2026年河南南阳市南阳初中名校联考 第三次质量监测数学试卷

**基本信息** 立足三模检测，以航天图标、AI模型参数、物理实验等真实情境为载体，通过新定义运算、动态几何探究等题设计，考查抽象能力、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|第2题航天图标考轴对称与中心对称（几何直观）|情境具时代性，基础题占比60%| |填空题|5/15|第14题物理实验考一次函数（模型意识）|联系跨学科，设置开放结论| |解答题|8/75|第19题课椅设计考解直角三角形（空间观念）、23题动态几何探究（创新意识）|梯度分明，综合题占40%，对接中考命题趋势|

参考答案： 1.【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的定义，整数和分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需对每个选项化简后判断即可得到答案． 【详解】解：A选项，是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求． B选项，中是开方开不尽的数，是无理数，则是无理数，不符合要求． C选项，，是无理数，则是无理数，不符合要求． D选项，，是分数，属于有理数，符合要求． 2.C 3.D 4.【答案】B 【解析】 【分析】分式的加法，先将原式通过变形变为同分母分式减法，然后再计算． 【详解】解： 故选：B． 5.【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质结合三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图，由题意，（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴. 6. C 7. C 8【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；解题关键是准确画出表格，列出所有等可能结果． 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 3 1 2 3 4 4 2 3 4 5 5 3 4 5 6 6 3 4 5 6 6 由表知，共有16种等可能结果，其中两次摸出的小球标号之和为5的有4种结果，所以两次摸出的小球标号之和为5的概率为， 故选B． 9.【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作， 交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 10:【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和函数的图象求出函数的最大值和最小值，即a和b的值，再代入求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为2，中心为点，，， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形，为等腰直角三角形， ∴，此时y值最大，， 即当旋转，即时，经过D，此时y最小，为， ∴， ∴． 11.【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 12：【答案】8 【解析】 【详解】解：∵在数据9，8，10，8，6，7，9，8中，8出现三次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为8． 13：【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，属于概率基础知识，比较简单． 利用概率公式求解即可． 【详解】解：一对夫妇的第一个孩子有女孩和男孩两种情况， 所以一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是， 故答案为：． 14：【答案】 【解析】 【分析】用待定系数法求出拉力F和h的函数解析式，再代入函数值，即可求解． 【详解】解：设拉力F和h的函数解析式为， 由题可得，，解得， ， ， F随h的增高而增大，则F取最大量程，h最高， 当时，，解得， 则该实验装置高度h的最高可为． 15． 16：【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方和开方，注意负指数和零指数幂的计算； （2）先将括号内的通分计算出结果，再与后面的分式进行除法计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17：【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于二分之一这两点间的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接这一点和点A交于点E，即为所求； （2）由得，由四边形是矩形和得，从而，故． 【小问1详解】 解：作图如下： ∴即为所求； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18：【答案】（1）81.25 （2）乙学校，理由见解析 （3）88 【解析】 【分析】（1）先根据样本容量50确定中位数是第25、26位数据的平均数，再通过频数分布直方图定位这两个数据所在组，最后结合该组数据算出中位数； （2）通过对比两校的中位数、优秀率，说明乙校在整体成绩的中间水平、或高分段占比上均优于甲校，得出乙校水平更高的结论； （3）先计算入选比例，再转化为样本中需选取的前15名，最后按从高到低排序找到第15名的成绩，即为预估的最低入选分数． 【小问1详解】 解：甲校抽取了名学生，中位数是第25、26个数据的平均数， 由频数分布直方图可知，按从小到大排列第25、26个数据都在这一组内， 根据信息B，甲学校学生成绩从小到大排列后位于第25位，26位分别为81、81.5， ∴甲学校学生成绩的中位数为（分）； 【小问2详解】 解：乙学校综合素质展示的水平更高，理由如下： ①乙校中位数为84分，高于甲校的中位数81.25分，说明乙校有一半以上的学生成绩高于84分，整体水平更优； ②甲校抽取的名学生中，优秀人数为20人，故甲校优秀率约为， 乙校的优秀率为 ，高于甲校的 ，说明乙校高分段学生更多； 【小问3详解】 解：由题意，每所学校名学生中前名入选，占比为， 抽取的名学生中，需选取前名， 将甲学校学生成绩按从大到小排列，第15名的成绩为88分， ∴预估甲学校分数至少达到88分的学生才可以入选． 19：19．【详解】（1）解：过点G作垂直的延长线于点M， ∵， ∴， ∵点G到地面的垂直距离为，则，， ∴， 在中，，， ∴， 答：的长为； （2）解：过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形， ∴，, 由（1）可知， ∵，， ∴，， 在中， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 答：午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为． 20：20．【详解】（1）解：由条形统计图与扇形统计图中级人数及占比可得在这次调查中一共抽取学生数为； 由条形统计图中级人数可得其占比为，则； （2）解：由（1）知这次调查中一共抽取名学生， 则级人数为， 补全条形统计图如下： 扇形统计图中级对应的圆心角为； （3）解：（名）， 答：该校4000名学生中级学生有名． 21：解：（1）连接 与相切于点， 在Rt和Rt中 （HL） 用切线长定理证明也可以． （2）， ， ， ， ， 阴影部分面积 阴影部分面积 22：【答案】龙角塔的高度为米． 【解析】 【分析】由，则四边形为矩形，所以，然后证明，通过相似三角形的性质得，再代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 答：龙角塔的高度为米． 23：【答案】（1）①（答案不唯一）② （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等，，即可得到结果； （2）利用可证得，即可推出； （3）分在左侧和右侧两种情况讨论，利用线段的比例关系、勾股定理、三角形相似（全等），求解的值． 【小问1详解】 解：①（答案不唯一）②， 理由如下： 因为四边形是矩形，， 所以四边形是正方形， 所以，，， 因为于，于， 所以，，， 所以，， 在和中， ， 所以， 所以，， 因为， 所以． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作于，过点作于， 因为四边形是矩形，， 所以四边形是正方形， 所以，，， 因为于，于， 所以，，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以，， 因为， 所以． 【小问3详解】 解：分两种情况： 当在左侧时， 因为，， 设，，， 所以， 在中，， ， 所以，则， 在中，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ， ， ． 当在右侧时， 因为，， 设，，， 所以， 在中，， ， 所以，则， 在中，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，即 解得， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届第三次质量监测数学试卷 注意事项：三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数属于有理数的是（ ） A. B. C. D. 2．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平放在桌面上的透明杯中盛放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程 有两个相等实数根，则a的值为（    ） A．0 B．0或 C． D．8 8. 在一个不透明的口袋中，放入标有数字，，，的四个小球除数字外完全相同，从中随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和为的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫作这个点到该图形的距离．如图1，正方形的边长为2，中心为点，在该正方形外有一点，且．当点绕着点顺时针旋转时，设旋转角的度数为，点到正方形的距离为，如图2是点在旋转过程中，随的变化而变化的函数图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围是__________． 12. 某校组织各班围绕“保护视力”开展手抄报评比，其中九年级8个班的得分为9，8，10，8，6，7，9，8，则这组数据的众数为___________． 13. 人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______． 14. 如图，物理课上同学们用如图的实验装置探究“拉力与斜面高度关系”，其中A，B是水平面上两个固定的点，是倾斜程度可以变化的斜面（斜面足够长）．同学们用弹簧测力计拉着适当大小的木块，沿斜面从B到C的方向做匀速直线运动，实验结果分别如图1，图2所示．由物理学知识可知，在弹簧的弹性限度内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（）的一次函数．若弹簧测力计的最大量程是，该实验装置高度h的最高可为______． 15．已知，则的值为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，四边形是矩形，，点F是延长线上一点，连接． （1）尺规作图：过点A作的垂线交于点E．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）猜想证明：若，试判断和的数量关系并说明理由． 18. 甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． A．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：， ： B．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 89 89 C．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表： 平均数／分 中位数／分 众数／分 优秀率 83.3 84 78 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校抽取的学生的成绩的中位数是____________分； （2）根据上述信息，你认为哪所学校综合素质展示的水平更高，并说明理由；（至少从两个不同的角度说明） （3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选人志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到___________分的学生才可以入选． 19．如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） (1)求背垫的长； (2)如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 20．设小舟体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级.现随机抽取实验中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了________名学生，________； (2)补全条形统计图；扇形统计图中级对应的圆心角为________； (3)若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？ 21．（本小题满分10分） 如图，在中，以点C为圆心，为半径的与相切于点A，与交于点D，过点D作，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 22. 龙角塔（图），位于南阳卧龙岗，是武侯祠的一个重要人文景观．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为米，到龙角塔的水平距离为米，求龙角塔的高度． 23. 综合与实践 在矩形中，点是射线上一个动点，连接，过点作于，过点作于． （1）观察猜想 如图1，若，点在边上（不与点、重合）． ①写出图1中一个与相等的角：_______________； ②用等式表示线段、、的数量关系：_______________； （2）类比探究 如图2，若，点在的延长线上，请依据题意补全图形（无需尺规作图），用等式写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 若，，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $