第五章 分式与分式方程 综合练习（三） 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 本单元卷聚焦分式与分式方程，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合机器人搬运、汽车能耗等真实情境，考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配初中数学单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|分式定义、值为0条件、方程解的范围|第9题结合倒数性质考查分式化简，体现数学思维| |填空题|6|最简公分母、分式方程建模|第15题以燃油与纯电汽车费用为情境，培养模型意识| |解答题|7|化简求值、错误分析、规律探究|第23题通过假分式化带分式的阅读材料，发展创新意识与推理能力|

第五章分式与分式方程综合练习（三） 一．选择题（共10小题） 1．下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．若分式的值等于0，则x的值为（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 3．把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（　　） A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．不变 D．缩小为原来的 4．关于x的分式方程3的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣6且m≠2 B．m＞6且m≠2 C．m＜6且m≠﹣2 D．m＜6且m≠2 5．用A，B两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运40kg，A机器人搬运1200kg所用时间与B机器人搬运900kg所用时间相等，设A机器人每小时搬运xkg化工原料，那么可列方程（　　） A． B． C． D． 6．下列各式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 7．下列各式从左到右变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．解分式方程，去分母得（　　） A．x﹣2﹣1＝﹣1.5 B．2﹣x﹣1＝1.5 C．x﹣2﹣（1﹣2x）＝1.5 D．x﹣2﹣（2x﹣1）＝﹣1.5 9．在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023，…，2，1，0，1，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（　　） A．2026 B．﹣1 C．2025 D． 10．已知整式，其中n，an，an﹣1，…，a1为正整数，且1≤an≤an﹣1≤…≤a1≤n．下列说法：①当n＝3时，则满足条件的所有整式M3有且仅有10个；②记所有整式M2的和为S，若为整数，则满足条件的所有整数x之和为﹣4；③当an•an﹣1•…•a1•n＝24时，则满足条件的所有整式Mn有且仅有7个．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题） 11．当x满足　 　 条件时，分式有意义． 12．分式的最简公分母是　 　 ． 13．方程的解为 　 　 ． 14．已知，则常数A，B的值分别是：　 　 ． 15．小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为　 　 ． 16．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数2541，因为（4+1）2＝25，所以2541是“开心数”；又如，四位数6745，（4+5）2＝81≠67，所以6745不是“开心数”．则最大的“开心数”为　 　 ；已知是“开心数”，将M去掉个位数字后所得的三位数记为M1，记，若6F（M）+M1+7d能够被9整除，则满足条件的G（M）最大值与最小值的和为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．先化简，再求值：，其中x＝﹣2． 18．解方程：3． 19．小明同学解分式方程出现了错误，其解答过程如下： 解：方程两边同乘以（x﹣4），得（第一步）， ﹣3+2＝1﹣x（第二步）， x＝2（第三步）， 检验：当x＝2时，x﹣4≠0（第四步）， 所以原方程的解为x＝2（第五步）． （1）小明的解答过程从第　 　 步开始出错的，其错误的原因是　 　 ； （2）请写出此题正确的解答过程． 20．为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．现计划由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多200米． （1）甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ （2）在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 21．已知，． （1）若，求m的值； （2）若a＞0，比较A与B的大小关系． 22．根据发现的规律回答问题 （1）解下列方程 ①的解为x＝　 　 ； ②的解为x＝　 　 ； ③的解为x＝　 　 ； ④的解为x＝　 　 ； （2）根据上述规律和形式继续写出⑤⑥： ⑤　 　 ； ⑥　 　 ； （3）请根据上述规律写出第n个（n为正整数）方程及它的解，并写出解题过程． 23．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 　 　 分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 第五章分式与分式方程综合练习（三） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、的分母不含字母，不是分式，不符合题意； B、的分母不含字母，不是分式，不符合题意； C、的分母不含字母，不是分式，不符合题意； D、的分母含字母，是分式，符合题意． 故选：D． 2．【解答】解：根据题意得， 解得x＝1． 故选：B． 3．【解答】解：把分式中的x、y都扩大2倍后， ． 故选：C． 4．【解答】解：3， 方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m＝3x﹣6， 解得，x， ∵2， ∴m≠2， 由题意得，0， 解得，m＜6， 实数m的取值范围是：m＜6且m≠2． 故选：D． 5．【解答】解：∵A机器人比B机器人每小时多搬运40kg，且A机器人每小时搬运xkg化工原料， ∴B机器人每小时搬运（x﹣40）kg化工原料， 根据题意得：． 故选：A． 6．【解答】解：A．，不是最简分式，故该选项不符合题意； B．是最简分式，故该选项符合题意； C．，不是最简分式，故该选项不符合题意； D．，不是最简分式，故该选项不符合题意， 故选：B． 7．【解答】解：，则A不符合题意； 1，则B符合题意； 与不一定相等，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：B． 8．【解答】解：方程整理得：1， 去分母得：x﹣2﹣（2x﹣1）＝﹣1.5． 故选：D． 9．【解答】解：分式1， 当x＝0时，原式＝﹣1， 当x＝1时，原式＝0， 当x＝2025时，原式＝1， 当x时，原式， 当x＝2024时，原式＝1， 当x时，原式， ...， 当x＝2时，原式＝1， 当x时，原式1， ∴当x＝2025与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0， 当x＝2024与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0， ...， 当x＝2与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0， ∴将所得结果相加之和＝﹣1． 故选：B． 10．【解答】解：①当n＝3时，M3＝a3x3+a2x2+a1x+3，1≤a3≤a2≤a1≤3， ∴M3＝3x3+3x2+3x+3或M3＝2x3+3x2+3x+3或M3＝2x3+2x2+2x+3或M3＝2x3+2x2+3x+3， M3＝x2+3x2+3x+3或M3＝x3+2x2+2x+3或M3＝x3+2x2+3x+3或M3＝x3+x2+x+3或M3＝x3+x2+2x+3或M3＝x3+x2+3x+3，共10种； ②M2＝2x2+2x+2或M2＝x2+2x+2或M2＝x2+x+2，S＝4x2+5x+6，M1＝x+1， ， ∴x+1＝±1，±5， ∴x＝0或﹣2或4或﹣6， ∴满足条件的所有整数x之和为﹣4； ③∵an•an﹣1•…•a1•n＝24， ∴24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6＝2×2×6＝2×3×4＝2×2×2×3， ∴满足条件的所有整式Mn有且仅有7个． 故①②③正确， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：∵分式有意义， ∴2x﹣2≠0， 解得x≠1． 故答案为：x≠1． 12．【解答】解：因为b2c，a2b，2ac中的常数项系数的最小公倍数是2，a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，c的最高次幂是1， 所以三分式的最简公分母是2a2b2c． 故答案为：2a2b2c． 13．【解答】解：两边都乘以x（x+3），得 x+3﹣2x＝0， 解得x＝3， 经检验x＝3是原方程的解， 所以原方程的解为x＝3， 故答案为：x＝3． 14．【解答】解：先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等可知： ， ∴，（m﹣1）（m﹣2）≠0， ∴A（m﹣2）+B（m﹣1）＝3m﹣4， ∴（A+B）m﹣（2A+B）＝3m﹣4， ∴， 解得． 故答案为：1，2． 15．【解答】解：根据题意得： ． 故答案为：． 16．【解答】解：若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”， 设四位数，则“开心数”满足（c+d）2＝10a+b，且a，b，c，d互不相等且均不为零， ∵（c+d）2为两位数， ∴4≤c+d≤9， 要使得M最大，则需千位数字a最大， ∴a最大可能值为8，此时10a+b＝81，故b＝1， 此时c+d＝9， ∵数字互不相等， ∴c和d不能为8或1， 可能组合中，c＝7，d＝2时十位数字最大， 故M＝8172，且数字8，1，7，2互不相等，满足条件，为最大“开心数”； 由定义，，代入得： ＝2c+d， 根据题意得：， ∴6F（M）+M1+7d ＝6（2c+d）+100a+10b+c+7d ＝12c+6d+100a+10b+c+7d ＝100a+10b+13c+13d ＝10（10a+b）+13（c+d） ＝10（c+d）2+13（c+d）， 设c+d＝s， ∵4≤c+d≤9， ∴4≤s≤9， 则， ∵6F（M）+M1+7d能够被9整除， ∴10s2+13s能被9整除， 当s＝4时，10s2+13s＝10×42+13×4＝212＝23×9+5，不符合题意； 当s＝5时，10s2+13s＝10×52+13×5＝315＝35×9，符合题意； 当s＝6时，10s2+13s＝10×62+13×6＝438＝48×9+6，不符合题意； 当s＝7时，10s2+13s＝10×72+13×7＝581＝64×9+5，不符合题意； 当s＝8时，10s2+13s＝10×82+13×8＝744＝82×9+6，不符合题意； 当s＝9时，10s2+13s＝10×92+13×9＝927＝103×9，符合题意； ∴s＝5或s＝9， 当s＝5时，10a+b＝25，故a＝2，b＝5，c+d＝5，且数字互不相等， ∴或， 当时，； 当时，； 当s＝9时，10a+b＝81，故a＝8，b＝1，c+d＝9，且数字互不相等， ∴或或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴G（M）可能值为1，﹣1，，，，，，， ∴最大值为1，最小值为﹣1， 最大值与最小值的和为1+（﹣1）＝0． 故答案为：8172；0． 三．解答题（共7小题） 17．【解答】解：原式 ＝x+2， 当x＝﹣2时，原式＝﹣2+2＝0． 18．【解答】解：3， 方程可化为， 方程两边都乘（x﹣2）得，1＝﹣（x﹣1）+3（x﹣2）， 解得x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣2≠0， ∴x＝3是原分式方程的解． 19．【解答】解：（1）小明的解答过程从第一步开始出错的，其错误的原因是2没有乘以（x﹣4），故答案为：一，2没有乘以（x﹣4）； （2）方程两边同乘以（x﹣4），得， ﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x， 解得x＝4， 检验：当x＝4时，x﹣4＝0，所以x＝4不是分式方程的解， 所以原方程无解． 20．【解答】解：（1）设乙工程队每月计划施工x米，则甲工程队每月计划施工（x+200）米， 根据题意得：（6+2）（x+200）+2x＝2400， 解得：x＝80， ∴x+200＝80+200＝280（米）． 答：甲工程队每月计划施工280米，乙工程队每月计划施工80米； （2）设乙工程队每月的施工费用是y万元，则甲工程队每月的施工费用是y万元， 根据题意得：10， 解得：y＝30， 经检验，y＝30是所列方程的解，且符合题意， ∴y30＝50（万元）． 答：甲工程队每月的施工费用是50万元． 21．【解答】解：（1）∵， ∴a+1＝a+2﹣m， ∴m＝1； （2）A﹣B ， ∴（a+2）（a+4）＞0， ∴， ∴A＜B． 22．【解答】解：（1）①， 1＝2﹣（x+1）， 1＝2﹣x﹣1， 解得：x＝0， 经检验：x＝0是原方程的解， ∴原方程的解为：x＝0； ②， 2＝4﹣（x+1）， 2＝4﹣x﹣1， 解得：x＝1， 经检验：x＝1是原方程的解， ∴原方程的解为：x＝1； ③， 3＝6﹣（x+1）， 3＝6﹣x﹣1， 解得：x＝2， 经检验：x＝2是原方程的解， ∴原方程的解为：x＝2； ④， 4＝8﹣（x+1）， 4＝8﹣x﹣1， 解得：x＝3， 经检验：x＝3是原方程的解， ∴原方程的解为：x＝3， 故答案为：①0；②1；③2；④3； （2）根据上述规律和形式可得⑤， 5＝10﹣（x+1）， 5＝10﹣x﹣1， 解得：x＝4， 经检验：x＝4是原方程的解， 故答案为：的解为x＝4； ⑥， 6＝12﹣（x+1）， 6＝12﹣x﹣1， 解得：x＝5， 经检验：x＝5是原方程的解， 故答案为：的解为x＝5； （3）根据上述规律得第n个（n为正整数）方程为， n＝2n﹣（x+1）， n＝2n﹣x﹣1， x＝2n﹣1﹣n， 解得：x＝n﹣1， 经检验：x＝n﹣1是原方程的解， ∴原分式方程的解为：x＝n﹣1． 23．【解答】解：（1）∵2025的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式， 故答案为：真； （2） ； （3） ， ∵与x均为整数， ∴x﹣1＝±2或±1， ∴x＝﹣1或3或0或2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/25 17:04:49；用户：张文玉；邮箱：18150859082；学号：47368668 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $