异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间角核心问题，按线线角、线面角、面面角递进设计，通过多样化几何体典例及变式，系统训练空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线所成之角|例2+变式2|证明（异面判定）、计算（余弦值）、作图|从低维到高维递进，覆盖正方体、棱锥等几何体，体现概念应用拓展| |线面角|例3+变式3|证明（线面平行/垂直）、计算（夹角正切值/大小）|从低维到高维递进，覆盖正方体、棱锥、圆锥等几何体，体现概念应用拓展| |面面角|例3+变式3|证明（线面平行）、计算（二面角大小/余弦值）|从低维到高维递进，覆盖正方体、棱锥等几何体，体现概念应用拓展|

异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 考点目录 异面直线所成之角问题 线面角问题 面面角问题 考点一 异面直线所成之角问题 例1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.    (1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 【答案】(1)图形解析，过程见解析； (2)； (3)证明见详解. 【分析】（1）取棱的中点，在正方体上底面内过点作直线，使得，由平行线的传递性，得解； （2）取棱的中点，易得直线与所成角，即与所成角，在中，由余弦定理求解； （3）先证明，，由此设直线与交于点，根据平面的性质可证. 【详解】（1）如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得， 连接，因为是的中点，是的中点， 所以，，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以.    （2）取棱的中点，连接， 又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以直线与所成角，即为或其补角， 在中，，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为 . （3）因为是的中点，是的中点，所以，， 又在正方体中，易得，， 所以，， 记直线与交于点，因为平面，所以平面， 同理，平面， 所以平面平面， 所以直线三条直线交于一点. 例2．（25-26高一下·江苏泰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值： (2)设直线与平面交于点，请在答题卡上作出线段，并求其长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作辅助线，找异面直线所成角，求出相应的边结合余弦定理求解即可. （2）根据题意分析点的位置，根据已知条件结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）连接，如图所示： 在正方体中， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角， 由为棱的中点，正方体的棱长为， 则， 在中，， 在中，， 在中，， 所以在中，由余弦定理得：. 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为在平面内，平面与平面的交线为， 所以延长，交于的延长线于点，连接，如图所示：                  在正方体中，由，，且为棱的中点， 所以， 所以，所以， 所以， 因为， 在中，由余弦定理得：， 即，所以. 变式1．（25-26高一下·江苏·期中）如图，在正方体中，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明，可得为异面直线与所成角，进而求解即可； （2）先证明，可得为异面直线与所成角，进而求解即可； （3）连接，通过证明，得到四点共面，即可得解. 【详解】（1）在正方体中，， 则为异面直线与所成角， 由于四边形为正方形，则， 即异面直线与所成角为. （2）连接，在正方体中，， 则为异面直线与所成角， 而，则为等边三角形，即， 则异面直线与所成角为. （3）设的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 在正方体中，，， 则四边形为平行四边形，即，则， 则四点共面， 因此平面与正方体表面的交线为，如图， 变式2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）取的中点，连接，，根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得解. 【详解】（1）因为直线平面，点平面， 点，点平面，所以直线与直线是异面直线． （2）如图：取的中点，连接，， 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以异面直线与所成角（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，则， 所以，即， 在中由余弦定理得， 因为异面直线所成角范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 考点二 线面角问题 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证； （2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角. 【详解】（1） 设中点为，又因为是的中点，所以且， 因为底面是菱形且是的中点，所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，面，面，所以面. （2） 设中点为，又因为是中点，所以， 因为面，面，面，所以，. 又因为，所以，， 因为，，，面， 所以面，所以是直线与面的夹角. 又由（1）知，所以是直线与面的夹角， 由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形. 又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为. 例2．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且，. (1)求证：平面； (2)求直线与底面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）连接交于，因为E为劣弧CB的中点，所以是中点， 又是中点，所以，即 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，所以是直线与底面所成的角，， 又平面，所以 因为，所以，所以. 例3．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）如图，在长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到为直线与平面所成角，在直角中，求得，即可求解. 【详解】（1）证明：设，连接， 在长方体中，且，可得四边形为正方形， 所以为线段中点， 因为点为的中点，则， 又因为平面，且平面，则平面. （2）解：在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为，且点P为的中点，则， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 因为，所以，所以故直线与平面所成角为. 变式1．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，E为棱的中点，F为内（含边界）的动点． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)若点F在线段上运动，求的最小值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理证明； （2）将平面沿翻折至与平面共面，利用侧面展开图的最短路径求解； （3）过作，垂足为，求证即为直线与平面所成角，计算即可. 【详解】（1）因F为的中点，E为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）将平面沿翻折至与平面共面， 连接（为翻折后），即为的最小值， 在中，， 因四棱锥为正四棱锥，则， 则， 则在中，. 故的最小值为. （3）连接交于点，过作，垂足为， 因为正方形，则，则， 因为线段的中点，则为线段的中点， 因，则，， 因为四棱锥为正四棱锥，则底面， 又面，所以， 又，平面，所以平面， 故即为直线与平面所成角， 在中，在中， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 变式2．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，设，通过题设证明，，进而求证即可； （2）设的中点为，连接，先证明平面，则为直线与平面所成角，进而求解即可. 【详解】（1）连接，设，连接，设， 在菱形中，， 在直四棱柱中，平面，且平面， 所以，又平面， 所以平面， 因为平面，所以. 在菱形中，，则， 则，则，而， 因为，所以，则， 则，故，即， 因为平面， 所以平面. （2）设的中点为，连接， 由于，则， 因为平面，且平面， 所以， 又平面， 所以平面， 则为直线与平面所成角， 因为， 所以在中，， 则直线与平面所成角的正切值为． 变式3．（2025·山东潍坊·一模）如图，四棱台中，上、下底面分别为边长1，2的正方形，平面，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）可通过证明线线平行得到线面平行. （2）作出直线与平面所成的角，在直角三角形中，利用边角关系求正切. 【详解】（1）连接，交于点，连接,. 由题意：，且，，为中点， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面. （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以. 又，，平面， 所以平面. 所以为直线与平面所成的角. 在中，. 考点三 面面角问题 例1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取中点为，连接,证明平面平面即可证明结论； （2）取中点为，连接，证明为二面角的平面角，再根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 例2．（25-26高三上·江苏徐州·期中）如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. (1)求二面角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）取中点，连接，，即可得到、，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （2）设点到平面的距离为，利用等体积法求出，设直线与平面所成角为，则，即可得解. 【详解】（1）取中点，连接， ，因为，为 中点， 所以. 因为平面平面，所以， . 在中，， 在中，， 从而，又 为中点， 所以. 故为二面角的平面角， 因为平面 平面，所以， 又，所以， 从而， 所以二面角的余弦值为. （2）设点到平面的距离为. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. 所以. 由，得，即，故， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 例3．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）如图，在四棱锥中，已知平面. (1)若四边形ABCD是以AD为上底的梯形，线段PC的中点满足平面PAB，求BC的长； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取PB中点为，连接AE，EM，先判定ADME四点共面，然后利用线面平行的性质得，然后利用平行四边形求解长度即可. （2）利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理得平面平面PAD，过点作，利用线面垂直的性质定理得平面PCD，过点作，连接GH，利用线面垂直的性质定理得，进而得二面角的平面角为，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）取PB中点为，连接AE，EM， 因为E，M分别为PB，PC的中点，所以， 由于ABCD为梯形，且，所以，即ADME四点共面； 因为平面平面ADME，平面平面， 所以； 又，所以四边形ADME是平行四边形，有， 所以，则. （2）因为平面ABCD，平面ABCD，从而， 又因为平面平面， 所以平面平面PCD，则平面平面PAD； 在平面PAD内过点作，垂足为， 因为平面平面PAD，平面平面， 则平面PCD，平面PCD，所以， 在平面PAC过点作，垂足为，连接GH， 平面平面， 所以平面AGH，平面AGH，则， 所以二面角的平面角为. 因为， 则，所以， 又由图形可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的大小为. 变式1．（24-25高二上·江苏南京·月考）如图，已知在矩形ABCD中，，BC＝6，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点H，现将△ACD沿AC折起，点D的位置记为，此时，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）矩形中，连接，交于点，在三棱锥中证明即可.或取线段的中点，证明平面平面即可； （2）通过勾股定理证明和，证得平面； （3）过点作，二面角的平面角为，计算和的长度，可得二面角的余弦值. 【详解】（1）法一：在矩形中，连接，交于点，则易知四边形为矩形， 所以与互相平分，即点为中点，又因为点为中点， 所以在三棱锥中，， 平面，平面，所以平面    法二：取线段的中点，连接、， 翻折前，在矩形中，为的中点，， 则，所以，， 翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点， 则，平面，平面，平面， 为的中点，且，则， 所以，为的中点，又因为为的中点，所以，， ∵平面，平面，所以，平面， ∵，所以，平面平面， 因为平面，∴平面；    （2）在矩形中，，， ，， 因为，则， 因为，为的中点，所以，，则 所以，，所以，， 所以，即， 在三棱锥中，则有，， 因为，所以，平面． （3）过点作，垂足为点，连接， 平面，平面，， 因为，，平面， ∵平面，，所以，二面角的平面角为. 在中，，，， ，，，所以， 又因为，所以 故，因此，二面角的余弦值为． 变式2．（24-25高一下·江苏常州·期末）在直三棱柱中，，，，，． (1)若平面，求的值； (2)设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得出，再结合中位线的性质可得出的值； （2）过点在平面内作，垂足为，连接，分析可知二面角和二面角的平面角分别为、求得，的长，法一：利用二倍角的正切公式可得，即可求出的值；法二：利用角平分线的性质可得，可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接． ∵平面，平面，平面平面，   ∴．                                       又在直三棱柱中，侧面为平行四边形， ∴是的中点， ∴是的中点，∴. （2）过点在平面内作，垂足为，连接， ∵，，，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，                                  又平面，∴，， ∴二面角和二面角的平面角分别为， 即，，             ∵，，， ∴， ∴， 法一：当时，，                  而，                                                 ∵，∴，解得或              又，∴．                                                  法二：当时，为的角平分线，且， ∴，                                               又，∴． 变式3．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. (1)证明：平面BDE； (2)证明：平面ABCD； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过点作，垂足为.过作，垂足为，连接，找到二面角即为，解三角形即可得到答案. 【详解】（1）连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，. 又平面平面， 平面. （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得. ，即，从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而. 又平面平面， 平面. （3）过点作，垂足为. 过作，垂足为，连接. 由（2）平面，又平面， 平面平面. 又平面平面平面，平面. 平面平面，. 平面平面，平面. 平面，， 二面角的平面角是， 在中，，， ， 二面角的正弦值是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 考点目录 异面直线所成之角问题 线面角问题 面面角问题 ABCD-ABC D 例1.(25-26高一下江苏镇江·期中)如图，一块棱长为2正方体形木料 的上底面内有一点M, 尸美紧的中点 异面直线所成之角问题 D 、、 M A B D F B (1)过点M作出一条直线l,使得I1AF,并写出作图过程： ②求直线4F与4C所成角的余弦值： CC 3)若点E是CC AF,DE,DC 的中点，证明：直线 三条直线交于一点， ABCD-ABC D BB 例2.(25-26高一下江苏泰州期中)如图，在棱长为2的正方体 D中，P为棱的中点 D C 异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 DP AB (I)求异面直线与所成角的余弦值： DP (2)设直线与平面1BCD CO 于点，请在答题卡上作出线段，并求其长度 异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 ABCD-ABC D BB. 变式1.(25-26高一下江苏期中)如图，在正方体 中，P为棱6的中点。 D B D B DC (1)求异面直线 与A 所成角的大小： D (2)求异面直线 C与BD所成角的大小： PCD ABCD-ABCD (3)作出平面 与正方体 表面的交线，写出作图过程并说明理由. 变式2.2425高一下江苏盐城期中)已知三枝锥r-ABC清足C=M=BM三CC=2B3 2 E ⊙ (I)证明：直线AB与直线C是异面直线： (2)若E为B的中点，F为BC的中点，求异面直线AB与EF所成角的余弦值. 异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 考点二 线面角问题 例1.(25-26高一下江苏南京期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F分别是AB,PC的中点，且底面ABCD是 菱形。 D E B (I)求证：EF/I平面PAD: (2)若PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,求直线EF与平面ABCD的夹角. 例2.(2026江苏南京模拟预测)如图，圆锥的底面圆心为O,直径为AB,C为半圆弧AB的中点，卫为劣弧CB 的中点，且AB=4.PO=V5 ------B (1)求证：OE∥平面PAC: (2)求直线PE与底面ABC所成角的正切值. 异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 ABCD-AB C D AB=AD=2,AA =4 例3.(25-26高二上江苏南京阶段检测)如图，在长方体 中， 点P为 DD 的中点 D A B P、 C BD /1 PAC (1)求证：直线 平面 (2)求直线1P与平面 BDD B 所成角的大小。 变式1.(2425高一下·江苏南通月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2, PA=PB=PC=PD=3V ,B为枝4的中点，F为△P1D 内（含边界）的动点. D E (I)若F为AD的中点，求证：EF∥平面PBD: (2)若点F在线段PA上运动，求BF+DF的最小值： (3)求直线PE与平面PAC所成角的正弦值， 异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 ABCD-ABC D 变式2.(2425高一下·江苏常州期末)如图，直四棱柱 的底面是边长为2的菱形，∠MBC=60° A4=V6 D A B (1)求证： BD,⊥ ACD 平面 2求直线4C与平面 ABB A 所成角的正切值. ABCD-ABCD 变式3.(2025山东潍坊·一模)如图，四棱台 中，上、下底面分别为边长1,2的正方形， D,D 平面ABCD,DD=1AB=CB D B DD /1 ABC (1)证明： 平面 ②求直线D8与平面 AB C 所成角的正切值. 异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 考点三 面面角问题 例1,2s26商-下新江期中)如图，在半行四边形BCD中，B=2D=44-骨点E为B的中点，将 △MDE沿直线DE翻折 △ADE E（点A不在面BCDE内)，点F为AC的中点在△MDE翻折过程中， A ，AC )证明：直线FB∥平面4DE, (2)若4C-V10 求二面角4-DE-C 的大小 例2.(25-26高三上江苏徐州期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,D为棱PB的中点， <BAC=2 AB=AC=2P4=2 (1)求二面角P-BC-A的余弦值： (2)求直线PC与平面ADC所成角的正弦值 > 异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 例3.(25-26高三上江苏镇江阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA1平面 ABCD,PA=3,AD=1 D M ! C B (I)若四边形ABCD是以AD为上底的梯形，线段PC的中点M满足DM∥平面PAB,求BC的长： ②若4C=3,DLDC,求二面角A-CP-D的大小 变式1.(2425高二上江苏南京月考)如图，已知在矩形ABCD中，4B=35,BC-6,点五是边8C的中点， D驱与AC相交于点五，现将△ACD沿AC折起，点D的位置记为P,此时ED=下，M是AD的中点. D M H E A B B (I)求证：BM∥平面D'HE: (2)求证：CA⊥平面DHE: (3)求二面角A-D'E-H的余弦值. 异面直线所成之角问题、线面角问题、面面角问题专项训练 变式2.(24-25高一下·江苏常州期末)在直三棱柱 BC-ABC中，AB⊥BC,A8=5,B8=3.BC=2, B,D=B,C(0<元<1) B、 平面4BD AC (1)若 求入的值： (2)设二面 B-AB-D D-AB-C 与二面角 a,B 的平面角分别为 ,若 ,求入2的值. a=B 变式3.2425高-下江苏南京期末)如图，在四棱锥p-ABCD中，底面4CD是菱形.∠ABC- 3,B为楼 2 A的中点，PA=PB=4PD=2V3,直线A与BC所成的角的大小为 D E B (I)证明：PC∥平面BDE: (2)证明：PD⊥平面ABCD: (3)求二面角E-BD-A的正弦值. 9