精品解析：2026年广东汕头市潮南区中考一模考试数学试题

2026年汕头市潮南区初中学业水平模拟考试 数学 本试卷共6页，23小题，满分为120分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能写在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分)每小题给出四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 如图是电视台播放的天气情况，下列数中，既不是正数，也不是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于D，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)将正确答案写在答题卡相应的位置上． 11. 若分式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的的值：___________． 12. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是___________． 13. 若点在直线上，则代数式的值是______． 14. 已知，则的算术平方根为_____． 15. 如图，在正方形中，连接，E，F为上两点，连接，，延长至点G，使得E为的中点，连接、，若，，则的值为_____． 三、解答题(一）(本大题共3小题，每小题7分，共21分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 解不等式组：． 18. 如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，，两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，，为桥面钢丝的固定点，，两点相距90米且，已知．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 四、解答题（二）(本大题共3小题，每小题9分，共27分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，E为延长线上一点，且，F为延长线上一点，且，连接． （1）求证：； （2）已知_____（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：平分． 20. 综合与实践 有趣的“速叠杯” “速叠杯”是一项好玩的手部运动．它的叠放方式如图1：从下往上，最底层摆若干个杯子，每往上一层减少1个杯子，直到顶层只有1个杯子，形成一个“塔”形． 小丽在活动中记录了不同叠放情况下杯子的总数： 最底层杯子数 x 1 2 3 4 5 杯子总数 y 1 3 6 10 15 （1）观察表格，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是 个． （2）通过观察杯子的摆放规律，用an表示图n的杯子数，其中，2，3，…，小丽发现 当塔有1层时，杯子总数：个杯子 当塔有2层时，杯子总数：个杯子 当塔有3层时，杯子总数：个杯子 当塔有4层时，杯子总数：个杯子 … 根据以上规律： ①当塔有100层时，杯子总数是 个； ②要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要 个杯子（用含n的式子表示）； ③若现有120个杯子，按照这种叠放方式，能恰好叠放成一个完整的“速叠杯”塔， ． （3）杯子的侧面展开图如图2所示，，分别为上、下底面圆的半径，，所对的圆心角，，．将这样足够数量的杯子按图1中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数． 21. 第十九届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3日．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）： 调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况 调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（10～17岁）、青年（18～44岁）、中年（45～59岁）、老年（60岁及以上） 调查方式 抽样调查 调查地点 小唯家所在小区 调查数据的收集、整理与描述 对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（　　）B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（　　） C．对新能源汽车，有一些体验经历（　　）D．非常了解，我是新能源汽车车主（　　） 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）统计表中 ， ，本次抽样调查的总人数是 人； （2）若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主； （3）请写出一条关于你对新能源汽车的了解． 五、解答题（三）(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 【问题提出】小丽在上自主学习时，看到一个结论：对于任何一个封闭的平面图形，存在一条直线既平分周长，又平分面积．于是小丽利用初中所学知识进行初步验证． 【问题探究】 （1）小丽先选择了几个特殊图形进行验证，如图，请你在三个图形中任选两个，分别作一条直线，使这条直线既平分你所选图形的周长，又平分它的面积； （2）如图，小丽在直角三角形中，作出一条直线，交于点E、交于点F，直线既平分的周长，又平分的面积．请根据小丽所给的数据计算：若，，，，用含有a的代数式表示 ，并求a的值； 【问题解决】 （3）小丽家所在小区平面示意图如图，小区为方便居民出行，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条道路所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形的面积．小丽利用所学知识进行思考，通过测量示意图得到，，，，，．若该道路的一个出口在边上，请帮小丽在图中画出这条直线，并在图中标出所有线段的长度． 23. 定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股点．已知点M、N是线段的勾股点，若，，则或，所以的长为或． （1）【类比探究】如图2，是的中位线，M、N是边的勾股点（），连接、分别交于点G、H．求证：G、H是线段的勾股点． （2）【知识迁移】如图3，C，D是线段的勾股点，以为直径画，P在上，，连接，，若，求证：是的切线． （3）【拓展应用】如图4，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F．证明：E、F是线段的勾股点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年汕头市潮南区初中学业水平模拟考试 数学 本试卷共6页，23小题，满分为120分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能写在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分)每小题给出四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 如图是电视台播放的天气情况，下列数中，既不是正数，也不是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的定义，根据既不是正数，也不是负数即可求解，正确理解正负数的定义是解题的关键． 【详解】解：选项中的数，既不是正数，也不是负数的是， 故选：． 2. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴，轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合．根据轴对称图形的定义判定即可． 【详解】解：根据轴对称图形定义，选项A、C、D都不是轴对称图形，只有选项B是轴对称图形． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A： ，故A错误； 选项B： ，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D：根据零指数幂运算法则，任何非零数的零次幂等于，，故D正确． 4. 将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用概率求解随机事件的概率，根据题意可得有四组插孔，又两组可插上，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是： ， 故选：A 5. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 6. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据高是过顶点垂直底面的线段即可判断解答． 本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键． 【详解】解：A、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， B、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， C、将沿折叠后，垂直，故此是的高， D、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， 综上所述：C选项符合题意， 故选：C 7. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程有实数根可知△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2−2x+k+2=0有实数根， ∴△=(−2)2−4(k+2)⩾0， 解得：k⩽−1， 在数轴上表示为： 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的情况利用根的判别式列出不等式是解题的关键. 8. 如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于D，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线定理得，结合等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与相切于点C，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， ∴用30千克木材制作榫的数量为，用30千克木材制作卯的数量为， 又制作卯的数量比制作榫的数量少10个，即制作榫的数量比制作卯的数量多10个， 可列方程为：． 10. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】取格点，连接，则三点共线，，那么，则，再由勾股定理以及逆定理可得，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由正方形网格可得，三点共线，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)将正确答案写在答题卡相应的位置上． 11. 若分式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的的值：___________． 【答案】6（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：要使分式在实数范围内有意义，则， 解得， 即不等于5的任意实数，分式在实数范围内有意义． 12. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是___________． 【答案】##540度 【解析】 【分析】直接根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】这个五边形的内角和是， 故答案为． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键．n变形的内角和为：． 13. 若点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知，则的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根与平方项均为非负数，两个非负数的和为0时，每一项都为0，即可求出x与y的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由，得， 解得， 由，得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为2． 15. 如图，在正方形中，连接，E，F为上两点，连接，，延长至点G，使得E为的中点，连接、，若，，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】过点B作，过点A作交于点P，连接，过点A作，交于点H，设，则，先证明，，进而依据判定和全等得，，继而依据判定和全等得，在中，由勾股定理得，则，由此可得，再证明和全等得，，则，，然后证明和全等得，据此可得的值． 【详解】解：过点B作，过点A作交于点P，连接，过点A作，交于点H，如图所示： ∴，， ∴是直角三角形， ∵， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 三、解答题(一）(本大题共3小题，每小题7分，共21分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【解析】 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则将原式展开，再合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，，两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，，为桥面钢丝的固定点，，两点相距90米且，已知．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】见解析，（答案不唯一，随坐标系位置变化） 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，过作于，求解，，，再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：以M为坐标原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴构建平面直角坐标系如图，过作于， 则，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴米， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为，则有： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为. 四、解答题（二）(本大题共3小题，每小题9分，共27分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，E为延长线上一点，且，F为延长线上一点，且，连接． （1）求证：； （2）已知_____（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：平分． 【答案】（1）见解析 （2）选择①，四边形是矩形，理由见解析；选择②，四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可； （2）根据矩形和菱形的判定，解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：选择①，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 选择②，四边形是菱形，理由如下： 由（1）知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 20. 综合与实践 有趣的“速叠杯” “速叠杯”是一项好玩的手部运动．它的叠放方式如图1：从下往上，最底层摆若干个杯子，每往上一层减少1个杯子，直到顶层只有1个杯子，形成一个“塔”形． 小丽在活动中记录了不同叠放情况下杯子的总数： 最底层杯子数 x 1 2 3 4 5 杯子总数 y 1 3 6 10 15 （1）观察表格，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是 个． （2）通过观察杯子的摆放规律，用an表示图n的杯子数，其中，2，3，…，小丽发现 当塔有1层时，杯子总数：个杯子 当塔有2层时，杯子总数：个杯子 当塔有3层时，杯子总数：个杯子 当塔有4层时，杯子总数：个杯子 … 根据以上规律： ①当塔有100层时，杯子总数是 个； ②要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要 个杯子（用含n的式子表示）； ③若现有120个杯子，按照这种叠放方式，能恰好叠放成一个完整的“速叠杯”塔， ． （3）杯子的侧面展开图如图2所示，，分别为上、下底面圆的半径，，所对的圆心角，，．将这样足够数量的杯子按图1中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数． 【答案】（1）21 （2）①5050；②；③15 （3）最大高度为，杯子的总数为45个 【解析】 【分析】（1）观察表格规律进行计算即可； （2）①根据摆放规律填写即可； ②根据摆放规律可得要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要个杯子； ③根据题意得，求出即可； （3）求出，设第一层杯子的个数为x个，则，即可求出第一层杯子的数量、杯子的层数、杯子的总数；证明，得，由勾股定理求出，进而可得，，从而可求杯子叠放达到的最大高度． 【小问1详解】 解：观察表格规律，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是（个）， 故答案为：21； 【小问2详解】 解：①当塔有1层时，杯子总数：个杯子， 当塔有2层时，杯子总数：个杯子， 当塔有3层时，杯子总数：个杯子， 当塔有4层时，杯子总数：个杯子， … 当塔有100层时，杯子总数是（个）； ②由规律得，要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要个杯子（用含n的式子表示）； ③令， 整理得， 由， 得； 【小问3详解】 解：∵，， 解得：， ∵第一层摆放杯子的总长度不超过， 设第一层杯子的个数为x个，则， 解得：， x取最大值为9， 即第一层摆放杯子9个，杯子的层数也是9， ∴杯子的总数为（个）； 在图2中，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴最大高度为：． 21. 第十九届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3日．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）： 调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况 调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（10～17岁）、青年（18～44岁）、中年（45～59岁）、老年（60岁及以上） 调查方式 抽样调查 调查地点 小唯家所在小区 调查数据的收集、整理与描述 对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（　　）B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（　　） C．对新能源汽车，有一些体验经历（　　）D．非常了解，我是新能源汽车车主（　　） 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）统计表中 ， ，本次抽样调查的总人数是 人； （2）若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主； （3）请写出一条关于你对新能源汽车的了解． 【答案】（1）40，70，1000 （2）有1000人是新能源汽车车主 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）用B组总共的人数减去少年、中年、老年的人数即可得出a，用D组总共的人数减去少年、青年、老年的人数即可得出b，将各组的人数相加即可得出总人数； （2）用1500乘以青年人中新能源汽车车主所占的比例即可得出结果； （3）结合环保、节能、技术发展等写出一条合理的建议即可． 【小问1详解】 解：，， 本次抽样调查的总人数是（人）， 故答案为：40；70；1000； 【小问2详解】 解： （人）， 答：估计该小区青年人中有1000人是新能源汽车车主； 【小问3详解】 解：新能源汽车主要依靠电力驱动，减少了对传统燃油的依赖，有助于降低空气污染．（答案不唯一，言之有理即可） 五、解答题（三）(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 【问题提出】小丽在上自主学习时，看到一个结论：对于任何一个封闭的平面图形，存在一条直线既平分周长，又平分面积．于是小丽利用初中所学知识进行初步验证． 【问题探究】 （1）小丽先选择了几个特殊图形进行验证，如图，请你在三个图形中任选两个，分别作一条直线，使这条直线既平分你所选图形的周长，又平分它的面积； （2）如图，小丽在直角三角形中，作出一条直线，交于点E、交于点F，直线既平分的周长，又平分的面积．请根据小丽所给的数据计算：若，，，，用含有a的代数式表示 ，并求a的值； 【问题解决】 （3）小丽家所在小区平面示意图如图，小区为方便居民出行，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条道路所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形的面积．小丽利用所学知识进行思考，通过测量示意图得到，，，，，．若该道路的一个出口在边上，请帮小丽在图中画出这条直线，并在图中标出所有线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；3；（3）见解析；见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆，平行四边形，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，从而得到，再由直线平分的周长，可得①，再结合②，可得，过点E作于点G，则，可得，从而得到，可求出，然后结合直线平分的面积，即可求解； （3）先求出四边形的面积，然后分三种情况：当出口M在边上，出口N在边时，当一个出口在点B，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，F，当一个出口M在边上，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，G，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如图， （2）在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵直线平分的周长， ∴， ∴， 即①， ∵②， 由，得：， 如图，过点E作于点G，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵直线平分的面积， ∴， ∴， 解得：； （3）∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形的面积为， 如图，当出口M在边上，出口N在边时， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：（负值，舍去）， 如图，当一个出口在点B，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，F， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：， 即， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴没有平分四边形的面积，舍去； 如图，当一个出口M在边上，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，G， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分四边形的面积， ∴， 解得：， 即，，， 标出线段，如图， 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆，平行四边形，等腰三角形的性质等知识，利用类比思想解答是解题的关键． 23. 定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股点．已知点M、N是线段的勾股点，若，，则或，所以的长为或． （1）【类比探究】如图2，是的中位线，M、N是边的勾股点（），连接、分别交于点G、H．求证：G、H是线段的勾股点． （2）【知识迁移】如图3，C，D是线段的勾股点，以为直径画，P在上，，连接，，若，求证：是的切线． （3）【拓展应用】如图4，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F．证明：E、F是线段的勾股点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由是的中位线，可知，则D、G、H、E分别为各边中点，得到、、分别为中位线，再利用题中新定义列出关系式，即可得证； （2）如图3，连接，，根据勾股点的定义可得，由圆周角定理可知，由勾股定理得：，得和各角之间的关系，从而计算的度数，得出结论； （3）根据点在反比例函数上，得，分别表示，，，，根据和和是等腰直角三角形利用勾股定理可得结论． 【小问1详解】 证明：如图2， ∵是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴、、分别是、、的中位线， ∴，，， ∵M、N是边的勾股点（）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴G、H是线段的勾股点； 【小问2详解】 证明：如图3，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵C，D是线段的勾股点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， 解得， 则； ∴； ∴， 又∵； ∴，即， ∴是的切线； 【小问3详解】 证明：∵点在反比例函数上， ∴， ∵，， ∴，，，， 由题知：，， ∴， ， ∴， ∴E、F是线段的勾股点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $