专题12 线线角、线面角、二面角、点面距、线面距、面面距 （4大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题12 线线角、线面角、二面角、点面距、线面距、面面距 【题型归纳目录】 题型一：线线角 题型二：线面角 题型三：二面角 题型四：点面距、线面距、面面距 【知识点梳理】 知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点2、异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 知识点3、直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 知识点4、作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 【典型例题】 题型一：线线角 【典例1-1】（24-25高一下·浙江·期中）在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 取中点，连接，，，， 由正方体可知，，所以四边形为平行四边形，所以， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 即或其补角即为所求，设，则，， 由正方体可知，平面，平面， 即，则， 在中，由余弦定理， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【典例1-2】（24-25高一下·河北邢台·期中）在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取棱的中点，连接，， 因为是的中点，所以，⊥， 则或其补角是直线与所成的角，. 由题中数据可知，，， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理可得， 则， 故. 故选：A 【变式1-1】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，不妨设正方体的棱长为1. 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 在中，， 所以为等边三角形，则， 因此，异面直线与所成的角为. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图， 易得，， 所以四边形为平行四边形，则， 则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角， 即为直线AN与CM所成角（或补角）， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，由余弦定理可得，， 因此直线AN与CM所成角的余弦值为. 故选：C. 题型二：线面角 【典例2-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 【解析】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面． （3）设正方体的棱长为，则， 又，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 设和平面所成角为，则， 所以和平面所成角的正弦值为. 【典例2-2】（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在四面体中，平面BCD，，． (1)求证：平面平面； (2)若M是AD的中点，求直线BM和平面ADC所成的角的余弦值． 【解析】（1）∵平面，平面∴， 又∵，，∴，即， 因平面，故平面 因平面ABC，故平面平面． （2） （2）由（1）知平面， 连接CM，则CM是BM在平面上的射影， ∴为BM与平面ADC所的角， ∴M为AD的中点， 则在中，因，则，， 则，从而． 即直线BM和平面ADC所成的角的余弦值为. 【变式2-1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1）因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）同理（1）得，平面，又平面， 所以， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 在中，，所以， 则， ， 设点到平面的距离为，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角为． 【变式2-2】（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图，在三棱锥中，，，. (1)证明：平面平面； (2)若点是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）过点作于点，连接，由，，为公共边， 得，则，，因此， ，是二面角的平面角， 在中，，则， 则，， 又，则，即，因此二面角的平面角为直角， 所以平面平面. （2）设点到平面的距离为，由（1）得， 平面，又，则，即， 由，得， 则， 在中，，则 而，即，， 因此，解得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 题型三：二面角 【典例3-1】（2025·河北秦皇岛·二模）如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点． (1)求证：平面平面； (2)若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值． 【解析】（1）在四棱锥中，，，则， ，在中，，则， 即，于是，由平面，平面， 得，又平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，平面，而平面，则，又， 因此是二面角的平面角， 在中，，则，由是的中点， 得，于是， 所以平面与平面的夹角的正弦值为. 【典例3-2】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． （2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 【变式3-1】（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【解析】（1）∵平面，平面，∴. ∵,平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 取中点，连接，过点作于点，连接. ∵点分别为的中点，∴，， ∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， 在直角梯形中，. ∵，∴， ∴，即二面角的正切值为. 【变式3-2】（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2） 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 题型四：点面距、线面距、面面距 【典例4-1】（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 【解析】（1）由，，，，即为直角梯形， 所以，， 所以，即， 又平面，平面，则， 由平面，故平面； （2）若是的中点，则，故为平行四边形， 所以且，故异面直线与所成的角，即为， 由平面，平面，则， 又，易知，则， 所以，则， 由平面，平面，则， 由平面，平面，则， 由，，则，而平面， 所以平面，平面，则， 故， 所以，而，且， 设点B到平面的距离为， 则，即，可得. 【典例4-2】（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【解析】（1）证明：连接交于点，连接 因为四边形是正方形，所以是的中点 因为是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面 因为平面，所以， 由（1）知，平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离 因为为正方形，所以 因为平面，平面，， 所以平面， 所以点到平面的距离即线段的长度 在正方形中，， 所以，所以直线到平面的距离为 【变式4-1】（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 【解析】（1）证法一：因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，                                              因为平行四边形，所以∥， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 证法二：因为，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平行四边形，所以∥， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为∥平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离. 连接交于点，连接， 因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥， 因为为中点，所以为的中点， 因为，，所以， 在中，，，所以，且， 所以为等边三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以的长即为点到平面的距离，因为， 所以到平面的距离为. 【强化训练】 1．（24-25高一下·重庆·期中）已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， ，则， 则，所以， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，可作图， 则，，设， 在中，易知， 在中，，，， 在长方体中，易知， 则为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，则，同理可得， 由余弦定理，得． 故选：B 4．（24-25高二上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点， 所以， 因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为. 故选：B 5．（24-25高一下·河南·期中）正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正三棱台三侧棱的延长线交于点，得三棱锥为正三棱锥， 过作平面于，交平面于，连接， 由，得，则，又，则， 则， 解得，则，设的边长为，则，解得， 由三棱锥为正三棱锥，得是的中心，， 由平面，得为侧棱与底面所成的角，所以. 故选：D 6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】由平面，平面，则，， 由，可将三棱锥补全为一个长方体，如下图示， 则球心为该长方体体对角线的中点，则球的半径， 易知中，，若为的中点，连接， 显然，且都在平面内，则平面， 又平面，所以平面平面，故在平面的投影在上， 所以是与平面的夹角，而， 则， 所以，则球心到平面的距离为. 故选：B 7．（23-24高一下·天津滨海新·期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点为，连接，如下图所示： 因为为等边三角形，，所以，且； 又为等腰直角三角形，，所以，且； 由二面角定义可得即为二面角的平面角， 在中，，，， 由余弦定理可得； 又，所以， 即二面角的大小为. 故选：A 8．（23-24高一下·天津滨海新·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，给出下列四个结论： ①四面体为鳖臑 ②平面 ③若，则与所成角的正弦值为 ④三棱锥的外接球的体积为定值 则其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，在堑堵中，，且平面； 又平面，所以，， 因此均为直角三角形， 又，平面，所以平面； 因为平面，所以，即为直角三角形， 所以可知四面体的四个面，，均为直角三角形， 因此四面体为鳖臑，即①正确； 对于②，如下图所示： 取的中点为，连接， 所以可得，，所以， 即可得四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，即②正确； 对于③，由②中的分析可知， 所以与所成的角即为与所成的角或其补角， 因为，，可得， 所以为直角斜边中线，因此可得， 在中，由余弦定理可知， 因此为锐角，则，即③错误； 对于④，由①中的分析可知，，，均为直角三角形， 所以可得， 因此即为三棱锥的外接球的球心，且半径为， 所以三棱锥的外接球的体积为定值， 与的长度无关，即④正确. 综上可知，正确的结论是①②④，共3个. 故选：C 9．（多选题）（24-25高一下·湖南·期中）已知正方体的棱长为为的中点，为的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为2 D．四面体的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】平面， 平面，又平面，， 同理可证，又平面， 平面，A正确； 连接，四边形为平行四边形，， 则为与所成的角. 在中由余弦定理可得，B正确； 点到平面的距离即为点到平面的距离， ， 在中，， ， 点到平面的距离为，C错误； 四面体的外接球即正方体的外接球，所以直径为， 故其外接球体积为，D正确. 故选：ABD 10．（多选题）（24-25高一下·福建莆田·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（） A．动点的轨迹是一条线段 B．直线与的夹角为 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】对于A，如图： 分别取的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，且平面，平面， 所以平面，同理可得：平面， 且平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，故A正确； 对于C，由A可知的轨迹为线段，平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积是定值，不会随点的运动而变化，故C错误； 对于B，如图： 连接，，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角为异面直线与的夹角， 因为为正方体，，都为面对角线，所以， 所以为等边三角形，所以，故B正确； 对于D，如图： 取的中点，连接，取的中点，连接， 易知且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且. 同理可证四边形也为平行四边形，所以且， 所以且. 所以四点共面，即四边形为为正方体的截面，，同理可求得四边形为的其它边长也为， 故该四边形为为棱形，对角线，， 故该棱形的面积为，故D正确. 故选：ABD 11．（多选题）（24-25高一下·广东广州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【解析】对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由正方体性质可知， 若直线与是平行直线，则可得，显然这与相交于点矛盾，故错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，如下图： 可得为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为.故C正确. 对于D，连接，易知，，所以为等腰梯形， 因为棱长为2，可得， 即等腰梯形的高为，因此，即D正确. 故选：BCD. 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为 . 【答案】/ 【解析】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 13．（23-24高一下·天津滨海新·期中）已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【解析】直三棱柱的各棱长均相等，设棱长为，由体积为， 得，解得：，设点到平面的距离为， 由，得等腰底边上的高为， 则，取的中点，连接，则， 由平面，面，得，而， 平面，因此平面，在中，， 由，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. 故答案为： 14．（24-25高一下·天津南开·期中）已知顶点为的圆锥，为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则与该圆锥底面所成角的正切值为 . 【答案】 【解析】取的中点，连接，取的中点，连接， 由是边长为2的正三角形，得，则， 由，圆锥底面，圆锥底面， 则是与该圆锥底面所成的角， 所以与该圆锥底面所成角的正切值为. 故答案为： 15．（24-25高一下·天津·期中）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】在四棱锥中，取中点，连接，令， 由E为棱PA的中点，得，则是异面直线CE与PB所成的角或其补角， 由底面ABCD，底面ABCD，得， ， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 16．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影， 又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 17．（24-25高一下·重庆·期中）已知四棱锥的底面为是边长为1的正方形，平面 (1)求证：平面； (2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； (3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求. 【解析】（1）在四棱锥中，连接，由平面，平面， 得，由正方形，得，而平面， 所以平面. （2）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，又平面，平面平面，因此， 直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 因此，，则，， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （3）在四棱锥中，平面，四边形是正方形， 将四棱锥补形成正四棱柱，平面即平面， 在平面内过作于，连接，由平面， 得，而平面，则平面， 是直线与平面所成的角，取中点，连接， 由是的中点，则，平面，而平面， 则，设则，，则， 而，由直线与平面所成角的正弦值为， 得，整理得，解得或， 所以或. 18．（24-25高一下·天津·期中）已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【解析】（1）由平面，平面， 所以， 又由底面是矩形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由为的中点，所以， 又因为平面，所以平面； （2） 连接，由平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以 又因为是中点，所以， 则，， 由等体积法可得点A到平面的距离满足： ； （3） 延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 即，又由于， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是， 因为，分别是的中点， 所以,即， 所以， 平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 19．（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求证：； (3)求二面角的余弦值． 【解析】（1）连接交于点，连接， 不妨设， 因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则， 因为为的中点，且， 因为，所以，即点为的中点， 翻折前，，翻折后，则有，则，即， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面，故直线与平面所成角， 易知，，， 故，即， 所以，故. （2）取的中点，连接、，则， 因为，则， 因为平面，则平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故，故二面角的平面角为， 因为，为的中点，故， 在平面内，，，则， 所以，故，所以， 故， ， 由勾股定理可得， 故， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦直线为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 线线角、线面角、二面角、点面距、线面距、面面距 【题型归纳目录】 题型一：线线角 题型二：线面角 题型三：二面角 题型四：点面距、线面距、面面距 【知识点梳理】 知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点2、异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 知识点3、直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 知识点4、作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 【典型例题】 题型一：线线角 【典例1-1】（24-25高一下·浙江·期中）在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高一下·河北邢台·期中）在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型二：线面角 【典例2-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 【典例2-2】（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在四面体中，平面BCD，，． (1)求证：平面平面； (2)若M是AD的中点，求直线BM和平面ADC所成的角的余弦值． 【变式2-1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【变式2-2】（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图，在三棱锥中，，，. (1)证明：平面平面； (2)若点是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 题型三：二面角 【典例3-1】（2025·河北秦皇岛·二模）如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点． (1)求证：平面平面； (2)若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值． 【典例3-2】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【变式3-1】（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【变式3-2】（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 题型四：点面距、线面距、面面距 【典例4-1】（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 【典例4-2】（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【变式4-1】（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 【强化训练】 1．（24-25高一下·重庆·期中）已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南·期中）正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D．3 7．（23-24高一下·天津滨海新·期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·天津滨海新·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，给出下列四个结论： ①四面体为鳖臑 ②平面 ③若，则与所成角的正弦值为 ④三棱锥的外接球的体积为定值 则其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（多选题）（24-25高一下·湖南·期中）已知正方体的棱长为为的中点，为的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为2 D．四面体的外接球的体积为 10．（多选题）（24-25高一下·福建莆田·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（） A．动点的轨迹是一条线段 B．直线与的夹角为 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．平面截正方体所得截面的面积为 11．（多选题）（24-25高一下·广东广州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为 . 13．（23-24高一下·天津滨海新·期中）已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为 ． 14．（24-25高一下·天津南开·期中）已知顶点为的圆锥，为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则与该圆锥底面所成角的正切值为 . 15．（24-25高一下·天津·期中）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为 . 16．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 17．（24-25高一下·重庆·期中）已知四棱锥的底面为是边长为1的正方形，平面 (1)求证：平面； (2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； (3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求. 18．（24-25高一下·天津·期中）已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 19．（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求证：； (3)求二面角的余弦值． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$