专题09 内切球与棱切球归类（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第二册

**基本信息** 以11类几何体（棱柱、棱锥等）为载体，系统构建内切球与棱切球的存在条件、球心定位及半径计算体系，突出空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱切球（棱柱/棱锥/棱台）|3类/每类1例+3变式|直棱柱侧棱长=直径，体积分割法求半径|从直棱柱到棱台，依底面内切圆与侧棱垂直关系递进| |内切球（棱锥/棱柱/棱台/圆锥/圆台）|5类/每类1例+3变式|体积分割法，正棱锥高线定位球心|从凸多面体到旋转体，由存在条件（如直棱柱侧棱长=底面内切圆直径）推导半径公式| |双球/多球/不规则体内切球|3类/每类1例+3变式|球心共线，比例关系求半径|从单一球到多球嵌套，结合几何体对称性与空间距离分析|

专题10 内切球与棱切球归类 目录 专题10 内切球与棱切球归类 1 2 类型一、棱切球1：棱柱棱切球 2 类型二、 棱切球2：棱锥棱切球 5 类型三、棱切球3：棱台棱切球 8 类型四、内切球1：棱锥型 10 类型五、内切球2：棱柱型 14 类型六、 内切球3：棱台型 16 类型七、内切球4：圆锥型 19 类型八、 内切球5：圆台型 22 类型九、双球内切型 25 类型十、多球内切型 29 类型十一、不规则多面体内切球 33 37 结束 47 类型一、棱切球1：棱柱棱切球 棱柱内切球： 1.存在条件：只有直棱柱才一定存在棱切球，斜棱柱没有棱切球；同时要求棱柱每个侧面都能与同一个球体相切，底面必须是有内切圆的多边形，也就是底面多边形周长一半乘以内切圆半径等于底面面积 2.棱柱的棱切球，球心位置落在棱柱上下底面中心连线的中点位置。棱切球的直径长度，和直棱柱自身的侧棱长完全相等。 例1．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积运算律及定义计算求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动， 当为直径时，，所以的最大值为. 故选：A. 变式1-1． （2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以，      点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，， 所以的最大值为. 故选：B. 变式1-2． （20-21高三·江西南昌·月考）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，则、分别为所在棱的中点，由题意有，①，，②，然后联立①②求出的值，即可得球的半径，从而根据球的表面积公式可得答案. 【详解】解：设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为， 连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于， 则、分别为所在棱的中点， 由题意，① 因为，， 又，所以， 所以，解得，② 联立①②可得， 所以球的半径为， 所以球O的表面积为， 故选：C. 变式1-3． （25-26高二下·浙江·开学考试）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出平面截球所得截面圆的圆心及半径，在三角形中，以中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，求出截面圆的方程，进而求出截面圆与三边的交点坐标，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】根据已知棱切球的球心就是正方体中心，半径. 如图，设与的交点为，过球心作平面的垂线，垂足为， 斜边上高，所以， 所以平面截球所得截面圆（圆心是）的半径， 如图，在矩形中，作，交于点， 在中，，，所以， 所以，在三角形中，如图建立直角坐标系， 所以，，，截面圆， 圆与三角形各边的交点分别为，，，，， 所以三角形三边与正方体的棱切球（与12条棱都相切的球）的公共部分长度总和为. 联立，求得，，直线方程为， 联立，求得，同理求得， 所以， 所以三边与球体O公共部分的长度总和是. 类型二、 棱切球2：棱锥棱切球 棱锥棱切球 1. 棱锥存在棱切球，唯一前提是棱锥每一个侧面都能和同一个球面相切，且顶点在底面的投影，必须落在底面多边形内切圆的圆心位置。底面图形必须自带内切圆，无内切圆的底面棱锥，直接确定没有棱切球。 2. 球心在棱锥的高线上，同时到每一个侧面的距离全都相等，这个相等距离就是棱切球的半径。 3. 半径求取核心思路采用体积分割法求解最为通用，把整个棱锥整体体积，拆分成以球心为公共顶点、原棱锥各个侧面为底面的多个小三棱锥体积之和，利用体积等量关系，就能推出球体半径大小。 4. 正棱锥特殊性 正棱锥满足底面有内切圆时一定有棱切球，球心落在正棱锥高线中点偏下位置，侧面斜高、底面边心距、棱锥高共同决定半径，不用复杂换算，依托侧面距离即可确定。 （23-24高三下·陕西西安·月考）已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出示意图，是的中心，根据对称性，球心在上，球与、的切点分别为，，利用与相似，可求得，可求球的体积. 【详解】如图，是的中心，    根据对称性，球心在上，球与、的切点分别为，， 且，，为球的半径． 由勾股定理易得，由正弦定理可求得， 由勾股定理可求得． ∵，均为球的切线，∴， ∵与相似，∴， 即，∴， ∴球的体积为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：空间几何体的内切球与外接球问题，重在求得球体的半径，根据题意作出示意图，理清数量关系是关键. 变式2-1． （2023·全国·模拟预测）已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（    ）． A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，由球O截平面ABC所得的截面面积为，得截面圆的半径为，设球O的半径为R，得，过O作PA的垂线，垂足为D，得∽，可得，进而求得． 【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，则球心O在线段或其延长线上， 为正的中心，则，． 设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为， 所以截面圆的半径为，所以，． 过O作PA的垂线，垂足为D，则， ∽，所以． ①当点O在线段上时，，即， 则，且，解得； ②当点O在线段的延长线上时，，即， 则，且，解得或， 当时，点O，重合，此时点O不在线段的延长线上，故舍去；当时，切点D不在棱PA上，不符合题意． 综合①②可知，， 故选：B． 变式2-2． （24-25高二上·河南周口·开学考试）设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，的中心为，连接，，，计算即可得出为等腰直角三角形，所以再应用正四棱锥的体积即得,最后应用球O的体积公式计算. 【详解】如图， 取的中点， 的中心为，连接，, 设球的半径为，则， 球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为， 过作，则，， ，为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 所以 正四棱锥的体积为， 所以， 球的半径为，则球O的体积为 故选:B 变式2-3． （22-23高三下·河南·月考）在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出三棱锥的高，设出棱切球的半径，求出，由半径相等列出方程，求出半径，进而求出球的表面积. 【详解】取的中心，连接， 则平面，且与棱均相切的球的球心在上， 连接并延长交于，则为的中点，， 连接，易证， 过作，交于点， 设球的半径为，则， 由题意易求得， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而，所以， 所以， 故球的表面积为. 【点睛】解决与球有关的内切，棱切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径，而棱切球，要注意切点的位置和球心的位置，利用半径相等得到方程，求出答案.. 类型三、棱切球3：棱台棱切球 棱台棱切球： 1. 存在性：上下两个底面都必须是有内切圆的多边形，且上下底面内切圆圆心连线，与棱台所有侧棱保持垂直，也就是必须为直棱台，斜棱台不存在棱切球。同时上下底面对应边互相平行，整体形态规整对称。 2. 球心位置：球心落在上下底面内切圆圆心的连线上，且到每一个侧面的距离全部相等，这段相等距离就是棱切球半径。 3. 半径求解：通用依旧采用体积分割思路，将整个棱台体积，拆分为以球心为公共顶点、各个侧面为底面的多个小棱台类几何体体积之和，依靠体积等量关系求出半径。 4. 正棱台特殊性：正棱台只要上下底面都是同类型正多边形且都有内切圆，就一定存在棱切球。上下底面边心距、棱台高度共同决定半径大小，可借助侧面距离关系快速推导。 例3．（23-24高一下·广东佛山·期末）已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析半球与各棱的切点位置，利用球的切线性质，用表示出侧棱长，从不同角度表示出棱台的高，从而建立关于的方程，然后可得. 【详解】由题意可知，为下底面， 记上底面的中心为，过作垂直于平面，垂足为， 易知点在上，记半球与分别相切于点， 由正四棱台和球的对称性可知，为的中点， 因为，所以，， 记半球的半径为，则， 所以，， 分别在中，由勾股定理得， ， 因为，所以， 解得或（舍去）， 所以半球的表面积为. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查学生的直观想象能力，解题关键在于利用球的切线性质，用表示出侧棱，然后根据棱台的高距离方程求出半径即可. 变式3-1．（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求解棱台的高,进而根据相切，由勾股定理求解球半径，即可由表面积公式求解. 【详解】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：C 变式3-2． 变式3-3． 类型四、内切球1：棱锥型 棱锥内切球： 1. 存在性： 任意凸棱锥都一定存在内切球，没有底面形状硬性限制，只要是向内收拢的规整棱锥，内部都能容纳一个同时贴合所有面的球体。 2.球心位置： 球心到棱锥每一个面的垂直距离全都相等，这个距离就是内切球半径；球心整体落在棱锥内部居中位置，在棱锥的高线上。 3. 半径求法： 使用体积分割法，把原棱锥整体体积，拆分成以球心为公共顶点、以棱锥各个面分别作为底面的多个小三棱锥体积总和，依靠体积等量关系就能求出半径，这是万能解法。 4. 正棱锥特殊性： 正棱锥的内切球球心就在高线之上，依靠棱锥总高度、底面边心距、侧面斜高之间的位置比例，就能快速确定半径大小。 例4．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，， 因是正三角形，则，又是矩形，有， 而平面平面，平面平面，平面，平面， 因此平面，平面， 又，则平面，平面，则，， ，平面，则平面，又平面， 所以，而，则，显然， 由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆， 此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形， 设，又，，则球的半径， 又四棱锥的表面积为， 由得： ， 即， 故即，解得， 故， ，， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径和. 变式4-1． （21-22高二下·浙江宁波·期末）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，其内切球与两侧面，分别切于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正四棱锥内切球的球心为O，半径为R，P为内切球与侧面PAB的切点， 为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r，E为AB中点，底面正方形ABCD中心，利用等体积法求得内切球的半径，再利用等面积法求得点P到的距离求解. 【详解】解：如图所示： 设正四棱锥内切球的球心为O，半径为R，P为内切球与侧面PAB的切点， 为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r，E为AB中点，底面正方形ABCD中心， 因为正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，侧棱长为， 所以正四棱锥侧面三角形的高为， 正四棱锥的高为， 正四棱锥的表面积为， 正四棱锥的体积为， 由等体积法得：， 解得， 因为， 所以， 由正四棱锥的定义知：内切圆与四个侧面相切，四个切点构成正方形， 所以， 故选：A 变式4-2． （2006·江西·高考真题）如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与、分别截于、.如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别为，，则必有（    ） A． B． C． D．的大小不能确定 【答案】C 【分析】连接、、、，，，表示出、，即可得到与的关系. 【详解】解：连接、、、，，， 则，， 又， 而以上等式右边的每个三（四）棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面公共， 故，即. 故选：C． 变式4-3． （浙江省杭州第二中学2021-2022学年高三上学期调研考试数学试题）在四面体中，I为其内切球球心，是正三角形，射线，，分别与面，，交于点E，F，G，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用四面体的六个二面角的角平分面交于一点为内切球的球心，结合内切球满足的性质可得结论. 【详解】内切球就是与四面体的每个面都相切，过四面体的任意两个面做角平分面（就是面面夹角的角平分线的所在的平面）。设一底面，三个侧面，底面与任意两个侧面之间的角平分面之间必会有一条交线，这条线就是底面与棱的角平分线（两个侧面的相交棱）。依次作出三条侧棱与底面的角平分线，交于一点，即为内切球的球心。 四面体中，底面是正三角形，若，则四面体为正三棱锥， 则三棱锥任意两个侧面的角平分面都全等，故，即必要性成立； 四面体中，底面是正三角形，作二面角的角平分面交面于，作二面角的角平分面交面于， 在中，利用余弦定理得， 在中，利用余弦定理得， 若，不能推出，故充分性不成立， 故 “”是“”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查四面体内切球的性质，充分必要条件的定义，解题的关键是熟悉四面体内切球的定义及性质，考查学生的逻辑推理能力，属于一般题. 类型五、内切球2：棱柱型 棱柱内切球： 1. 存在判定条件：必须是直棱柱，上下两个底面为全等多边形，且底面一定有内切圆，同时棱柱的侧棱长和底面内切圆的直径长度相等，三条缺一不可，不满足就没有内切球。只有直棱柱才会出现内切球，倾斜的斜棱柱一定没有内切球 2. 球心位置：球心落在棱柱上下两个底面中心连线的中点处，也在棱柱整体立体图形的正中心位置，到所有侧面以及上下底面的距离全都相等。 3. 通法求半径： 先求出底面图形内切圆的半径，这个数值就是内切球的半径；也可以直接取棱柱高度的一半，两种方式算出的结果完全一致。 4.特殊棱柱， 正方体必然存在内切球，它的内切球半径就是棱长的一半；底面为三角形的直三棱柱，只要高度符合要求就有内切球，半径依照底面三角形内切圆大小确定；各类正棱柱全都统一遵循以上通用规律计算即可。 例5．（2020·内蒙古包头·一模）棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长． 【详解】如图， MN为该直线被球面截在球内的线段 连结并延长PO，交对棱C1D1于R， 则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN， ∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝， ∴MH＝＝＝， ∴MN＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 变式5-1．（2025·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设是线段的中点，则，利用勾股定理求出，进而求出，找出当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，再利用弦长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】设是线段的中点，则， 由勾股定理， 球心到距离为， 当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小， 被球截得的弦长为， 此时圆的半径就是，面积为. 故选：A. 变式5-2． （21-22高二上·辽宁·开学考试）在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正三棱柱的底面边长为高为，先利用的最小值是得到，然后利用内切球可得到，两式联立可得，即可求解 【详解】设正三棱柱的底面边长为高为， 对三个侧面进行展开如图， 要使线段的最小值是，则连接（左下角，右上角）， 此时在连接线上，故①， 因为正三棱柱内部存在一个半径为的内切球， 所以整理得， 将代入①可得， 所以正三棱柱的底面外接圆半径为， 所以正三棱柱的外接球半径为， 所以该棱柱的外接球表面积为 故选：B 变式5-3． （21-22高二上·陕西安康·期末）已知球O内切于正方体，P，Q，M，N分别是的中点，则该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意易知正方体的内切球球心为正方体的体对角线中点，直径为正方体的棱长，球心到平面的距离为底面对角线长的四分之一，从而可得内切球被平面所截得的截面小圆的半径，从而可得所求比值． 【详解】解：如图，易知正方体的内切球的球心O为的中点， 设球O切上下底面中心于点E，F，则球O的半径， 又易知球心O到平面的距离等于E到平面的距离， 设交于点G，则易证平面， ∴球心O到平面的距离， 设正方体的棱长为， 则，， ∴球O被平面所截的小圆半径， ∴球O被平面所截的小圆面积为， 又易知，， ∴该正方体被平面所截得的截面面积为， ∴该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为， 故选：A 【点睛】关键点睛：根据正方体内切球的性质，结合正方体的性质是解题的关键. 类型六、 内切球3：棱台型 棱台内切球： 1.存在条件： 必须是正棱台，上下两个底面都能作出内切圆，且棱台各个侧面均为全等的等腰梯形，同时棱台的整体高度，等于上下底面内切圆半径之和的两倍，全部满足才存在内切球。 2.球心位置： 球心处在棱台上下底面中心的连线上，位于立体图形内部居中位置，到棱台所有侧面、上底面、下底面的距离全都相等。 3.半径计算通法： 先分别算出上下两个底面内切圆的半径，将两个半径数值相加，所得结果就是棱台内切球的半径；也可直接用棱台总高度的一半来得出半径大小。 4.特殊棱台： 上下底面边长相等时，棱台就变为棱柱，内切球规律和棱柱完全一致；正四棱台是考试最常见类型，只需核对高度与底面内切圆关系，就能快速判定并求出球的半径。 例6．（25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D 变式6-1． （24-25高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所求为，用表示出正六棱台的体积、表面积，设内切球半径为，可用等体积法表示出，另外一方面等于正六棱台的高，由此可构建方程求解. 【详解】如图所示，设所求为，是正六棱台的底面的中心， 因为正六边形的每一个内角为，所以，又因为， 所以三角形是等边三角形，所以，同理， 所以，所以正六棱台的体积为，由， 表面积为， 设内切球半径为，则由等体积法可得，，所以，又， 所以，即，所以，即，解得. 故选：C. 变式6-2． （24-25高二下·浙江杭州·月考）某正三棱台（底面与顶面均为正三角形，侧面都是等腰梯形的几何体）的体积为，内切球（与棱台各面都相切）的半径为，则该三棱台的侧棱长为__________ 【答案】 【分析】根据题意设上底面与下底面正三角形的边长分别为，根据棱台体积，求出表面积，然后求出，进而求解棱长. 【详解】设上底面与下底面正三角形的边长分别为, 根据棱台体积公式，，则， 则可得侧面梯形的高为， 根据勾股定理，可得，则，故， 则， 则可得棱长为.故答案为：. 变式6-3． （2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【答案】 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，，则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为，棱台体积为，所以球与棱台的体积比为.故答案为：. 类型七、内切球4：圆锥型 圆锥内切球： 1. 存在条件： 任意圆锥都能够作出内切球，没有额外限制，只要是完整的实心圆锥，内部一定存在与底面以及所有侧面都相切的内切球。 2. 球心位置： 球心落在圆锥顶点与底面圆心连成的中心轴线上，处在圆锥内部，距离底面和侧面的距离完全相等。 3. 半径计算通法： 借助圆锥的整体高度、底面圆半径以及母线长度，利用切面形成的等腰三角形结合面积关系推算，通过整体体积分割或是切面几何比例，就能求出内切球半径。 4. 特殊圆锥： 等边圆锥也就是轴截面为正三角形的圆锥，计算方式最为简便，可直接依靠边长比例快速得出内切球半径；直角圆锥也可依托直角边比例，简化半径求解过程。 例7．（20-21高一下·湖北黄冈·期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出未知量，即圆锥半径为，圆锥高为，分析组合体轴截面图，找出与的一组关系式，再根据题意中圆锥与球体的体积关系找出另一组与的关系式即可求出答案. 【详解】如下图组合体的轴截面，设圆锥半径为，圆锥高为，则，，，由得,代入得①， 由“该圆锥体积是球体积两倍”可知，即②，联立两式得. 故选:B 变式7-1．（2025高三·全国·专题练习）已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥的性质得到，，再结合圆锥的表面积公式和球的表面积公式求出表面积，结合题意建立方程，得到，最后再利用圆锥的底面积和侧面积公式求出比例关系即可. 【详解】如图，设母线长为，底面半径为，母线与底面所成角为，内切球半径，连接，    则，可得，故， 因为，，， 所以，故， 则，可得， 由圆锥表面积公式得 ， 因为，所以， 由球的表面积公式得， 因为圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，所以， 可得， 由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得， 整理得，即， 化简得，解得． 得到，故A正确. 故选：A． 变式7-2．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面积与圆锥侧面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径和高，再由三角形面积相等求出圆锥内切球半径，然后由球的表面积公式和圆锥的侧面积公式求出结果即可. 【详解】因为三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6， 所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长， 由正弦定理可得底面圆的半径， 所以圆锥的高， 如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径， 轴截面三角形面积为， 所以内切球半径， 内切球的表面积为， 圆锥的侧面积为， 所以其和为， 故选：C. 变式7-3． （23-24高二下·广西南宁·月考）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直.且母线长为6.则圆锥PO的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得△ABC为圆锥底面圆的内接正三角形，由正弦定理可得，可得圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径r，利用面积法求解即可. 【详解】因为PA，PB，PC两两互相垂直且长度均为6， 所以△ABC为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长， 由正弦定理得底面圆的半径， 所以圆锥的高. 如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径r， 轴截面三角形面积为，所以内切球的半径. 内切球的表面积为. 故选：C. 类型八、 内切球5：圆台型 圆台型： 1、 存在条件： 圆台存在内切球，需满足母线长度等于上下底面圆的半径之和，同时圆台自身为规整旋转体，侧面、上下底面都能与同一个球体相切。 2. 球心位置： 球心在圆台上下两个底面圆心的连线上，处于几何体内部，到上底面、下底面以及侧面的距离全部相等。 3. 半径计算通法： 先求出圆台整体的高度，内切球半径就是圆台高度的一半；也可结合上下底面半径，通过切面等腰梯形的边长关系推导得出。 4. 特殊情况： 当上下底面半径大小一致时，圆台就变成圆柱，内切球相关规律和圆柱完全相同；轴截面为等腰梯形且腰长符合对应关系时，是考试最常考的标准题型。 · 例8．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，，则球O与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切可得母线，进而得到圆台的高即为内切球直径，利用边的关系得到，再得到，根据球的截面问题得到截面半径，利用台体体积公式分别得到两圆台的体积即可得到比值. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底分别切于点，， 又圆台上、下底面的半径为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E， 所以， 在中，因为，所以，则， ，则， 因为球O内切于圆台，所以， 设QP与交于点，则， ，． 故圆台体积为， 圆台体积为， 故切痕所在平面分圆台上、下两部分的体积比为．    故选：B. 变式8-1．（23-24高二下·甘肃武威·月考）如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体表面积公式求解即可. 【详解】设圆台上､下底面圆心分别为，则圆台内切球球心一定在中点处，    设球与母线切于点，（为球的半径）， 与全等，，同理 ， 圆台的内切球半径内切球的表面积. 故选：B. 变式8-2． （24-25高二上·湖北·期中）若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据含内切球的圆台轴截面中的几何性质求出上下底面半径与内切球半径的关系，再应用圆台、球体表面积求法求结果. 【详解】设上、下底面半径分别为、，如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，    设内切球与梯形两腰分别切于点，知， 由题意知：母线与底面所成角为，则，可得， 即，得，则内切球的半径， 所以圆台表面积，球的表面积 所以. 故选：C 变式8-3． （2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 类型九、双球内切型 双球内切型 1. 存在条件： 几何体本身能容纳一个与各面都相切的大内切球，几何体内部边角留有均匀空隙，空隙空间规整充足，可再放入一个小球，让小球既贴合几何体侧面，又与内部大球相切，即可形成此类双球结构。 2. 球心位置： 大小两个球的球心，都在几何体中心对称轴上，两球心和相切点三点共线，整体沿中轴线上下排布。 3.半径计算通法： 先依据几何体尺寸算出内部大球半径，再利用几何体侧面倾斜角度、几何体高度与底面大小，结合两球相切的距离关系，借助长度比例推导，求出缝隙中小球的半径。 3. 特殊情况： 圆锥、圆台、正棱锥最常考这类题型；圆柱内部空间均匀，小球尺寸受限明显；圆台上下宽窄不同，上下两处可放置的小球大小也存在差异。 例9．（24-25高一下·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴截面图来研究两球关系，利用等体积法来求内切球的半径，再利用相似来求小内切球的半径即可. 【详解】解：如图所示： 依题意得， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为， 所以， 所以， 设球的半径为，所以， 则，得， 设球的半径为，则， 又，得， 所以球的表面积为． 故选：A． 变式9-1． （24-25高一下·山西·期中）如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】做出对角面，设两球半径分别为，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合体积公式即可求解. 【详解】如图，设两球半径分别为，球心和在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得 即 ，所以， 故两球体积之和为 由二次函数性质可知： 当且仅当时，有最小值． 故选：A 变式9-2． （21-22高三下·重庆·开学考试）已知正三棱锥P-ABC的高为3，底面ABC是边长为6的等边三角形，先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球，然后再放入球，使得球与球以及三棱锥P-ABC的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由等体积法求出内切球的半径，再利用同样的方法求出球的半径作答. 【详解】依题意，正的面积，正三棱锥的体积， 正的边心距，则正三棱锥的斜高， 正三棱锥的全面积， 因球是三棱锥内切球，于是有：，解得， 又球与球相切，且与三棱锥的三个侧面相切， 则球可视为过、球相切的切点与三棱锥底面ABC平行的平面截三棱锥所得小正三棱锥的内切球， 显然，小正三棱锥的高为1，底面是边长为2的正三角形，同理计算可得， 所以. 故选：C 变式9-3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设球的半径为，三棱锥的表面积为，根据体积分割法，求得，设在底面内的射影为，在上取点，使得，过作平面的平行平面，求得，设球的半径为，求得，进而求得的长. 【详解】设球的半径为，三棱锥的表面积为， 则， 解得， 又由，且， 可得， 设在底面内的射影为， 因为在上，在上取点，使得， 过作平面的平行平面，交，，于点G，T，H， 如图所示，则也是正三棱锥，球即为该三棱锥的内切球， 又因为， 设球的半径为，则，所以， 所以. 故选：B. 类型十、多球内切型 多球型： 1. 存在条件： 几何体本身能容纳一个与各面都相切的大内切球，几何体内部边角留有均匀空隙，空隙空间规整充足，可再放入一个小球，让小球既贴合几何体侧面，又与内部大球相切，即可形成此类双球结构。 2. 球心位置： 大小两个球的球心，都在几何体中心对称轴上，两球心和相切点三点共线，整体沿中轴线上下排布。 3. 半径计算通法： 先依据几何体尺寸算出内部大球半径，再利用几何体侧面倾斜角度、几何体高度与底面大小，结合两球相切的距离关系，借助长度比例推导，求出缝隙中小球的半径。 4. 特殊情况： 圆锥、圆台、正棱锥最常考这类题型；圆柱内部空间均匀，小球尺寸受限明显；圆台上下宽窄不同，上下两处可放置的小球大小也存在差异。 例10．（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 【答案】B 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于不同高度的正四面体即可求解． 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心，延长AO交底面BCD于， 是等边三角形BCD的中心，过作交CD于，连接BF， 根据对称性，BF过点E， 则OE为正四面体内切球的半径， 正中，高，而，， 同理，所以， 所以， 解得，所以正四面体ABCD内切球的表面积为， 由图可知最大球内切于高的正四面体中， 最大球半径，故最大球表面积为， 进一步，可知中等球内切于高的正四面体中， 中等球半径，故中等球的表面积为， 最小球内切于高的正四面体中， 最小球半径，故最小球的表面积为， 所以九个球的表面积之和为． 变式10-1． （2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大圆，如图： 显然，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 因为，则，显然，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，即， 设球与球相切于点S，则， 设球的半径为，同理可得，即，， 所以， 故选：B 变式10-2．（21-22高三上·重庆沙坪坝·月考）已知有两个半径为2的球记为O1，O2，两个半径为3的球记为O3，O4，这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球O1，O2，O3，O4都相内切，则球O的表面积为________． 【答案】144π 【分析】先确定球心O在MN上，然后在和中根据勾股定理求，利用求球O的半径，从而求球O的表面积. 【详解】由题意可知，， 取的中点M，的中点N，连接， 因为， 所以， 所以面 ，面，所以球O的球心在MN上， 且在中，，在中，， 设球O的半径为R， 在中， ， 在中， ， 所以，解得R=6，所以球的表面积为. 故答案为：. 变式10-3． （25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【答案】 【分析】首先根据正四面体表面积求出棱长，高，再通过几何关系求出大球半径（也可以使用等体积法）．中球，小球也可以看成是内接于正四面体的球，求出外切正四面体的高，根据相似关系，得到中球，小球半径，最终求出个球的表面积之和． 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体ABCD的表面积为，即，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为． 类型十一、不规则多面体内切球 不规则几何体： 1. 存在条件： 不规则几何体内切球无固定统一判定标准，只需几何体内部空间密闭连通，整体凹凸程度适中，能找到一个球体同时贴合几何体所有内表面，无空间阻挡、无区域空缺遮挡，便可存在内切球。 2. 球心位置： 没有固定中心位置，不局限于对称轴与几何中心，仅满足球心到几何体每一个内切面的垂直距离全都相等，此距离即为球体自身半径。 3. 半径计算通法： 无法套用固定公式，依靠分割图形、构建空间线段，结合各面距离关系，通过线段长度等量对应，逐步推算出球心位置，进而求出球体半径。 4. 特殊情况： 部分极度凹凸、形状歪斜的不规则几何体不存在内切球；仅有局部规整的不规则体，仅能局部相切，无法做到全表面内切；考试极少考查，仅需掌握距离相等核心性质即可。 例11．（2025高三·全国·专题练习）如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r，弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h，根据已知得出内切球的半径，求出棱柱的高，再利用，进而利用体积公式求解即可. 【详解】如图，设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r， 弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h， 因为，，则，， 因为，所以， 设内切球与圆弧BC所在曲面相切于点N， 则，则，，， 所以， 所以．    故选：C 变式11-1．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，再由棱锥的体积公式计算即可； 【详解】由题意正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合， 所以正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，设为 所以，解得， 故选：C. 变式11-2． （2024·四川绵阳·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（    ） A．该正八面体结构的外接球表面积为 B．该正八面体结构的内切球表面积为 C．该正八面体结构的表面积为 D．该正八面体结构的体积为 【答案】D 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】对A：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心， 外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积 ，故A正确； 对D：连接，，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故D错误； 对C：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积 ，故C正确； 对B：底面中心到各面顶点的距离相等，故为内切球球心， 设该正八面体结构的内切球半径，则， 所以， 故内切球的表面积，故B正确. 故选：D. 变式11-3．（22-23高二上·安徽宣城·开学考试）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为，求出即得解. 【详解】解：该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为， 如图所示，， 所以， 可得， 故该内切球的表面积为. 故选：A 压轴专练 一、单选题 1．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设AB，的中点分别为D，E，连接CD，OD，OE，， 设，则. 因为，所以. 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 2．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知正方体的棱切球表面积为，动点E，F分别在线段，上运动，且E，F不与正方体的顶点重合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，将平面，，展开到同一平面，连接，的得到，在中，利用余弦定理，求得的长，即可得到答案. 【详解】由题意，可得，因为，解得， 将平面，，展开到同一平面，如图所示， 由题意，可得， 连接，交于，交于， 则， 在中，，， 由余弦定理得， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 3．（2023·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意构造直角三角形，列出关于高及得方程组，即可求解出正三棱锥的棱切球半径. 【详解】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱 设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设， 在中， 因为为的中心，则，， 在中即； 在中，，即， 在中，，则； 在中，，则， 在中，，则， 又因为，则，化简得， 由得解得. 故选：C. 4．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由正棱台性质可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，然后由截面图结合勾股定理列出关于球的半径的等量关系。即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则． 设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高， 内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则， 如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 5．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及体积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为. 6．（2024·吉林·三模）点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四面体体积的等积性求得内切球半径，由球的性质可知：当，与圆相切时，最大，结合圆的切线性质，结合锐角三角函数定义、正切二倍角公式、正弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设正四面体的棱长为，正四面体的内切球的球心为，顶点在底面的射影为， 显然在线段上，该正四面体内切球的半径为， 如图，为正三角形的中心，则， ， 由三棱锥的等体积得，即， 解得， ， 由球的性质可知：当，与圆相切时，最大， 如图所示：， 由圆的切线长定理可知：， 在中，， 最大时，最小，因为， 所以此时为的中点，即有， 正四面体的内切球的球心为，显然也是该正四面体的外接球的球心， 所以， 因此，， ， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用球的几何性质即当，与圆相切时，最大，结合圆的切线性质求解. 7．（2024·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，易知，且，设肉馅球半径为，，根据中点可知到的距离，，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得，结合余弦定理可得，进而可得，，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值. 【详解】    如图所示，取中点为，， 为方便计算，不妨设， 由，可知， 又、分别为所在棱靠近端的三等分点， 则， 且，、，，平面， 即平面， 又平面，则平面平面， 设肉馅球半径为，， 由于、、分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅， 则到的距离，，， 又，解得：， 故， 又， 解得，， 所以：，解得，， 由以上计算可知：为正三棱锥， 故， 所以比值为. 故选：B. 8．（2026·福建三明·二模）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别为和的中点，平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线距离的最小值. 【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为，取的中点为，的中点为，连接，，， 球O为四棱锥的内切球， 底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面， 则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆， 此圆为的内切圆，半径为r，与分别相切于点E，F， 平面平面，交线为平面， 为正三角形，有，平面， 平面，， ，，则有，，， 则中，，解得. 所以，四棱锥内切球半径为2，连接. 平面，平面，， 又，平面，， 平面，平面，可得， 所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径， 所以， 又. 所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为. 二、填空题 9．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据内切球半径求得正四面体的棱长，利用向量数量积运算以及球的几何性质求得的取值范围. 【详解】设正四面体的棱长为，设是等边三角形的中心，连接， 则平面，且球的球心， ， 则， 所以，解之得， 所以,， 由向量运算的三角形法则可得， 所以， 而，则． 由题设可知，所以. 故答案为： 10．（25-26高二上·四川内江·期中）在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为___________． 【答案】 【分析】借助内切球性质可得和相似，则有计算即可得内切球的半径，即可得高. 【详解】在正四棱锥中，分别为的中点， 平面恰好与正四棱锥的内切球相切， 设AC与BD相交于点Q，取AB的中点为M连接PM,PQ,MQ， 取PQ与平面交于点N，连接NG ，作于S，设内切球的半径为r，则，设PQ=h， 平面与平面ABCD平行，平面PQC与两个平面的交线为NG、QC 所以 ，所以和相似，由G为PC中点， 所以点N是PQ中点,所以 ； 又和相似，故，易得， 则 ，得到，所以 即正四棱锥P-ABCD的高为.； 故答案为： 11．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据题意结合正方体的性质可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出球心到平面的距离，从而可求出，进而可求出的最小值. 【详解】 在正方体中，，且平面， 平面，所以平面，平面. 因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以球心到平面的距离. 如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径. 因为，所以，即， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）三棱锥中，是边长为的正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，且．三棱锥的内切球为球，外接球为球，若球的半径为，球的半径为，则______；若为球上任意一点，为球上任意一点，则线段的最小值为______ 【答案】 【分析】将三棱锥放入正方体中，利用等体积法可得内切球半径，根据正方体的外接球求解，进而可求解空1，根据两球的关系，结合半径的关系即可求解空2. 【详解】由题易知，三棱锥为棱长为1的立方体的一部分，如图 由等体积法求，，即. 又由，即，所以； 的外接圆半径为，故点到平面的距离为， 由于，所以在三棱锥的外部， 故球内含于球，且， 所以. 故答案为：， 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 内切球与棱切球归类 目录 专题10 内切球与棱切球归类 1 2 类型一、棱切球1：棱柱棱切球 2 类型二、 棱切球2：棱锥棱切球 2 类型三、棱切球3：棱台棱切球 3 类型四、内切球1：棱锥型 3 类型五、内切球2：棱柱型 5 类型六、 内切球3：棱台型 5 类型七、内切球4：圆锥型 6 类型八、 内切球5：圆台型 7 类型九、双球内切型 8 类型十、多球内切型 10 类型十一、不规则多面体内切球 11 13 结束 错误！未定义书签。 类型一、棱切球1：棱柱棱切球 棱柱内切球： 1.存在条件：只有直棱柱才一定存在棱切球，斜棱柱没有棱切球；同时要求棱柱每个侧面都能与同一个球体相切，底面必须是有内切圆的多边形，也就是底面多边形周长一半乘以内切圆半径等于底面面积 2.棱柱的棱切球，球心位置落在棱柱上下底面中心连线的中点位置。棱切球的直径长度，和直棱柱自身的侧棱长完全相等。 例1．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 变式1-1． （2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 变式1-2． （20-21高三·江西南昌·月考）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式1-3． （25-26高二下·浙江·开学考试）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（   ） A． B． C． D． 类型二、 棱切球2：棱锥棱切球 棱锥棱切球 1. 棱锥存在棱切球，唯一前提是棱锥每一个侧面都能和同一个球面相切，且顶点在底面的投影，必须落在底面多边形内切圆的圆心位置。底面图形必须自带内切圆，无内切圆的底面棱锥，直接确定没有棱切球。 2. 球心在棱锥的高线上，同时到每一个侧面的距离全都相等，这个相等距离就是棱切球的半径。 3. 半径求取核心思路采用体积分割法求解最为通用，把整个棱锥整体体积，拆分成以球心为公共顶点、原棱锥各个侧面为底面的多个小三棱锥体积之和，利用体积等量关系，就能推出球体半径大小。 4. 正棱锥特殊性 正棱锥满足底面有内切圆时一定有棱切球，球心落在正棱锥高线中点偏下位置，侧面斜高、底面边心距、棱锥高共同决定半径，不用复杂换算，依托侧面距离即可确定。 （23-24高三下·陕西西安·月考）已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 变式2-1． （2023·全国·模拟预测）已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（    ）． A．1 B． C． D．或 变式2-2． （24-25高二上·河南周口·开学考试）设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 变式2-3． （22-23高三下·河南·月考）在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 类型三、棱切球3：棱台棱切球 棱台棱切球： 1. 存在性：上下两个底面都必须是有内切圆的多边形，且上下底面内切圆圆心连线，与棱台所有侧棱保持垂直，也就是必须为直棱台，斜棱台不存在棱切球。同时上下底面对应边互相平行，整体形态规整对称。 2. 球心位置：球心落在上下底面内切圆圆心的连线上，且到每一个侧面的距离全部相等，这段相等距离就是棱切球半径。 3. 半径求解：通用依旧采用体积分割思路，将整个棱台体积，拆分为以球心为公共顶点、各个侧面为底面的多个小棱台类几何体体积之和，依靠体积等量关系求出半径。 4. 正棱台特殊性：正棱台只要上下底面都是同类型正多边形且都有内切圆，就一定存在棱切球。上下底面边心距、棱台高度共同决定半径大小，可借助侧面距离关系快速推导。 例3．（23-24高一下·广东佛山·期末）已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（      ） A． B． C． D． 变式3-1．（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3-2． 变式3-3． 类型四、内切球1：棱锥型 棱锥内切球： 1. 存在性： 任意凸棱锥都一定存在内切球，没有底面形状硬性限制，只要是向内收拢的规整棱锥，内部都能容纳一个同时贴合所有面的球体。 2.球心位置： 球心到棱锥每一个面的垂直距离全都相等，这个距离就是内切球半径；球心整体落在棱锥内部居中位置，在棱锥的高线上。 3. 半径求法： 使用体积分割法，把原棱锥整体体积，拆分成以球心为公共顶点、以棱锥各个面分别作为底面的多个小三棱锥体积总和，依靠体积等量关系就能求出半径，这是万能解法。 4. 正棱锥特殊性： 正棱锥的内切球球心就在高线之上，依靠棱锥总高度、底面边心距、侧面斜高之间的位置比例，就能快速确定半径大小。 例4．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1． （21-22高二下·浙江宁波·期末）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，其内切球与两侧面，分别切于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 变式4-2． （2006·江西·高考真题）如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与、分别截于、.如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别为，，则必有（    ） A． B． C． D．的大小不能确定 变式4-3． （浙江省杭州第二中学2021-2022学年高三上学期调研考试数学试题）在四面体中，I为其内切球球心，是正三角形，射线，，分别与面，，交于点E，F，G，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 类型五、内切球2：棱柱型 棱柱内切球： 1. 存在判定条件：必须是直棱柱，上下两个底面为全等多边形，且底面一定有内切圆，同时棱柱的侧棱长和底面内切圆的直径长度相等，三条缺一不可，不满足就没有内切球。只有直棱柱才会出现内切球，倾斜的斜棱柱一定没有内切球 2. 球心位置：球心落在棱柱上下两个底面中心连线的中点处，也在棱柱整体立体图形的正中心位置，到所有侧面以及上下底面的距离全都相等。 3. 通法求半径： 先求出底面图形内切圆的半径，这个数值就是内切球的半径；也可以直接取棱柱高度的一半，两种方式算出的结果完全一致。 4.特殊棱柱， 正方体必然存在内切球，它的内切球半径就是棱长的一半；底面为三角形的直三棱柱，只要高度符合要求就有内切球，半径依照底面三角形内切圆大小确定；各类正棱柱全都统一遵循以上通用规律计算即可。 例5．（2020·内蒙古包头·一模）棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（    ） A． B． C． D．1 【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 变式5-1．（2025·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2． （21-22高二上·辽宁·开学考试）在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 变式5-3． （21-22高二上·陕西安康·期末）已知球O内切于正方体，P，Q，M，N分别是的中点，则该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为（    ） A． B． C． D． 类型六、 内切球3：棱台型 棱台内切球： 1.存在条件： 必须是正棱台，上下两个底面都能作出内切圆，且棱台各个侧面均为全等的等腰梯形，同时棱台的整体高度，等于上下底面内切圆半径之和的两倍，全部满足才存在内切球。 2.球心位置： 球心处在棱台上下底面中心的连线上，位于立体图形内部居中位置，到棱台所有侧面、上底面、下底面的距离全都相等。 3.半径计算通法： 先分别算出上下两个底面内切圆的半径，将两个半径数值相加，所得结果就是棱台内切球的半径；也可直接用棱台总高度的一半来得出半径大小。 4.特殊棱台： 上下底面边长相等时，棱台就变为棱柱，内切球规律和棱柱完全一致；正四棱台是考试最常见类型，只需核对高度与底面内切圆关系，就能快速判定并求出球的半径。 例6．（25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 变式6-1． （24-25高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（   ） A． B． C． D． 变式6-2． （24-25高二下·浙江杭州·月考）某正三棱台（底面与顶面均为正三角形，侧面都是等腰梯形的几何体）的体积为，内切球（与棱台各面都相切）的半径为，则该三棱台的侧棱长为__________ 变式6-3． （2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 类型七、内切球4：圆锥型 圆锥内切球： 1. 存在条件： 任意圆锥都能够作出内切球，没有额外限制，只要是完整的实心圆锥，内部一定存在与底面以及所有侧面都相切的内切球。 2. 球心位置： 球心落在圆锥顶点与底面圆心连成的中心轴线上，处在圆锥内部，距离底面和侧面的距离完全相等。 3. 半径计算通法： 借助圆锥的整体高度、底面圆半径以及母线长度，利用切面形成的等腰三角形结合面积关系推算，通过整体体积分割或是切面几何比例，就能求出内切球半径。 4. 特殊圆锥： 等边圆锥也就是轴截面为正三角形的圆锥，计算方式最为简便，可直接依靠边长比例快速得出内切球半径；直角圆锥也可依托直角边比例，简化半径求解过程。 例7．（20-21高一下·湖北黄冈·期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 变式7-1．（2025高三·全国·专题练习）已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 故选：A． 变式7-2．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面积与圆锥侧面积之和为（     ） A． B． C． D． 变式7-3． （23-24高二下·广西南宁·月考）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直.且母线长为6.则圆锥PO的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 类型八、 内切球5：圆台型 圆台型： 1、 存在条件： 圆台存在内切球，需满足母线长度等于上下底面圆的半径之和，同时圆台自身为规整旋转体，侧面、上下底面都能与同一个球体相切。 2. 球心位置： 球心在圆台上下两个底面圆心的连线上，处于几何体内部，到上底面、下底面以及侧面的距离全部相等。 3. 半径计算通法： 先求出圆台整体的高度，内切球半径就是圆台高度的一半；也可结合上下底面半径，通过切面等腰梯形的边长关系推导得出。 4. 特殊情况： 当上下底面半径大小一致时，圆台就变成圆柱，内切球相关规律和圆柱完全相同；轴截面为等腰梯形且腰长符合对应关系时，是考试最常考的标准题型。 · 例8．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，，则球O与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 变式8-1．（23-24高二下·甘肃武威·月考）如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（   ）    A． B． C． D． 变式8-2． （24-25高二上·湖北·期中）若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（    ） A． B．2 C． D． 变式8-3． （2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 类型九、双球内切型 双球内切型 1. 存在条件： 几何体本身能容纳一个与各面都相切的大内切球，几何体内部边角留有均匀空隙，空隙空间规整充足，可再放入一个小球，让小球既贴合几何体侧面，又与内部大球相切，即可形成此类双球结构。 2. 球心位置： 大小两个球的球心，都在几何体中心对称轴上，两球心和相切点三点共线，整体沿中轴线上下排布。 3.半径计算通法： 先依据几何体尺寸算出内部大球半径，再利用几何体侧面倾斜角度、几何体高度与底面大小，结合两球相切的距离关系，借助长度比例推导，求出缝隙中小球的半径。 3. 特殊情况： 圆锥、圆台、正棱锥最常考这类题型；圆柱内部空间均匀，小球尺寸受限明显；圆台上下宽窄不同，上下两处可放置的小球大小也存在差异。 例9．（24-25高一下·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式9-1． （24-25高一下·山西·期中）如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式9-2． （21-22高三下·重庆·开学考试）已知正三棱锥P-ABC的高为3，底面ABC是边长为6的等边三角形，先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球，然后再放入球，使得球与球以及三棱锥P-ABC的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 变式9-3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（   ） A． B． C． D． 类型十、多球内切型 多球型： 1. 存在条件： 几何体本身能容纳一个与各面都相切的大内切球，几何体内部边角留有均匀空隙，空隙空间规整充足，可再放入一个小球，让小球既贴合几何体侧面，又与内部大球相切，即可形成此类双球结构。 2. 球心位置： 大小两个球的球心，都在几何体中心对称轴上，两球心和相切点三点共线，整体沿中轴线上下排布。 3. 半径计算通法： 先依据几何体尺寸算出内部大球半径，再利用几何体侧面倾斜角度、几何体高度与底面大小，结合两球相切的距离关系，借助长度比例推导，求出缝隙中小球的半径。 4. 特殊情况： 圆锥、圆台、正棱锥最常考这类题型；圆柱内部空间均匀，小球尺寸受限明显；圆台上下宽窄不同，上下两处可放置的小球大小也存在差异。 例10．（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 变式10-1． （2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．（21-22高三上·重庆沙坪坝·月考）已知有两个半径为2的球记为O1，O2，两个半径为3的球记为O3，O4，这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球O1，O2，O3，O4都相内切，则球O的表面积为________． 变式10-3． （25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 类型十一、不规则多面体内切球 不规则几何体： 1. 存在条件： 不规则几何体内切球无固定统一判定标准，只需几何体内部空间密闭连通，整体凹凸程度适中，能找到一个球体同时贴合几何体所有内表面，无空间阻挡、无区域空缺遮挡，便可存在内切球。 2. 球心位置： 没有固定中心位置，不局限于对称轴与几何中心，仅满足球心到几何体每一个内切面的垂直距离全都相等，此距离即为球体自身半径。 3. 半径计算通法： 无法套用固定公式，依靠分割图形、构建空间线段，结合各面距离关系，通过线段长度等量对应，逐步推算出球心位置，进而求出球体半径。 4. 特殊情况： 部分极度凹凸、形状歪斜的不规则几何体不存在内切球；仅有局部规整的不规则体，仅能局部相切，无法做到全表面内切；考试极少考查，仅需掌握距离相等核心性质即可。 例11．（2025高三·全国·专题练习）如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 变式11-1．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 变式11-2． （2024·四川绵阳·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（    ） A．该正八面体结构的外接球表面积为 B．该正八面体结构的内切球表面积为 C．该正八面体结构的表面积为 D．该正八面体结构的体积为 变式11-3．（22-23高二上·安徽宣城·开学考试）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 压轴专练 一、单选题 1．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知正方体的棱切球表面积为，动点E，F分别在线段，上运动，且E，F不与正方体的顶点重合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·吉林·三模）点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（    ） A．1 B． C． D． 7．（2024·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（    ）.    A． B． C． D． 8．（2026·福建三明·二模）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 10．（25-26高二上·四川内江·期中）在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为___________． 11．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_________． 12．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）三棱锥中，是边长为的正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，且．三棱锥的内切球为球，外接球为球，若球的半径为，球的半径为，则______；若为球上任意一点，为球上任意一点，则线段的最小值为______ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $