奥数：第4讲 正反比在行程工程中的应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

【人教版】小学六年级下数学奥数：第4讲 正反比在行程 / 工程中的应用 核心内容： 1. 路程、速度、时间的正反比关系 2. 工程问题中的工效比与工时比 3. 目标：能灵活运用正反比解决综合问题 一、知识点总结 在奥数与高年级数学中，正反比例是解决复杂行程与工程问题的“金钥匙”。相比于复杂的方程，利用正反比解题往往能达到“秒杀”的效果。 1. 行程问题中的正反比 行程问题的核心公式是：路程 = 速度 × 时间（S = V × T）。 当其中一个量保持不变时，另外两个量存在如下比例关系： · 时间（T）一定：路程与速度成正比。 · 规律： 相同时间内，跑得越快，跑得越远。即 。 · 速度（V）一定：路程与时间成正比。 · 规律： 速度不变时，跑得越久，跑得越远。即 。 · 路程（S）一定：速度与时间成反比。 · 规律： 跑相同的路程，跑得越快，用的时间越少。即 。 2. 工程问题中的正反比 工程问题的核心公式是：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（W = P × T）。 其比例关系与行程问题完全对应： · 工作时间（T）一定：工作总量与工作效率成正比。 · 工作效率（P）一定：工作总量与工作时间成正比。 · 工作总量（W）一定：工作效率与工作时间成反比。 · 规律： 做同样的工作，效率越高，用的时间越少。即 。 二、经典例题 例1（行程-路程一定）： 小明从家去学校，如果每分钟走80米，会迟到10分钟；如果提速25%，刚好准时到校。求小明家到学校的路程是多少米？ 解析： 1. 找不变量，确定正反比关系 2. 小明从家到学校的路程是固定不变的。根据公式“路程 = 速度 × 时间”，当路程一定时，速度与时间成反比。 3. 计算速度比，推出时间比 · 原来的速度看作单位“1”。 · 提速25%后的速度是原来的 。 · 将速度比化为最简整数比：原速度 : 新速度 = 。 · 因为速度与时间成反比，所以原时间 : 新时间 = 5 : 4。 4. 找“份数差”对应的“实际量” · 从比例上看，原计划时间用了5份，提速后用了4份，两者相差了 份。 · 从实际意义上看，原计划会迟到10分钟，提速后刚好准时，说明原计划比实际多花了10分钟。 · 因此，这 1份时间对应的实际量就是 10分钟。 5. 还原实际量并求解 · 原计划的时间是5份，所以原计划时间 = （分钟）。 · 根据路程公式：路程 = 原速度 × 原时间 = （米）。 例2（工程-总量一定）： 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。如果两人合作，需要多少天完成？（用比例法分析工效） 解析： 1. 找不变量，确定正反比关系 2. 这项工程的工作总量是固定不变的。根据公式“工作总量 = 工作效率 × 工作时间”，当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比。 3. 计算时间比，推出工效比 · 甲、乙单独完成的时间比 = 。 · 化为最简整数比：时间比 = 。 · 因为工效与时间成反比，所以甲的工效 : 乙的工效 = 3 : 2。 4. 巧妙设“份数”代替具体工作量（特值法） · 既然甲、乙的工效比是 ，我们可以直接假设：甲每天做 3份 工作，乙每天做 2份 工作。 · 这样假设的好处是避开了繁琐的分数（如 和 ）计算，直接用整数运算。 5. 计算工作总量 · 工作总量 = 甲的工效 × 甲单独做的时间 = （份工作）。 · （验证：也可以用乙来算，总量 = 份，结果一致）。 6. 求解合作时间 · 两人合作每天的工效和 = （份）。 · 合作所需天数 = 工作总量 ÷ 合作工效和 = （天）。 · 关键知识点：运用正反比解题的关键在于跳出具体数值的束缚，通过比例份数的转化，将复杂问题简单化。 三、拓展例题 例3（行程-相遇问题）： 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时它们的速度比为 ，相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。当甲到达B地时，乙离A地还有21千米。求A、B两地间的距离。 解析： 第一阶段（相遇前）： 时间相同，路程比 = 速度比 = 。设全程为5份，相遇时甲走了3份，乙走了2份。 第二阶段（相遇后）： 甲要走完乙剩下的2份路程，乙要走完甲剩下的3份路程。 相遇后速度比：甲变为 ，乙变为 。 新速度比 = 。 分析剩余路程： 甲到达B地时，甲走了2份路程。此时乙走的路程与甲走的路程比等于速度比 。 乙走的路程 = 份。 乙离A地的距离 = 乙原本需要走的3份 - 已经走的 份 = 份。 求全程： 这 份对应的实际距离是21千米。 1份的距离 = 千米。 全程（5份）= 千米。 四、基本练习 1. （行程）一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，5小时到达。如果每小时行50千米，几小时可以到达？ 2. （工程）加工一批零件，师傅单独做需要10小时，徒弟单独做需要15小时。师徒两人的工作效率比是多少？ 3. （行程）小明和小红同时从学校去图书馆，小明的速度是60米/分，小红的速度是50米/分。小明到达时，小红还差200米。学校到图书馆有多远？ 4. （工程）一项工程，甲队单独做8天完成，乙队单独做12天完成。现在甲队先做4天，剩下的由乙队做，还需要几天？ 五、拓展练习 1. （行程-往返问题）一辆货车从甲城开往乙城，又立即按原路从乙城返回到甲城，一共用了9小时。去时每小时行40千米，返回时每小时行50千米。甲、乙两城相距多少千米？ 2. （工程-中途变速）一项工程，原计划每天生产120个零件，刚好按期完成。实际生产了5天后，改进了技术，每天多生产30个，结果提前2天完成任务。原计划多少天完成？ 3. （行程-中点相遇）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，速度比是 。两车在距离中点15千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 4. （工程-多人合作）甲、乙、丙三人完成一项工程，他们的效率比是 。如果甲先单独做2天，然后三人合作，还需要多少天完成？（假设工程总量为单位“1”） 六、基本练习答案 1. 4小时。 解析： 路程一定，速度与时间成反比。速度比 ，时间比则为 。原时间5小时对应5份，所以新时间为4小时。 2. 3:2。 解析： 总量一定，工效与时间成反比。时间比 ，工效比为 。 3. 1200米。 解析： 时间一定，路程比 = 速度比 = 。小明走了6份，小红走了5份，相差1份。1份对应200米，全程（小明的路程）为 米。 4. 6天。 解析：甲8天做完，4天做了一半，剩下一半乙做需要 天。 七、拓展练习答案 1. 200千米。 解析： 路程一定，去回速度比 ，时间比为 。总时间9小时按 分配，去时用了5小时。路程 = 千米。 2. 15天。 解析： 剩下的工作量一定。原工效120，新工效150，比为 。时间比为 。提前的2天对应1份时间，所以原计划做剩下的工作需要 天。加上已经做的5天，原计划共15天。 3. 270千米。 解析： 时间相同，路程比 = 速度比 = 。全程共9份，中点是4.5份。相遇点距离中点 份。0.5份对应15千米，全程9份对应 千米。 4. 天。 解析： 设总工效为11（ ），则甲工效2，乙3，丙6。甲单独做2天完成 份工作。假设总工程量为三人合作一天的量（11份）的倍数，或者直接设总量为1。若设总量为1，甲工效为 ，乙 ，丙 。甲做2天完成 ，剩 。三人合作工效为1。需要 天。（注：此题若未给总量，通常设总量为工效和的倍数方便计算，此处若设总量为11，甲做2天完成4，剩7，三人合作需 天）。 学科网（北京）股份有限公司 $