精品解析：辽宁省丹东市宽甸县第一初级中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

第一初中教育集团2025-2026学年度下学期期中学业质量监测八年级数学试卷 （时间：110分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在第二象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 6. 马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（ ） A. 64和8 B. 24和3 C. 16和2 D. 8和1 7. 如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC长为（　　） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. cm 8. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 10. 如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是 ． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__． 13. 若多项式分解因式的结果为，则的值为_____． 14. 若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 15. 在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列不等式组： （1）； （2） 17. 已知 ，，求： （1）； （2）． 18. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若D为中点，，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． （1）画出将向下平移6个单位长度得到； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 20. 某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元． （1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？ （2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 21. 如图所示，在中，是边的垂直平分线，交于E，交于D，连接． （1）若，求的度数． （2）若，且的周长为，的周长为，求的长． 22. 阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； （3）若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一初中教育集团2025-2026学年度下学期期中学业质量监测八年级数学试卷 （时间：110分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可得答案． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 4. 已知点在第二象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特点，解不等式组，熟练掌握各象限内点的坐标特点，是解题的关键．根据第二象限点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列出关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴横坐标，纵坐标， 即， 解不等式组得：， ∴m的取值范围是． 故选：C． 5. 如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点旋转，得到， ， 当旋转方向为顺时针时，旋转角度为； 当旋转方向为逆时针时，旋转角度为． 故选：A． 6. 马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（ ） A. 64和8 B. 24和3 C. 16和2 D. 8和1 【答案】C 【解析】 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 7. 如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC长为（　　） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解． 【详解】解：∵△ABD，△BCE都是等腰三角形，CD=8cm，BE=3cm， ∴BC=BE=3cm，AB=BD=CD-BC=8-3=5cm， ∴AC= ( cm) 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用． 8. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积． 用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故D正确． 故选：D． 9. 如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形面积计算，熟练掌握相应知识是解题的关键．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行判断即可求解． 【详解】解：由平分，与不一定相等，因此不一定垂直平分，故不正确； ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离， 如图，过点作于，则，连接， ∴点到的距离大于，故不正确； 如图，连接，过点作于，过点作于，过点作于， ∵、分别平分、， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确． 故选：C． 10. 如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形，故①正确． 由轴对称可知，，， ，故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ， ． ． 平分，故③正确． ，， ． ， ． ，故④正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标为，即横、纵坐标均互为相反数．依据该特征，将已知点的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对应对称点的坐标． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， ∴点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得关于x的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 移项得， 系数化为得． 13. 若多项式分解因式的结果为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．根据多项式的乘法法则计算，与比较求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 14. 若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求得不等式组中每个不等式的解集，再根据题意得到不等式，即可得出答案．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，分类讨论是解题的关键． 点在轴正半轴上，设坐标为，三角形为等腰三角形，有三种情况：，．分别计算每种情况下的值，排除无效点． 【详解】点，点， 情况1：； 情况2：， 平方得，解得； 情况3：， 则， ， 即或（舍去），； 综上，的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列不等式组： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可； （2）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键． 17. 已知 ，，求： （1）； （2）． 【答案】（1）12 （2）48 【解析】 【分析】（1）先对原式因式分解，再代入计算即可； （2）先对原式因式分解，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 把 ，代入， 可得原式； 【小问2详解】 解：， 把 ，代入， 可得原式． 18. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若D为中点，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关性质与勾股定理． （1）利用等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余，证明； （2）利用勾股定理在中求解，先求出的长度，再计算． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在中，； 在中，． ∵ ， ∴ ． 又∵ （对顶角相等）， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵ ，为中点， ∴ 在中，，， 由勾股定理得： ． 答：的长为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． （1）画出将向下平移6个单位长度得到； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 故答案为：． 20. 某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元． （1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？ （2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 【答案】（1）每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元；（2）学校最多可购买甲种词典5本 【解析】 【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30-m）本，根据总价=单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）设每本甲种词典的价格为元，每本乙种词典的价格为元，根据题意，得 解得 答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元． （2）设学校计划购买甲种词典本，则购买乙种词典本，根据题意，得 解得 答：学校最多可购买甲种词典5本． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21. 如图所示，在中，是边的垂直平分线，交于E，交于D，连接． （1）若，求的度数． （2）若，且的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理可得，再根据垂直平分线的性质可得，最后根据角的和差即可解答； （2）由垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为可得,再结合的周长为可得，最后根据即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． ∵的周长， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等边对等角、垂直平分线的性质等知识点，灵活运用垂直平分线的性质是解答本题的关键． 22. 阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； （3）若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，，再代入不等式，求出的取值范围； （3）解方程组，用含有的代数式表示，，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：， 解得：， ①， 解得：， ∴不是此不等式的解； ②， 解得：， ∴是此不等式的解； ③， 解得：， ∴是此不等式组的解； ∴方程的解是此方程与②③的“理想解”， 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：∵是方程组与不等式的“理想解”， ∴，， 解方程组，得：， ∴， ∴， 即的取值范围为； 【小问3详解】 解：解方程组，得：， ∵关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数）， ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， ∴不等式组的解集为， 即的取值范围． 【点睛】本题考查解一元一次方程、二元一次方程组和解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解一元一次方程、二元一次方程组和解一元一次不等式（组）的一般步骤． 23. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $