安徽高一数学下学期阶段测试2025-2026学年(人教A版必修第二册第六-八章)

**基本信息** 高一数学月考卷（第六章-第八章），以复数、向量、立体几何等为核心，融入泗县金丝绞瓜、雷峰塔测量等现实情境，注重基础与能力梯度，适配阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量运算、三角形性质、多面体概念|基础概念辨析，如多面体命题判断| |多选题|3/18|斜二测画法、三角形锐角判断、向量关系|多角度考查，如向量投影与夹角| |填空题|3/15|圆锥表面积、向量与三角形内角、实际测量|新情景创新，雷峰塔高度测量应用| |解答题|5/77|向量坐标运算、解三角形（选条件）、多面体表面积体积、立体几何证明|分层设计，如解三角形三条件选做；结合地方特产，泗县金丝绞瓜支架问题|

题号 题型 分值 知识点 难易度 1 单选题 5 复数的运算 0.85 2 单选题 5 向量共线的坐标运算 0.85 3 单选题 5 向量基本定理的应用 0.8 4 单选题 5 多面体概念 0.8 5 单选题 5 解三角形：正弦定理的应用 0.8 6 单选题 5 空间异面直线夹角的计算 0.7 7 单选题 5 圆台侧面展开图及球的表面积计算 0.65 8 单选题 5 正方体中的线线垂直、线面平行证明 0.65 9 多选题 6 斜二测画法的直观图与原图周长、面积关系 0.6 10 多选题 6 余弦定理、向量数量积在解三角形中应用 0.6 11 多选题 6 向量模、投影、夹角等基本概念计算 0.55 12 填空题 5 圆锥表面积计算 0.75 13 填空题 5 向量垂直的坐标运算 0.7 14 填空题 5 新情景余弦定理在实际生活中的应用 0.5 15 解答题 13 向量坐标，夹角范围有关的计算 0.7 16 解答题 15 余弦定理开放性问题 0.5 17 解答题 15 原创解三角形问题：求角、面积 0.5 18 解答题 17 多面体体积切割法的应用 0.6 19 解答题 17 改编：线面平行，线面垂直，绵绵垂直的证明 0.5 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第二学期第二次月考教学质量检测 参考答案 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． A D A B C B B D ABD ACD AB 一、单选题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】A 【解题思路】根据复数的四则运算求出复数z，再求共轭复数，即可判断其虚部. 【解答过程】由， 故，所以的虚部为1． 故选：A． 2.【答案】D 【解题思路】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【解答过程】因为向量， 由，可得，解得. 故选：D 3. 【答案】A 4. 【答案】B 5.【答案】C 【解题思路】利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论. 【解答过程】因为，由正弦定理可得，则， ．所以，又因为，所以， 又，可得，故的形状是等腰直角三角形. 故选：C. 6.【答案】B 【解题思路】如图，取 BC 的中点为G, 连 接EG,FG, 则 ∠GFE 或其补角是异面直线AB 与 EF 所成的角 . 因为正三棱锥相对的棱相互垂直，所以 AB⊥CD, 因 为BE=ED,BG=GC, 所 以 EG//CD 且 .因 为AF=FC, BG=GC, 所 以FG//AB 且 FG=1, 又 AB⊥CD, 所 以EG⊥FG, 在 Rt△EGF 中， 7.【解题思路】由对应关系可得圆台的上、下底面圆半径分别为，进而计算出圆台的高，设球心到点所在的底面的距离为，表示到点所在底面的距离，利用球半径相等建立等量关系，解方程即可得到结果. 【解答过程】设圆台的上、下底面圆半径分别为， 由题意得，，，解得. 如图，设圆台的上、下底面圆心分别为，则圆台的高为. 设球的半径为，球心到点所在的底面的距离为，则到点所在的底面的距离为， 由题意得，，解得， 所以球的表面积为. 故选:. 8.【解题思路】解：对于A项：因为为底面正方形内（含边界）的动点，所以点到平面的距离为1，以点为顶点，为底面研究三棱锥的体积，所以，故A错误； 对于B项：在矩形内，当时，显然与不垂直，故B错误； 对于C项：在矩形内，与相交，所以与平面相交，故C错误； 对于D项：用线面角的定义可作出线面角，连接，因为平面， 所以是在平面内的射影， 所以为直线与平面所成角， 所以在直角三角形中， ， 故D正确； 二、多选题：（本题共 3 小题，每题6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。） 9.【答案】ABD 【解题思路】由斜二测画法法则可知AB正确；利用梯形的周长、面积公式可计算出C,D 10.【答案】ACD 由正弦函数的单调性可判断；选项D由正弦定理可得则. 【解题思路】对于为锐角，故正确； 对于为钝角，故错误 对于均为锐角；且 因为可得则为锐角，故正确. 对于由正弦定理得由大边对大角得为锐角，故正确. 故选：ACD 11.【答案】AB 【解题思路】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断,，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12 ．【答案】 【解析思路】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积. 依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形， 所以圆锥的底面半径为，所以圆锥的表面积为 13. 【答案】 【解题思路】 由 m·n=0 得 =0,即 ,因为A 是△ABC 的一个内角，所 14. 【答案】73 【解题思路】题意可得在 AOB 中所以 LAOB = 105 , 利用正弦定理可得 化简得 在RtABC 中,可得PO = AO ≈ 73米 . 故答案为：73 四、解答题：本题共5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本题13分）【解析思路】（1）设P(x, y ) ，则 = (x, y - 4) ， = (2 - x , -y )，若 = -3 ，则(x, y - 4) = -3( 2 - x, -y) ，--3分 即 x ，解得 所以P (3,- 2)----------5分 （2） = (-1, -t ) ， = (-3, 4 - t ) 由题意可得 . > 0 且 , 方向不相同， 即 解得〈 1或_2t > 3 ，-----10分 当t = _2 时， , 方向相同，不符合题意， 所以实数t 的取值范围是(_∞, _2) u (_2, 1) u (3, +∞ )---13分 16．（15分）【解题思路】（1）若选①：因为2bcosA = ccosA + acosC ， 由正弦定理可得2sinBcosA = sinCcosA + sinAcosC = sin(C + A) = sinB ，且B ∈(0, π ) ，则sinB > 0 ，可得cosA 且 A∈(0, π ) ，所以A 若选②：因为asinB = 3bcosA ，由正弦定理可得sinAsinB = 3sinBcosA ，且B ∈(0, π ) ，则sinB > 0 ，可得tanA = 3 ， 且 A∈(0, π ) ，所以A 若选③：因为cosC + cosA = 0 ， 则 ， 可得sinAsinB = 3sinBcosA且B ∈(0, π ) 则sinB > 0 ，可得tanA = 3 ， 且 A∈(0, π ) ，所以A ————6分 （2） 由（1）可知： A 由余弦定理可得： a2 = b2 + c2 _ 2bccosA = (b+ c)2 _ 2bc _ 2bccosA 又a =， b + c = 8 ， 即28 = 64 _ 2bc _bc ，解得bc = 12 .-------15分 17.（15分）（1）由 则 由三角形内角A+B+C=180°， --------6分 （2）由（1）结论和已知AC=6, BC=得得 所以=---------17分 18 ．【解题思路一】 由题意可知，△ BCF 和 △ADE 都是边长为 2 的等边三角形，故SV BCF = S △ADE sin 60o ∵ AB = 4 ， ∴ SABCD = AB .BC = 8 ， 分别过E 、 F 向AB 作垂线，垂足为P 、 Q ，如下图所示： 结合等腰梯形性质可知， EF = PQ = 2 ， AP = QB = 1，从而PE = QF 故SABEF . PE 故多面体的表面积S = 2SABEF + 2S△BCF + SABCD = 8 + 83 ； ----7分 将五面体补全为直三棱柱 ADG - BCH ，如下图所示： 则多面体的体积V = VADG-BCH -VE-ADG -VF-BCH， 由几何体特征可知， GE = FH = 1 ， AG = GD = BH = HC = 3 ， 由余弦定理可知， cos 7AGD 故sin7AGD 从而易知SV ADG = SV BCH = 1 AG . GD sin7AGD = 2 ， 2 故 VE-ADG = VF -BCH = SVADG .GE = ， VADG-BCH = S△ADG . GH = 42 ，从而几何体的体积 V = VADG -BCH -VE -ADG -VF -BCH -------------17分 答案第 1页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 19 ．【解题思路】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明直线平面； （2）由（1）知，直线平面，由线面平行的性质定理证得，再由线面平行的判定定理即可知证明直线平面 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面；-------5分 （2）由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面.-------11分 （3） 由PA⟂平面ABC得PA⟂BC，由点C是以为直径的圆O上异于的点得BC⟂AC， BC∩AC=C,则BC⟂平面PAC，而BC⊆平面PBC， 所以平面PAC⟂平面PBC---------17分 答案第 4页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景:周考，月考（主要内容：第六章---第八章） 高一数学第二学期第二次月考教学质量检测 考试时间：120 分值：150 第 I 卷（选择题） 一、单选题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数z满足，则的虚部为（   ） A．1 B．i C．-1 D．-i 2．设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 3． 如图所示，已知在 ΔABC 中， D 是线段AB 上的靠近 A 的三等分点，则 = ( ) A. B. C. D. 4．下列命题中正确的个数是 ( ) ①由五个面围成的多面体只能是三棱柱； ②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体； ③仅有一组对面平行的五面体是棱台； ④有一面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥. A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 5．在，若，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 6.在正三棱锥A-BCD 中 ，BC=1,AB=2,E,F 分 别 是BD,AC 的中点，则异面直线AB 与EF 所成角 的正切值为（ ） A B C D.2 7．已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中，若此圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（   ） A．三棱锥的体积大小不确定 B．当时， C．直线平面 D．直线与平面所成角的正弦值为 二、多选题：（本题共 3 小题，每题6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。） 9．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形 ABCD，其直观图为等腰梯形 A’B’C’D’ ，若 A’B’ = 6 ， C’D’ = 4 ，则下列说法正确的是 ( ) A． A,D, = 22 B． AB = 6 C．四边形 ABCD 的周长为10 + 6 + 2 D．四边形 ABCD 的面积为10 2 10.在中角所对的边分别为，能确定为锐角的有（    ） A． B． C．均为锐角，且 D． 11已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为________． 13.已知向量 m=,n=(cos A,sin A),其中A 是△ABC 的一个 内角 ，且 , 则 A=_____ 14．（新情景创新）今年4 月 15 号泗县至杭州直达高铁开始运营，为我们去杭州旅游提供了便利。杭州西湖的“雷峰塔”因为电视剧《白蛇传》中法海镇压白蛇被传得家喻户晓；关于雷峰塔的修建有这样一种说法：认为是吴越王钱俶妃子黄氏得子，为祈福平安所建，所以初名为“皇妃塔”。某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔座中心 O在同一水平平面内的两个测量基点 A 与B ,在 A 点测得,塔顶P 的仰角为45°，O 在 A 的北偏东60°处,B在 A 的正东方向 100 米处,且在 B 点测得 O与 A的张角为45° ,则雷锋塔的高度约为 米（参考 : ≈ 1.732 ,结果四舍五入,保留整数）. 四、解答题：本题共5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题 13 分) 已知平面直角坐标系中， A (0, 4), B (2, 0) ． (1)若点P 满足，求点P 坐标； (2)若点Q(3, t )使得BQA 为锐角，求实数t 的取值范围． 16．(本小题 15 分) 在△ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是a, b, c ，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为： ① 2bcosA = ccosA + acosC ；② asinB = ·3bcosA ；③cosC + cosA = 0 . (1)求角 A 的大小； (2)若a = 2 , b + c = 8 ，求bc 的值. 17.(本小题 15 分) （原创）泗县金丝绞瓜 2020 年获农业农村部农产品地理标志认证，2025 年通过国家知识产权局地理标志产品认定，2026 年亮相央视春晚和元宵晚会。为了搭建金丝绞瓜的藤蔓支架，某农户在田间搭建了一个三角形钢架ABC用来牵引瓜藤，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求角 A 的大小； (2)若AC=6, BC=,求△ABC 的面积. 18．(本小题 17 分).在如图所示的多面体中，已知 ABCD为矩形， ABFE 和DCFE 为全等的等腰梯形， AB = 4 ，BC = AE = EF = 2 ．求此多面体的表面积与体积． 19.（改编）(本小题 17 分)如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． (3)若PA⟂平面ABC，求证：平面PAC⟂平面PBC 1 答案第 4页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 $