2026年山东省济宁市金乡等五县中考二模数学试题

**基本信息** 九年级数学二模试卷，120分120分钟，通过选择、填空、解答题考查代数、几何、统计等知识，以真实情境与分层设计体现数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、图形变换、三视图、整式运算等|第2题围棋图形考查轴对称与中心对称，渗透文化传承| |填空题|5/15|函数自变量范围、因式分解、折叠问题等|第15题抛物线与菱形结合，考查空间观念| |解答题|8/75|几何作图、统计应用、实际问题、函数几何综合|21题水果店利润问题培养模型意识，23题折叠探究发展推理能力|

九年级数学试题 本试卷共8页。满分120分。考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．与2互为相反数的数是 A．－2 B．2 C． D． 2．围棋起源于中国，是拥有4 000多年历史的二人策略棋类，被誉为“棋之鼻祖”，是琴棋书 画四艺之一. 下列用棋子摆出的图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A． B． C． D．（第3题） 3．用三个大小不等的正方体拼成了一个如图所示的几何体，若该几何体的 主视图、左视图和俯视图的面积分别表示为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的 大小关系是 A．S3＝S2＝S1 B．S3＜S2＜S1 C．S3＞S2＞S1 D．S3＜S1＜S2 4．下列计算正确的是 A．3x－2x＝1 B．x3·x2＝x C．(x2)3＝x6 D．x3÷x2＝ 5．已知函数y＝kx+b（kb≠0）的图象在第一、三、四象限内，点(x1，y1)和(x2，y2)都在函数 y＝上.若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是 A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 6．某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班，甲、乙两位新生不在同一个班的概率是 A． B． C． D．（第7题） 7．如图，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，动点P沿折线BCD 从B点开始以每秒1cm的速度向D点运动.设△APD的面积为S， 点P运动时间为t，则S与t之间的函数关系的图象大致是 A． B． C． D． 8．如图，已知半圆O的直径，是半圆上一点，且，（第8题） 以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分 的面积为 A． B． C． D．（第9题） 9．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象与x轴、y轴分别交 于点A，B.若抛物线的对称轴x=1，点A的坐标为（－1，0），则 下列结论：①abc＞0；②3a+c=0；③4ac－b2＞0；④a+b≥am2+bm （m为实数）. 其中正确的是 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 10．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点， 连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在 点E运动过程中，DF的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 （第10题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．（第13题） 11．已知函数y=，则自变量x的取值范围是 ▲ ． 12．多项式a3－a分解因式的结果是 ▲ ． 13．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别 与A′，D′对应.若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为 ▲ ． 14．如图，Rt△OBA中，∠OBA=90°，OB在x轴正半轴上，AO， AB分别与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象相交于点C，D， 且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．（第14题） 若△BDE的面积为，则k的值为 ▲ . 15．如图，点A1在平面直角坐标系的原点上，点A2，A3，A4……在（第15题） y轴上，点C1，C2，C3，C4……，点D1，D2，D3，D4……都在抛物 线y=x2上，四边形A1C1A2D1，A2C2A3D2，A3C3A4D3……都是菱形. 若∠C1A1D1=60°，则菱形A10C10A11D10的周长是 ▲ . 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 16．（本题每小题4分，共8分） （1）计算：+－(π－3.14)0； （2）先化简，再求值：(x+)·，其中x=－1． 17．（本小题满分8分）如图，P是△ACD下方的一点．连接PD交AC于点E，连接PC． （1）尺规作图：过点A作CD的平行线，分别交PC，PD于点B，F； （要求：保留作图痕迹，不写做法.） （2）在（1）的条件下，若F是PD的中点，DE=6，AD∥CP．（第17题） 求EF的长． 18．（本小题满分8分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出扇形统计图（如图①）和条形统计图（如图②）． （第18题） 请根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为 ▲ ，图①中m的值为 ▲ ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间 数据的众数和中位数分别为 ▲ 和 ▲ ； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的平均时间； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，则该校八年级学生每周参加科学教育 的时间是9h的人数约为多少？ 19．（本小题满分8分）图①是一款专为提升阅读舒适度与效率而精心设计的产品——铝合 金阅读支架．图②是从侧面看到的平面图形，AB表示底座，BC表示支架杆，CD表示面 板．通过测量得到：BC=15cm，CD=24cm，底座AB的厚度为0.5cm，未调节支架各部分前 支架杆BC与底座AB的夹角∠ABC=37°，支架杆BC与面板CD的夹角∠BCD=112°. （1）求未调节支架前上方边缘D到桌面的高度（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，，，，） （2）如图③，某同学根据自身需要，不断调整支架的各部分角度，确定了最舒适的情形，测 量发现此时支架杆BC与面板CD的夹角∠BCD并未发生变化，支架杆BC与底座AB的 夹角为∠ABC=30°，则调节后支架上方边缘D距离桌面的高度发生了怎样的变化（结果 精确到0.1cm）？ （参考数据：，，） （第19题） 20．（本小题满分9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G． （1）求证：CH是⊙O的切线； （2）若cos∠DBA=，CG＝10，求BD的长． （第20题） 21．（本小题满分10分）某水果店经营一种水果以“当日水果当日清”为宗旨，深受顾客喜 爱．店内销售该种水果两类，分别记作∶A类、B类．请根据以下素材，完成相应任务． 该种水果销售方案 素材1 B类水果比A类水果的进价每千克多6元.若水果店两类水果都购进50kg，则共需费用1 300元． 素材2 该水果店平均每天可销售B类水果90千克．其中白天（—）可销售60千克，剩余30千克在晚上分5个时段打折销售，折扣比例如右图所示.（每个时间段包含后面时间，不包含前面时间.） 素材3 在至的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售6kg． 问题解决 任务1 （1）两种水果每千克进价各是多少元？ 任务2 （2）若期望销售B类水果利润不低于2 205元，则其标价（白天的售价）最低价是多少元/千克？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 （3）若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售B类水果都是6kg），则每天进货多少千克时利润最大？ 22．（本小题满分12分）已知函数y＝(x+3)(x－m2+m－2)+1，m是常数． （1）若x＝－1，m＝2，求y的值； （2）已知点(x1，0)，(x2，0)是函数y＝(x+3)(x－m2+m－2)+1的图象与x轴的两个交点，且 x1+x2＝5，求m的值； （3）当a=，x＝m+3，y＝1时，比较a与3的大小． 23.（本小题满分12分）如图，□ABCD中，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使点B 的对应点F落在□ABCD内部，AF的延长线交DC（或DC的延长线）于点G，交BC（或 BC的延长线）于点P，EF的延长线交CD边于点Q． （1）如图1，点G在线段DC上，点P在BC的延长线上.求证：△CEQ∽△FEP； （2）如图2，点G在线段DC上，点P在BC的延长线上.若CE＝BE，CG＝3，QG＝5， 求QD的长； （3）如图3，点G在线段DC延长线上，点P在BC边上.若CE＝2BE，， 求的值． （第23题） 九年级数学试题 第 7 页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 九年级数学试题参考答案 说明：解答题各小题只给出了一种解法及评分标准.其他解法，只要步骤合理，解答正确，均应给出相应的分数. 一、选择题：每小题3分，满分30分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C C B A A D B 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分. 11.x≥1； 12.a(a+1)(a-1)； 13.72°；14.5； 15.80. 三、解答题：本题共8小题，共75分.要写出必要的文字说明或演算步骤. 16．（8分）解：（1）0 …………………………………………………………3分 ；……………………………………………………………4分 （2）. ……………………………………………………………5分 = =…………………………………………………………………6分 3x3………………………………………………………………………7分 当时， 原式. ………………………………………………8分 17.（8分）解：（1）为所求作的线，所作图形如下(作图方法不唯一)： …………………………………………3分 （2）， ∴，， …………………………………………4分 ∵点是的中点， ∴DF=PF， ∴△ADF≌△BPF， ∴AF=BF=， ………………………………………………………5分 ， ∴四边形是平行四边形， ∴AB=CD， ∴AF= ………………………………………………………6分 ， ， ， ………………………………………………………7分 ， ． ………………………………………………………8分 18.（8分）解：（1）50；34；8；8； ………………………………………4分 （2）（6×3+7×7+8×17+9×15+10×8）=8.36（h） ∴这组学生每周参加科学教育的平均时间是8.36h. …………………………………6分 （3）500×30%=150（人） ∴该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为150. ……………………8分 19.（8分）解：（1）过点作于点H， 过点作交的延长线于点G， …………………………1分 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，…………………………2分 在中，， ∴，…………………………3分 在中，，， ∴， ∴，…………………………4分 答：支架上方边缘距离桌面的高度约为； （2）过点作于点H，过点作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，…………………………5分 在中，， ∴，…………………………6分 在中，，， ∴，…………………………7分 ∴， （cm），…………………………8分 答：支架上方边缘距离桌面的高度下降了约． 20.（9分）（1）证明：如图，连接OC，OD， ………………………………1分 ∵BC＝CD， ∴∠BOC＝∠COD∠BOD， 又∵∠BAH∠BOD， ∴∠BAH＝∠BOC， …………………………………2分 ∴AH∥OC， ∵AH⊥CH， ∴OC⊥CH， ……………………………………3分 ∵OC是⊙O的半径， ∴CH是⊙O的切线； ……………………………………………4分 （2）解：如图，连接AC，延长CE交⊙O于点F， ∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB， ………………………………………5分 ∴， ∴∠BCE＝∠CBD， ∴GB＝GC＝10， ………………………………………6分 在Rt△GEB中，cos∠DBA， ∴BE＝8，GE＝6， ∴CE＝CG+GE＝10+6＝16， ………………………………………7分 ∵∠EAC＝∠CAD＝∠CBD＝∠BCE，∠AEC＝∠CEB＝90°， ∴Rt△AEC∽△Rt△CEB， ∴，即， ∴AE＝32， ………………………………………8分 ∴AB＝AE+BE＝32+8＝40， 在Rt△ADB中，cos∠DBA， ∴BDAB40＝32. ……………………………………9分 21.（10分）解：（1）设A类水果每千克进价x元，则B类水果每千克进价（x+6）元， 根据题意，得：50x+50(x+6)＝1300， …………………………………2分 解得：x＝10. ……………………………………………………………3分 ∴x+6＝16(元)， 答：A类水果每千克进价10元，则B类水果每千克进价16元.………………4分 （2）设B类水果每千克标价最低是y元/千克，根据题意，得： 60y+6×(0.9y+0.8y+0.7y+0.6y+0.5y)162205 ， ……………………………6分 解得：y≥ . 根据实际意义，y≥ . ……………………………………………7分 答：B类水果每千克标价最低是45元/千克. （3）∵y ， ∴0.5y 22.5， ……………………………………………………………9分 ∴打五折时实际售价仍高于B类水果的进价16元，打五折也有利润. ∴最大进货量为：60+6×5＝90（千克）. 答：每天进货90千克时利润最大. ………………………10分 22.（12分）解：（1）∵x＝－1，m＝2， ∴y＝(x+3)(x－m2+m－2)+1 ＝(－1+3)(－1－4+2－2)+1＝－9. ……………………………………………4分 （2）∵y＝(x+3)(x－m2+m－2)+1＝x2+(－m2+m+1)x+(－3m2+3m－5)， (x1，0)，(x2，0)是函数图象与x轴的两个交点， ∴x1，x2是方程x2+(－m2+m+1)x+(－3m2+3m－5)＝0的两个不相等的实数根.…………5分 ∴x1+x2=－(－m2+m+1)=m2－m－1. ∵x1+x2＝5， ∴m2－m－1＝5. 解得 m＝3或m＝－2．……………………………………………………………………6分 当m＝3或m＝－2时，(－m2+m+1)2－4×1×(－3m2+3m－5)＞0.………………………7分 ∴m＝3或m＝－2．……………………………………………………………………8分 （3）∵x＝m+3，y＝1， ∴1＝(m+3+3)(m+3－m2+m－2)+1，即(m+6)(－m2+2m+1)＝0.…………………………9分 ①当m+6=0时，解得m＝－6. ∴ m2＝36，a＝；………………………………………………10分 ②当－m2+2m+1=0时，m2=2m+1，m2－1=2m，m－=2.………………………………11分 ∴a= = =m+－ =2+=＜3.……………………………………………………………………………12分 综上所述，当m＝－6时，a；当－m2+2m+1=0时，a .…………………………12分 23.（12分）（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D，AD∥BC， ……………………………………………1分 ∴∠D+∠BCD＝180°， 由折叠的性质可得：∠AFE＝∠B， ∴∠AFE＝∠D， ………………………………2分 ∵∠AFE+∠EFP＝180°， ∴∠BCD＝∠EFP，即∠ECQ＝∠EFP，……………………3分 ∵∠FEP＝∠CEQ， ∴△CEQ∽△FEP； ………………………………………4分 （2）解：由折叠的性质可得：BE＝FE，AF＝AB， ∵CE＝BE， ∴CE＝EF， ……………………………………………5分 ∵∠ECQ＝∠EFP， ∴△CEQ≌△FEP（ASA）， ………………………………6分 ∴EQ＝EP，∠CQE＝∠P， ∴EQ﹣EF＝EP﹣EC， ∴FQ＝CP， ∵， ∴△FQG≌△CPG（AAS）， ∴FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5， ……………………………………………7分 ∵AB∥CD， ∴△CGP∽△BAP， ∴， ∴， ……………………………………………8分 ∴AB＝12， ∴CD＝AB＝12， ∴QD＝CD﹣CG﹣GQ＝4； ……………………………………………9分 （3）解：如图，延长AD，EQ交于点H，………………………………10分 ∵， ∴设CQ＝2a，则DQ＝3a， ∴CD＝CQ+DQ＝5a， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，AB＝CD＝5a，AB∥CD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， 由折叠的性质可得：∠AFE＝∠B，BE＝FE，AF＝AB＝5a， ∴∠AFE＝∠ADC， ∵∠AFE+∠EFP＝180°， ∴∠BCD＝∠EFP，即∠ECQ＝∠EFP， ∵∠FEP＝∠CEQ， ∴△CEQ∽△FEP；………………………………11分 ∴， ∵BE＝EF， ∴， ∵CE＝2BE， ∴，EQ＝2EP， ∵AD∥BC， ∴△CEQ∽△DHQ，△EFP∽△HFA， ∴，， ∴，FH＝5EF＝5BE， ∵FQ＝EQ﹣EF＝2EP﹣EF，QH+FQ＝FH， ∴3EP+2EP﹣EF＝5BE， ∴5EP﹣EF＝5BE， ∴5EP﹣BE＝5BE， ∴5EP＝6BE， ∴. ……………………………………………………………12分 九年级数学试题参考答案第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $■ 九年级数学答题卡 姓名： 班级： 学校： 贴条形码区 准考 证号 1.考生答颗前，先将条形码贴在条形码区，并将本人班级、姓名、考号填写在相应位置。 2.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写；选择题填涂时，必须用B铅笔按图示规范填涂。 填 正确填涂 意 3.严格按照题号在答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效。 ■ 4.保持答题卡清洁完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、修正纸和修正带。 样 错误填涂 项 5.若考生未按上述要求填写答题，影响评分结果，后果自负。 例M的的[们 此栏考生禁填缺考☐ 、 单项选择题（共10题，每小题3分，共30分） ■■■■■■a■a■a■a■ 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2 CA]CB]CC]CD] 7 CA]CB]CC]CD] 3 CA]CB]CC]CD] 8 CA]CB]CC]CD] 4 CA]B]CC]CD] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 二、 填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11 12 13 14 15. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16、(8分) (1)√4+1-2-(m-3.14): (2)1 3x-6 其中=一1. x-2x-1 第1页共4页 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17、(8分) 18、(8分) (1) 19、(8分) DI D C C A B A B 图② 图③ 第2页共4页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20、(9分) H G 21、(10分) 第3页共4页 ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22、（12分) 23、（12分) D F B E 图1 图2 图3 第4页共4页