13.2.2 空间两条直线的位置关系 （5大题型）-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

13.2.2 空间两条直线的位置关系 【考点梳理】 考点一：异面直线的概念理解 考点二：证明异面直线垂直 考点三：求异面直线所成的角 考点四：和异面直线所成的角有关的综合性问题 考点五：异面直线的综合问题 【知识梳理】 知识一　两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 知识二　异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 【题型归纳】 题型一：异面直线的概念理解 1．（2024高三·全国）下列命题中，真命题的个数是（　　） ① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面； ④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23高一下·河北邢台·期中）在正方体中，为的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线异面的共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 3．（22-23高一下·河北·期中）一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论： ①直线与直线是异面直线；②直线与直线是异面直线； ③直线与直线MN共面；④直线与直线是异面直线. 其中正确结论的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型二：证明异面直线垂直 4．（2024高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．（2023高三·广东）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（21-22高一下·河北邢台·阶段练习）如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE平行；③CN与BM成30°角；④DM与BE垂直．请写出所有正确结论的序号 ． 题型三：求异面直线所成的角 7．（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24高一下·福建福州·期中）已知等边三角形的边长为4，D为的中点，将沿折到，使得为等边三角形，则直线与所成的角的余弦值（    ） A． B． C． D． 题型四：和异面直线所成的角有关的综合性问题 10．（22-23高一下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在四面体中，、分别为、的中点，若、所成的角为，且，则的长为（    ）    A． B． C． D．或 11．（20-21高一·全国）如图，空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（22-23高一下·河南新乡·期末）已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 题型五：异面直线的综合问题 13．（2024高一下·全国·专题练习）P是平面ABC外一点，，D，E分别为PC，AB的中点，且.求异面直线PA与BC所成的角的大小. 14．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，，且，是的中点．    (1)求证：； (2)求直线与所成角的余弦值． 15．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如图，平面，四边形是正方形，且，试求：    (1)点到的距离； (2)求异面直线与所成的角. 【双基达标】 一、单选题 16．（2