精品解析：广东省东莞市石龙第二中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025－2026学年第二学期期中考试初二数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使有意义，必须满足（ ） A. B. C. D. 为非负数 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. 14 B. 15.5 C. 12 D. 15 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 一个实心长方体的体积为，已知其底面是正方形，且高为，则其底面正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，作正方形，使，，，是正方形各边的中点；做正方形，使，，，是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______5．（填“”“”“”） 12. 如图，在菱形中， ，对角线 ，则菱形的面积为________． 13. 如图，在中，，分别是，的中点，是线段上一点，连接，，若，，，则的长为___________． 14. 已知，，则代数式的值等于______． 15. 正方形的边长为8，点、分别在边、上，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于．以下结论：①当为中点时，三边之比为；②连接，则；③当三边之比为时，为中点；④当在上移动时，周长不变．其中正确的有___________（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形． 18. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 四、解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19. 已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形． 20. 如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 21. 如图，在中，，为的中线，，且，连接． （1）求证四边形为菱形． （2）连接，若求的长． 五、解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 22. 如图1，在中，，，E，F是边上的两点，且．过点A作，且，连接．求证： （1）； （2）； （3）如图2，点P为等腰直角内一点，，请直接写出线段之间的数量关系． 23. 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，求的度数； （3）在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期中考试初二数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使有意义，必须满足（ ） A. B. C. D. 为非负数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 利用二次根式有意义的条件列出不等式，接不等式即可． 【详解】解：根据题意得，要使有意义，则， 解得， 故选：C． 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握：若三角形三边、、满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．据此逐项验证即可． 【详解】解：A．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； B．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； C．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； D．∵， ∴以这三条线段的长为边能组成直角三角形． 故选：D． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. 14 B. 15.5 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，由此求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据及二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：，故A选项运算错误，不合题意； ，故B选项运算错误，不合题意； ，故C选项运算错误，不合题意； ，故D选项运算正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列说法错误的是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】可分别由平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等进行判断． 【详解】解：①由平行四边形的判定可知A正确； ②由矩形的判定可知B正确； ③因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C正确； ④D选项中再加上一个条件：对角线互相平分，可证其是正方形，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用平行四边形的判定与性质等． 7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 8. 四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理，得，利用菱形面积的两种表示法建立等式求解即可． 【详解】解：因为四边形是菱形，对角线，， ，，， ， ， ， ， 解得． 9. 一个实心长方体的体积为，已知其底面是正方形，且高为，则其底面正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体的体积公式计算即可得出结果． 【详解】解：设底面正方形的边长为， 由题意可得：， ∴， ∵边长为正数， ∴， ∴其底面正方形的边长为． 10. 如图，正方形的边长为，作正方形，使，，，是正方形各边的中点；做正方形，使，，，是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，掌握正方形的性质，等腰直角三角形性质，找出边长的规律是关键． 根据题意，正方形的边长为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∵点是正方形边的中点， ∴，， 同理，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则 ∴正方形的边长为， 同理，是等腰直角三角形， ∴，则， ∴正方形的边长为， ， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 故选：B ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______5．（填“”“”“”） 【答案】 【解析】 【分析】二次根式比较大小，可通过比较平方后结果的大小，得到原数的大小关系. 【详解】解： ，，由于，且和均为正数， ． 12. 如图，在菱形中， ，对角线 ，则菱形的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．由菱形的性质得出， ，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长，根据菱形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图，设的交点为点O， ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 13. 如图，在中，，分别是，的中点，是线段上一点，连接，，若，，，则的长为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而求出的长，再根据三角形中位线的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：在中，、是中点， ， ， ，分别是，的中点， ． 14. 已知，，则代数式的值等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式因式分解，再计算的值，整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 15. 正方形的边长为8，点、分别在边、上，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于．以下结论：①当为中点时，三边之比为；②连接，则；③当三边之比为时，为中点；④当在上移动时，周长不变．其中正确的有___________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①当为中点时，设，则，根据勾股定理列出方程求解，可推出①正确；②连接交于点Q，过点E作，证明，即可得出②正确；③当三边之比为时，假设，根据，可求出a的值，进一步求得，即可判断③错误；④过点A作，垂足为H，连接，，先证明，可得，再证明，可得，由此可得的周长为16，即可得④正确； 【详解】∵为中点，正方形的边长为8， ∴， 由翻折可知：， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴当为中点时，三边之比为， 故①正确； 如图，连接交于点Q，过点E作，垂足为M，交于点N， ， ， 由翻折可知：垂直平分， 在和中， ， ， 故②正确； 当三边之比为时，假设，则， ∵， ∴， 解得： ∴， ∴此时点不是中点， 故③错误； 如图，过点A作，垂足为H，连接，， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为： ， ∴当在上移动时，周长不变， 故④正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键． 三、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把原式化为，再进一步计算即可； （2）先利用二次根式的乘法运算和完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，由“AAS”可证△ADE≌△CBF，可得ED=FB，AE=CF，可得BE=DF，则可得结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD＝BC，∠A＝∠C，AB=DC， 又∵∠1＝∠2， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，DE＝BF， ∴AE+BE＝CF+DF， ∴BE＝DF，且DE＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的判定和性质． 18. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理， （1）在中，根据勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 【小问2详解】 证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 四、解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19. 已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠1＝∠2，根据AAS证两三角形全等即可； （2）根据全等得出AB＝CF，根据AB∥CF得出平行四边形ABFC，推出BC＝AF，根据矩形的判定推出即可． 【详解】(1)证明：如图． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC 即 AB∥DF， ∴∠1＝∠2， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE． 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE(AAS)． (2)证明：∵△ABE≌△FCE， ∴AB＝FC， ∵AB∥FC， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵AF＝AD， ∴AF＝BC， ∴四边形ABFC是矩形． 【点睛】考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，本题主要考查学生运用定理进行推理的能力． 20. 如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】（1）米； （2）米 【解析】 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； 【小问2详解】 解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 21. 如图，在中，，为的中线，，且，连接． （1）求证四边形为菱形． （2）连接，若求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可得出结论； （2）连接，根据菱形的性质得出，，，利用含角的直角三角形及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 22. 如图1，在中，，，E，F是边上的两点，且．过点A作，且，连接．求证： （1）； （2）； （3）如图2，点P为等腰直角内一点，，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定即可证明； （2）连接，根据全等三角形的判定得出，再利用勾股定理求解即可； （3）根据全等三角形的判定得出，确定，再由等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，再证明，则，可证得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 连接， 由（1）得：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下： 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，求的度数； （3）在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）因为正方形对角线平分对角，所以可证；也可证明和全等，利用全等三角形对应边相等得出结论． （2）连接，证明和全等，得，结合，四边形内角和性质，可得，可得，结合等腰直角三角形的角度特点推导的度数． （3）延长到，使，得，，证明，得，由，，可得． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形，是对角线， ，. 是公共边， ， . 【小问2详解】 解：连接， 四边形是正方形，是对角线， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， . ， ， ， ， ， . ， ， 即. 【小问3详解】 解：延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $