精品解析：广东肇庆市广宁县部分学校2026年中考一模九年级数学试卷

数学 本试卷共7页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．参考答案 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，选项符合题意． 2. 以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3. 截止到2025年11月，我国已经成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超过500万件的国家，PCT国际专利申请量连续6年位居全球第一．500万可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：500万． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故A选项计算错误，不符合题意； B、，故B选项计算错误，不符合题意； C、，故C选项计算错误，不符合题意； D、，故D选项计算正确，符合题意． 5. 如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质即可得解．熟记性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：B． 6. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题图可知，且， ∴，， B选项正确． 7. 如图，为的直径，弦，若，的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先证明，求出，再利用弧长公式计算即可 【详解】解：如图，连接， 为的直径，， ， ，的半径为， 的长为， 的长为，选项符合题意． 8. 小明用相同的酒精灯分别给相同质量的煤油和水加热，它们的温度随着加热时间的变化情况如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 加热前煤油比水的温度高 B. 加热过程中，煤油比水的温度上升的慢 C. 随着加热时间增加，煤油和水的温度不断升高 D. 煤油比水早达到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，能够读懂图中的相关信息是解题的关键． 根据图中的信息对各个选项进行判断即可． 【详解】解：由题图可知，当时间为0时，煤油和水的温度是一样的，故A选项错误； 由题图可知，加热同样的时间，煤油的温度比水的温度高， 加热过程中，煤油比水的温度上升的快，故B选项错误； 随着加热时间增加，煤油的温度不断升高，水的温度升高到之后温度不变，故C选项错误； 煤油在加热时达到，水在加热时达到， 煤油比水早达到， 故D选项正确． 9. 如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，连接，随机在内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的面积为，由和，得出，进而得到，由推出，结合证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得出，因此，接着根据、，判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线平分面积的性质，得到，即，最后用阴影区域的面积除以的总面积，即可求出针扎到阴影区域内的概率． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴P（针扎到阴影区域内）． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，四边形为菱形，且面积为60，反比例函数的图象过顶点A和对角线的交点D，则反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点A的坐标为，过点A作轴于点E，则，求出C点坐标，求出，根据菱形面积即可得解． 【详解】解：设点A的坐标为， 如图，过点A作轴于点E，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为， ∴点C的横坐标为，则． ∵菱形的面积为60， ， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 某校开展了科技普及讲座，并进行了相关测试，随机抽取名学生的测试成绩（分）：，，，，，，则这名学生测试成绩的众数为______分． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据众数的定义，出现次数最多的数据是，故这组数据的众数为． 12. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据同大取大确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 13. 已知一元二次方程的两个实数根为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：根据因式分解法求出方程的解； 解法二：利用根与系数的关系求解． 【详解】解法一：， 解得 ； 解法二：在方程中，， 由根与系数的关系可得． 14. 斐波那契数列中的第n项可以用表示，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列．在上述式子中，最接近的整数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】估算出，从而可得，由此即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴最接近的整数为2． 15. 如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，且，点M为的中点，连接交于点P．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，，，从而可得，设，则，，由相似三角形的性质计算可得，最后再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，有三张写着不同分式的卡片，将其组合成或的形式，进行化简，再求当时，所选择组合形式的值． 【答案】当选择的形式时：，；当选择的形式时，， 【解析】 【详解】解：当选择的形式时，分式为， ， 当时，原式； 当选择的形式时， 分式为， ， 当时，原式． 17. 中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践中．某中药厂名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂． 【答案】每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂 【解析】 【详解】解：设每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂， 由题意得， 解得， 答：每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：在（）的条件下，，分别是边，上的点，连接，，若，，试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）图见解析； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，小于为半径画弧分别交、，再分别以两交点为圆心，相同半径画弧相交，连接点及该交点并延长交于点即可； （2）结合角平分线性质推出，再利用直角三角形一组斜边和一组直角边分别对应相等证明 ，由全等三角形性质即可证明． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求： 【小问2详解】 解：， 证明如下： 如图，是的平分线，，， ， 在和中， ， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，直线与相切于点，为上一点，连接，，，过点作的垂线分别交，直线于点，． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个，求的长． ①的半径为，； ②，． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可知，根据可知，根据圆的基本性质可知，所以可证，等量代换可得，根据等角对等边可证结论成立； （2）选择条件①，根据，，可知，利用勾股定理即可求出，设，则，，利用勾股定理可得，解方程求出的值即可得到； 选择条件②，过点作于点，可证，根据相似三角形的性质可得，根据，，可得，即可求出，，根据即可求出结果． 【小问1详解】 证明：直线与相切于点， ， ，即， ， ， ， ， ， ． ， ， ； 【小问2详解】 解：选择条件①： 在中， ，， ， ， 由（1）知， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， ， 选择条件②： 如下图所示，过点作于点， ， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 20. 某地举办知识产权普法宣传书法邀请展，展览以A．篆书，B．隶书，C．行书，D．草书，E．楷书五种书体演绎知识产权法律条文，旨在推动法治与文化传播．某校活动小组在进行普法宣传的同时，对五种书体（以下用字母替代）也进行了解读，并开展了全校学生对书法的喜好调研活动．从全校喜好书法的学生中按各个年级人数比例分别随机抽取合适人数的学生，将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为______人，并补全条形统计图； （2）已知该校共有600名喜好书法的学生，为使得这些学生能够学习自己所喜好的书体，该校计划设立5个学习不同书体的书法教室，每个教室最多可容纳50人，试问这样的设立计划能否满足喜好“楷书”的学生同时在同一个教室进行书法学习？请说明理由； （3）请对该校学生喜好书法的情况作出评价，并提出一条合理化的建议． 【答案】（1）200，见解析 （2）能，见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据D组的人数和所占比例即可得出本次抽样调查的总人数，求出A组人数，即可补全条形统计图； （2）求出喜好“楷书”的学生的人数，结合题意判断即可； （3）根据统计图提出合理的建议即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：本次抽样调查的总人数为人， A组人数为：（人）， 补全条形统计图如图； 【小问2详解】 解：能，理由如下： ∵（人），且， ∴这样的设立计划能满足喜好“楷书”的学生同时在同一个教室进行书法学习； 【小问3详解】 解：由统计图可知，该校学生中，喜好“行书”“草书”的人数较多，喜好“篆书”“楷书”的人数较少． 建议：喜好“行书”“草书”的人数较多，可以增加设立这两个书体的学习教室，以满足学生的学习需求． 21. 综合与实践 【活动背景】某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量一桥面上桥塔的高度（如图1）． 【测量工具】 无人机，测角仪． 【方案设计】 如图2，为桥塔，小组计划使用无人机飞至点处，测得桥塔顶端的俯角的度数，和底部的俯角的度数，再沿水平方向向右飞行一段距离到达点处，测得桥塔顶端的俯角的度数． 【规范建议】 组长：无人机移动前后要确保高度相同． 教师：保证无人机和桥塔在同一竖直平面内． 【数据收集】 测得，，，点，之间的距离米． （1）请根据以上数据求桥塔的高度（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）； 【方案反思】 （2）测量后，小组成员对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，可减少需要采集的数据，请直接写出原数据收集方案（，，米，）中至多可以删减的数据，并说明理由． 【答案】（1）桥塔的高度约为米 （2）米和，见解析 【解析】 【分析】（1）延长交于点，依题意，根据题意得出，设，则，根据得出，进而求得，得出，进而求得； （2）如图，延长交于点，根据与共边，在这两个三角形中利用锐角三角函数求解即可，至多可以删减的数据为的长及在处测得顶端的俯角． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点，依题意， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， ， ， 解得， ，， 在中， ， ， ， （米）． 答：桥塔的高度约为米； 【小问2详解】 米和， 理由如下：如图，延长交于点， 点到水平地面的距离已知， 已知，则 ， 与共边， 在这两个三角形中利用锐角三角函数求解即可， 至多可以删减的数据为的长及在处测得顶端的俯角． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点． （1）求A点坐标； （2）两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围； （3）当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值． 【答案】（1）A点坐标为 （2）t的取值范围是或 （3） 【解析】 【分析】（1）求解新抛物线解析式为，再进一步求解即可； （2）求解点关于直线的对称点是，当点在新抛物线对称轴右侧时，则；当Q点在新抛物线对称轴左侧时，，再进一步求解即可； （3）求解，结合新抛物线对称轴为直线，且，可得当时，y取最小值，当时，y取最大值，即，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知，新抛物线解析式为， 令，代入可得， 解得， 又∵点A在点B的左边， ∴A点坐标为； 【小问2详解】 解：令，可得， 解得， ∴点关于直线的对称点是， 当点在新抛物线对称轴右侧时，则； 当Q点在新抛物线对称轴左侧时，， 解得． 综上所述，t的取值范围是或； 【小问3详解】 解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵新抛物线对称轴为直线，且， ∴当时，y取最小值，当时，y取最大值， 即， ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∵为整数， ∴或， ∴（舍去）或， ∴当，此时； 当，此时，但此时不满足题意，故舍去． 将，代入， 解得． 23. 如图，在矩形中，，点M，N分别是，边上的动点（点M不与A，D重合，点N不与B，C重合），连接，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在E处，点D落在F处． （1）如图1，连接，当点E在上时，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，若四边形的面积是面积的6倍，在上截取，连接，，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，当点E在矩形内部时，与边交于点O，连接，，当，，是以为斜边的等腰直角三角形时，求的值． 【答案】（1）四边形为菱形，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，则．由折叠的性质知，，从而可得，进而得出，再结合菱形的判定定理证明即可； （2）过点M作于点H，先证明．由（1）知四边形为菱形，由菱形的性质可得，结合题意求出，设，则，求出．由折叠的性质可得，则，，证明C，M，F三点共线，得出，最后证明，由相似三角形的性质即可得出结果； （3）过点E作于点G，延长交于点H，延长交于点P，则，结合题意可得，，证明，得出，由折叠的性质知，设，则，由勾股定理计算得出．由折叠的性质知，求出，，．由折叠的性质知，，，再证明，由相似三角形的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：四边形为菱形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 由折叠的性质知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图1，过点M作于点H， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 由（1）知四边形为菱形， ∴， ∵四边形的面积是面积的6倍， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由折叠的性质可得， ∴，， ∴． ∵， ∴，即C，M，F三点共线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，过点E作于点G，延长交于点H，延长交于点P， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质知， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 由折叠的性质知， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由折叠的性质知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】折叠的性质：折叠后的对应边、对应角相等；相似三角形的性质：对应边成比例． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷共7页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．参考答案 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截止到2025年11月，我国已经成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超过500万件的国家，PCT国际专利申请量连续6年位居全球第一．500万可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，弦，若，的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 小明用相同的酒精灯分别给相同质量的煤油和水加热，它们的温度随着加热时间的变化情况如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 加热前煤油比水的温度高 B. 加热过程中，煤油比水的温度上升的慢 C. 随着加热时间增加，煤油和水的温度不断升高 D. 煤油比水早达到 9. 如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，连接，随机在内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，四边形为菱形，且面积为60，反比例函数的图象过顶点A和对角线的交点D，则反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 某校开展了科技普及讲座，并进行了相关测试，随机抽取名学生的测试成绩（分）：，，，，，，则这名学生测试成绩的众数为______分． 12. 不等式组的解集是______． 13. 已知一元二次方程的两个实数根为，则__________． 14. 斐波那契数列中的第n项可以用表示，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列．在上述式子中，最接近的整数为______． 15. 如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，且，点M为的中点，连接交于点P．若，则的长为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，有三张写着不同分式的卡片，将其组合成或的形式，进行化简，再求当时，所选择组合形式的值． 17. 中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践中．某中药厂名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：在（）的条件下，，分别是边，上的点，连接，，若，，试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，直线与相切于点，为上一点，连接，，，过点作的垂线分别交，直线于点，． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个，求的长． ①的半径为，； ②，． 20. 某地举办知识产权普法宣传书法邀请展，展览以A．篆书，B．隶书，C．行书，D．草书，E．楷书五种书体演绎知识产权法律条文，旨在推动法治与文化传播．某校活动小组在进行普法宣传的同时，对五种书体（以下用字母替代）也进行了解读，并开展了全校学生对书法的喜好调研活动．从全校喜好书法的学生中按各个年级人数比例分别随机抽取合适人数的学生，将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为______人，并补全条形统计图； （2）已知该校共有600名喜好书法的学生，为使得这些学生能够学习自己所喜好的书体，该校计划设立5个学习不同书体的书法教室，每个教室最多可容纳50人，试问这样的设立计划能否满足喜好“楷书”的学生同时在同一个教室进行书法学习？请说明理由； （3）请对该校学生喜好书法的情况作出评价，并提出一条合理化的建议． 21. 综合与实践 【活动背景】某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量一桥面上桥塔的高度（如图1）． 【测量工具】 无人机，测角仪． 【方案设计】 如图2，为桥塔，小组计划使用无人机飞至点处，测得桥塔顶端的俯角的度数，和底部的俯角的度数，再沿水平方向向右飞行一段距离到达点处，测得桥塔顶端的俯角的度数． 【规范建议】 组长：无人机移动前后要确保高度相同． 教师：保证无人机和桥塔在同一竖直平面内． 【数据收集】 测得，，，点，之间的距离米． （1）请根据以上数据求桥塔的高度（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）； 【方案反思】 （2）测量后，小组成员对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，可减少需要采集的数据，请直接写出原数据收集方案（，，米，）中至多可以删减的数据，并说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点． （1）求A点坐标； （2）两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围； （3）当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值． 23. 如图，在矩形中，，点M，N分别是，边上的动点（点M不与A，D重合，点N不与B，C重合），连接，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在E处，点D落在F处． （1）如图1，连接，当点E在上时，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，若四边形的面积是面积的6倍，在上截取，连接，，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，当点E在矩形内部时，与边交于点O，连接，，当，，是以为斜边的等腰直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $