精品解析：辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2025-2026学年下学期八年级数学学科期中考试

2025-2026学年度（下）虹桥中学教育集团八年级 数学学科 期中考试 满分：120分 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：（本题共10小题，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．仅当时原说法成立，故错误； B． 若，则，原说法成立，故正确； C． 仅当时原说法成立，故错误； D． 仅当，时原说法成立，故错误； 故选：B． 3. 若分式的值为0，则x的值为　　 A. 3 B. C. 3或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】由分式的值为零的条件得x-3=0，且x+3≠0， 解得x=3． 故选A． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 5. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意； B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，是边上的两点，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，多边形内角和． 先根据等边对等角和三线合一得到，，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，根据三角形内角和求出，根据四边形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，，分别为的中点， ∴，，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， 由三角形内角和可知：， ∴， ∴， 由四边形内角和可知：， 即， ∴， 故选：A． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意； B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意； C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为( ) A. 12 B. 15 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 由翻折可得，进而可得，结合的周长为的周长为42，可得，即可得出答案． 【详解】解：由翻折可得，， ∵四边形为平行四边形， ， ，，， ∵的周长为12， ， 又∵的周长为42， ， ， 解得：． 故选：B． 9. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键． 先求出，连用两次30度角的性质即可求出长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了约分，解题的关键是约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． 将分子与分母的公因式约去即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，直线与直线相交于点，其纵坐标为1，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，由图象得到直线落在直线的上方对应的的取值即为所求． 【详解】解：把代入，得． 所以， 所以直线与直线相交于点， 所以关于的不等式的解集是， 故答案为：． 13. 某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元． 【答案】32 【解析】 【分析】设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可； 【详解】解：设该商品最多可降价x元； 由题意可得，， 解得：； 答：该护眼灯最多可降价32元． 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键． 14. 在函数中，自变量x的取值范围是_________________． 【答案】且． 【解析】 【分析】根据分式与二次根式有意义的条件可得答案． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且． 故答案为：且．． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键． 15. 如图，在平分交于点D，则的长为 _____，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为 _______． 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到动点Q的运动轨迹是解决本题的关键． 首先在中，由于，所以可以解，即可以过C作于O，利用三勾股定理，求出的长度，同理，在中，过D作于H，可以求出的长度，连接交于M，过Q作于G，可以证明，所以，由此得到Q在平行于的直线上运动，且距离两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当时，长度最小． 【详解】解：如图1，过C作于O，过D作于H， 在中， 在中， ∵平分 ， 在中， ∴可设 ， 如图2，过Q作于G，连接交于M， ∵四边形为平行四边形， 在与中， ， 故Q到直线的距离始终为2， ∴Q点在平行于的直线上运动，且两直线距离为2，根据垂线段最短，时，此时最小，如图3， 最小值为： 故答案为：6， 三、解答题：（本大题共8小题，共75分） 16. 解答下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （2）直接利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，正整数解为1、2、3、4 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到两个解集后取公共部分得到不等式组的解集，再从中找出所有正整数即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 ， ∴不等式组的所有正整数解为1、2、3、4． 18. 如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）8 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可； （2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF， ∵E是平行四边形ABCD的边CD的中点， ∴DE=CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）； （2）∵ADE≌△FCE， ∴AE=EF=3， ∵AB∥CD， ∴∠AED=∠BAF=90°， 在▱ABCD中，AD=BC=5， ∴DE==4， ∴CD=2DE=8 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的； （2）若将（1）中看成是经过一次平移得到的，则这一平移的距离是________； （3）画出关于点成中心对称的图形． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质画图； （2）利用勾股定理求解； （3）找出对称中心，利用中心对称的性质画图． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：根据勾股定理得，平移的距离为； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 20. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】（1）种文创产品每件的进价为元 （2）小张最多可以购进50件种文创产品 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； 【小问2详解】 设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 21. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式； 再如：求代数式的最小值． 解：； ， 原式， 即当时，原式有最小值． 学以致用： （1）用配方法分解因式：；（其他方法不得分） （2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．（用配方法） （3）已知，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）当时，有最大值13 （3）最小值 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的运算，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）模仿题干中的解题过程，进行求解即可； （2）首先将多项式配方为，然后得到，进而求解即可； （3）将变形为，然后根据非负数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， 原式， 即当时，原式有最大值13． 【小问3详解】 解： ， ， 原式有最小值． 22. 将两个等腰三角形顶点重合叠放，，． （1）【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：． （2）【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，． ①证明：． ②若延长交于点P，求的长度． （3）【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明） 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用即可证明； （2）①由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，即；②由勾股定理求出的长，可证明，则，可得，求出的长即可得到答案； （3）作，且使得，连接，可证明；证明，得到；过点A作于点G，则，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ②∵， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，作，且使得，连接， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点G，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“阶界点”．例如：直线上的点到轴的距离为，到轴的距离为，，所以点是它的“3阶界点”． （1）若三点的坐标分别为，则三点中，是直线的“1阶界点”的有点 （直接填空）； （2）如图，直线与直线相交于点． ①求点的坐标； ②已知直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，连接．设的面积为，求与之间的函数表达式，并写出的取值范围． 【答案】（1）A，C （2）①（2，2）；②当2＜a＜6时；当a≥6时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义“阶界点”，通过联立方程求交点坐标，利用坐标求三角形面积，关键是理解新定义并准确计算． （1）根据“a阶界点”的定义，分别计算点A、B、C到坐标轴的距离并判断； （2）①联立直线方程求解交点坐标；②结合图形，先根据“a阶界点”定义确定的坐标，再根据三角形面积公式求解； 【小问1详解】 解：，‘ 点A到x，y轴的距离都等于于，满足“1阶界点”定义； 点B到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，，不满足“1阶界点”定义； 点C到x轴距离是1，到y轴的距离是0，，满足“1阶界点”定义； 故答案为：； 【小问2详解】 ①直线与直线相交于点， 解方程组， 解得，， 点E的坐标为； ②直线上有两个“阶界点”， ， 如图， 对于，若到轴距离为，则或， 当时，即， ， 此时过作轴交于点，则， ， ； 当时， 当时，解得； 当时，解得， ，， 对于，若到轴距离为，则或， ，； 以为底，高为，的长度为， ， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）虹桥中学教育集团八年级 数学学科 期中考试 满分：120分 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：（本题共10小题，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若分式的值为0，则x的值为　　 A. 3 B. C. 3或 D. 0 4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边上的两点，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为( ) A. 12 B. 15 C. 24 D. 30 9. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 10. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式化简的结果为______． 12. 如图，直线与直线相交于点，其纵坐标为1，则关于的不等式的解集是______． 13. 某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元． 14. 在函数中，自变量x的取值范围是_________________． 15. 如图，在平分交于点D，则的长为 _____，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为 _______． 三、解答题：（本大题共8小题，共75分） 16. 解答下列各题： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 18. 如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的； （2）若将（1）中看成是经过一次平移得到的，则这一平移的距离是________； （3）画出关于点成中心对称的图形． 20. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 21. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式； 再如：求代数式的最小值． 解：； ， 原式， 即当时，原式有最小值． 学以致用： （1）用配方法分解因式：；（其他方法不得分） （2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．（用配方法） （3）已知，请直接写出的最小值． 22. 将两个等腰三角形顶点重合叠放，，． （1）【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：． （2）【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，． ①证明：． ②若延长交于点P，求的长度． （3）【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明） 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“阶界点”．例如：直线上的点到轴的距离为，到轴的距离为，，所以点是它的“3阶界点”． （1）若三点的坐标分别为，则三点中，是直线的“1阶界点”的有点 （直接填空）； （2）如图，直线与直线相交于点． ①求点的坐标； ②已知直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，连接．设的面积为，求与之间的函数表达式，并写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $