第九章 随机抽样与常用统计图表 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“随机抽样与常用统计图表”核心知识点，从总体、个体等基本概念出发，系统讲解简单随机抽样（抽签法、随机数法）和分层抽样的步骤，再延伸到频率分布直方图及扇形图、条形图等统计图表的制作与应用，构建完整知识支架。 资料特色在于题型设计融入“验米夹谷”“鹅喉羚数量估算”等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界的能力。通过分层抽样比例计算、频率分布直方图数据分析，提升数学思维的逻辑性，多种统计图表应用强化数学语言表达，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第九章 随机抽样与常用统计图表 目录 题型1：简单随机抽样 3 题型2：分层抽样 6 题型3：统计图表 8  频率分布直方图 8  其他统计图表 12 1. 总体、个体、样本、样本容量 总体：在一个调查中，调查对象的全体. 个体：组成总体的每一个调查对象. 样本：在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体. 样本容量：样本中包含的个体数. 2. 简单随机抽样 (1) 定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2) 特点：①总体个数有限；②逐个抽取；③不放回抽样；④等可能抽样． (3) 常用方法：抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于总体中个体数较多的情况）. 3. 分层随机抽样 (1) 分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. (2) 分层随机抽样的步骤： ①分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）； ②定抽样比：抽样比； ③定数：确定第层应该抽取的个体数（为第i层所包含的个体总数）； ④抽样：每层分别按简单随机抽样的方法抽取样本; ⑤成样：综合各层抽样，组成样本. 4. 常用统计图表 (1) 频率分布直方图 1) 制作频率分布表、画频率分布直方图的步骤 ①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差； ②决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数也越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组,且组距=．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”； ③将数据分组：通常对组内数值所在左闭右开区间，最后一组左右都取闭区间； ④列频率分布表：计算各小组的频率，第i组的频率=.作出频率分布表； ⑤画频率分布直方图：以横轴表示分组的数据，纵轴表示的值，分别画出各小长方形. 2) 频率分布直方图的特点 ①各小长方形的面积表示相应各组的频率，即小长方形的面积=组距×=频率. ②各小长方形的面积之比等于频率之比，也等于各小长方形的高度之比. ③各小长方形的面积的总和等于1. (2) 其他统计图表 ①扇形图：直观描述各类数据占总数的比例； ②条形图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率（离散型数据）； ③折线图：直观描述数据随时间的变化趋势； ④雷达图：直观比较多个变量在不同维度上的表现及各变量间的相对关系（差异程度和趋势）； ⑤总体密度曲线：设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线（连续型数据）. 题型1：简单随机抽样 【例1.1.】 下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（    ） ①将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本；②某班有55名同学指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；③福利彩票用摇奖机摇奖. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】由简单随机抽样的定义对各个抽取方式进行判断即可得到结论. 【详解】②不是等可能抽取，故不是简单随机抽样，①③是简单随机抽样. 故选：C. 【例1.2.】 总体由编号为01，02，⋯  ，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为 _______ 【答案】39 【难度】0.85 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法抽样，先筛选出落在有效编号范围内的数，再剔除重复项后按顺序计数，即可得到第 6 个个体的编号. 【详解】因为生成的随机数中落在编号01，02，⋯  ，39，40内的数依次为： 06，35，02，35（重复），32，15，39，40， 剔除重复项后，按顺序选取的 6 个个体编号为：06，35，02，32，15，39， 故第6个个体的编号为39. 【例1.3.】 中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为________石（结果四舍五入取整数）. 【答案】435 【难度】0.85 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答. 【详解】设粮仓内的秕谷有x石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为435石. 故答案为：435. 【例1.4.】 用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①把号码写在形状、大小相同的号签(号签可以用小球、卡片、纸条制作)上；②将总体中的个体编号；③从容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀.这些步骤的先后顺序应为_____.(填序号) 【答案】②①④③ 【难度】0.94 【知识点】抽签法 【分析】由抽签法的定义可判断 【详解】用抽签法进行抽样的第一步要对总体中的个体进行编号，然后做号签，放入容器并搅拌均匀，最后逐个不放回地抽取号签，取出的号签所对应的个体作为样本，所以这些步骤的先后顺序为②①④③. 故答案为：②①④③. 【例1.5.】 为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚________只． 【答案】160000 【难度】0.94 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】利用重捕标记法中每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，估计该保护区有鹅喉羚的只数. 【详解】设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的， 所以＝，解得x＝160000. 故答案为：160000 题型2：分层抽样 【例2.1.】 “一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层随机抽样的比例分配原则求解即可. 【详解】因为A校2400人、B校1800人、C校1200人， 所以A校人数在三所高中人数中占比为， 所以按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人时，A校应抽取的人数为. 【例2.2.】 某学校有教师300人，男学生1200人，女学生900人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知抽取的男生比女生多6人，则n的值为（    ） A．56 B．52 C．48 D．44 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的定义即可得到答案. 【详解】根据分层抽样方法中所抽取的比例相等， 所以，解得. 故选：C. 【例2.3.】 某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、总体与样本 【分析】先计算抽取的300名样本中至多阅读一本名著的人数，算出样本中该情况的频率，进而即得. 【详解】在这300人中，至多阅读一本名著的人数为（人）， 则高一全体名学生中，至多阅读一本名著的人数约为. 【例2.4.】 某校高一年级共有500名学生参加学校组织的活动（每人只参加一项活动），其中参加“党团队一体化公益实践活动”的有125人，参加“心理健康游园活动”的有人、参加“湿地奔跑活动”的有人，现用分层抽样的方法，从中抽取100名学生了解他们的健康情况；如果已知参加“心理健康游园活动”的学生抽取了56人，则参加“湿地奔跑活动”的学生要抽取的人数为________． 【答案】19 【难度】0.88 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】分层抽样中，总体共500名学生，抽取100人，因此抽样比为， 由题意得：，因此：， 根据抽样比得：，解得， 因此：， 故参加“湿地奔跑活动”抽取人数为. 【例2.5.】 某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数 【分析】通过分层随机抽样，平均数的概念求解. 【详解】由题意可知，，且， 所以该校高一学生平均身高的估计值， 故该校高一学生的平均身高的估计值为． 题型3：统计图表 · 频率分布直方图 【例3.1.】 某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（规定满分为100分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（    ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据频率分布直方图中数据求出成绩在的频率，再用频率乘以总人数1000求得结果． 【详解】根据题意，成绩在区间的频率为， 则估计成绩在区间的人数为：人， 故选：C. 【例3.2.】 某商场在五一促销活动中,对5月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图,已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为(　　) A．6万元 B．8万元 C．10万元 D．12万元 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】由频率分布直方图可得时至时的销售额占全部销售额的，结合条件求出总销售额，再根据时至时的销售额占全部销售额的，求结论. 【详解】由频率分布直方图可知，时至时的销售额占全部销售额的， 又时至时的销售额为万元， 所以时至时的销售总额为万元， 因为时至时的销售额占全部销售额的，即销售额为（万元）. 故选：C. 【例3.3.】 如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在内的销售商中抽取______家．    【答案】7 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】首先利用小长方形面积之和为1计算出，然后计算出销量在的频率和频数，最后根据分层抽样的特点即可求解. 【详解】由题意，解得， 所以销量在的频率为，频数为， 所以若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家， 则应从销售量在内的销售商中抽取家. 故答案为：7 【例3.4.】 为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于60分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为，，，，，六组)，若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是______. ① ②问卷成绩在内的频率为0.3 ③ ④以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 【答案】②③④ 【难度】0.94 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1求出的值，进而求得n的值判断选项①③；由图求出问卷成绩在的小矩形的面积，得到对应的频率判断②；求出不及格的频率即可求解判断④. 【详解】由，得， ，①错误，③正确； 成绩在内的频率为，②正确. 若对A地区5000人进行问卷调查，则约有人不及格，④正确. 故答案为：②③④ 【例3.5.】 某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 【答案】 0.0125 144 【难度】0.65 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积和等于1，建立的方程，计算出． （2）利用频率等于小矩形的面积计算新生上学路上所需时间不少于1小时的频率，利用频数等于频率乘以总体的容量得到所求． 【详解】（1）由频率分布直方图，可得， 所以． （2）新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为， 因为，所以1200名新生中约有144名学生可以申请住校． 故答案为：0.0125；144. · 其他统计图表 【例3.6.】 为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（    ）    A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】从饼图中算出各项目的总人数，再结合条形图中的男女比例，分别计算每个选项中的具体人数，从而判断对错. 【详解】全年级有1000人参与该活动，由饼状图可知： 选择篮球的学生有： 人， 选择乒乓球的学生有： 人， 选择足球的学生有： 人， 由条形图可知： 选择篮球的学生中，女生 人，男生 人， 选择乒乓球的学生中，女生 人，男生 人， 选择足球的学生中，女生 人，男生 人. 故选：C． 【例3.7.】 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题 【分析】利用统计图表一一分析选项即可. 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为， 超过五成，故A正确； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比：，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比， 人均参保费用在，而54岁及以上人群参保比例虽， 但人均参保费用在6000，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约 ， 不超过5000元，故D正确. 故选：B 【例3.8.】 某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、雷达图的应用 【分析】对于A，不知道“80后”从事技术岗位的人数的比例，故无法比较；由图1可判断B；求出芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占比即可判断C；求出“90后”从事市场岗位的人数占比可判断D. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的人数的比例，故无法比较，故A不一定正确； 对于B，由图1知芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，故B错误； 对于C，芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占从事这两个行业总人数的， 没有超过从事这两个行业总人数的，故C错误； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 因为， 所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故D正确. 故选：D. 【例3.9.】 （多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【难度】0.4 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 随机抽样与常用统计图表 目录 题型1：简单随机抽样 3 题型2：分层抽样 4 题型3：统计图表 5  频率分布直方图 5  其他统计图表 7 1. 总体、个体、样本、样本容量 总体：在一个调查中，调查对象的全体. 个体：组成总体的每一个调查对象. 样本：在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体. 样本容量：样本中包含的个体数. 2. 简单随机抽样 (1) 定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2) 特点：①总体个数有限；②逐个抽取；③不放回抽样；④等可能抽样． (3) 常用方法：抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于总体中个体数较多的情况）. 3. 分层随机抽样 (1) 分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. (2) 分层随机抽样的步骤： ①分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）； ②定抽样比：抽样比； ③定数：确定第层应该抽取的个体数（为第i层所包含的个体总数）； ④抽样：每层分别按简单随机抽样的方法抽取样本; ⑤成样：综合各层抽样，组成样本. 4. 常用统计图表 (1) 频率分布直方图 1) 制作频率分布表、画频率分布直方图的步骤 ①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差； ②决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数也越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组,且组距=．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”； ③将数据分组：通常对组内数值所在左闭右开区间，最后一组左右都取闭区间； ④列频率分布表：计算各小组的频率，第i组的频率=.作出频率分布表； ⑤画频率分布直方图：以横轴表示分组的数据，纵轴表示的值，分别画出各小长方形. 2) 频率分布直方图的特点 ①各小长方形的面积表示相应各组的频率，即小长方形的面积=组距×=频率. ②各小长方形的面积之比等于频率之比，也等于各小长方形的高度之比. ③各小长方形的面积的总和等于1. (2) 其他统计图表 ①扇形图：直观描述各类数据占总数的比例； ②条形图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率（离散型数据）； ③折线图：直观描述数据随时间的变化趋势； ④雷达图：直观比较多个变量在不同维度上的表现及各变量间的相对关系（差异程度和趋势）； ⑤总体密度曲线：设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线（连续型数据）. 题型1：简单随机抽样 【例1.1.】 下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（    ） ①将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本；②某班有55名同学指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；③福利彩票用摇奖机摇奖. A．0 B．1 C．2 D．3 【例1.2.】 总体由编号为01，02，⋯  ，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为 _______ 【例1.3.】 中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为________石（结果四舍五入取整数）. 【例1.4.】 用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①把号码写在形状、大小相同的号签(号签可以用小球、卡片、纸条制作)上；②将总体中的个体编号；③从容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀.这些步骤的先后顺序应为_____.(填序号) 【例1.5.】 为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚________只． 题型2：分层抽样 【例2.1.】 “一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【例2.2.】 某学校有教师300人，男学生1200人，女学生900人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知抽取的男生比女生多6人，则n的值为（    ） A．56 B．52 C．48 D．44 【例2.3.】 某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 【例2.4.】 某校高一年级共有500名学生参加学校组织的活动（每人只参加一项活动），其中参加“党团队一体化公益实践活动”的有125人，参加“心理健康游园活动”的有人、参加“湿地奔跑活动”的有人，现用分层抽样的方法，从中抽取100名学生了解他们的健康情况；如果已知参加“心理健康游园活动”的学生抽取了56人，则参加“湿地奔跑活动”的学生要抽取的人数为________． 【例2.5.】 某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 题型3：统计图表 · 频率分布直方图 【例3.1.】 某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（规定满分为100分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（    ） A．100 B．200 C．300 D．400 【例3.2.】 某商场在五一促销活动中,对5月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图,已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为(　　) A．6万元 B．8万元 C．10万元 D．12万元 【例3.3.】 如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在内的销售商中抽取______家．    【例3.4.】 为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于60分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为，，，，，六组)，若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是______. ① ②问卷成绩在内的频率为0.3 ③ ④以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 【例3.5.】 某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． · 其他统计图表 【例3.6.】 为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（    ）    A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 【例3.7.】 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【例3.8.】 某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【例3.9.】 （多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $