精品解析：广东珠海市第十三中学2025-2026学年第二学期期中考试初二数学试卷

十三中学2025-2026学年第二学期期中考试初二数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故A不符合题意； 选项B：的被开方数是小数，可化为分数，即含分母，不是最简二次根式，故B不符合题意； 选项C：的被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意； 选项D：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故D符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能直接合并，故A错误； 选项B：，计算正确，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D错误． 3. 以下列各组线段为边，不能组成直角三角形的是（　　　　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 1，1， D. 2，3，5 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，对各选项逐一验证． 【详解】解：A选项：，能组成直角三角形，不符合要求； B选项：，能组成直角三角形，不符合要求； C选项：，能组成直角三角形，不符合要求； D选项：，，可得，不能组成直角三角形，符合要求． 4. 如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点得到三角形的中位线，然后利用中位线定理解题即可． 【详解】解：∵中，点D，E分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴． 5. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽，图2由主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．当，时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 6. 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC=AD=BD=BC， ∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B． 7. 如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、，可能是等腰梯形，不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意 8. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=，推出OC=－1即可解决问题． 【详解】解：在Rt△AOB中，AB=， ∴AB=AC=， ∴OC=AC－OA=－1， ∴点C表示的数为1－． 故选C． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是由勾股定理求出的线段长再算出数轴上点表示的数． 9. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积； 【详解】，，． ， 的面积； 故选A． 【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大． 10. 如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．） 11. 使有意义的x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于或等于0是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是_____． 【答案】##16米 【解析】 【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得， 在直角三角形中，根据勾股定理得：（米）． 所以大树的高度是（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 14. 如图，菱形的周长为，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由于A、C两点关于BD对称，P在BD上，则连接AC，EC，与BD的交点即为点P，此时PA＋PE的值最小，再根据等边三角形的性质和勾股定理，即可求解． 【详解】如图，∵菱形ABCD的周长为24， ∴AB＝6， 连接EC，与BD交于点P，连接AC，此时PA＋PE＝CP＋EP＝CE，值最小． ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴∠CAB＝∠BAD＝60°， ∵AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝6， ∵E是AB中点， ∴∠ACE＝30°，CE⊥AB， ∴CE＝＝＝3， ∴AP＋EP＝CE＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定，难度适中，确定点P的位置是解题的关键． 15. 如图，在10×10的正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．若点C在网格所在的坐标平面内的坐标为．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的D点的坐标是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据点C的坐标建立平面直角坐标系，根据网格特点分别过A作的平行线，过B作的平行线，过C作的平行线，这些线的交点即为满足条件的点D，则可求得答案． 【详解】解：∵， ∴点A为坐标原点， 如图，分别过A作的平行线，过B作的平行线，过C作的平行线， ∴满足条件的点D的坐标为或或． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，垂足分别为E，F，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形性质得到且，再证明，得到，结合，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 又 ，， ， 四边形是平行四边形． 18. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． （1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，． （1）求的长 （2）求的面积． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）由折叠得出，根据平行线的性质得出，等量代换可得，根据等角对等边求得，设，则，根据勾股定理得出，据此即可求解； （2）根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：是由沿直线折叠得到的， ∴， 四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， 设，则， ，， ∴， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴的面积． 20. 阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： （1）计算： ＝ ； （2）若n为正整数，请你猜想 ＝ ； （3）请化简： 【答案】（1） （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ． 21. 如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形 ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； 【小问2详解】 解：， ， ， 四边形为菱形， 为的中点， ∵为的中点， 是三角形的中位线． ， ， ∴， ∵， ∴，， ，， 如图，作，垂足为，则， 则， ∵， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，共27分．请将下列各题的答案填写在答题卡相应的位置上） 22. 课堂上，老师提问：求的最小值． 【新知探究】 （1）聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图，作一条长为16的线段； ②过C在线段上方作线段的垂线AC，使；过D在线段下方作线段的垂线，使； ③在线段上任取一点O，设； ④根据勾股定理计算可得，________，________（请用含x的代数式表示，不需要化简）； ⑤则的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为； 【新知应用】 （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值； 【类比迁移】 （3）已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【答案】（1），，20 （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）④利用勾股定理建立等式即可；⑤连接，交于，根据两点间距离最短，此时取得最小值，延长于，使得，再利用勾股定理求解； （2）设点，则，由（1）中得方法知的最小值为10； （3）由题意得，如图，线段，，，过点作，使，连接，过点C作，使，作于点F，则四边形是矩形，由，可知当A，E，D共线时，取得最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：④，， 故答案为：，； ⑤如图，连接，交于，根据两点间距离最短，此时取得最小值， 延长于，使得，则四边形是矩形， ∴， ∵， 的最小值为20，即代数式的最小值为20； 【小问2详解】 解：设点，则， 如图，线段，，， 设； 过点作交的延长线于，则，， 连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值． 由题意可得， ∴， 由（1）中得方法知的最小值为10， 即的最小值为10． 【小问3详解】 解；∵， ∴， ∴． 如图，线段，，， 过点作，使，过点C作，使，连接，作于点F，则四边形是矩形， ∴，， ∴，． ∵， ∴当A，E，D共线时，取得最小值，即取得最小值． ∵， ∴的最小值为，即的最小值为． 23. 已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O． （1）若BF⊥AE， ①求证：BF＝AE； ②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明； （2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长． 【答案】（1）①见解析；②OD＝AB．证明见解析；（2）①BO＝或BO＝ 【解析】 【分析】（1）①如图1①，要证BF＝AE，只需证△ABE≌△BCF，只需证到∠BAE＝∠CBF即可； ②延长AD，交射线BM于点G，如图1②，由△ABE≌△BCF可得BE＝CF，由此可得CF＝DF，从而可证到△DGF≌△CBF，则有DG＝BC，从而可得DG＝AD，然后运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题； （2）可分点F在CD上和点F在AD上两种情况进行讨论．当点F在CD上时，如图2①，易证Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），则有∠BAE＝∠CBF，由此可证到∠AOB＝90°，然后在Rt△ABE中，运用面积法就可求出BO的长；当点F在AD上时，如图2②，易证Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），则有∠BAE＝∠ABF，根据等角对等边可得OB＝OA，根据等角的余角相等可得∠AEB＝∠EBF，根据等角对等边可得OB＝OE，即可得到OA＝OB＝OE，只需求出AE的长就可解决问题． 【详解】（1）①如图1①， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵BF⊥AE， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BF＝AE； ②OD＝AB． 证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②， ∵△ABE≌△BCF， ∴BE＝CF． ∵E为BC的中点， ∴CF＝BE＝BC＝DC， ∴CF＝DF． ∵DG∥BC， ∴∠DGF＝∠CBF． 在△DGF和△CBF中， ， ∴△DGF≌△CBF， ∴DG＝BC， ∴DG＝AD． ∵BF⊥AE， ∴OD＝AG＝AD＝AB； （2）①若点F在CD上，如图2①， 在Rt△ABE和Rt△BCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠AOB＝90°． ∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2， ∴AE＝＝2 ． ∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BO， ∴BO＝． ②若点F在AD上，如图2②， 在Rt△ABE和Rt△BAF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL）， ∴∠BAE＝∠ABF， ∴OB＝OA． ∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°， ∴∠AEB＝∠EBF， ∴OB＝OE， ∴OA＝OB＝OE． ∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2， ∴AE＝＝2， ∴OB＝AE＝． 综上所述：BO的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等角对等边、等角的余角相等、勾股定理等知识，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决第（1）②小题的关键，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十三中学2025-2026学年第二学期期中考试初二数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组线段为边，不能组成直角三角形的是（　　　　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 1，1， D. 2，3，5 4. 如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 5. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽，图2由主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．当，时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 7. 如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．） 11. 使有意义的x的取值范围是___________． 12. 如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是_____． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 14. 如图，菱形的周长为，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是___________． 15. 如图，在10×10的正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．若点C在网格所在的坐标平面内的坐标为．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的D点的坐标是________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，垂足分别为E，F，求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，． （1）求的长 （2）求的面积． 20. 阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： （1）计算： ＝ ； （2）若n为正整数，请你猜想 ＝ ； （3）请化简： 21. 如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 五、解答题（三）（本大题2小题，共27分．请将下列各题的答案填写在答题卡相应的位置上） 22. 课堂上，老师提问：求的最小值． 【新知探究】 （1）聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图，作一条长为16的线段； ②过C在线段上方作线段的垂线AC，使；过D在线段下方作线段的垂线，使； ③在线段上任取一点O，设； ④根据勾股定理计算可得，________，________（请用含x的代数式表示，不需要化简）； ⑤则的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为； 【新知应用】 （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值； 【类比迁移】 （3）已知a，b均为正数，且，求的最大值． 23. 已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O． （1）若BF⊥AE， ①求证：BF＝AE； ②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明； （2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $