9.1 随机抽样（思维导图+10大知识点+9大题型）（讲义）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9．1 随机抽样 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、统计的相关概念 4 知识点2、简单随机抽样 4 知识点3、简单随机抽样的方法 4 知识点4、总体均值 5 知识点5、样本均值 5 知识点6、分层抽样定义 5 知识点7、分层抽样适用范围 5 知识点8、分层抽样的步骤 5 知识点9、两种抽样方法的区别和联系 6 知识点10、获取数据的途径 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：简单随机抽样概念辨析 7 题型二：抽签法实际应用 8 题型三：随机数法实操应用 9 题型四：总体与样本平均数计算 10 题型五：分层抽样核心概念 11 题型六：分层抽样各层样本容量求解 11 题型七：分层抽样综合应用 12 题型八：数据获取常用途径 14 题型九：数据获取方案设计方法 15 知识点1、统计的相关概念 （1）普查 像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查． （2）总体、个体 在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体．组成总体的每一个调查对象称为个体．为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体． （3）抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查． （4）样本、样本量 我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量． 知识点2、简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样． 知识点3、简单随机抽样的方法 （1）抽签法： 把总体中的N个个体编号，把编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数． （2）随机数法： 用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本．重复上述过程，直到抽足样本所需的个数． ①用随机试验生成随机数； ②用信息技术生成随机数； ③用计算器生成随机数； ④用电子表格软件生成随机数； ⑤用R统计软件生成随机数． 知识点4、总体均值 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数． 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式 知识点5、样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数． 探究：总体均值与样本均值有何区别与联系？ 答案：（1）区别：当总体中个体较多时，总体均值不易计算，样本均值比较方便计算．总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性． （2）联系：在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值． 知识点6、分层抽样定义 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样． 知识点7、分层抽样适用范围 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层抽样． 知识点8、分层抽样的步骤 （1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分． （2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比． （3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：（其中为第i层所包含的个体总数）． （4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本． 知识点9、两种抽样方法的区别和联系 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体容量较少 分层抽样 抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取 将总体分成几部分，每一部分按比例抽取 每层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的若干部分组成 知识点10、获取数据的途径 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的，因此如何收集数据，像统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等等都是常见的． （1）通过调查获取数据 适用范围：对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据． 注意事项：充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误． （2）通过试验获取数据． 适用范围：没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据． 注意事项：严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础． （3）通过观察获取数据． 适用范围：自然现象． 注意事项：需要专业测量设备获取观测数据． （4）通过查询获得数据． 适用范围：二手数据． 注意事项：数据来历和渠道多样，所以质量会参差不齐，必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真． 题型一：简单随机抽样概念辨析 【典例1-1】下面的抽样方法是简单随机抽样的是（   ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 【典例1-2】对于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②它是从总体中逐个进行抽取的，以便在抽样实践中进行操作； ③它分无放回抽样和有放回抽样； ④它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样方法的公平性． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【方法技巧与总结】（简单随机抽样的判断方法） 判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征： 上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样． 【变式1-1】某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【变式1-3】在简单随机抽样中，下列关于其中一个个体被抽中的可能性说法正确的是（　　） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些 B．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些 C．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 D．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更小一些 题型二：抽签法实际应用 【典例2-1】采用简单随机抽样法从全校1500名学生中选取20名学生，下列方法中不太适合的方法是（    ）． A．抽签法 B．随机数表法 C．计算机随机函数法 D．计算器随机函数法 【典例2-2】甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（    ）． A．先抽的概率大些 B．三人的概率相等 C．无法确定谁的概率大 D．以上都不对 【方法技巧与总结】（抽签法的应用条件及注意点） （1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法． （2）应用抽签法时应注意以下几点： ①分段时，如果已有分段可不必重新分段； ②签要求大小、形状完全相同； ③号签要均匀搅拌； ④要逐一不放回的抽取． 【变式2-1】在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（    ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【变式2-2】已知一个总体中有n个个体，用抽签法从中抽取一个容量为20的样本.若每个个体被抽到的可能性是，则n等于（    ） A．10 B．50 C．100 D．不确定 【变式2-3】下列说法正确的是 A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女 B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 题型三：随机数法实操应用 【典例3-1】某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对户居民进行抽样，先将户居民进行编号，，，…，，从中抽取个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ） 21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95 41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96 A． B． C． D． 【典例3-2】某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（ ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．455 D．447 【方法技巧与总结】（随机数法解题步骤） 第一步，编号． 第二步，生成随机数． 第三步，记录样本编号． 第四步，抽取样本． 【变式3-1】某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 【变式3-2】某班有55人，要抽出3人，用随机数法确定人选，班长给全班同学编号为01，02，03，…，55，依次得到4个随机数为02，29，68，47，其中，不能作为编号的随机数是（    ） A．02 B．29 C．68 D．47 【变式3-3】总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．01 B．02 C．04 D．07 题型四：总体与样本平均数计算 【典例4-1】为了调查某市城区一小河流的水体污染状况，就某个指标，某学校甲班的同学抽取了样本量为50的5个样本，乙班的同学抽取了样本量为100的5个样本，得到如下数据： 抽样序号 1 2 3 4 5 样本量为50的平均数 123.1 120.2 125.4 119.1 123.6 样本量为100的平均数 119.8 120.1 121.0 120.3 120.2 据此可以认定______班的同学调查结果能够更好地反映总体，这两个班的同学调查的该项指标约为______. 【典例4-2】为了了解某市100000户居民的日用电量，甲用简单随机抽样从该市抽取100户调查，得到日用电量的平均数为5.2千瓦时，乙用同样的方法抽查了300户，得到日用电量的平均数为5.5千瓦时，据此推断该市居民日用电量的平均数约为__________千瓦时. 【方法技巧与总结】（平均数计算） 如果有个数，那么就是这组数据的平均数，用表示，即． 【变式4-1】记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则=______． 【变式4-2】在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数＝______＋______＝_____＋______. 在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 【变式4-3】某分层随机抽样中，有关数据如下： 样本量 平均数 第1层 45 4 第2层 35 8 此样本的平均数为________. 题型五：分层抽样核心概念 【典例5-1】某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【典例5-2】某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．简单随机抽样 【方法技巧与总结】（分层抽样的依据） （1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况． （2）样本能更充分地反映总体的情况． （3）等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等． 【变式5-1】为了了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．则下列抽样方法最合理的是（   ） A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．按性别或学段分层抽样都行 【变式5-2】为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（    ） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 【变式5-3】①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人的成绩在60～80分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样 题型六：分层抽样各层样本容量求解 【典例6-1】已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（     ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 【典例6-2】某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为（   ） A．27 B．36 C．54 D．81 【方法技巧与总结】（分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法） （1）已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中为总体容量，为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数，其中为第层的个体数，为第层应抽取的个体数． （2）已知各层个体数之比为，样本容量为时，每层抽取的个体数为． 【变式6-1】某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 【变式6-2】某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（    ） A．42 B．45 C．49 D．50 【变式6-3】根据统计，2024年五一假期，网红城市C和H接待的旅客数分别为1亿和8千万，在这两城市用分层随机抽样的方法抽取360名旅客，则应在H城市抽取的人数为（    ） A．80 B．100 C．200 D．160 题型七：分层抽样综合应用 【典例7-1】统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为，摧毁某年生产的架战机编号从小到大为，，，…，，最大的编号为，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号，，，…，，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间（如下图），可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度进而得到的估计值. 已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题. (1)根据材料估计敌军生产的战机数量； (2)已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，. （ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式； （ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为，，，样本量分别为，，，据此证明： 【典例7-2】某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 【方法技巧与总结】（分层抽样注意事项） （1）分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用． （2）在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比． 【变式7-1】已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1分钟；②商务套餐，平均每份取餐时长为0.5分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长为1分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1个取餐窗口计算）一共有18个，就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50人选择了自选快餐，30人选择了商务套餐，15人选择了现炒现做，5人选择了自动售货机．（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）． (1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？ (2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由． 【变式7-2】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．已知该地区野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系，为调查该地区某种野生动物的数量，现需进行抽样调查，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 【变式7-3】某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，女生样本均值为165， (1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少? (2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少? 题型八：数据获取常用途径 【典例8-1】为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 【典例8-2】下列调查中，适合用普查的是（    ） A．调查全国居民的食品消费结构 B．调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C．调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D．检查某载人飞船零部件的质量情况 【方法技巧与总结】（选择获取数据的途径的依据） 选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性． 【变式8-1】下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．了解兰州白兰瓜的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【变式8-2】2020年某省将实行新高考，考试及录取发生了很大的变化.为了报考理想的大学，小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是（    ） A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获取数据 【变式8-3】为了了解某市年高考各高中学校本科上线人数，收集数据进行统计，其中获取数据的途径采用什么样的方法比较合适（    ） A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获取数据 题型九：数据获取方案设计方法 【典例9-1】在某校高一年级的期中数学测验中，很多学生在解决一道应用题时都出现了错误．教师在试卷分析时说：“看起来，我们高一（3）班的同学解决应用问题比较薄弱．”请你从统计的角度来讨论下面的问题： (1)在这个情境中，总体和样本分别是什么？ (2)你同意教师的说法吗？请说明理由． 【典例9-2】小王和小张计划调查上海市新生儿的性别情况．小王调查了最近一个月在A医院出生的320名新生儿，其中有156名女孩，小王由此推断：上海市新生儿男女比例基本均衡．小张的姐姐在B医院待产，她告诉小张最近一周在B医院出生的18名新生儿中有13名女孩，小张由此推断：上海市新生儿男女比例严重失调，考虑下面的问题： (1)在上面的统计活动中，总体和样本分别是什么？ (2)你同意小王和小张的推断吗？请说一说你的理由． (3)你认为是否可以用上面的样本来推断上海市新生儿的男女比例？请说一说你的理由． 【方法技巧与总结】（统计活动的注意事项） 在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断． 【变式9-1】某班班长就全班同学的学习习惯进行了一次普查，他向同学们询问了以下三个问题： （1）你每天有多少时间来写作业？ （2）你上课认真听讲吗？ （3）你抄袭其他同学的作业吗？ 试分析他设计的这三个问题有什么不足之处． 【变式9-2】某校于高考前新购买了50套听力设备．现需要检查这批听力设备的质量，是全部检查还是抽取部分检查？谈谈你的想法和理由． 【变式9-3】在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？ (1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间； (2)调查一个地区结核病的发病率； (3)调查一批炮弹的杀伤半径； (4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9．1 随机抽样 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、统计的相关概念 4 知识点2、简单随机抽样 4 知识点3、简单随机抽样的方法 4 知识点4、总体均值 5 知识点5、样本均值 5 知识点6、分层抽样定义 5 知识点7、分层抽样适用范围 5 知识点8、分层抽样的步骤 5 知识点9、两种抽样方法的区别和联系 6 知识点10、获取数据的途径 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：简单随机抽样概念辨析 7 题型二：抽签法实际应用 9 题型三：随机数法实操应用 10 题型四：总体与样本平均数计算 12 题型五：分层抽样核心概念 13 题型六：分层抽样各层样本容量求解 15 题型七：分层抽样综合应用 16 题型八：数据获取常用途径 20 题型九：数据获取方案设计方法 21 知识点1、统计的相关概念 （1）普查 像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查． （2）总体、个体 在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体．组成总体的每一个调查对象称为个体．为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体． （3）抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查． （4）样本、样本量 我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量． 知识点2、简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样． 知识点3、简单随机抽样的方法 （1）抽签法： 把总体中的N个个体编号，把编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数． （2）随机数法： 用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本．重复上述过程，直到抽足样本所需的个数． ①用随机试验生成随机数； ②用信息技术生成随机数； ③用计算器生成随机数； ④用电子表格软件生成随机数； ⑤用R统计软件生成随机数． 知识点4、总体均值 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数． 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式 知识点5、样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数． 探究：总体均值与样本均值有何区别与联系？ 答案：（1）区别：当总体中个体较多时，总体均值不易计算，样本均值比较方便计算．总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性． （2）联系：在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值． 知识点6、分层抽样定义 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样． 知识点7、分层抽样适用范围 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层抽样． 知识点8、分层抽样的步骤 （1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分． （2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比． （3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：（其中为第i层所包含的个体总数）． （4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本． 知识点9、两种抽样方法的区别和联系 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体容量较少 分层抽样 抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取 将总体分成几部分，每一部分按比例抽取 每层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的若干部分组成 知识点10、获取数据的途径 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的，因此如何收集数据，像统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等等都是常见的． （1）通过调查获取数据 适用范围：对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据． 注意事项：充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误． （2）通过试验获取数据． 适用范围：没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据． 注意事项：严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础． （3）通过观察获取数据． 适用范围：自然现象． 注意事项：需要专业测量设备获取观测数据． （4）通过查询获得数据． 适用范围：二手数据． 注意事项：数据来历和渠道多样，所以质量会参差不齐，必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真． 题型一：简单随机抽样概念辨析 【典例1-1】下面的抽样方法是简单随机抽样的是（   ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 【答案】B 【解析】对于A，抽取个子最高的5名，不是随机抽取，不是简单随机抽样，故A不符合题意； 对于B，从有限总体中进行随机、不放回抽样，符合简单随机抽样的特征，故B符合题意； 对于C，是有放回抽样，不是简单随机抽样，故C不符合题意； 对于D，总体个数是无限的，不是简单随机抽样，故D不符合题意. 故选：B． 【典例1-2】对于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②它是从总体中逐个进行抽取的，以便在抽样实践中进行操作； ③它分无放回抽样和有放回抽样； ④它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样方法的公平性． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】对于①：简单随机抽样要求样本的总体个数有限，这样才能保证样本能够很好地代表总体，所以①正确； 对于②：由于总体数量是有限的，所以为了让数据具有代表性需要从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作，所以②正确； 对于③：简单随机抽样分无放回抽样和有放回抽样，所以③正确； 对于④：在随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑，所以④正确． 故选：D. 【方法技巧与总结】（简单随机抽样的判断方法） 判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征： 上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样． 【变式1-1】某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】总体有60个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为. 故选A． 【变式1-2】关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【解析】根据简单随机抽样的定义和性质知： ①它要求被抽取样本的总体的个数有限，正确； ②它是从总体中逐个地进行抽取，正确； ③不作特殊说明时它是一种不放回抽样，正确； ④它是一种等可能性抽样，正确； 故选：A. 【变式1-3】在简单随机抽样中，下列关于其中一个个体被抽中的可能性说法正确的是（　　） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些 B．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些 C．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 D．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更小一些 【答案】C 【解析】在简单随机抽样中，每个个体每次被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关，A，B，D错误，C正确． 故选：C 题型二：抽签法实际应用 【典例2-1】采用简单随机抽样法从全校1500名学生中选取20名学生，下列方法中不太适合的方法是（    ）． A．抽签法 B．随机数表法 C．计算机随机函数法 D．计算器随机函数法 【答案】A 【解析】因为是1500名学生中选取20名学生， 总体容量较大，样本容量较小， 所以抽签法不太适合， 故选：A 【典例2-2】甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（    ）． A．先抽的概率大些 B．三人的概率相等 C．无法确定谁的概率大 D．以上都不对 【答案】B 【解析】根据抽签法，每个个体被抽取的概率相等判断.∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是， 故选：B． 【方法技巧与总结】（抽签法的应用条件及注意点） （1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法． （2）应用抽签法时应注意以下几点： ①分段时，如果已有分段可不必重新分段； ②签要求大小、形状完全相同； ③号签要均匀搅拌； ④要逐一不放回的抽取． 【变式2-1】在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（    ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【解析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果.由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 【变式2-2】已知一个总体中有n个个体，用抽签法从中抽取一个容量为20的样本.若每个个体被抽到的可能性是，则n等于（    ） A．10 B．50 C．100 D．不确定 【答案】C 【解析】，解得n=100. 故选：C. 【变式2-3】下列说法正确的是 A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女 B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 【答案】D 【解析】一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确． 故答案为D. 题型三：随机数法实操应用 【典例3-1】某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对户居民进行抽样，先将户居民进行编号，，，…，，从中抽取个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ） 21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95 41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从随机数表中的第2行第7列开始向右读取数据，依次为163，388（超出299，舍去），295，407（超出299，舍去），611（超出299，舍去），084，371（超出299，舍去），169，285，074，360（超出299，舍去），295（与前样本重复，舍去），418（超出299，舍去），315（超出299，舍去），726（超出299，舍去），049， 故得到的第7个样本编号是049， 故选：C. 【典例3-2】某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（ ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．455 D．447 【答案】B 【解析】由题知，选取的前几个同学编号分别是442，175，572，175，455，608，331，047， 剔除重复数据175和超过500的数据572、608， 所以符合条件的前5个数据是442，175，455，331，047，所以第5个是047. 故选：B 【方法技巧与总结】（随机数法解题步骤） 第一步，编号． 第二步，生成随机数． 第三步，记录样本编号． 第四步，抽取样本． 【变式3-1】某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 【答案】C 【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第3个样本编号为007. 故选：C. 【变式3-2】某班有55人，要抽出3人，用随机数法确定人选，班长给全班同学编号为01，02，03，…，55，依次得到4个随机数为02，29，68，47，其中，不能作为编号的随机数是（    ） A．02 B．29 C．68 D．47 【答案】C 【解析】由于，所以68不能作为编号． 故选：C. 【变式3-3】总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．01 B．02 C．04 D．07 【答案】A 【解析】从第一行的第7列和第8列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08，02，14，07，01，所以第5个个体是01. 故选：A． 题型四：总体与样本平均数计算 【典例4-1】为了调查某市城区一小河流的水体污染状况，就某个指标，某学校甲班的同学抽取了样本量为50的5个样本，乙班的同学抽取了样本量为100的5个样本，得到如下数据： 抽样序号 1 2 3 4 5 样本量为50的平均数 123.1 120.2 125.4 119.1 123.6 样本量为100的平均数 119.8 120.1 121.0 120.3 120.2 据此可以认定______班的同学调查结果能够更好地反映总体，这两个班的同学调查的该项指标约为______. 【答案】 乙 （答案不唯一，只要合理即可） 【解析】由抽样调查的意义可以知道，增加样本量可以提高估计效果， 所以乙班同学的调查结果能更好地反映总体，由表可知，该项指标约为. 故答案为：乙；（答案不唯一，只要合理即可） 【典例4-2】为了了解某市100000户居民的日用电量，甲用简单随机抽样从该市抽取100户调查，得到日用电量的平均数为5.2千瓦时，乙用同样的方法抽查了300户，得到日用电量的平均数为5.5千瓦时，据此推断该市居民日用电量的平均数约为__________千瓦时. 【答案】5.5 【解析】由于乙抽取的样本量大于甲的，我们更愿意用他的调查结果估计该市的平均数. 故答案为：5.5 【方法技巧与总结】（平均数计算） 如果有个数，那么就是这组数据的平均数，用表示，即． 【变式4-1】记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则=______． 【答案】 【解析】将样本数据按从小到大的顺序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32， 所以中位数， 由平均数的计算公式得， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数＝______＋______＝_____＋______. 在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 【答案】 【解析】略 【变式4-3】某分层随机抽样中，有关数据如下： 样本量 平均数 第1层 45 4 第2层 35 8 此样本的平均数为________. 【答案】5.75 【解析】样本的平均数 故答案为：5.75 题型五：分层抽样核心概念 【典例5-1】某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【答案】A 【解析】对于A，这次抽样可能采用的是简单随机抽样，故A正确. 对于B，由知，采用的可以是分层抽样，故B错误. 对于C和D，抽样中每个女生被抽到的概率与每个男生被抽到的概率均等于，故C和D均错误. 故选：A. 【典例5-2】某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．简单随机抽样 【答案】C 【解析】由于样本中年龄分为三个层次：老年，中年，青年，因此采取分层抽样方法． 故选：C． 【方法技巧与总结】（分层抽样的依据） （1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况． （2）样本能更充分地反映总体的情况． （3）等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等． 【变式5-1】为了了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．则下列抽样方法最合理的是（   ） A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．按性别或学段分层抽样都行 【答案】C 【解析】因为已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，所以为了了解该地区中小学生的视力情况，应按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 【变式5-2】为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（    ） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 【答案】B 【解析】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样． 故选：B． 【变式5-3】①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人的成绩在60～80分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样 【答案】A 【解析】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当； 对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当． 故选：A. 题型六：分层抽样各层样本容量求解 【典例6-1】已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（     ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 【答案】B 【解析】设中年人抽取人，青少年抽取人，由分层随机抽样可知，，解得，， 故中年人比青少年多9人． 故选：B． 【典例6-2】某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为（   ） A．27 B．36 C．54 D．81 【答案】B 【解析】样本容量 故选：B. 【方法技巧与总结】（分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法） （1）已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中为总体容量，为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数，其中为第层的个体数，为第层应抽取的个体数． （2）已知各层个体数之比为，样本容量为时，每层抽取的个体数为． 【变式6-1】某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】C 【解析】根据题意，得：， 解得：，即. 故选：C 【变式6-2】某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（    ） A．42 B．45 C．49 D．50 【答案】C 【解析】由题可得总人数为 人，抽样比 所以样本容量. 故选：C. 【变式6-3】根据统计，2024年五一假期，网红城市C和H接待的旅客数分别为1亿和8千万，在这两城市用分层随机抽样的方法抽取360名旅客，则应在H城市抽取的人数为（    ） A．80 B．100 C．200 D．160 【答案】D 【解析】根据题意，网红城市C和H接待的旅客数比例为， 所以应在H城市抽取的人数为． 故选：D． 题型七：分层抽样综合应用 【典例7-1】统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为，摧毁某年生产的架战机编号从小到大为，，，…，，最大的编号为，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号，，，…，，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间（如下图），可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度进而得到的估计值. 已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题. (1)根据材料估计敌军生产的战机数量； (2)已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，. （ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式； （ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为，，，样本量分别为，，，据此证明： 【解析】（1）因为可用估计，所以，得，故敌军每年生产战机24架. （2）（ⅰ）不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度， 需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，， 估计式为或 （ⅱ）因为样本是按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为、、， 所以，则， 所以，，， 又因为样本平均数为， 所以. 【典例7-2】某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 【解析】（1）设登山看日出组的人数为x，在海边看日落组中， 设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为， 则，解得， 所以. 故在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为. （2）由（1）可得高三学生所占的比例分别为， 所以在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数为人. 【方法技巧与总结】（分层抽样注意事项） （1）分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用． （2）在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比． 【变式7-1】已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1分钟；②商务套餐，平均每份取餐时长为0.5分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长为1分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1个取餐窗口计算）一共有18个，就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50人选择了自选快餐，30人选择了商务套餐，15人选择了现炒现做，5人选择了自动售货机．（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）． (1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？ (2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由． 【解析】（1）由题意得，就餐高峰期时选择自选快餐的总人数为， 这200人平均分布在10个自选快餐窗口，平均每个窗口等待取餐的人数为，所以选择自选快餐的消费者的最长等待时长为分钟． （2）设自选快餐窗口个，商务套餐窗口个，现炒现做窗口个，自售货机台． 自选快餐高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 商务套餐高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 现炒现做高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 自动售货机高峰期就餐总人数为，每台售货机等待人数为，最长等待时长为分钟． 依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等， 则可得，即有． 因为．所以，，，． 故应设置自选快餐、商务套餐、现炒现做的取餐窗口分别为6个，2个，9个，自动售货机1台． 【变式7-2】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．已知该地区野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系，为调查该地区某种野生动物的数量，现需进行抽样调查，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 【解析】分层随机抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样理由如下： 由题知，各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大， 采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计． 【变式7-3】某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，女生样本均值为165， (1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少? (2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少? 【解析】（1）男、女的样本量按比例分配， 总样本的均值为cm. （2）男、女的样本量都是25， 总样本的均值为cm， 题型八：数据获取常用途径 【典例8-1】为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 【答案】B 【解析】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确. 【典例8-2】下列调查中，适合用普查的是（    ） A．调查全国居民的食品消费结构 B．调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C．调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D．检查某载人飞船零部件的质量情况 【答案】D 【解析】A选项，全国居民数量庞大，全面调查难度大､成本高，适合抽样调查，A错误； B选项，调查一批袋装牛奶的细菌数具有破坏性，适合抽样调查，B错误； C选项，调查电池使用寿命会对电池造成损坏，适合抽样调查，C错误； D选项，载人飞船零部件的质量关乎飞行安全，必须确保每个零部件都合格，适合用普查，D正确. 【方法技巧与总结】（选择获取数据的途径的依据） 选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性． 【变式8-1】下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．了解兰州白兰瓜的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 【解析】切开白兰瓜具有破坏性，故A不符合题意； 测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故B不符合题意； 兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故C不符合题意； 航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故D符合题意. 【变式8-2】2020年某省将实行新高考，考试及录取发生了很大的变化.为了报考理想的大学，小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是（    ） A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获取数据 【答案】D 【解析】因为近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据有存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获取数据， 故选：D. 【变式8-3】为了了解某市年高考各高中学校本科上线人数，收集数据进行统计，其中获取数据的途径采用什么样的方法比较合适（    ） A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获取数据 【答案】D 【解析】因为某市年高考各高中学校本科上线人数的相关数据有存储， 所以，获取数据的途径通过查询的方式较为合适. 故选：D. 题型九：数据获取方案设计方法 【典例9-1】在某校高一年级的期中数学测验中，很多学生在解决一道应用题时都出现了错误．教师在试卷分析时说：“看起来，我们高一（3）班的同学解决应用问题比较薄弱．”请你从统计的角度来讨论下面的问题： (1)在这个情境中，总体和样本分别是什么？ (2)你同意教师的说法吗？请说明理由． 【解析】（1）总体是某校高一年级的期中数学测验中，学生在解决一道应用题时的表现情况，样本是高一（3）班的同学期中数学测验中，学生在解决一道应用题时的表现情况. （2）不同意，一方面还需要明确出现错误的是不是这个班的，另一方面这只是一道应用题，不能代表所有应用题的掌握情况. 【典例9-2】小王和小张计划调查上海市新生儿的性别情况．小王调查了最近一个月在A医院出生的320名新生儿，其中有156名女孩，小王由此推断：上海市新生儿男女比例基本均衡．小张的姐姐在B医院待产，她告诉小张最近一周在B医院出生的18名新生儿中有13名女孩，小张由此推断：上海市新生儿男女比例严重失调，考虑下面的问题： (1)在上面的统计活动中，总体和样本分别是什么？ (2)你同意小王和小张的推断吗？请说一说你的理由． (3)你认为是否可以用上面的样本来推断上海市新生儿的男女比例？请说一说你的理由． 【解析】（1）总体是上海市新生儿的性别情况，样本是在A医院出生的320名新生儿的性别情况； （2）不同意，根据抽样情况只能说明抽样的情况，判断不全面，不能得出推论； （3）不能，抽样的不全面不能得出科学的推断. 【方法技巧与总结】（统计活动的注意事项） 在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断． 【变式9-1】某班班长就全班同学的学习习惯进行了一次普查，他向同学们询问了以下三个问题： （1）你每天有多少时间来写作业？ （2）你上课认真听讲吗？ （3）你抄袭其他同学的作业吗？ 试分析他设计的这三个问题有什么不足之处． 【解析】（1）每天做作业的时间不一定相同，这个问题应该用平均时间． （3）抄袭作业是不好的习惯，很多人不愿意正面回答，调查问卷应该设计为不记名问卷． 【变式9-2】某校于高考前新购买了50套听力设备．现需要检查这批听力设备的质量，是全部检查还是抽取部分检查？谈谈你的想法和理由． 【解析】必须全部检查（采用普查）． 由于高考是一件非常严肃、责任重大的事件，高考讲究公平竞争，要求十分严格， 所使用的设备必须全部合格，且这批设备数量较少，全部检查是可行的，这样可确保万无一失. 【变式9-3】在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？ (1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间； (2)调查一个地区结核病的发病率； (3)调查一批炮弹的杀伤半径； (4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例． 【解析】（1）总体是全班学生，个体是这个班的每一位学生，适合用全面调查， （2）总体是整个地区的居民，个体是这个地区的每一位居民，适合用抽样调查， （3）总体是这批炮弹，个体是这批炮弹的每一个炮弹，适合用抽样调查. （4）总体是这个水库里所有的鱼，个体是这个水库里的每一条鱼，适合用抽样调查. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $