专题07 全等三角12大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 聚焦全等三角形核心内容，以12大题型为框架，系统覆盖从三角形基础性质到全等判定应用的完整知识链，强化推理与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形基础（考点1-7）|约47题|选择/填空/解答，含网格面积计算|从内角和、三边关系等基础概念逐步过渡到面积计算| |全等三角形（考点8-12）|约37题|证明/动态问题/实际应用，含SSS/ASA/SAS判定|性质→判定→实际测量，形成“概念-推理-应用”逻辑闭环|

专题07 全等三角12大题型归类 考点01 三角形的内角和 考点02 三角形的分类 考点03 直角三角形的两个锐角互余 考点04 构成三角形的条件 考点05 确定第三边的取值范围 考点06三角形三边关系的应用 考点07 利用网格求三角形面积 考点08 全等三角形的性质 考点09 全等的性质和SSS综合 （SSS） 考点10 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 考点11 全等的性质和SAS综合（SAS） 考点12 利用三角形全等测距离 考点01 三角形的内角和 1．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 【答案】A 【分析】先由题意画出图形，结合图形根据平行线的判定与性质可得∠BPQ＋∠DQP＝180°，再由角平分线的定义可求得∠MPQ＋∠NQP＝90°，利用三角形的内角和为180°可求得∠POQ＝90°，进而求解． 【详解】解：如图， ∵∠APE＝∠CQE， ∴AB∥CD， ∴∠BPQ＋∠DQP＝180°， ∵PM平分∠BPQ，QN平分∠DQP， ∴∠BPQ＝2∠MPQ，∠DQP＝2∠NQP， ∴∠MPQ＋∠NQP＝90°， ∴∠POQ＝90°， 即PM⊥QN， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理及垂线的定义，能求解∠POQ＝90°是解决问题的关键． 2．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，及邻补角的定义求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数． 【详解】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠C=∠EFB=125°， ∴∠EFA=180-125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°-∠A-∠EFA=180°-45°-55°=80°． 故选：B． 【点睛】本题应用的知识点为：根据两直线平行，同位角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理． 3．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 4．如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 【答案】58° 【分析】本题主要考查对垂线，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故答案为：58°． 5．如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 先根据平行线的性质求得的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 6．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 【答案】 ，理由见详解． 【分析】本题主要考查角平分线的性质和三角形内角和定理的应用．解决本题的关键是熟练使用等量代换求解． 根据角平分线的性质可得，，再由，可得，由此可求解，由此可解． 【详解】解： ，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． ∴， 又∵， 即，且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 7．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 8．如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 考点02三角形的分类 9．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 10．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 11．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 12．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 13．下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据三角形的分类和三角形的三边关系逐个判断每个说法的正确性． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形， 说法（1）错误的将等边三角形与等腰三角形并列作为分类，表述不够严谨，通常按边分类为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特殊形式）．故说法错误； ∵三角形三边关系为两边之和一定大于第三边， ∴说法（2）错误． ∵等边三角形的三边都相等，满足等腰三角形“至少有两边相等”的定义， ∴说法（3）正确． ∵等腰三角形的定义就是有两边相等的三角形， ∴说法（4）正确． 综上，正确的说法有2个． 故选：B． 14．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 15．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握此知识点是做题的关键．根据三角形的内角和定理，结合角度比例计算各角的度数，即可得出答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别为，，， 则根据三角形内角和定理，得， 解得， ，． 有一个角为， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 16．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 17．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 考点03直角三角形的两个锐角互余 18．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．不一定是锐角三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线的性质以及三角形的面积和形状判断，解题的关键是熟练掌握这些性质并进行分析． 根据三角形的高、角平分线、中线的性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】是高， ， ，所以A说法正确； 是角平分线， ，所以B说法正确； 中， ， 锐角； 在和，和都小于， 因此一定是锐角三角形，所以C说法错误； 是中线， ， 和以和为底时，高相同， ，所以D说法正确． 故选：C． 19．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．于H，交于F．下列说法中错误的是（　　） A．是的中线 B． C．线段是的角平分线 D．与的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．根据三角形的角平分线、中线和高的概念、三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：A、∵G为的中点， ∴是的中线，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； C、∵， ∴线段是的角平分线，故本选项说法错误，符合题意； D、∵G为的中点， ∴与的面积相等，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 20．如图，在中，，为边上的高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的余角相等可以判断；根据三角形中线的定义可以判断；根据角平分线的性质得出，根据，即可得出答案；根据和中，，但、边上的高相等，即可得出答案． 【详解】解：A.∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B.∵是中线， ∴，故B正确，不符合题意； C.∵是角平分线， ∴， ∵， ∴ 故C正确，不符合题意； D.∵和中，，但、边上的高相等， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，直角三角形两锐角互余，余角的性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高线的性质，是解题的关键． 21．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 22．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 23．如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 【答案】(1)①② (2)A、D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，根据直角三角形的两锐角互余即可得解；②由①得，由邻补角的定义得到，最后根据平行线的性质即可得解； （2）根据平行线的性质、直角三角形的两锐角互余及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：①， ∴， 又∵， ∴； ②由①知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：A，D． 考点04构成三角形的条件 24．若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】或 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：， ∴，， ∴，， 当6为底边长时，腰长为4， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 当4为底边长时，腰长为6， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 综上，该等腰三角形的周长为或． 25．有长度分别为，，，的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________． 【答案】 【分析】先列举出从四条线段中任取三条的所有等可能结果，再根据三角形三边关系判断能组成三角形的结果个数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：从长度为，，，的四条线段中任取三条， 共有以下种等可能的结果： ①，，；②，，；③，，；④，，， 对四种结果逐一判断： ，满足三边关系，可以组成三角形； ，不满足三边关系，不能组成三角形； ，不满足三边关系，不能组成三角形； ，满足三边关系，可以组成三角形， 因此能组成三角形的结果有种， 根据概率公式，． 26．小丽有两根长度分别为和的木棒，她想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根长度为_________的木棒． 【答案】9 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边时需分类讨论，再验证各情况能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，三角形的三边长分别为，，， ，不符合三角形三边关系， 不能构成三角形； 当为底边时，三角形的三边长分别为，，， ，符合三角形三边关系， 能构成三角形，此时所需木棒长度为． 27．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2017个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是． 28．问题提出： 最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．） 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表① 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表② 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况： 表③ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况： 表④ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 4 1 1 3个2 2 ， 2 3 ， 2 4 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空： 表⑤ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 ___ ___ 2 ， 2 3 _______ _____ 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有___________个． （2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数． （3）最长边长为128的整数边三角形有__________个． 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个． 【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）12；（2）当为奇数时，整数边三角形个数为；当为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295 【分析】问题探究： 根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可； 问题解决： （1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的三角形的个数； （2）分两种情况讨论：当为奇数，当为偶数，再从具体到一般进行推导即可； （3）当最长边长时，为偶数，再代入进行计算，即可得到答案； 拓展延伸： 分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：个，从而可得答案. 【详解】解：问题探究： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 3 ，， 3 3个3 问题解决： （1）最长边长为1的三角形有：个， 最长边长为2的三角形有：个， 最长边长为3的三角形有：个， 最长边长为4的三角形有：个， 最长边长为5的三角形有：个， 所以最长边长为6的三角形有：个， 故答案为： （2）由（1）得： 最长边长为1的三角形有：个， 最长边长为3的三角形有：个， 最长边长为5的三角形有：个， 所以当为奇数时，整数边三角形个数为； 最长边长为2的三角形有：个， 最长边长为4的三角形有：个， 最长边长为6的三角形有：个， 所以当为偶数时，整数边三角形个数为. （3）当最长边长时，为偶数， 可得此时的三角形个数为： 故答案为： 拓展延伸： 当9是底边的棱长时， 最长边长为9的三角形个数有：个， 而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9， 所以这样的直三棱柱共有：个， 当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8， 底边三角形共有：个， 所以这样的直三棱柱共有：个， 综上，满足条件的直三棱柱共有个. 故答案为： 【点睛】本题考查的是学生的阅读理解能力，探究规律的方法，并运用规律解决问题，同时考查了立体图形的含义，三角形的三边关系，弄懂题意，掌握探究方法，运用规律的能力都是解题的关键. 考点05确定第三边的取值范围 29．若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系得出，即可求解． 【详解】解：依题意，． 解得：． ∴x的值可以为（答案不唯一）． 30．已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 【答案】4 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 即． ∴． 31．已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可得．解题的关键是熟记三角形的三边关系．根据，解答． 【详解】解：∵三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x， ∴， 解得， ∵x最小， ∴， ∴， 故答案为：． 32．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为____________． 【答案】17 【分析】本题考查了非负数的性质与三角形三边关系，掌握绝对值、平方数的和为时，各项分别为；三角形三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合为偶数，取的最大值，从而得到最大周长． 【详解】解：由， 得，， 解得，． 根据三角形三边关系，有． 为偶数，故或． 当时，周长最大，为． 故答案为：17． 33．我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 34．现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是______． 【答案】11 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴选4，5，7，9， 如图，①当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是8， ②当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 如图，当时， ③当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是11， ④当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 综上，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是11． 故答案为：11． 考点06三角形三边关系的应用 35．已知，是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为______． 【答案】 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出，的值，再结合等腰三角形性质和三角形三边关系，分情况讨论计算周长，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为，底边长为，则三边长为，，，，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立，舍去． 情况2：若腰长为，底边长为，则三边长为，，，，满足三角形三边关系．周长为． 36．已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，得 ，，， ，，， ∴原式 ． 37．已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴， ∴ ． 38．在中，，的中线将的周长分为和，则的边的长为_____． 【答案】7或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和中线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据中线的定义得到，设，则，需分类讨论周长被分成的两部分，并利用三角形三边关系验证． 【详解】解：设，则． 中线将周长分为两部分：和． 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系； 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系． 故答案为：或． 39．三个整数的和是17，那么这三个整数能够构成三角形的情况分析．设这三个整数分别为，，，且满足，显然，，所以，当时，，，为整数，所以 （1）①，②； （2）满足条件的，，共有③对． ①______，②______，③______． 【答案】 【分析】按照，，，，进行分类讨论，结合三角形三边之间的关系，即可求解． 【详解】解：（1）当时，，，为整数， ∴， （2）当时，，，，为整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，，为整数， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，或，， 当时，，，，为整数， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，，或，， 当时，，，，为整数， ∴，或，或， ∴，或，或， ∴，或，或， ∴，或，，或（与“”矛盾，舍去） ∴，，或，，，或，，或，，，或，，，或，，，或，，或，，， ∴满足条件的，，共有对． 40．在中，，边上的中线将的周长分为和的两部分，则的底边长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握利用等腰三角形的性质，分情况讨论中线所分周长的两部分，结合三角形三边关系验证结果是解题的关键． 本题的解题思路是设出腰长和底边长，分两种情况列方程求解． 【详解】由题意得：，即． 分两种情况： ①若，则， ， 即； 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； ②若，则， ， 即， 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； 综上所述，的底边长为或． 故答案为：或． 41．我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数”________；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为________． 【答案】 2或3 36 【分析】本题主要考查三角形三边关系的知识点，解答本题的关键是理解题干条件：倍高三角形的概念， 根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析；设，，，得，，，得出即当时的周长有最小值，据此求出即可得到答案． 【详解】根据倍高三角形的定义和三角形的三边关系得： 是周长为13， 最长边小于， 各边互不相等且均为整数， 最长边为6，较短两边为2和5或3和4， 最短边上的高与最长边上的高的比值为整数， ，或即或3； 设，，， ， ，，， ，， 分子的变化比分母的变化要快， 随着k的增大则随着k的增大周长在增大，周长在增大， 最短边上的高与最长边上的高的比值为整数， 当时的周长有最小值， ∴， 周长最小值为， 故答案为： 2或3；36． 考点07利用网格求三角形面积 42．在平面直角坐标系中，，，． （1）面积为________； （2）在平面直角坐标系中，如果点在坐标轴的角平分线上，则的横纵坐标绝对值相等．即如果点位于坐标轴的角平分线上，则．已知点位于第一象限，且点在坐标轴的角平分线上，满足，且则点的坐标为________． 【答案】 8 【分析】本题考查坐标与图形，梯形的面积，三角形的面积，一元一次方程，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）分割法求出三角形的面积即可； （2）设，利用分割法列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）取，连接，如图所示： 面积为：； 故答案为：8； （2）设，，连接，如图所示： 由题意，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 43．如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是________． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米， ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 44．如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图： (1)请画出的高； (2)直接写出的面积是_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据网格即可画出的高； （2）根据网格即可求出的面积． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：的面积为． 45．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形： ①直线； ②的高，垂足为点G； (2)的面积为______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据网格的特点和平行线的定义作图即可； ②找到格点，连接交于点G，则； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，； ②如图所示，高即为所求； （2）解：由题意得． 46．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）取格点G，连接交于点E，则点E即为所求； （2）取格点F，连接，则即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，． 47．如图，所有小正方形的边长都为都在格点上． (1)过点画直线的垂线段，垂足为；过点画直线的平行线，标出格点（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段______的长度是点到直线的距离； (3)连接，计算的面积为_______； (4)线段的大小关系为______（填“”“”或“=”），理由是_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂线段最短，点到直线的距离，三角形的面积，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据垂线，平行线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）利用三角形面积公式求解； （4）利用垂线段最短解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线，直线即为所求； （2）解：线段的长表示点到直线的距离； 故答案为：； （3）解：的面积， 故答案为：； （4）解：(垂线段最短)， 故答案为：，垂线段最短． 考点08全等三角形的性质 48．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴t最大取到， 即． 当时，此时， ∴点、点速度相同，即， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 49．如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的速度为每秒，全等时 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 50．如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质； （1），由可得，即可求解； （2）由可得，再由为的外角，可得，即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 即. 51．如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；或，； 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了全等三角形的性质，找准对应边是解题关键； （1）根据动点的运动速度、方向即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）由得一定有一组对应边为；分类讨论若，，若，，两种情况即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； （3）解：∵， ∴一定有一组对应边为； 若，，由（2）得：，； 若，，则，解得：，； 52．如图，，点对应点，点对应点，点，，，在一条直线上． (1)求证：． (2)若，，求边的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． （1）由全等三角形的性质可得，等式两边同时减去即可得到； （2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 在 中，， ，即． 53．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 考点09全等的性质和SSS综合 （SSS） 54．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件：①，，；②，，；③，，．请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 【答案】见详解 【分析】若选①利用证得，进而可证；若选②利用证得，进而可证；若选③，无法证明，进而不能证明． 【详解】解：若选①，证明如下： ， ， ， 又， ， ； 若选②，证明如下： ， ， ， ， ， 又， ， ； 若选③，则无法证明，进而无法证明． 55．如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明； （2）利用证明，再得出． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 56．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】解：， ， ， 在和中， ∴， ． 57．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 _____； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造辅助线． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，再判定，可得出． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴． 故答案为：； （2）成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 58．如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由推出，结合已知的，用判定 （2）仍由推出，再结合已知边，用SSS判定全等，判断结论成立 （3）由全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明AD∥CB。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （2）解：成立．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与平行线的判定，掌握利用判定三角形全等，以及通过全等三角形的对应角相等推导平行线是解题的关键． 59．如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，根据证明，即可得出； （2）根据平行线的性质可得，进而根据证明，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是的中点， 在和中， ． （2）， 是的中点， 在和中， ． 60．如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 先通过证明，可得，，通过三角形内角和为结合邻补角的性质可得，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ，． ，， ． 考点10全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 61．如图，与相交于点O，，．与相等吗？请说明理由． 【答案】=，理由见解析 【详解】=，理由如下：     在和中， ， （）     =． 62．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 63．如图，已知点是外部一点，连接，且，． (1)尺规作图：在上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若．求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的判定定理以及作相等角的步骤画图； （2）利用平行线的性质得出相等的角，然后利用全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：若， ， 在和中， ， ， ． 64．如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）利用全等三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， . 65．为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． (1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． (2)若米，米，求旗杆高度． 【答案】(1)认同，理由见解析 (2)米 【分析】（1）利用全等三角形判定定理证明和全等，进而判断线段相等． （2）因为已知、的长度，且，可求的长度，且由第（1）问的结论可知，即可得解． 【详解】（1）认同小明的观点，理由如下： 由题意可知： ，，，， ，，， ． 在和中， ， ， ， 因此认同小明的观点． （2）∵， ∴米， 又∵米， 米， 由（1）已证， 米． 66．在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求证； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 67．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”．数形结合是数学研究的重要手段． (1)问题一： 当，，则________． (2)问题二：如图1所示，，，垂足为，垂足为，，，，，求：． (3)问题三：如图2所示，数轴上有A，B，C三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)29 (3) 【分析】（1）结合，以及，，则，再解出，即可作答． （2）证明，可得，，可得，结合进一步即可作答． （3）先得出，结合题意得，长方形的面积，令，则，长方形的面积，，把数值代入，得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 则； （2）解：∵，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴. （3）解：∵数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11． ∴ ∵分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点， ∴正方形的面积为正方形的面积为 ∵两正方形面积和为13， ∴， 依题意，长方形的面积， 令， ∴，长方形的面积，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长方形的面积， 考点11全等的性质和SAS综合（SAS） 68．如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明：四边形为正方形， 点分别是边的中点， ， 在和中 ， ． 69．如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上． (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)比较大小：____________，理由是：______________； (3)线段，则点到直线的距离为_______________． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3) 【分析】（1）结合全等三角形的判定和性质作图即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）根据等面积法计算即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是直线的垂线； （2）解：，理由是：垂线段最短； （3）解：设点到直线的距离为h， ∵， ∴， 解得：． 70．如图，在一个6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中就是一个格点三角形．请用无刻度直尺在网格中作图． (1)作边上的高； (2)求的面积； (3)作格点（点P不与点A重合），使和的面积相等． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析 【分析】（1）根据“边角边”可证，可得，再根据，可得，进而得出，则说明是的高线； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积得出答案； （3）根据作图可知，则，则答案可得． 【详解】（1）解：如图所示，找到的格点Q，连接交于点D，则即为所求； （2）解：； （3）解：如图所示，将点A向左平移1个小正方形的边长，再向上平移4个小正方形的边长得到点P，则，连接，则即为所求． 71．如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证明，已经有两组边对应相等，不难发现，，同角的补角相等，由可证得； （2）由可知，再计算的长． 【详解】（1）证明：∵，, ∴， 在与中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 72．如图，在和中，延长交于F．，，． 求证：． 【答案】见详解． 【分析】由“”可证，可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 73．如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)为秒或秒 (3)或 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据求解即可． （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，， ． （2）解：， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，即，则； 若在点左侧，，即，则. 综上所述：当为或时，的面积为； （3）解：如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 74．在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上移动时，猜想、、之间的数量关系，并说明理由； (2)过点A作于F，，．设点E到直线的距离为h，以A，C，D，E为顶点的四边形面积为S． ①如图2，当点D在线段延长线上时，且，请求出S的值（用含有h的代数式表示这个值）； ②当点D在直线上运动的过程中，且，直接写出S的值（若S的值为定值，直接写出这个值，否则用含有h的代数式表示这个值）． 【答案】(1)，理由见详解 (2)①；②72或 【分析】（1）证明，利用线段和差关系即可得出结论； （2）①先证明，通过割补法将S分为和，分别求出两个三角形的面积即可得解； ②根据分情况讨论：（i）当点D在线段内部时；（ii）当点D在直线上，且点D在点B左侧时，利用全等三角形的性质和三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵点E到直线的距离为h， ∴， ∴； ②∵点D在直线上运动的过程中，且， 此时分情况讨论： （i）如图，当点D在线段上时： 同（1）证得：， ∴，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴； （ii）如图，当点D在直线上，且点D在点B左侧时： ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵点E到直线的距离为h， ∴， ∴， 综上所述，S的值为72或． 75．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 【答案】(1)；； (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再同（1）求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，延长到点，使，连接， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； 考点12利用三角形全等测距离 76．数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： (1)请补全三位同学展示的答案； 甲补充条件，全等的判定依据是 ； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是； (2)AF与DC什么数量关系，写出完整证明过程 【答案】(1)；； (2)，证明见解析 【分析】（1）根据已知，，甲补充条件，全等的判定依据是；乙补充的条件是，可知全等的判定依据是，根据丙全等的判定依据是，可知丙补充条件是； （2）甲补充，结合，，得；乙补充，结合已知得；丙补充，结合已知得． 【详解】（1）解：∵，， ∴甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是； 丙补充条件，全等的判定依据是AAS； （2）解∶ 证明如下：甲：∵， ∴； ∴； 乙：∵，，， ∴； ∴， ∴； ∴； 丙：∵，，， ∴； ∴， ∴； ∴． 77．如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 【答案】斜坡上一点的竖直高度为2米 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴(米)． 答：斜坡上一点的竖直高度为2米． 78．【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 79．综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 【答案】(1)，，（）； (2)见解析； (3)，成立． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键； （1）根据题干思路完成过程； （2）根据题干思路写出解答过程； （3）说明方案Ⅱ中作垂直的目的以及一般情况下的结论即可． 【详解】（1）解：如图①所示，在和中， ，（对顶角相等），， 所以（填写判定理由）， 所以（全等三角形的对应边相等）， 即的距离即为的长； （2）解：∵，， ． 在和中， ， ∴； （3）解：方案（Ⅱ）中作，的目的是使； 若仅满足方案（Ⅱ）仍成立， ∵仍可根据其他条件来构造全等三角形确定AB的长度． 80．甲、乙两位同学想要测量某公园池塘两端A，B的距离，分别设计了如下两种方案． 甲同学：如图①，①在平地上取可以直接到达点A，B的一点O； ②连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使，； ③连接DC，测出DC的长，即为池塘两端A，B的距离． 乙同学：如图②，①确定射线AB，过点B作直线BE； ②在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA； ③作，交射线AB于点C； ④测量BC的长，即为池塘两端A，B的距离． (1)甲同学的方案是否可行？请说明理由． (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加一个条件使乙同学的方案可行，并说明理由． 【答案】(1)甲同学的方案可行，理由见解析 (2)增加条件．理由见解析 【分析】本题考查了利用三角形全等求距离，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键； （1）通过证明三角形全等得到线段相等即可； （2）通过添加条件构建全等三角形，进而使方案可行. 【详解】（1）解：甲同学的方案可行，理由如下： 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：增加条件．理由如下： ∵， ∴． ∴在和中 ， ∴， ∴． 81．小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． (1)请补全方案中的空白①_____；②____； (2)请分别说明小刚这两种方案测量的理由； (3)你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)方案二 【分析】本题考查了全等三角形的应用，读懂题意，找出全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到答案． （2）证明和全等，即可完成证明． （3）长度测量比角度测量更容易，故方案二更容易操作、测量的结果更准确． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：理由如下， 方案一，在和中， ， ∴， ∴． 方案二，在和中， ， ∴， ∴． （3）解：方案二更容易操作、测量的结果更准确． 82．综合与实践 图1是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形的生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．嘉嘉从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示： 所测量的数据 长度/m 嘉嘉将示意图抽象成如图2所示的几何图形，连接． (1)判断该广角灯的位置是否符合要求，并说明理由． (2)若，，，求该广角灯的照射角（）的度数． 【答案】(1)该广角灯的位置符合要求，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． （1）利用证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）由全等三角形的性质可得、，易得，进而得到，再结合即可解答． 【详解】（1）解：该广角灯的位置符合要求．理由如下： ，， ． ，， ． 又， ， ， ∴该广角灯的位置符合要求． （2）（2）由（1）可知，， ，． ， ， ∴，即． ， ， ∴该广角灯的照射角（）的度数为． 83．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 84．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 全等三角12大题型归类 考点01 三角形的内角和 考点02 三角形的分类 考点03 直角三角形的两个锐角互余 考点04 构成三角形的条件 考点05 确定第三边的取值范围 考点06三角形三边关系的应用 考点07 利用网格求三角形面积 考点08 全等三角形的性质 考点09 全等的性质和SSS综合 （SSS） 考点10 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 考点11 全等的性质和SAS综合（SAS） 考点12 利用三角形全等测距离 考点01 三角形的内角和 1．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 2．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 3．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 4．如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 5．如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 6．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 7．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 8．如图，，，，求的度数． 考点02三角形的分类 9．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 10．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 11．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 12．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 13．下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 15．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 16．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 17．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 考点03直角三角形的两个锐角互余 18．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．不一定是锐角三角形 D． 19．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．于H，交于F．下列说法中错误的是（　　） A．是的中线 B． C．线段是的角平分线 D．与的面积相等 20．如图，在中，，为边上的高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 21．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 22．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 23．如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 考点04构成三角形的条件 24．若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 25．有长度分别为，，，的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________． 26．小丽有两根长度分别为和的木棒，她想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根长度为_________的木棒． 27．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是_____． 28．问题提出： 最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．） 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表① 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表② 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况： 表③ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况： 表④ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 4 1 1 3个2 2 ， 2 3 ， 2 4 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空： 表⑤ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 ___ ___ 2 ， 2 3 _______ _____ 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有___________个． （2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数． （3）最长边长为128的整数边三角形有__________个． 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个． 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 3 ，， 3 3个3 考点05确定第三边的取值范围 29．若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 30．已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 31．已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 32．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为____________． 33．我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 34．现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是______． 考点06三角形三边关系的应用 35．已知，是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为______． 36．已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 37．已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 38．在中，，的中线将的周长分为和，则的边的长为_____． 39．三个整数的和是17，那么这三个整数能够构成三角形的情况分析．设这三个整数分别为，，，且满足，显然，，所以，当时，，，为整数，所以 （1）①，②； （2）满足条件的，，共有③对． ①______，②______，③______． 40．在中，，边上的中线将的周长分为和的两部分，则的底边长为______． 41．我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数”________；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为________． 考点07利用网格求三角形面积 42．在平面直角坐标系中，，，． （1）面积为________； （2）在平面直角坐标系中，如果点在坐标轴的角平分线上，则的横纵坐标绝对值相等．即如果点位于坐标轴的角平分线上，则．已知点位于第一象限，且点在坐标轴的角平分线上，满足，且则点的坐标为________． 43．如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是________． 44．如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图： (1)请画出的高； (2)直接写出的面积是_____． 45．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形： ①直线； ②的高，垂足为点G； (2)的面积为______． 46．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 47．如图，所有小正方形的边长都为都在格点上． (1)过点画直线的垂线段，垂足为；过点画直线的平行线，标出格点（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段______的长度是点到直线的距离； (3)连接，计算的面积为_______； (4)线段的大小关系为______（填“”“”或“=”），理由是_____． 考点08全等三角形的性质 48．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 49．如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 50．如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 51．如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 52．如图，，点对应点，点对应点，点，，，在一条直线上． (1)求证：． (2)若，，求边的取值范围． 53．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 考点09全等的性质和SSS综合 （SSS） 54．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件：①，，；②，，；③，，．请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 55．如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 56．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 57．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 _____； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 58．如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 59．如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 60．如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 考点10全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 61．如图，与相交于点O，，．与相等吗？请说明理由． 62．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 63．如图，已知点是外部一点，连接，且，． (1)尺规作图：在上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若．求的长度． 64．如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 65．为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． (1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． (2)若米，米，求旗杆高度． 66．在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 67．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”．数形结合是数学研究的重要手段． (1)问题一： 当，，则________． (2)问题二：如图1所示，，，垂足为，垂足为，，，，，求：． (3)问题三：如图2所示，数轴上有A，B，C三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积． 考点11全等的性质和SAS综合（SAS） 68．如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，相交于点．求证：． 69．如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上． (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)比较大小：____________，理由是：______________； (3)线段，则点到直线的距离为_______________． 70．如图，在一个6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中就是一个格点三角形．请用无刻度直尺在网格中作图． (1)作边上的高； (2)求的面积； (3)作格点（点P不与点A重合），使和的面积相等． 71．如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 72．如图，在和中，延长交于F．，，． 求证：． 73．如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 74．在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上移动时，猜想、、之间的数量关系，并说明理由； (2)过点A作于F，，．设点E到直线的距离为h，以A，C，D，E为顶点的四边形面积为S． ①如图2，当点D在线段延长线上时，且，请求出S的值（用含有h的代数式表示这个值）； ②当点D在直线上运动的过程中，且，直接写出S的值（若S的值为定值，直接写出这个值，否则用含有h的代数式表示这个值）． 75．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 考点12利用三角形全等测距离 76．数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： (1)请补全三位同学展示的答案； 甲补充条件，全等的判定依据是 ； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是； (2)AF与DC什么数量关系，写出完整证明过程 77．如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 78．【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 79．综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 80．甲、乙两位同学想要测量某公园池塘两端A，B的距离，分别设计了如下两种方案． 甲同学：如图①，①在平地上取可以直接到达点A，B的一点O； ②连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使，； ③连接DC，测出DC的长，即为池塘两端A，B的距离． 乙同学：如图②，①确定射线AB，过点B作直线BE； ②在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA； ③作，交射线AB于点C； ④测量BC的长，即为池塘两端A，B的距离． (1)甲同学的方案是否可行？请说明理由． (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加一个条件使乙同学的方案可行，并说明理由． 81．小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． (1)请补全方案中的空白①_____；②____； (2)请分别说明小刚这两种方案测量的理由； (3)你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 82．综合与实践 图1是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形的生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．嘉嘉从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示： 所测量的数据 长度/m 嘉嘉将示意图抽象成如图2所示的几何图形，连接． (1)判断该广角灯的位置是否符合要求，并说明理由． (2)若，，，求该广角灯的照射角（）的度数． 83．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 84．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $