奥数：第4讲 正反比在行程工程中的应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版
【人教版】小学六年级下数学奥数：第4讲 正反比在行程 / 工程中的应用
核心内容：
- 路程、速度、时间的正反比关系
- 工程问题中的工效比与工时比
- 目标：能灵活运用正反比解决综合问题
一、知识点总结
在奥数与高年级数学中，正反比例是解决复杂行程与工程问题的“金钥匙”。相比于复杂的方程，利用正反比解题往往能达到“秒杀”的效果。
1. 行程问题中的正反比
行程问题的核心公式是：路程 = 速度 × 时间（S = V × T）。
当其中一个量保持不变时，另外两个量存在如下比例关系：
• 时间（T）一定：路程与速度成正比。
◦ 规律： 相同时间内，跑得越快，跑得越远。即 
。
• 速度（V）一定：路程与时间成正比。
◦ 规律： 速度不变时，跑得越久，跑得越远。即 
。
• 路程（S）一定：速度与时间成反比。
◦ 规律： 跑相同的路程，跑得越快，用的时间越少。即 
。
2. 工程问题中的正反比
工程问题的核心公式是：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（W = P × T）。
其比例关系与行程问题完全对应：
• 工作时间（T）一定：工作总量与工作效率成正比。
• 工作效率（P）一定：工作总量与工作时间成正比。
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• 工作总量（W）一定：工作效率与工作时间成反比。
◦ 规律： 做同样的工作，效率越高，用的时间越少。即 
。
二、经典例题
例1（行程-路程一定）：
小明从家去学校，如果每分钟走80米，会迟到10分钟；如果提速25%，刚好准时到校。求小明家到学校的路程是多少米？
解析：
- 找不变量，确定正反比关系
- 小明从家到学校的路程是固定不变的。根据公式“路程 = 速度 × 时间”，当路程一定时，速度与时间成反比。
- 计算速度比，推出时间比
◦ 原来的速度看作单位“1”。
◦ 提速25%后的速度是原来的 
。
◦ 将速度比化为最简整数比：原速度 : 新速度 = 
。
◦ 因为速度与时间成反比，所以原时间 : 新时间 = 5 : 4。
- 找“份数差”对应的“实际量”
◦ 从比例上看，原计划时间用了5份，提速后用了4份，两者相差了 
份。
◦ 从实际意义上看，原计划会迟到10分钟，提速后刚好准时，说明原计划比实际多花了10分钟。
◦ 因此，这 1份时间对应的实际量就是 10分钟。
- 还原实际量并求解
◦ 原计划的时间是5份，所以原计划时间 = 
（分钟）。
◦ 根据路程公式：路程 = 原速度 × 原时间 = 
（米）。
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例2（工程-总量一定）：
一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。如果两人合作，需要多少天完成？（用比例法分析工效）
解析：
- 找不变量，确定正反比关系
- 这项工程的工作总量是固定不变的。根据公式“工作总量 = 工作效率 × 工作时间”，当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比。
- 计算时间比，推出工效比
◦ 甲、乙单独完成的时间比 = 
。
◦ 化为最简整数比：时间比 = 
。
◦ 因为工效与时间成反比，所以甲的工效 : 乙的工效 = 3 : 2。
- 巧妙设“份数”代替具体工作量（特值法）
◦ 既然甲、乙的工效比是 
，我们可以直接假设：甲每天做 3份 工作，乙每天做 2份 工作。
◦ 这样假设的好处是避开了繁琐的分数（如 
和 
）计算，直接用整数运算。
- 计算工作总量
◦ 工作总量 = 甲的工效 × 甲单独做的时间 = 
（份工作）。
◦ （验证：也可以用乙来算，总量 = 
份，结果一致）。
- 求解合作时间
◦ 两人合作每天的工效和 = 
（份）。
◦ 合作所需天数 = 工作总量 ÷ 合作工效和 = 
（天）。
- 关键知识点：运用正反比解题的关键在于跳出具体数值的束缚，通过比例份数的转化，将复杂问题简单化。
三、拓展例题
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