精品解析：安徽蚌埠市2025-2026学年第二学期5月份区域高中合作性教研质量评价高一数学试题

蚌埠市2025—2026学年第二学期 5月份区域高中合作性教研质量评价 高一数学 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数和差公式即可. 【详解】 ； 故选：B. 3. 在中，已知，，那么（ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以是等腰直角三角形， 所以， 所以. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得答案 【详解】由，得，即， 则， 故 ． 故选：A. 5. 已知向量，满足，，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律及夹角的余弦公式即可求解． 【详解】由两边平方得，， 又得， 所以， 则． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 7. 已知函数，当时函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式得，其中，由题意可得，进而可求得，利用两角差的正弦公式可求值. 【详解】，其中， 当时函数取得最大值，则， 所以，所以， 所以，所以， ， 所以. 故选：C. 8. 已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为．若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式，降幂公式及辅助角公式化简，再结合已知得出，由方程有三个不等的实根，得出方程有两解，结合的图像即可求解． 【详解】， 因为在曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为， 所以，所以， ，则或， 画出函数在之间的图象， 观察图象可得方程在内有且只有一个根， 又方程有三个不等的实根，所以方程有两解， 由在的图象可得，． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A. 若∥，∥，则∥ B. 若，，则 C. 若非零向量,,，满足，则 D. 若∥，则存在唯一实数使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的基本概念以及数量积运算法则对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则当∥，∥时不一定满足∥，故A错误. 对于B，当，时，根据向量的传递性则有，故B正确. 对于C，若，则，即，无法推出，故C错误. 对于D，若，则当∥时不一定存在唯一实数使得，故D错误. 故选:ACD 10. 黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，其底与腰的长度之比为黄金比例（黄金分割比），这一比例在自然界、艺术及建筑设计中都有着广泛的应用，它象征着和谐与完美．已知在顶角为的黄金中，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比，为边上的中点，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意作三角形，然后由三角形内角和定理求得顶角和底角度数，设底边长得到腰长.由等腰三角形三线合一得到对应的角，由锐角三角函数得到，判断A选项；同理求得，然后判断B选项；巧用，利用正切的和差角公式化简，然后判断C选项；由二倍角公式化简，利用A选项/B选项结果结合勾股定理化简，然后代入边长即可求得结果，判断D选项. 【详解】由题意可知：，， 又∵， ∴，， ∵为等腰三角形底边上中点， 由三角形三线合一可知：，， 设，则， ∴，∴A选项错误； ，B选项正确； ∵，C选项正确； ∵， 代入边长∴，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由恒成立，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求出的值.利用向量的模长公式可以判断A；向量垂直的充要条件可以判断B；向量投影向量公式可以判断C；结合绝对值的几何意义，建立平面直角坐标系可以判断D. 【详解】由得：，. 对任意，恒成立，两边平方得： ， 代入，整理得关于的二次不等式： 由对任意实数不等式恒成立，可得： 所以，故A正确； ，则，故B正确； 在上的投影向量为，故C错误； ， 表示动点到两定点距离和的2倍，如图所示，   关于x轴对称的点为，则， 所以由图可知当三点共线时，动点到两定点距离和的2倍取得最小值，此时， 所以当取最小值时，，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，，向量，若，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】由点，，可得的坐标，结合向量平行的公式，可列出关于的方程，解方程即可. 【详解】由题意，点，，可得， 因为，且， 所以，解得. 13. 已知，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用和差角的正弦公式及同角三角函数关系列式计算得解. 【详解】由，得， 又因为，可得，所以， 所以， 则. 14. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______ 【答案】11 【解析】 【详解】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值11. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点. （1）设，试用表示： （2）设，求的最小值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，而， 因此，而共线，则， 又，于是， 由于 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 16. 已知，为锐角，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据求出，再利用二倍角公式把问题转化为“齐次式”求值的问题解决. （2）利用，结合两角和与差的三角函数公式求值. （3）先求，再结合的取值范围，可确定的值. 【小问1详解】 由. 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以， 所以. 所以 . 【小问3详解】 因为，且，所以，所以. 所以， 且，为锐角，可得，所以. 17. 向量是同一平面内的两个向量，其中. （1）若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）若，与共线且，求. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先利用，求得，再由与共线时，求得，进而得到答案； （2）先求得，设，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由向量， 因为与的夹角为钝角，可得，即，解得； 当与共线时，可得，解得， 当时，与方向相反，夹角为，不符合题意； 综上可得且，即实数的取值范围为 【小问2详解】 由向量，可得， 因为向量与共线，可设， 又因为，可得，解得， 当时，；当时，. 18. 已知函数 （1）求在上的值域； （2）将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可； （2）先根据平移变换和周期变换的原则求出的解析式，再根据正弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ， 因为，则， 所以，故； 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度， 可得， 再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍， 得到函数的图象， 由，，可得，， 所以的单调递减区间为，. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.” （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）展开整理得，再结合“相伴向量”的定义求解即可； （2）根据题意，求得的解析式，研究函数的单调性，作出的图象，再根据交点个数，利用数形结合的方法求解即可； （3）根据题意，将问题转化为对任意恒成立，再根据恒成立问题求解最值即可. 【小问1详解】 解：， 所以函数的“相伴向量”； 【小问2详解】 解：由题知：， ， 因为时，；时， 所以，在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减 又， 所以的函数图象大致如图： 所以，当图象与有且仅有四个不同的交点时，， 所以，实数的取值范围为； 【小问3详解】 解：由题得， 所以， 由题得， 所以， 因为，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 设，当时，取到最大值， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠市2025—2026学年第二学期 5月份区域高中合作性教研质量评价 高一数学 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，，那么（ ） A. 8 B. C. 12 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，当时函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为．若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A. 若∥，∥，则∥ B. 若，，则 C. 若非零向量,,，满足，则 D. 若∥，则存在唯一实数使得 10. 黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，其底与腰的长度之比为黄金比例（黄金分割比），这一比例在自然界、艺术及建筑设计中都有着广泛的应用，它象征着和谐与完美．已知在顶角为的黄金中，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比，为边上的中点，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 当取最小值时， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，，向量，若，则实数______. 13. 已知，，则______. 14. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点. （1）设，试用表示： （2）设，求的最小值. 16. 已知，为锐角，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值 17. 向量是同一平面内的两个向量，其中. （1）若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）若，与共线且，求. 18. 已知函数 （1）求在上的值域； （2）将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间； 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.” （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $