精品解析：安徽省淮北市濉溪县孙疃中学2024-2025学年高一下学期学情调研测试数学试题

高一下学期学情调研测试数 学 试 题 试卷满分（150分） 考试时间（120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由集合，，得. 2. 计算：（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知. 3. 在中，，，，则这个三角形的最长边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，，，则， 因为最大，由三角形的性质可得对应的边最大， 由正弦定理可得，. 4. 已知向量，则在上的投影向量为（    ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量， 所以在方向上的投影向量是. 5. 已知，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式及同角三角函数关系求解即可. 【详解】由得， ， 所以， 为使有意义，必有，即， 所以. 6. 已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 因为的图象关于直线对称， 所以， . 7. 已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为2，则圆锥的体积为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，利用正弦定理求出圆锥的底面半径为，进而求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形， 则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，即， 由正弦定理可得， 该圆锥的高为， 故该圆锥的体积为. 8. 已知的内角所对的边分别为，．若 ，，且平分，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得，从而可求，根据角平分线性质可得，利用余弦定理可得的关系，两者结合可求的长度，从而可求三角形的面积. 【详解】因为，故， 所以，即， 而为三角形内角，故， 因为，所以， 因为为角平分线，故且，即， 由余弦定理可得， 且 所以，解得， 故，所以三角形的面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A. 当时， B. 当时， C. 当，则 D. 当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用列方程求解；选项B，根据的坐标关系列方程求解；选项C，先计算的坐标，再利用向量模的平方等于向量自身的平方列方程求解；选项D，根据求出的范围，再排除两向量共线时的取值. 【详解】选项A，若，则，解得，A正确； 选项B，若，根据平行向量坐标关系，解得，B正确； 选项C，若，对等式两边平方：，， 得，即，无实数解， C错误； 选项D，若与夹角为锐角，需满足两个条件：，且不共线同向： 由得，共线时，不在范围内，且共线时为反向，不存在同向共线的情况； 因此的范围是，D正确. 10. 已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】若，则存在直线，根据面面垂直的判定定理，，选项A正确； 如图所示，可知，但与相交，则选项B错误； 如图所示，设，过平面内一点，作， 由面面垂直的性质定理可知，，所以， 因为，所以，选项C正确； 如图所示，可知，但与相交，选项D错误； 11. 如图，在正四棱锥中，，， 为棱的中点，为内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 若点在线段上运动，则的最小值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. ，，若四点共面，则点的轨迹长度 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理判断；利用侧面展开图的最短路径判断；利用线面角定义判断；利用空间四点共面判断. 【详解】若F为AD的中点，因为E为棱AB的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故正确； 将平面沿翻折至与平面共面， 连接（为翻折后），即为的最小值， 由对称性可知翻折后， ， 由等面积法得， 所以，故错误； 连接交于点，过作，垂足为， 因为底面，面，所以， ，所以平面，即为直线与平面所成角， ，，， 所以，所以正确； 因为，且四点共面， 所以设平面与交点为，则为中点， 所以点的轨迹为线段， 在中，，所以正确． 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________.   【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法，与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出，，的长度，即可求出原三角形的周长. 【详解】在中，， 根据直观图画出原图如下： 则，， 在中，， 所以原三角形的周长是. 13. 中，角的对边分别是a、b、c，若，则的形状是___________. 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】 【分析】利用正弦定理将条件转化为角的关系，化简判断三角形形状. 【详解】因为，为的外接圆半径， 所以， 又， 所以， 所以， 所以，又， 所以或 所以或， 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 14. 在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高及底面外接圆的半径，利用公式求出外接球的半径，进而求出外接球的体积． 【详解】因为，为的中点，所以， 在折起的过程中，，，，所以平面， 因为二面角等于，所以，且， ，在中，， 外接圆半径为， 设外接球的半径为，则， 因此，所以外接球的体积为. 故答案为：. 【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求角的大小 （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由正弦定理求出，即可得到，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理可得，即，则， 又，所以． 【小问2详解】 解：因为，，， 由，得，即， 又，所以，则， 所以 ， 所以． 16. “一切为了每位学生的发展”是新课程改革的核心理念．新高考取消文理分科，采用选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．新高考模式下，学生是否选择物理为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．某校为了解高一年级600名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求这600名学生中物理测试成绩在内的频数，并且补全这个频率分布直方图； （2）学校建议本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值．（结果精确到0.1） 【答案】（1）频数为，作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积之和为1求得成绩在内的频率，再求频数，然后根据数据补全的频率分布直方图如图； （2）根据恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，先确定a所在区间，再求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为: ， 所以这600名学生中物理成绩在内的频数为， 补全的频率分布直方图如图所示： 【小问2详解】 学生物理测试成绩在的频率为，物理测试成绩在的频率为． 故要使高一年级恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，则， 且， 解得． 17. 已知直三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于O点，连接，证明，即可证明结论； （2）根据等体积法，即，即可求得答案. 【小问1详解】 证明：连接，交于O点，连接， 因为四边形，故O为的中点， 又为的中点，故, 而平面,平面, 故平面； 【小问2详解】 因为在直三棱柱中，平面,平面，故， 则， 故，即为直角三角形， 由题意知，平面,平面，故， 又，平面， 故平面， 设点到平面的距离为d，由于， 则，即， 则，即点到平面的距离为. 18. 已知，求 （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由， ，， 即，，又 即 【小问2详解】 易知，，则，又 从而，，由（1）知 又，，从而, 则 从而 19. 已知在多面体中，，，. （1）若，，，四点共面，求证：多面体为棱台； （2）在（1）的条件下，平面平面，，，，且. ①求多面体的体积； ②求二面角正切值. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】(1)利用面面平行的定义可以证明上下底面的两个面平行，接着证明三条侧棱交于一点. (2)求棱台的体积转化为求两个棱锥的体积即可；求二面角的正切值做出二面角的正切值，利用解三角形求解即可. 【小问1详解】 因为，平面，平面, 所以平面. 同理可证：平面. 又因为，平面，平面. 所以平面平面，而，故共面. 因为，设. 而，且平面， 所以平面，同理可证平面， 所以面面. 又因平面平面，所以， 则交于同一点，又因为平面平面. 所以多面体为棱台. 【小问2详解】 三棱台中，由(1)知侧棱交于同一个点，连结. 在侧面梯形中，有，. 所以梯形为直角梯形. 又因为，， 所以，所以，故. 又因面面，面面，面. 所以平面，即的长度等于点到平面的距离. 在三棱台中，有，即,所以, 侧面梯形中，，，，. 所以侧面梯形的面积. 又，解得. 故. 所以. 因为. 故. 所以所求棱台的体积为 ②在内，过点作，记垂足为，连接. 由①知平面，又平面，所以，. 又因为，，所以平面. 又因为平面，所以, 又，所以的值等于二面角的值. 在中，，，. 所以. 故. 解得，故由即知. 所以二面角的正切值为. 【点睛】证明棱台，求棱台的体积，借住棱台求解二面角的大小，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期学情调研测试数 学 试 题 试卷满分（150分） 考试时间（120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（    ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则这个三角形的最长边的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则在上的投影向量为（    ） A. 3 B. C. D. 5. 已知，则的值为（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为2，则圆锥的体积为（   ） A. B. C. D. 8. 已知的内角所对的边分别为，．若 ，，且平分，则的面积为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A. 当时， B. 当时， C. 当，则 D. 当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 10. 已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在正四棱锥中，，， 为棱的中点，为内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 若点在线段上运动，则的最小值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. ，，若四点共面，则点的轨迹长度 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________.   13. 中，角的对边分别是a、b、c，若，则的形状是___________. 14. 在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求角的大小 （2）若，求的面积． 16. “一切为了每位学生的发展”是新课程改革的核心理念．新高考取消文理分科，采用选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．新高考模式下，学生是否选择物理为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．某校为了解高一年级600名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求这600名学生中物理测试成绩在内的频数，并且补全这个频率分布直方图； （2）学校建议本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值．（结果精确到0.1） 17. 已知直三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 已知，求 （1）的值； （2）的值. 19. 已知在多面体中，，，. （1）若，，，四点共面，求证：多面体为棱台； （2）在（1）的条件下，平面平面，，，，且. ①求多面体的体积； ②求二面角正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $