ.轻杆模型（有支撑，硬杆固定小球） ①最高点可以提供拉力，也可以提供支持力 ②最高点临界速度：0 ③小球速度为0时，杆的支持力平衡重力，依旧可保持圆周运动 ④易混区分：无支撑用绳公式，有支撑用杆公式 题型1 小船渡河 模｜型｜解｜读 小船渡河问题中，船的实际运动是船在静水中的运动和水流运动的合运动，船渡河的时间由垂直河岸方向的分运动决定，与水流速度无关，核心分为两类基础问法： 1.最短时间渡河：不管船速与水速大小关系如何，当船头垂直河岸航行时，垂直河岸方向的分速度最大，渡河时间最短，最短时间为，其中( d )为河宽， 为船在静水中的速度。 2.最短位移渡河：分为两种情况，当船速大于水速时，调整船头方向使合速度方向垂直河岸，最短位移等于河宽( d )，此时船头需向上游偏，满足（为船头与上游河岸的夹角）；当船速小于水速时，合速度无法垂直河岸，此时以 末端为圆心、 大小为半径画弧，当合速度方向与圆弧相切时，渡河位移最短，最短位移为。 【典例1】（22-23高一下·新疆阿克苏·阶段检测）如图所示，一探险者正从某瀑布上游划船渡河，已知河流的宽度，此时探险者正处于河流正中央A点处，该点与下游瀑布危险区的最短距离为。已知水流速度为（，）。从此时开始计时， （1）若小船在静水中速度为，则船到岸的最短时间是多少？所到目的地与河流正对岸间的距离是多少？ （2）若小船在静水中速度为，则小船以最短的距离到岸时所需时间是多少？此时船头方向与河岸上游的夹角是多少？ （3）为了使小船能避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少？    【即时检测1】（25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）如图所示，在一条宽、水流速度为的河流的岸边有甲、乙两条小船，两船的出发点相距，甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，某时刻甲、乙两船同时出发，甲船沿时间最短的路径运动，乙船沿垂直河岸的路径运动，两侧河岸平行，则下列说法正确的是（　　） A．乙船过河所用时间更短 B．甲、乙两船过河经过的路程之比为 C．甲、乙两船在运动过程中可能相撞 D．甲、乙两船在运动过程中会经过同一点但不会相撞 【即时检测2】（24-25高一下·江西宜春·期末）2025年5月29日，广安迎端午。划龙舟暨游泳比赛在广安渠江游泳基地举行，众多游泳爱好者和市民以水上运动的方式喜迎端午节的到来。比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的河，运动员在静水中的速度，水流速度，则（　　） A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸 B．该运动员渡河的时间可能小于 C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为 题型2 速度关联问题 模｜型｜解｜读 当绳或杆连接的两个物体通过不可伸长的绳（或刚性杆）相连运动时，两个物体沿绳（或杆）方向的分速度大小一定相等，这就是速度关联问题的核心规律，解题时可按以下两步分析： 1. 明确两个物体的实际运动速度，也就是合速度，这是物体相对于地面的运动速度。 2. 将两个物体的速度分别沿绳（或杆）方向和垂直绳（或杆）方向分解，根据沿绳方向分速度大小相等列等式求解。 需要注意两类常见情景：一是一端物体沿固定方向运动（比如人在岸边拉船靠岸），人拉绳的速度就是绳端沿绳方向的速度，船的实际速度沿水平方向，需要将船速分解为沿绳和垂直绳的分量，进而得到船速与人拉绳速度的关系；二是杆两端连接物体分别沿不同固定方向运动，同样对两端物体速度沿杆和垂直杆分解，利用沿杆分速度相等推导两个物体的速度关系。 【典例2】（24-25高一下·湖南永州·期末）（多选）如图所示，一轻绳的一端绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2与质量为m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小物块连接。已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，直杆与水平面的夹角，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，定滑轮O1到C点的距离为L，直杆上D点到C点的距离也为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从C点由静止释放，下列说法正确的是（　　） A．小物块刚释放时，轻绳对小球的拉力大于mg B．小物块运动到D点时，小物块与小球的速度大小之比为2:1 C．小球下降的最大距离为 D．小物块运动到D点时，小物块的速度大小为 【即时检测1】（24-25高一下·江西萍乡·期末）（多选）一辆小车通过光滑轻质定滑轮提升一重物，已知重物质量m，小车始终以速度vA匀速向左运动。如图所示，绳子与水平方向夹角为θ，此时（　　） A．重物的速度为vAcosθ B．重物的速度为 C．重物的加速度方向向上 D．重物的加速度方向向下 【即时检测2】（24-25高一下·四川眉山·期末）如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（　　） A． B． C． D． 题型3 斜面上的抛体运动 模｜型｜解｜读 斜面上的抛体运动通常指平抛物体落到斜面上，或是从斜面上抛出后落到斜面上的问题，解题核心是抓住斜面倾角与位移偏角或速度偏角的关系，结合平抛运动分运动公式推导求解，常见核心结论如下： 1. 若物体从斜面上水平抛出，最终落到斜面上，无论初速度大小如何，物体落到斜面上时位移偏角始终等于斜面倾角，因此满足，可直接推导得到运动时间（为斜面倾角）。 2. 若物体做平抛运动，最终垂直落到斜面上，说明速度方向与斜面垂直，此时速度方向与竖直方向的夹角等于斜面倾角，满足，推导可得运动时间。 【典例3】（24-25高一下·河北保定·期末）（多选）如图所示，一斜面体固定在水平面上，斜面光滑且为矩形，倾角为θ，斜面的左上方顶点 P 与右下方顶点Q之间固定一与斜面垂直的挡板，挡板与斜面底边的夹角也为θ，一可视为质点的小物块由 P 点以平行于斜面底边的初速度水平射出，落在挡板上不再反弹。已知重力加速度为g，小物块在运动过程中始终在斜面上滑动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为 B．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为 C．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的2倍 D．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍 【即时检测1】（23-24高一上·湖北武汉·期末）如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1 C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2 【即时检测2】如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为θ=30°，一小球（可视为质点）沿斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g．则下列说法正确的是（  ） A．小球运动的加速度为g B．小球由A运动到B所用的时间为 C．小球由A点水平射入时初速度v0的大小为 D．小球离开B点时速度的大小为 题型4 水平面内的圆周运动 模｜型｜解｜读 水平面内的匀速圆周运动核心是合外力大小不变，始终沿水平方向指向圆心提供向心力，常见模型的解题要点如下： 1. 圆锥摆模型：摆球受重力和摆线拉力，二者的合力水平指向圆心，设摆线与竖直方向夹角为θ，摆球做圆周运动的轨道半径为r，由合力提供向心力可得，可推导线速度、角速度与摆线长度、夹角的关系。 2. 火车转弯模型：标准转弯设计中，火车重力与轨道支持力的合力恰好提供向心力，此时轮缘对轨道无侧向压力，若实际行驶速度大于设计速度，外轨会对轮缘产生侧向弹力补充向心力；若速度小于设计速度，内轨会对轮缘产生侧向弹力抵消部分合力。 3. 转盘静摩擦力模型：物体随水平转盘一起做匀速圆周运动时，静摩擦力沿水平方向指向圆心提供向心力，当转速增大，需要的向心力增大，静摩擦力达到最大静摩擦力后物体开始滑动，可据此求解物体不滑动的最大角速度或最大线速度。 解题时需先正确受力分析，找到水平方向指向圆心的合力，再结合向心力公式列式求解即可。 【典例4】（25-26高一上·浙江杭州·期末）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点），转椅质量为50kg。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度=1rad/s匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1=4m的匀速圆周运动，转椅与雪地之间的动摩擦因数为=0.3，重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。求： (1)转椅所受的合力大小； (2)AB与OB之间夹角的值； (3)将圆盘升高，如图（b）所示，圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2=3m的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为。求此时圆盘的角速度。（可保留根号） 【即时检测1】（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．此时绳子张力为 B．此时圆盘的角速度为 C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆心 D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动 【即时检测2】（24-25高一下·四川泸州·期末）旋转秋千是各大游乐场常见的娱乐设施，深受人们的喜爱。一旋转秋千可简化为如图所示模型，上端是半径为r的水平转台，在转台的边缘固定有一长为L=5m的轻绳，轻绳的底端悬挂有一座椅。玩耍时，一游客系好安全带后坐在座椅上静止在最低点，然后转台在电机带动下绕竖直转轴缓慢加速转动起来，当座椅摆动到轻绳与竖直方向的夹角为时开始以角速度匀速转动。小朋友和座椅均可视为质点，其总质量为m=45kg，重力加速度大小取，，求： (1)旋转秋千匀速转动时轻绳的拉力大小； (2)若旋转秋千由静止开始转动到角速度为时轻绳对游客和座椅所做的功，求匀速转动时角速度的值以及水平转台半径r。 题型5 竖直面内的圆周运动 模｜型｜解｜读 竖直面内的圆周运动大多为变速圆周运动，合外力方向不指向圆心，合外力沿切线方向的分力改变线速度大小，沿半径方向的分力提供向心力，解题核心是结合受力分析，抓住最高点和最低点两个临界位置，结合向心力公式与机械能守恒定律求解，两类经典模型解题要点如下： 1.轻绳模型（无支撑，绳子拴小球） 小球能完成完整圆周运动的临界条件是最高点绳子拉力恰好为0，此时只有重力提供向心力，对应临界最小速度为( )；若小球在最高点的速度，小球可完成完整圆周运动，此时由重力和绳子拉力共同提供向心力，满足；最低点时绳子拉力向上，由拉力与重力的合力提供向心力，满足，且全程只有重力做功，小球机械能守恒。 2.轻杆模型（有支撑，硬杆固定小球） 由于轻杆既可以提供拉力也可以提供支持力，因此小球能完成完整圆周运动的最高点临界速度为0；当最高点速度时，轻杆对小球提供向上的支持力，满足；当时，支持力( N=0 )，只有重力提供向心力；当时，轻杆对小球提供向下的拉力，满足，最低点的受力分析与轻绳模型一致，满足，同样遵循机械能守恒。 【典例5】（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图甲所示，小球在竖直平面内光滑的固定圆管中，绕圆心O点做半径为R的圆周运动（小球直径略小于管的口径且远小于R）。当小球运动到最高点时，速度大小设为v，圆管与小球间弹力的大小设为F，改变速度v得到F-v2图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则下列说法错误的是（　　） A．小球的质量为4kg B．固定圆管的半径为1m C．小球在最高点的速度为2m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 D．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 【即时检测1】（24-25高一下·山东青岛·期末）（多选）图甲为一种小型打夯机，利用冲击和冲击振动作用分层夯实回填土，图乙为这种打夯机的结构示意图。质量为m的摆锤通过轻杆与总质量为M的底座（含电动机）上的转轴相连，轻杆质量忽略不计。电动机带动摆锤绕转轴O在竖直面内以角速度匀速转动，转动半径为l，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．摆锤转到最低点时，底座对地面的压力不可能为零 B．若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，则角速度 C．若摆锤转到最高点时，轻杆对摆锤的弹力为0，则角速度 D．摆锤转到轻杆水平时，轻杆对摆锤的作用力大小为 【即时检测2】（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，竖直面内固定的轨道由光滑圆弧轨道和水平粗糙轨道DE组成，圆弧轨道的圆心为O，圆弧轨道最高点B与圆心O的连线与水平方向的夹角为，C点为轨道上与圆心等高点，D点为圆弧轨道的最低点。现有质量的小球从空中的A点以初速度向左水平抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道。已知圆弧轨道半径为，A、O两点的高度差，，重力加速度g取。求： (1)A、O两点的水平距离； (2)小球运动到D点时对圆弧轨道的压力大小。 题型6 斜面内的圆周运动 模｜型｜解｜读 斜面内的圆周运动一般指小球沿倾斜放置的光滑圆轨道运动，或是被绳拴住绕斜面上的固定点做圆周运动，核心临界条件与竖直面内圆周运动类似，只是重力沿圆周切线方向和径向产生分力作用，需要将重力沿圆周轨道的径向和切向分解，由径向的合力提供向心力。 对于无支撑的斜面内圆周运动（比如沿倾斜圆轨道内侧运动，或是绳拴小球在斜面上做圆周运动），小球能完成完整圆周运动的临界位置在圆周的最高点，此处重力沿径向指向圆心的分力为（为斜面倾角），当绳子拉力或轨道支持力恰好为0时，对应临界最小速度满足，可得，若最高点速度，小球就能完成完整圆周运动。 这类问题中，轨道通常是光滑的，全程只有重力做功，因此机械能守恒，解题时先对最高点临界状态分析得到临界速度，再结合机械能守恒求解最低点或其他位置的速度、弹力大小即可。 【典例6】如图所示，倾角为60°的光滑斜面上固定着半径的光滑三分之二圆弧形轨道ABC，以圆心O为原点、沿斜面向下为正方向建立坐标轴Ox，OA、OC与x轴间的夹角均为60°。一质量m=0.1kg的小球（可看成质点）从x轴上的M点沿垂直x轴方向以速度v0抛出，小球恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度v0的大小为 B．M点的坐标为 C．小球对轨道的最大压力为 D．小球在圆弧BC中间某点脱离轨道 【即时检测1】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻绳一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．小球通过A点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时所受轻绳的作用力大小为 D．若小球以的速率通过B点时绳突然断裂，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为3L 【即时检测2】很多商场的门前都放置一台儿童游乐玩具——弹珠枪。如图，是一个正方形光滑斜台，边长为，与水平面的倾角为，弹珠由弹珠枪击打，弹珠沿着边经过斜台拐角边半径为的四分之一的圆弧轨道，最后离开圆弧轨道在斜面内运动。重力加速度为。若弹珠经过点后恰好经过点，求： （1）弹珠经过点时的速率？ （2）弹珠经过点时对圆弧轨道的压力大小？    题型7 抛体运动与圆周运动的结合问题 模｜型｜解｜读 这类问题通常分两个过程分析：物体先完成圆周运动，之后从圆周运动的某一位置抛出做抛体运动，或是物体做抛体运动后落入圆周轨道，开始圆周运动，解题核心是两个运动过程通过抛出点/落地点的速度衔接，全程通常只有重力做功，可结合机械能守恒定律联立求解。 解题一般按三步分析： 1. 先分析圆周运动过程，通常会结合临界条件得到圆周运动末端抛出点的速度，再利用机械能守恒得到抛出时的速度大小和方向。 2. 再将抛出后的运动按抛体运动的分运动规律分解，结合水平、竖直方向的运动公式求解位移、时间等待求量。 3. 若抛体在前圆周在后，则反过来先由抛体运动规律得到物体到达圆周位置时的速度，再结合圆周运动的向心力公式求解轨道弹力等物理量即可。 【典例7】（25-26高一上·江苏常州·期末）如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R=0.9m，A端切线水平。水平轨道BC与半径r=0.4m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角θ=37°。一质量为M=1kg的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道CD，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)小球从A点飞出的速度大小v0； (2)小球从A点运动到C点过程中的水平位移大小； (3)小球在C点受到的支持力的大小FC。 【即时检测1】（25-26高一上·山东德州·期末）如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的最低点A。一个可视为质点的质量为m的小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点后水平飞出，最后落在水平面上的C点（图中未画出）。已知小球通过B点时的速度大小为，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)小球运动到B点时对半圆环轨道的压力； (2)A、C间的距离； (3)以A点为坐标原点，AC方向为x轴正方向，AB方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，写出小球从B点运动到C点的轨迹方程。 【即时检测2】（25-26高一上·陕西榆林·期末）“抛石机”是古代战争中常用的一种设备。如图所示，某学习小组用自制的抛石机演练抛石过程，已知所用抛石机长臂的长度L=2m，质量m=0.5kg的石块（可视为质点）装在长臂末端的口袋中，开始时长臂处于静止状态，与水平面间的夹角α=30°，现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块以v0=6m/s的初速度水平抛出，抛出后垂直打在倾角为45°的斜面上，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，求： (1)石块水平抛出瞬间受到长臂末端口袋沿杆方向作用力的大小； (2)石块从抛出到击中斜面所用的时间； (3)斜面的右端点A距抛出点的水平距离d。 基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟，若采用以下两种过河方式：①冲锋舟速度大小不变，过河时间最短，线路为A处到B处，与平直河岸成30°角；②线路也为A处到B处，但冲锋舟速度最小。则两种方案中，速度和速度之比为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东烟台·期末）如图所示，一轻质细绳绕过固定在天花板上的定滑轮，其左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连。到达如图所示位置时，细绳两端与水平方向的夹角分别为、，两物体的速率分别为、，且，，，则为（　　） A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.8 3．（25-26高一上·河南郑州·期末）环保人员在一次检查时发现，有一根水平设置的排污管正在向外满管排出大量污水。环保人员用一把卷尺，大约测出管口中心离地面的高度为，管口直径为，污水水平射程为，则每秒污水管排出的污水体积大约是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江湖州·期末）如图为一半圆柱面的截面，为半圆的水平直径，从点以水平初速度抛出一小球，经小球落在半圆柱面上点（图中未画出），若不考虑反弹，下列判断中不正确的是（　　） A．半圆的半径为 B．小球刚到点的速度方向与水平方向夹角的正切值为1 C．小球从点运动到点的过程中，速度变化的方向竖直向下 D．选择合适的初速度，小球可以直接垂直打在半圆柱面上 5．（25-26高一上·湖南益阳·期末）如图甲所示，花样滑冰比赛中运动员做圆锥摆运动，可简化为如图乙所示的模型。小球质量为，小球到悬挂点的摆线长为，测得小球做圆锥摆运动的周期为，摆线与竖直方向的夹角为，小球运动过程中始终没有与地面接触，下列说法正确的是（　　） A．小球做圆周运动的圆心为悬挂点 B．摆线对小球的拉力充当小球的向心力 C．小球所需的向心力大小为 D．摆线对小球的拉力大小为 6．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）一根轻直杆一端固定一个质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球过最高点时的最小速度为 B．小球过最高点时的速度越大，杆对它的作用力一定越大 C．小球过最低点时的速度越大，杆对它的作用力一定越大 D．若小球过最低点时的速度为，则杆对球的作用力大小为9mg 重难突破练（测试时间：15分钟） 7．（24-25高一上·浙江宁波·期末）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，AB高为h，设球在落地反弹后竖直分速度变为反向，大小不变，水平速度不变，忽略空气阻力，则（　　） A．球1的平抛初速度是球2平抛初速度的 B．B点为球2平抛水平位移的中点 C．h：：5 D．球1在A点速度与水平线夹角正切值为球2在A点速度与水平线夹角正切值的3倍 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、和为半径的同心圆上，：：2，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若，则：：4 B．若，则：：1 C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入外圈每个花盆的水量更大 D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则 9．（22-23高一上·江苏南京·期末）如图甲所示，倾角为45°的斜面置于粗糙的水平地面上，有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为m的小球相连（绳与斜面平行），滑块质量2m，滑块恰好静止在粗糙的斜面上。图乙中，换成让小球在水平面上做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为，且，此时滑块、斜面仍然处于静止状态，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．甲图滑块受到斜面的摩擦力为 B．甲图斜面受到地面的摩擦力为 C．乙图中时，滑块恰好不受摩擦力 D．乙图中小球转动角速度越小，滑块受到的摩擦力越大 10．（25-26高一上·广东广州·期末）“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉地上，现将“太极球”简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动过程中球与板间始终无相对运动趋势，A为圆周的最高点，C为最低点，B、D是与圆心O等高的位置，若运动经过A位置时板对小球恰好无弹力的作用，已知小球的质量为m，圆周的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球运动的周期为 B．在C处板对球的支持力大小为6mg C．在B、D处板与水平面的夹角为30° D．A到C过程，板对球的支持力一直增大 综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（25-26高一上·江苏淮安·期末）如图所示，由半圆形ABC和直线形CD细圆管组成的轨道固定在水平桌面上（圆）半径比细圆管内径大得多），轨道内壁光滑。已知ABC的半径，CD段为水平直管。弹射装置将一质量的小球（可视为质点）以某一水平速度从A端弹入轨道，经一段时间，从D端离开轨道后做平抛运动，落地点F离D端的水平距离，D端距地面高度不计空气阻力，重力加速度g取。求小球 (1)离开D端时速度大小； (2)在ABC轨道内运动时向心加速度大小； (3)在ABC轨道内运动过程中受到轨道的作用力大小。 12．（25-26高一上·江西景德镇·期末）如图所示，将一质量为可视为质点的小球系于长为的细线上绕点作竖直圆周运动，某时刻在最低点点时细线断裂，小球从离水平地面高的点水平向右飞出，测得第一次落点与点的水平距离为。不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球落到点时的速度； (2)若小球落地后反弹，反弹后离地的最大高度为，第一次落点与第二次落点之间的距离为。且小球与地面碰撞时，碰撞前后水平、竖直分速度的比分别为一定值，求第5次碰撞时跟点时的水平位移大小。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 抛体运动与圆周运动（期末复习讲义） 目录 【考情透析】 2 【知识梳理】 2 知识点01 曲线运动基础 2 知识点02 抛体运动 3 知识点03 圆周运动 4 【典例引领·即时检测】 5 题型1 小船渡河 5 题型2 速度关联问题 6 题型3 斜面上的抛体运动 11 题型4 水平面内的圆周运动 13 题型5 竖直面内的圆周运动 17 题型6 斜面内的圆周运动 20 题型7 抛体运动与圆周运动的结合问题 23 【考场练兵·分层实战】 26 基础通关练（测试时间：10分钟） 26 重难突破练（测试时间：10分钟） 30 综合拓展练（测试时间：15分钟） 35 1.分值占比 本专题是高一物理曲线运动核心内容，期末考试总分占比18-25分，考查形式全覆盖：单选题、多选题、填空题、实验题、压轴计算题均会出题，属于必拿分+拉分重点板块。 2.核心考查方向 （1）基础层：平抛运动分运动规律、位移速度计算、运动时间判断 （2）中层：圆周运动线速度、角速度、周期、向心加速度换算，向心力受力分析 （3）拔高层：水平面匀速圆周运动模型、竖直面圆周运动临界极值问题 （4）综合层：平抛运动与圆周运动结合综合大题 3.命题特点 紧贴课本基础公式，结合生活实景命题（投篮、飞车转弯、水流平抛、过山车等），重点考查运动的合成与分解物理思想，题型灵活，公式变式多。 4.高频易错点 （1）混淆合运动、分运动独立性，错误认为水平运动影响竖直下落快慢 （2）记错平抛速度偏角与位移偏角倍数关系 （3）把向心力当成实际受到的独立力，受力分析多画向心力 （4）轻绳、轻杆竖直圆周最高点临界速度混淆混用 （5）同轴转动、皮带传动物理量相等关系记反 必备知识 知识点01 曲线运动基础 1. 曲线运动定义：物体运动轨迹为曲线的运动。 2. 速度方向：轨迹切线方向，时刻发生改变。 3. 运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动是变速运动。 4. 曲线运动条件：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。 5. 运动合成与分解 （1）遵循平行四边形定则 （2）分运动具有独立性、等时性、等效性 （3）小船渡河、绳端速度分解为基础应用 技巧：合速度分解到沿绳（或杆）方向和沿垂直与绳（或杆）方向。 知识点02 抛体运动 1. 平抛运动 （1）定义：只受重力，初速度沿水平方向的抛体运动 （2）运动性质：匀变速曲线运动，加速度恒定，方向竖直向下 （3）运动分解（核心解题思想） 运动方向 运动类型 受力情况 速度公式 位移公式 水平方向 匀速直线运动 不受力，合力为0 竖直方向 自由落体运动 初速度为0，只受重力 （4）核心推导公式 ①平抛总运动时间：，平抛运动时间只由下落高度决定，与水平初速度无关 ②落地合速度大小： ③速度偏角（合速度与水平夹角）： ④位移偏角（合位移与水平夹角）： ⑤秒杀结论： ⑥合位移大小： （5）平抛两大推论 ①平抛任意时刻，速度反向延长线必过水平位移中点 ②同一高度平抛，初速度越大，水平射程越远 2. 斜抛运动 （1）初速度斜向上/斜向下，只受重力，依旧为匀变速曲线运动 （2）分解：水平匀速直线运动，竖直上抛/竖直下抛运动 （3）最高点特点：竖直分速度为0，水平速度保持不变 （4）对称规律：上升过程与下落过程运动轨迹、时间、速度大小对称 知识点03 圆周运动 1. 描述圆周运动五大基本物理量 物理量 符号 公式 单位 线速度 m/s 角速度 rad/s 周期 转动一周所用时间 s 频率 单位时间转动圈数， Hz 转速 单位时间转动圈数， r/s 物理量核心关系 （1）线速度与角速度： （2）同轴转动：角速度相等，半径越大线速度越大 （3）皮带/齿轮传动：边缘线速度相等，半径越大角速度越小 2. 向心加速度 （1）作用：只改变线速度方向，不改变速度大小 （2）方向：始终指向圆心，时刻变化，属于变加速运动 （3）三大公式： 3. 向心力 （1）本质：效果力，不是物体实际受到的力，由重力、弹力、摩擦力、拉力等合力/分力提供 （2）计算公式： （3）方向：始终指向圆心，与瞬时速度垂直 （4）受力分析禁忌：画受力图绝对不能单独画出向心力 4. 两大经典圆周运动模型 （1）水平面匀速圆周运动 常见模型：圆锥摆、火车转弯、转盘物体、漏斗模型 受力特点：重力与支持力/拉力的合力水平指向圆心，提供向心力 运动特点：高度不变、速度大小不变、匀速圆周运动 （2）竖直面内圆周运动（期末重中之重） Ⅰ. 轻绳模型（无支撑，绳子拴小球） ①最高点受力：重力+绳子拉力共同提供向心力 ②最高点临界最小速度：，若速度小于，则小球无法完成完整圆周运动，中途下落 ③最低点：绳子拉力最大，合力向上提供向心力 ④运动规律：全程只有重力做功，机械能守恒 Ⅱ.轻杆模型（有支撑，硬杆固定小球） ①最高点可以提供拉力，也可以提供支持力 ②最高点临界速度：0 ③小球速度为0时，杆的支持力平衡重力，依旧可保持圆周运动 ④易混区分：无支撑用绳公式，有支撑用杆公式 题型1 小船渡河 模｜型｜解｜读 小船渡河问题中，船的实际运动是船在静水中的运动和水流运动的合运动，船渡河的时间由垂直河岸方向的分运动决定，与水流速度无关，核心分为两类基础问法： 1.最短时间渡河：不管船速与水速大小关系如何，当船头垂直河岸航行时，垂直河岸方向的分速度最大，渡河时间最短，最短时间为，其中( d )为河宽， 为船在静水中的速度。 2.最短位移渡河：分为两种情况，当船速大于水速时，调整船头方向使合速度方向垂直河岸，最短位移等于河宽( d )，此时船头需向上游偏，满足（为船头与上游河岸的夹角）；当船速小于水速时，合速度无法垂直河岸，此时以 末端为圆心、 大小为半径画弧，当合速度方向与圆弧相切时，渡河位移最短，最短位移为。 【典例1】（22-23高一下·新疆阿克苏·阶段检测）如图所示，一探险者正从某瀑布上游划船渡河，已知河流的宽度，此时探险者正处于河流正中央A点处，该点与下游瀑布危险区的最短距离为。已知水流速度为（，）。从此时开始计时， （1）若小船在静水中速度为，则船到岸的最短时间是多少？所到目的地与河流正对岸间的距离是多少？ （2）若小船在静水中速度为，则小船以最短的距离到岸时所需时间是多少？此时船头方向与河岸上游的夹角是多少？ （3）为了使小船能避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少？    【答案】（1）20s，80m；（2），；（3）2m/s 【详解】（1）当船头方向垂直河岸时，则渡河时间最短，则最短时间为 所到目的地与河流正对岸间的距离 （2）设船头与河岸的夹角为，如图    由图知，解得 船的合速度 渡河时间 （3）小船避开危险区沿直线到达对岸，合速度与水流速度的夹角为α，即有，则 小船在河水中运动时，当小船在静水中的速度与合速度垂直时，小船在静水中的速度最小为 【即时检测1】（25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）如图所示，在一条宽、水流速度为的河流的岸边有甲、乙两条小船，两船的出发点相距，甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，某时刻甲、乙两船同时出发，甲船沿时间最短的路径运动，乙船沿垂直河岸的路径运动，两侧河岸平行，则下列说法正确的是（　　） A．乙船过河所用时间更短 B．甲、乙两船过河经过的路程之比为 C．甲、乙两船在运动过程中可能相撞 D．甲、乙两船在运动过程中会经过同一点但不会相撞 【答案】BD 【详解】A.甲船过河用时： 乙船过河用时： 故A错误； B.甲船过河的路程为： 乙船过河的路程为： 所以甲、乙两船的路程之比为 故B正确； CD.甲，乙在过河时都会经过乙的出发点正前方处， 甲到此处的时间为： 乙到此处的时间为： 则甲乙不会相撞 故C错误，D正确。 故本题选BD。 【即时检测2】（24-25高一下·江西宜春·期末）2025年5月29日，广安迎端午。划龙舟暨游泳比赛在广安渠江游泳基地举行，众多游泳爱好者和市民以水上运动的方式喜迎端午节的到来。比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的河，运动员在静水中的速度，水流速度，则（　　） A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸 B．该运动员渡河的时间可能小于 C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为 【答案】D 【详解】A．运动员在静水中的速度小于水流速度，无法抵消水流影响，故无法垂直到达正对岸，故A错误； B．最短渡河时间为 时间不可能小于70秒，故B错误； C．以最短时间渡河时，水流方向位移为，故C错误； D．当游泳方向与合速度垂直时，位移最短，此时 最短位移为 ，故D正确。 故选D。 题型2 速度关联问题 模｜型｜解｜读 当绳或杆连接的两个物体通过不可伸长的绳（或刚性杆）相连运动时，两个物体沿绳（或杆）方向的分速度大小一定相等，这就是速度关联问题的核心规律，解题时可按以下两步分析： 1. 明确两个物体的实际运动速度，也就是合速度，这是物体相对于地面的运动速度。 2. 将两个物体的速度分别沿绳（或杆）方向和垂直绳（或杆）方向分解，根据沿绳方向分速度大小相等列等式求解。 需要注意两类常见情景：一是一端物体沿固定方向运动（比如人在岸边拉船靠岸），人拉绳的速度就是绳端沿绳方向的速度，船的实际速度沿水平方向，需要将船速分解为沿绳和垂直绳的分量，进而得到船速与人拉绳速度的关系；二是杆两端连接物体分别沿不同固定方向运动，同样对两端物体速度沿杆和垂直杆分解，利用沿杆分速度相等推导两个物体的速度关系。 【典例2】（24-25高一下·湖南永州·期末）（多选）如图所示，一轻绳的一端绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2与质量为m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小物块连接。已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，直杆与水平面的夹角，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，定滑轮O1到C点的距离为L，直杆上D点到C点的距离也为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从C点由静止释放，下列说法正确的是（　　） A．小物块刚释放时，轻绳对小球的拉力大于mg B．小物块运动到D点时，小物块与小球的速度大小之比为2:1 C．小球下降的最大距离为 D．小物块运动到D点时，小物块的速度大小为 【答案】BCD 【详解】A．小物块刚释放时，小物块随后沿杆向下做加速运动，由于开始滑轮左侧绳长变短，则小球开始向下做加速运动，可知，小物块刚释放时，轻绳对小球的拉力小于mg，故A错误； B．小物块运动到D点时，根据速度分解有，解得，故B正确； C．当滑轮左侧绳与杆垂直时，小球下降到最低点，则有，故C正确； D．小物块运动到D点时，对物块与小球构成的系统，根据机械能守恒定律有 结合上述有，解得 即小物块运动到D点时，小物块的速度大小为，故D正确。 故选BCD。 【即时检测1】（24-25高一下·江西萍乡·期末）（多选）一辆小车通过光滑轻质定滑轮提升一重物，已知重物质量m，小车始终以速度vA匀速向左运动。如图所示，绳子与水平方向夹角为θ，此时（　　） A．重物的速度为vAcosθ B．重物的速度为 C．重物的加速度方向向上 D．重物的加速度方向向下 【答案】AC 【详解】AB．将小车的速度沿着绳和垂直于绳正交分解。 重物的速度为，A正确，B错误； CD．根据，小车向左运动，θ减小，cosθ增大，vB增大，重物向上做加速运动，重物的加速度向上。 C正确，D错误。 故选AC。 【即时检测2】（24-25高一下·四川眉山·期末）如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上，如图所示 合速度 沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即 所以 故选B。 题型3 斜面上的抛体运动 模｜型｜解｜读 斜面上的抛体运动通常指平抛物体落到斜面上，或是从斜面上抛出后落到斜面上的问题，解题核心是抓住斜面倾角与位移偏角或速度偏角的关系，结合平抛运动分运动公式推导求解，常见核心结论如下： 1. 若物体从斜面上水平抛出，最终落到斜面上，无论初速度大小如何，物体落到斜面上时位移偏角始终等于斜面倾角，因此满足，可直接推导得到运动时间（为斜面倾角）。 2. 若物体做平抛运动，最终垂直落到斜面上，说明速度方向与斜面垂直，此时速度方向与竖直方向的夹角等于斜面倾角，满足，推导可得运动时间。 【典例3】（24-25高一下·河北保定·期末）（多选）如图所示，一斜面体固定在水平面上，斜面光滑且为矩形，倾角为θ，斜面的左上方顶点 P 与右下方顶点Q之间固定一与斜面垂直的挡板，挡板与斜面底边的夹角也为θ，一可视为质点的小物块由 P 点以平行于斜面底边的初速度水平射出，落在挡板上不再反弹。已知重力加速度为g，小物块在运动过程中始终在斜面上滑动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为 B．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为 C．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的2倍 D．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍 【答案】BD 【详解】AB．小球的加速度方向平行斜面向下，大小为 小球在斜面上做类平抛运动，从P点抛出到落在挡板上有 解得，故A错误，B正确； CD．根据 若初速度变为，则小物块由P点抛出到落在挡板上的时间变为原来的2倍；根据 可知沿初速度方向的位移变为原来的4倍，根据 可知物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍，故C错误，D正确。 故选BD。 【即时检测1】（23-24高一上·湖北武汉·期末）如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1 C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2 【答案】B 【详解】AB．物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面的方向做匀加速运动 沿水平方向做匀速运动 根据牛顿第二定律有 联立解得 根据题意可知， 物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为，故A错误，B正确； C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为    ，故C错误； D．速度变化量的大小为 物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为，故D错误。 故选B。 【即时检测2】如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为θ=30°，一小球（可视为质点）沿斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g．则下列说法正确的是（  ） A．小球运动的加速度为g B．小球由A运动到B所用的时间为 C．小球由A点水平射入时初速度v0的大小为 D．小球离开B点时速度的大小为 【答案】D 【详解】依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动，再根据牛顿第二定律得，物体的加速度为：，故A错误；根据L= at2，有：，选项B错误；在B点的平行斜面方向的分速度为： ；根据s=v0t，有：；故物块离开B点时速度的大小：，故C错误；D正确；故选D． 题型4 水平面内的圆周运动 模｜型｜解｜读 水平面内的匀速圆周运动核心是合外力大小不变，始终沿水平方向指向圆心提供向心力，常见模型的解题要点如下： 1. 圆锥摆模型：摆球受重力和摆线拉力，二者的合力水平指向圆心，设摆线与竖直方向夹角为θ，摆球做圆周运动的轨道半径为r，由合力提供向心力可得，可推导线速度、角速度与摆线长度、夹角的关系。 2. 火车转弯模型：标准转弯设计中，火车重力与轨道支持力的合力恰好提供向心力，此时轮缘对轨道无侧向压力，若实际行驶速度大于设计速度，外轨会对轮缘产生侧向弹力补充向心力；若速度小于设计速度，内轨会对轮缘产生侧向弹力抵消部分合力。 3. 转盘静摩擦力模型：物体随水平转盘一起做匀速圆周运动时，静摩擦力沿水平方向指向圆心提供向心力，当转速增大，需要的向心力增大，静摩擦力达到最大静摩擦力后物体开始滑动，可据此求解物体不滑动的最大角速度或最大线速度。 解题时需先正确受力分析，找到水平方向指向圆心的合力，再结合向心力公式列式求解即可。 【典例4】（25-26高一上·浙江杭州·期末）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点），转椅质量为50kg。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度=1rad/s匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1=4m的匀速圆周运动，转椅与雪地之间的动摩擦因数为=0.3，重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。求： (1)转椅所受的合力大小； (2)AB与OB之间夹角的值； (3)将圆盘升高，如图（b）所示，圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2=3m的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为。求此时圆盘的角速度。（可保留根号） 【答案】(1)200N (2)37° (3) 【详解】（1）转椅做匀速圆周运动，合外力提供向心力 所以F合=200N （2）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，受力分析可知 轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡则有 沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力 联立解得 所以夹角 （3）设此时轻绳拉力为，沿A1B和垂直A1B竖直向上的分力分别为， 对转椅根据牛顿第二定律得 沿切线方向 竖直方向 联立解得 【即时检测1】（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．此时绳子张力为 B．此时圆盘的角速度为 C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆心 D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动 【答案】B 【详解】ABC．两物体刚好还未发生滑动时，B有沿半径向外运动的趋势，则B受静摩擦力指向圆心，A受静摩擦力背离圆心，则对B， 对A， ，解得，，选项AC错误，B正确； D．此时烧断绳子，则A所需向心力 B所需向心力 则AB都将做离心运动，选项D错误。 故选B。 【即时检测2】（24-25高一下·四川泸州·期末）旋转秋千是各大游乐场常见的娱乐设施，深受人们的喜爱。一旋转秋千可简化为如图所示模型，上端是半径为r的水平转台，在转台的边缘固定有一长为L=5m的轻绳，轻绳的底端悬挂有一座椅。玩耍时，一游客系好安全带后坐在座椅上静止在最低点，然后转台在电机带动下绕竖直转轴缓慢加速转动起来，当座椅摆动到轻绳与竖直方向的夹角为时开始以角速度匀速转动。小朋友和座椅均可视为质点，其总质量为m=45kg，重力加速度大小取，，求： (1)旋转秋千匀速转动时轻绳的拉力大小； (2)若旋转秋千由静止开始转动到角速度为时轻绳对游客和座椅所做的功，求匀速转动时角速度的值以及水平转台半径r。 【答案】(1)750N (2)，2m 【详解】（1）对小朋友和座椅进行分析，根据平衡条件可得 代入数据解得 （2）旋转秋千由静止开始转动到角速度为时，根据动能定理可得 合力提供向心力，由牛顿第二定律可得 根据角速度与线速度的关系及几何关系则有， 联立解得， 题型5 竖直面内的圆周运动 模｜型｜解｜读 竖直面内的圆周运动大多为变速圆周运动，合外力方向不指向圆心，合外力沿切线方向的分力改变线速度大小，沿半径方向的分力提供向心力，解题核心是结合受力分析，抓住最高点和最低点两个临界位置，结合向心力公式与机械能守恒定律求解，两类经典模型解题要点如下： 1.轻绳模型（无支撑，绳子拴小球） 小球能完成完整圆周运动的临界条件是最高点绳子拉力恰好为0，此时只有重力提供向心力，对应临界最小速度为( )；若小球在最高点的速度，小球可完成完整圆周运动，此时由重力和绳子拉力共同提供向心力，满足；最低点时绳子拉力向上，由拉力与重力的合力提供向心力，满足，且全程只有重力做功，小球机械能守恒。 2.轻杆模型（有支撑，硬杆固定小球） 由于轻杆既可以提供拉力也可以提供支持力，因此小球能完成完整圆周运动的最高点临界速度为0；当最高点速度时，轻杆对小球提供向上的支持力，满足；当时，支持力( N=0 )，只有重力提供向心力；当时，轻杆对小球提供向下的拉力，满足，最低点的受力分析与轻绳模型一致，满足，同样遵循机械能守恒。 【典例5】（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图甲所示，小球在竖直平面内光滑的固定圆管中，绕圆心O点做半径为R的圆周运动（小球直径略小于管的口径且远小于R）。当小球运动到最高点时，速度大小设为v，圆管与小球间弹力的大小设为F，改变速度v得到F-v2图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则下列说法错误的是（　　） A．小球的质量为4kg B．固定圆管的半径为1m C．小球在最高点的速度为2m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 D．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 【答案】C 【详解】AB．小球在圆管最高点时，受力分两种情况：当时，圆管内壁对小球有向上的弹力，合力提供向心力，得 当时，圆管外壁对小球有向下的弹力，合力提供向心力： 得 从图乙可知当时，，代入，得 当时，，此时，约去得，故AB正确； C．当时，，代入，得 此时弹力方向向上（圆管内壁托住小球），故C错误； D．当时，，代入，得，此时弹力方向向下（圆管外壁压住小球），D正确。 由于本题选择错误的，故选C。 【即时检测1】（24-25高一下·山东青岛·期末）（多选）图甲为一种小型打夯机，利用冲击和冲击振动作用分层夯实回填土，图乙为这种打夯机的结构示意图。质量为m的摆锤通过轻杆与总质量为M的底座（含电动机）上的转轴相连，轻杆质量忽略不计。电动机带动摆锤绕转轴O在竖直面内以角速度匀速转动，转动半径为l，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．摆锤转到最低点时，底座对地面的压力不可能为零 B．若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，则角速度 C．若摆锤转到最高点时，轻杆对摆锤的弹力为0，则角速度 D．摆锤转到轻杆水平时，轻杆对摆锤的作用力大小为 【答案】AB 【详解】A．摆锤转到最低点时，轻杆对摆锤有向上的拉力作用，根据向心力公式有 此时轻杆对底座有向下的拉力作用，所以底座对地面的压力不可能为0，故A正确； B．若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，则轻杆对底座有向上的作用力，大小为Mg，所以对摆锤分析，有 可解得，故B正确； C．若摆锤转到最高点时，轻杆对摆锤的弹力为0，则对摆锤分析，有 此时，故C错误； D．摆锤转到轻杆水平时，轻杆对摆锤的作用力的水平分量提供向心力，大小为 所以轻杆对摆锤的作用力为，故D错误。 故选AB。 【即时检测2】（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，竖直面内固定的轨道由光滑圆弧轨道和水平粗糙轨道DE组成，圆弧轨道的圆心为O，圆弧轨道最高点B与圆心O的连线与水平方向的夹角为，C点为轨道上与圆心等高点，D点为圆弧轨道的最低点。现有质量的小球从空中的A点以初速度向左水平抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道。已知圆弧轨道半径为，A、O两点的高度差，，重力加速度g取。求： (1)A、O两点的水平距离； (2)小球运动到D点时对圆弧轨道的压力大小。 【答案】(1)0.4m (2)67N 【详解】（1）小球平抛运动过程，竖直方向上有 水平方向上有 小球恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，则有 A、O两点的水平距离 解得， （2）小球从A运动到D过程，根据动能定理有 在D点，根据牛顿第二定律有 根据牛顿第三定律有 解得 题型6 斜面内的圆周运动 模｜型｜解｜读 斜面内的圆周运动一般指小球沿倾斜放置的光滑圆轨道运动，或是被绳拴住绕斜面上的固定点做圆周运动，核心临界条件与竖直面内圆周运动类似，只是重力沿圆周切线方向和径向产生分力作用，需要将重力沿圆周轨道的径向和切向分解，由径向的合力提供向心力。 对于无支撑的斜面内圆周运动（比如沿倾斜圆轨道内侧运动，或是绳拴小球在斜面上做圆周运动），小球能完成完整圆周运动的临界位置在圆周的最高点，此处重力沿径向指向圆心的分力为（为斜面倾角），当绳子拉力或轨道支持力恰好为0时，对应临界最小速度满足，可得，若最高点速度，小球就能完成完整圆周运动。 这类问题中，轨道通常是光滑的，全程只有重力做功，因此机械能守恒，解题时先对最高点临界状态分析得到临界速度，再结合机械能守恒求解最低点或其他位置的速度、弹力大小即可。 【典例6】如图所示，倾角为60°的光滑斜面上固定着半径的光滑三分之二圆弧形轨道ABC，以圆心O为原点、沿斜面向下为正方向建立坐标轴Ox，OA、OC与x轴间的夹角均为60°。一质量m=0.1kg的小球（可看成质点）从x轴上的M点沿垂直x轴方向以速度v0抛出，小球恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度v0的大小为 B．M点的坐标为 C．小球对轨道的最大压力为 D．小球在圆弧BC中间某点脱离轨道 【答案】B 【详解】A．小球先做类平抛运动，有，， 解得 故A错误； B．M点的坐标 故B正确； C．小球到达B点时速度最大，对轨道的压力最大，根据动能定理有 根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律得, 小球对轨道的最大压力为，故C错误； D．根据对称性可知，小球不可能在圆弧BC中间某点脱离轨道，故D错误。 故选B。 【即时检测1】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻绳一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．小球通过A点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时所受轻绳的作用力大小为 D．若小球以的速率通过B点时绳突然断裂，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为3L 【答案】B 【详解】A．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量且大小为，与小球的速度无关，故A错误； B．小球通过B点速度最小时绳子拉力为0，此时有 解得，故B正确； C．小球通过A点时有 解得绳子拉力，故C错误； D．绳断裂后，小球从B点运动到与A点等高的过程中，水平方向有 沿斜面方向有 联立解得，故D错误。 故选B。 【即时检测2】很多商场的门前都放置一台儿童游乐玩具——弹珠枪。如图，是一个正方形光滑斜台，边长为，与水平面的倾角为，弹珠由弹珠枪击打，弹珠沿着边经过斜台拐角边半径为的四分之一的圆弧轨道，最后离开圆弧轨道在斜面内运动。重力加速度为。若弹珠经过点后恰好经过点，求： （1）弹珠经过点时的速率？ （2）弹珠经过点时对圆弧轨道的压力大小？    【答案】（1）（2） 【详解】（1）因为弹珠经过点后恰好经过点，从这个平面看，相当于类平抛，设弹珠经过点时的速率为v，因此可得 联立解得 （2）弹珠经过点时，弹珠在这个平面受力为重力沿斜面向下的分力和轨道的支持力，因此根据合力提供向心力可得， 解得 根据牛顿第三定律可知，轨道对弹珠的支持力和弹珠对圆弧轨道的压力相等。 题型7 抛体运动与圆周运动的结合问题 模｜型｜解｜读 这类问题通常分两个过程分析：物体先完成圆周运动，之后从圆周运动的某一位置抛出做抛体运动，或是物体做抛体运动后落入圆周轨道，开始圆周运动，解题核心是两个运动过程通过抛出点/落地点的速度衔接，全程通常只有重力做功，可结合机械能守恒定律联立求解。 解题一般按三步分析： 1. 先分析圆周运动过程，通常会结合临界条件得到圆周运动末端抛出点的速度，再利用机械能守恒得到抛出时的速度大小和方向。 2. 再将抛出后的运动按抛体运动的分运动规律分解，结合水平、竖直方向的运动公式求解位移、时间等待求量。 3. 若抛体在前圆周在后，则反过来先由抛体运动规律得到物体到达圆周位置时的速度，再结合圆周运动的向心力公式求解轨道弹力等物理量即可。 【典例7】（25-26高一上·江苏常州·期末）如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R=0.9m，A端切线水平。水平轨道BC与半径r=0.4m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角θ=37°。一质量为M=1kg的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道CD，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)小球从A点飞出的速度大小v0； (2)小球从A点运动到C点过程中的水平位移大小； (3)小球在C点受到的支持力的大小FC。 【答案】(1)8m/s (2)4.8m (3)258N 【详解】（1）小球从A点飞出后做平抛运动，竖直方向下落高度为2R，由平抛运动规律，有 解得小球在空中运动的时间 则 由题可知 解得 （2）小球水平方向做匀速直线运动，A点运动到C点的水平距离为 （3）由题可知 对C点受力分析可得 解得 【即时检测1】（25-26高一上·山东德州·期末）如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的最低点A。一个可视为质点的质量为m的小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点后水平飞出，最后落在水平面上的C点（图中未画出）。已知小球通过B点时的速度大小为，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)小球运动到B点时对半圆环轨道的压力； (2)A、C间的距离； (3)以A点为坐标原点，AC方向为x轴正方向，AB方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，写出小球从B点运动到C点的轨迹方程。 【答案】(1)3mg，竖直向上 (2)4R (3) 【详解】（1）以小球为研究对象，由牛顿第二定律得 其中 根据牛顿第三定律，小球运动到B点时对半圆环轨道的压力大小 联立解得 方向竖直向上； （2）小球离开B点后做平抛运动，则， 联立解得 （3）设从B离开经时间t的位置坐标为（x，y），则， 联立解得 【即时检测2】（25-26高一上·陕西榆林·期末）“抛石机”是古代战争中常用的一种设备。如图所示，某学习小组用自制的抛石机演练抛石过程，已知所用抛石机长臂的长度L=2m，质量m=0.5kg的石块（可视为质点）装在长臂末端的口袋中，开始时长臂处于静止状态，与水平面间的夹角α=30°，现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块以v0=6m/s的初速度水平抛出，抛出后垂直打在倾角为45°的斜面上，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，求： (1)石块水平抛出瞬间受到长臂末端口袋沿杆方向作用力的大小； (2)石块从抛出到击中斜面所用的时间； (3)斜面的右端点A距抛出点的水平距离d。 【答案】(1)4N (2) (3) 【详解】（1）石块在长臂顶部，在竖直方向上，设石块受到口袋的作用力大小为N，根据牛顿第二定律有，解得 （2）石块被抛出后做平抛运动，其速度垂直于斜面有，解得 从石块水平抛出到落地斜面上所经历的时间 （3）石块下落的高度 石块的水平位移 石块打在斜面上的位置距地面高度为 石块打在斜面上的位置到斜面右端点A的水平距离为 斜面右端点A距抛出点的水平距离为 基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟，若采用以下两种过河方式：①冲锋舟速度大小不变，过河时间最短，线路为A处到B处，与平直河岸成30°角；②线路也为A处到B处，但冲锋舟速度最小。则两种方案中，速度和速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当冲锋舟过河时间最短时，速度的方向垂直河岸，根据几何关系，有 可解得 在第二次过河的过程中，当冲锋舟速度最小时，速度方向应与虚线垂直，有 所以 故选D。 2．（25-26高一上·山东烟台·期末）如图所示，一轻质细绳绕过固定在天花板上的定滑轮，其左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连。到达如图所示位置时，细绳两端与水平方向的夹角分别为、，两物体的速率分别为、，且，，，则为（　　） A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.8 【答案】A 【详解】A的合速度竖直向下， B的合速度水平向左，由关联速度得 又 联立解得 3．（25-26高一上·河南郑州·期末）环保人员在一次检查时发现，有一根水平设置的排污管正在向外满管排出大量污水。环保人员用一把卷尺，大约测出管口中心离地面的高度为，管口直径为，污水水平射程为，则每秒污水管排出的污水体积大约是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】污水从水平管口排出，做平抛运动。设水平初速度为 ，管口横截面积为 竖直方向自由落体 得 水平方向匀速运动 得 流量（每秒排出的污水体积） 故选C。 4．（25-26高一上·浙江湖州·期末）如图为一半圆柱面的截面，为半圆的水平直径，从点以水平初速度抛出一小球，经小球落在半圆柱面上点（图中未画出），若不考虑反弹，下列判断中不正确的是（　　） A．半圆的半径为 B．小球刚到点的速度方向与水平方向夹角的正切值为1 C．小球从点运动到点的过程中，速度变化的方向竖直向下 D．选择合适的初速度，小球可以直接垂直打在半圆柱面上 【答案】D 【详解】根据题意画出小球的运动轨迹，如图所示 A．根据题意可知，小球的水平位移为 竖直位移为 由平抛运动规律可知，位移与水平方向夹角的正切值为 根据几何关系可知 则 可得 则半圆的半径为，故A正确； B．速度偏转角的正切值为， 联立解得，故B正确； C．对平抛运动由，小球从点运动到点的过程中，速度变化的方向跟重力加速度的方向相同，竖直向下，故C正确； D．当小球垂直打在半圆柱面上时，速度的反向延长线过圆心，根据几何关系可知，速度与水平方向的夹角和位移与水平方向夹角的关系为 根据平抛运动规律又有 联立可知，满足此关系的和无解，则不论初速度多大，小球都不可能垂直打在半圆壁上，故D错误。 故选D。 5．（25-26高一上·湖南益阳·期末）如图甲所示，花样滑冰比赛中运动员做圆锥摆运动，可简化为如图乙所示的模型。小球质量为，小球到悬挂点的摆线长为，测得小球做圆锥摆运动的周期为，摆线与竖直方向的夹角为，小球运动过程中始终没有与地面接触，下列说法正确的是（　　） A．小球做圆周运动的圆心为悬挂点 B．摆线对小球的拉力充当小球的向心力 C．小球所需的向心力大小为 D．摆线对小球的拉力大小为 【答案】D 【详解】A．小球在水平面内做圆周运动，运动圆心为悬挂点在运动平面内的投影，故A错误； B．摆线的拉力指向悬挂点，应该是拉力的水平分力提供向心力，故B错误； C．小球所需的向心力大小，故C错误； D．摆线对小球的拉力大小的水平分力提供向心力，即 结合C选项的结论，可得，故D正确。 故选D。 6．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）一根轻直杆一端固定一个质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球过最高点时的最小速度为 B．小球过最高点时的速度越大，杆对它的作用力一定越大 C．小球过最低点时的速度越大，杆对它的作用力一定越大 D．若小球过最低点时的速度为，则杆对球的作用力大小为9mg 【答案】C 【详解】A．小球通过最高点的最小速度为零，故A错误； B．当小球到达最高点弹力为零时，重力提供向心力，有 解得 小球在最高点，若，则有 杆子的作用力随着速度的增大而减小，故B错误； C．小球过最低点时 杆对它的作用力 杆子的作用力随着速度增大而增大。故C正确； D．若小球过最低点时的速度为，则杆对球的作用力大小为，故D错误。 故选C。 重难突破练（测试时间：15分钟） 7．（24-25高一上·浙江宁波·期末）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，AB高为h，设球在落地反弹后竖直分速度变为反向，大小不变，水平速度不变，忽略空气阻力，则（　　） A．球1的平抛初速度是球2平抛初速度的 B．B点为球2平抛水平位移的中点 C．h：：5 D．球1在A点速度与水平线夹角正切值为球2在A点速度与水平线夹角正切值的3倍 【答案】BD 【详解】A D．设M点到N点的水平距离为L，球2整个运动过程的时间为，有 解得 可得 球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球1在水平方向上一直做匀速直线运动，有， 即 联立解得 两球在A点竖直方向速度大小相等，故球1在A点速度与水平线夹角正切值为球2在A点速度与水平线夹角正切值的3倍，故A错误，D正确； C．设球1与地面碰撞的碰撞点到M点和B点的水平距离分别为、，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看，可得碰撞点到A点的时间为 球2刚好越过挡板AB的时间为 水平方向的位移关系有 即 解得， 可得B点为球2平抛水平位移的中点，故B正确，C错误。 故选：BD。 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、和为半径的同心圆上，：：2，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若，则：：4 B．若，则：：1 C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入外圈每个花盆的水量更大 D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则 【答案】AD 【详解】A．喷出的水做平抛运动，则有， 联立解得， 若，则，故A正确； B．若，则，故B错误； C．若，根据可知，喷水嘴各转动一周的时间T相同，因，出水口的截面积相同，根据可知，喷水嘴的流量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，外圈上的花盆总数量较多，则落入外圈每个花盆的水量更小，故C错误； D．若，则喷水嘴各转动一周的时间T相同，若 则 根据 可知，喷水嘴的流量之比为，转动一周喷出的水量之比为，因为内圈花盆的数量和外圈花盆的数量之比也是，所以落入每个花盆的水量相同，故D正确。 故选AD。 9．（22-23高一上·江苏南京·期末）如图甲所示，倾角为45°的斜面置于粗糙的水平地面上，有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为m的小球相连（绳与斜面平行），滑块质量2m，滑块恰好静止在粗糙的斜面上。图乙中，换成让小球在水平面上做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为，且，此时滑块、斜面仍然处于静止状态，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．甲图滑块受到斜面的摩擦力为 B．甲图斜面受到地面的摩擦力为 C．乙图中时，滑块恰好不受摩擦力 D．乙图中小球转动角速度越小，滑块受到的摩擦力越大 【答案】CD 【详解】AB．根据题意，对甲图中小球受力分析，由平衡条件可知，绳子的拉力为 对甲图中滑块受力分析，由于可知滑块受沿斜面向上的摩擦力，如图所示 由平衡条件有 解得 对滑块与斜面整体受力分析，设地面对斜面的摩擦力为，受力图如图所示 由平衡条件有 解得 故错误； ．根据题意，对图乙中小球受力分析， 如图所示几何关系有， 若，则有 对乙图中滑块受力分析，则有 滑块恰好不受摩擦力 由于，则有 对乙图中滑块受力分析，则有 解得 若乙图中小球转动角速度越小，则所需向心力减小，即小球的合力减小，则减小，变大，CD正确。 故选CD。 10．（25-26高一上·广东广州·期末）“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉地上，现将“太极球”简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动过程中球与板间始终无相对运动趋势，A为圆周的最高点，C为最低点，B、D是与圆心O等高的位置，若运动经过A位置时板对小球恰好无弹力的作用，已知小球的质量为m，圆周的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球运动的周期为 B．在C处板对球的支持力大小为6mg C．在B、D处板与水平面的夹角为30° D．A到C过程，板对球的支持力一直增大 【答案】AD 【详解】A．已知小球在A点时板对小球恰好无弹力，由重力提供向心力，可得 解得 小球做匀速圆周运动，速率保持不变，周期为 代入，得，故A正确； B．在最低点C，合力指向圆心，由重力和支持力的合力提供向心力，有 代入，得，故B错误； C．B、D与圆心等高，向心力沿水平方向指向圆心，大小为 球与板无相对运动趋势，摩擦力为0，仅受重力和垂直板的支持力。设板与水平面夹角为，竖直方向合力为0，则 水平方向合力为向心力，则 联立解得 即，故C错误； D．设小球位置与圆心连线和竖直向上方向夹角为，A点，C点 沿圆心方向合力等于向心力，支持力 从A到C，从0增大到，从1单调减小到-1，因此一直增大，故D正确。 故选AD。 综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（25-26高一上·江苏淮安·期末）如图所示，由半圆形ABC和直线形CD细圆管组成的轨道固定在水平桌面上（圆）半径比细圆管内径大得多），轨道内壁光滑。已知ABC的半径，CD段为水平直管。弹射装置将一质量的小球（可视为质点）以某一水平速度从A端弹入轨道，经一段时间，从D端离开轨道后做平抛运动，落地点F离D端的水平距离，D端距地面高度不计空气阻力，重力加速度g取。求小球 (1)离开D端时速度大小； (2)在ABC轨道内运动时向心加速度大小； (3)在ABC轨道内运动过程中受到轨道的作用力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球离开轨道后做平抛运动，竖直方向 水平方向 代入数据得 （2）小球在半圆形轨道内做匀速圆周运动，由， 代入数据得 （3）细圆管对小球水平方向作用力提供向心力，大小为 细圆管对小球竖直方向作用力与重力平衡，大小为 故细圆管对小球的作用力大小为 代入数据得 12．（25-26高一上·江西景德镇·期末）如图所示，将一质量为可视为质点的小球系于长为的细线上绕点作竖直圆周运动，某时刻在最低点点时细线断裂，小球从离水平地面高的点水平向右飞出，测得第一次落点与点的水平距离为。不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球落到点时的速度； (2)若小球落地后反弹，反弹后离地的最大高度为，第一次落点与第二次落点之间的距离为。且小球与地面碰撞时，碰撞前后水平、竖直分速度的比分别为一定值，求第5次碰撞时跟点时的水平位移大小。 【答案】(1)，方向与水平方向夹角 θ 满足 (2)6.9m 【详解】（1）设细线断裂时小球速度为，根据平抛运动的规律可得， 联立解得， 小球落到A点时的速度大小 设方向与水平方向夹角为，则有 （2）第一次弹起后过程，根据对称性可知， 联立解得在最高点速度， 可知第一次碰后水平分速度与竖直方向速度分别为， 第一次碰前水平分速度与竖直方向速度分别为， 所以水平分速度比为，竖直分速度比为，所以每次碰后水平位移分别为， 第5次碰撞时跟P点时的水平位移大小 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $