精品解析：广东省东莞市松山湖实验中学2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学学科

2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 使有意义的x的取值范围是（　　） A. x≤3 B. x＜3 C. x≥3 D. x＞3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴x-3≥0， 解得x≥3． 故选C． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，即可解答． 【详解】解：A、的被开方数是小数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； B、的被开方数是分数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； C、7是质数，无平方因数，所以，是最简二次根式，故此选项符合题意； D、, 可化简，所以，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，已知，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行推理判断，即可得出结论． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形；故此选项不合题意； 、，， 变形是平行四边形；故此选项不合题意； 、，， 四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；故此选项符合题意； 、， ， ， 四边形是平行四边形；故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质依次计算各选项即可判断． 【详解】解：A、∵，，∴A错误， B、∵，，∴B错误， C、∵，，∴C错误， D、∵，∴D正确， 5. 若实数、满足，且、恰好是的两条边长，则第三条边长为（ ）． A. 5 B. C. 5或 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边． 【详解】∵，， ∴m-3=0，n-4=0， 解得m=3，n=4， 当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长==5； 当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=， 故选：C． 【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 7. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项． 【详解】解：A. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 8. 图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，则水深AC为（ ） A. 3尺 B. 3.5尺 C. 3.75尺 D. 4尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：C． 9. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ） A. 平行四边形， B. 平行四边形， C. 菱形， D. 菱形， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，如图，作于，于，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 故选：D． 10. 如图，正方形中，，直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而根据三角形内角和及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）．则该硬币内正多边形的内角和为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可． 【详解】解：根据图可知：图中的多边形为正九边形，则该硬币内正多边形的内角和为： ． 12. 1.如图，矩形中，，，在数轴上，且点A与原点重合，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先结合矩形的性质利用勾股定理求出，根据及A点的位置，即可求解M点表示的数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵A点与原点重合， ∴点M表示点数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出、的长． 13. 如图，在中，，，，分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】先由是的中位线求出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵是的中点，， ∴． 14. 如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点出发，经过长方体的前面和右面到顶点的最短路程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面上面，由勾股定理得； （2）展开前面右面，由勾股定理得； （3）展开前面左面和上面，由勾股定理得； 最短路径的长为 故答案为：． 15. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为_____． 【答案】3． 【解析】 【分析】首先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小． 【详解】连接BD， ∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°； ∴△ABD与△BCD为正三角形， ∴∠FDB＝∠EAB＝60°， ∵AE+CF＝4，DF+CF＝4， ∴AE＝DF， ∵AB＝BD， ∴△BDF≌△BAE（SAS）， ∴BE＝BF， ∠ABE＝∠DBF， ∴∠EBF＝∠ABD＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝， ∴边BE上的高为＝3， △BEF面积的最小值＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，求面积最值得问，注意掌握作辅助线的技巧． 三．解答题一（每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 并说明作了哪些图，如图，ABC是一块三角形余料，工人师傅要把它加工成一个菱形零件，使点为菱形的一个顶点，一组邻边分别在上，另一个顶点在上，试协助工人师傅用尺规画出这个菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先作的平分线交于点，再作的垂直平分线分别交于点，则有，，，即，再证明，由全等三角形的性质可得，最后由菱形的判定方法即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线交于点； 作的垂直平分线分别交于点； 理由：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形即为所求． 18. 阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． （1）将下列式子进行分母有理化：①=　 　；②=　 　； （2）化简：+ 【答案】（1）①；②；（2）. 【解析】 【分析】运用平方差公式，使分母有理化. 【详解】解：（1）①；② （2） 【点睛】分母有理化一定要遵守分式的性质，分子分母同乘一个非零的数或式子，分式值不变. 四．解答题二（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，D是的中点，，， （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质和三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵D是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20. 已知和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上．如图，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用证明，得出是直角三角形，再结合勾股定理列式，再进行线段的等量代换，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 21. 小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算 ①； ②； ③； ④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ， ， ， （1）观察上述解法，直接写出结果：________； （2）试用小明的方法求解出的结果； （3）根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 【答案】（1）10000 （2）50 （3）757 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，灵活运用完全平方公式对被开方数变形是解题的关键． （1）根据题干提供的方法将变形为，根据完全平方公式得出，然后再进行求解即可； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据二次根式的性质求解； （3）根据图1和图2的面积相等可得，然后利用（1）中方法求出a即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设大正方形的边长为a， 由图1和图2的面积相等可得：， 即， ∴， 即大正方形的边长为757． 五．解答题三（22题13分，23题14分） 22. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．由三角形全等可得，，之间的数量关系 ； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． （4）如图，正方形中，，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） （4）8 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （2）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （3）由（2）得，，设，则，求出，，最后用面积公式即可求解； （4）过作，交延长线于点，由四边形是正方形得，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，最后用面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； 【小问3详解】 解：由（2）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴的面积为； 【小问4详解】 解：如图，过作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 23. 【知识链接】“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决． 在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题： （1）【问题发现】：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形—矩形(长方形)的研究发现在矩形中令，则可求得 （用含a、b的式子）； （2）【问题探究】：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究，如图，分别过点A、D作边的垂线，请你按照这种思路证明； （3）【问题拓展】：如图3，在中，是边上的中线，已知：，，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形，可得，，由勾股定理得，进而可得； （2）由平行四边形，可得，，则，证明，则，，由勾股定理得，，，，根据，作答即可； （3）如图3，延长到，使，则，证明四边形是平行四边形，由（2）可知，在平行四边形中，对角线平方的和等于邻边平方和的2倍，则，即，解得，由，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得，，，， ∴ ， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，延长到，使，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 由（2）可知，在平行四边形中，对角线平方的和等于邻边平方和的2倍， ∴，即，解得， ∵； ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，完全平方公式等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 使有意义的x的取值范围是（　　） A. x≤3 B. x＜3 C. x≥3 D. x＞3 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若实数、满足，且、恰好是的两条边长，则第三条边长为（ ）． A. 5 B. C. 5或 D. 以上都不对 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 8. 图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，则水深AC为（ ） A. 3尺 B. 3.5尺 C. 3.75尺 D. 4尺 9. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ） A. 平行四边形， B. 平行四边形， C. 菱形， D. 菱形， 10. 如图，正方形中，，直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）．则该硬币内正多边形的内角和为___________ 12. 1.如图，矩形中，，，在数轴上，且点A与原点重合，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数是___________． 13. 如图，在中，，，，分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为________． 14. 如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点出发，经过长方体的前面和右面到顶点的最短路程为___________． 15. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为_____． 三．解答题一（每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 并说明作了哪些图，如图，ABC是一块三角形余料，工人师傅要把它加工成一个菱形零件，使点为菱形的一个顶点，一组邻边分别在上，另一个顶点在上，试协助工人师傅用尺规画出这个菱形． 18. 阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． （1）将下列式子进行分母有理化：①=　 　；②=　 　； （2）化简：+ 四．解答题二（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，D是的中点，，， （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 20. 已知和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上．如图，连接．求证：． 21. 小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算 ①； ②； ③； ④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ， ， ， （1）观察上述解法，直接写出结果：________； （2）试用小明的方法求解出的结果； （3）根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 五．解答题三（22题13分，23题14分） 22. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．由三角形全等可得，，之间的数量关系 ； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． （4）如图，正方形中，，，求的面积． 23. 【知识链接】“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决． 在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题： （1）【问题发现】：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形—矩形(长方形)的研究发现在矩形中令，则可求得 （用含a、b的式子）； （2）【问题探究】：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究，如图，分别过点A、D作边的垂线，请你按照这种思路证明； （3）【问题拓展】：如图3，在中，是边上的中线，已知：，，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $