精品解析：山东省日照市经济开发区2025-2026学年九年级下学期二模数学试卷

2026年初中学业水平模拟考试数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项图形进行判断即可． 【详解】解：A选项，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  B选项，长方形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；  C选项，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  D选项，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 2. 负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》，若收入20元记作，则支出50元应记作（ ） A. 50 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题干规定收入记为正数，则相反意义的支出应记为负数． 【详解】解：∵收入20元记作， ∴与收入意义相反的支出50元应记作． 3. 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的画法是解题的关键．根据几何体的主视图的含义可直接进行判断． 【详解】解：由题意可得：该几何体的主视图为 故选：B． 4. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算及有理数的大小比较；解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算出各数的值后再进行大小比较． 【详解】解：先分别计算a，b，c，d的值： ；；；． 比较大小：，即． 5. 周末，小辰、小苏、小彦和小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用树状图法找到同一排的所有情况，再除以总的情况数即可求解． 【详解】解：画出树状图，如图： 总的情况数为9，二人在同一排的情况数为3， 故小夏和小彦坐在同一排的概率为：． 6. 端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设实际每小时包x个，原计划每小时包个，根据实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相等，据此列方程． 【详解】解：设实际每小时包x个，原计划每小时包个， 根据题意，得． 故选：A． 7. 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接，结合正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，同理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接， ， ， 四边形、、是正方形， ，， ，, ， ， ， ， （）， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 同理可证：四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，能添加恰当的辅助线，构建平行四边形是解题的关键． 8. 给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么.则（ ） A. 正确的命题有①② B. 正确的命题有①②④ C. 错误的命题有②③ D. 错误的命题有②④ 【答案】A 【解析】 【分析】先确定出三个函数图象的交点坐标为，再结合图象分析函数与不等式关系求解即可． 【详解】解：∵当时，三个函数的函数值都是1， ∴三个函数图象的交点坐标为， ∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为， ∴如果，那么，命题①正确； 如果，那么或，命题②正确； 如果，那么a无解，命题③错误； 如果，那么，命题④错误． 9. 如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．先将转化为，过点作轴的平行线交的延长线于点，得到，从而得到，将转化为，利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，点的坐标为，表示出的长，进而表示出，最后根据二次函数的图象与性质求得最大值． 【详解】解：由题知， 如图所示，过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ， ， ， 对于函数， 令，则有， 解得，， ，， ， 令，则有， ， 设直线的函数解析式为，则有： ，解得， 直线的函数解析式为， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为， 即的最大值为． 故选：B． 10. 如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂有意义的条件，分式和二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件是底数不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出和的值，再计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ∴． 13. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 14. 如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒的速度沿曲线向右运动，则在第2026秒时点的纵坐标为________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据弧长公式得到的长为，则点走完需要的时间为秒，得到点P的纵坐标的周期性变化规律，据此解答即可． 【详解】解：的长为， 点以每秒的速度沿曲线向右运动， 则走完需要的时间为秒， 如图，作于点E，与交于点D， 在中，、， 则， ， 则， 第1秒时点P纵坐标为1， 第2秒时点P纵坐标为0， 第3秒时点P纵坐标为， 第4秒时点P纵坐标为0， 第5秒时点P纵坐标为1， 第6秒时点P纵坐标为0， 依次类推， 点P的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依次循环， 则， 因此，在第2026秒时点P的纵坐标的值为0． 15. 如图，点，在矩形内，≌．若，，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：如图，延长，交于点， 在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算并化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值．，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，再合并即可； （2）先通分，再把除法化为乘法运算化简，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 ； 当时，原式． 17. 已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分，交CD于点E即可； （2）由折叠可得，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求解． 本题考查作图-复杂作图，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，解题的关键是根据折叠可得，，从而求出． 【小问1详解】 如图，点E即为所求；      【小问2详解】 四边形ABCD是矩形， ，，， 由折叠可得，， ， ，  设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， 18. 为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：）的一组数据，将所得数据分为四组（：；：；：；：），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共抽样调查了________名学生； （2）求出扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校共有1000名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于． 【答案】（1）50 （2） （3）见解析 （4）估计该校最近两周有600名学生的每日平均睡眠时长大于或等于． 【解析】 【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数； （2）用乘以D组人数所占比例即可； （3）根据总人数求出A组人数，从而补全图形； （4）用总人数乘以睡眠时长大于或等于人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为（名）； 【小问2详解】 解：表示D组的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：A组人数为（名）， 补全图形如下： 【小问4详解】 解：（名）． 答：估计该校最近两周有600名学生的每日平均睡眠时长大于或等于． 19. 【情景预设】 如图，在平面直角坐标系中(为1个单位长度)，平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为． 【初步解决】 （1）求反比例函数表达式． 【深入探究】 （2）若经过A，C两点的直线表达式为，请直接写出不等式的解集． （3）连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）由题意确定出A的坐标，然后将A的坐标代入反比例函数表达式中求出k的值，即可求得反比例函数表达式； （2）先求得点C的横坐标，然后根据图象即可求得解集； （3）根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，再计算出，然后利用即得． 【详解】解：（1）由题意可知，将A点坐标代入中，得， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）由题意得，， ∴C点的横坐标为4． 由图象可知，不等式的解集是或． （3）把代入，得， ∴． ∵， ， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，坐标与图形，比例系数的几何意义，求三角形的面积，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 20. 如图，在中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，延长，交于点，连接根据直径所对的圆周角是直角求出，得，，由可得，从而可证明是的切线； （2）由得，即，证明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，根据求出即可． 【小问1详解】 证明：连接，延长，交于点，连接如图， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴即 ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，， ∴， 解得，， ∴， ∴ 在中， 又， ∴ ∴ ∴． 21. 图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【解析】 【分析】（1）； （2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果； （3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）、、、均与所在直线平行， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）如图， 作于， ， ，， ， 设，则，， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识． 22. 已知二次函数（为常数，）． （1）若，求证：该函数的图象与轴有两个交点； （2）若，求证：当时，； （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据当时，抛物线与x轴有两个交点，再结合解析式列式分析即可； （2）将代入二次函数中得到二次函数解析式，再结合二次函数的开口及对称轴得到函数的增减性，继而得证； （3）先根据解析式得，二次函数对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论，即可解题． 【小问1详解】 证明：，且， ， 该函数的图象与x轴有两个交点； 【小问2详解】 证明：当时，二次函数为， 二次函数开口向下，对称轴为， 时，随的增大而增大， 又时，，时，， 所以当时，； 【小问3详解】 解：， 二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， 该函数的图象与x轴有两个公共点，，且， 当，二次函数图象开口向下时， ， 解得； 当，二次函数图象开口向上时， ， 解得； 综上所述，a的取值范围为或． 23. 【问题探究】 （1）在中，，过点作于点． ①如图1，若，求的值； ②如图2，点在的延长线上，连接并延长至点，连接，当时，求证：； （2）【问题解决】 为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3），，，．为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点，建造一座景观桥，满足．在点和点处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①证明，即可解答；②证明，可得，再证明，可得，即可求证； （2）过点E作交的延长线于点G，过点B作交于，过点D作交于点H，可得四边形为矩形，从而得到，根据，可得，再由，可得，根据为定值，且为定值，可得点E在直线上运动，且，当时，取得最小值，此时点E与点重合，即可求解． 【小问1详解】 ①解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作交的延长线于点G，过点B作交于，过点D作交于点H， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值，且为定值， ∴点E在直线上运动，且， ∴当时，取得最小值，此时点E与点重合， ∴， ∴， 即当仿古长廊最短时，小路的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》，若收入20元记作，则支出50元应记作（ ） A. 50 B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 周末，小辰、小苏、小彦和小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么.则（ ） A. 正确的命题有①② B. 正确的命题有①②④ C. 错误的命题有②③ D. 错误的命题有②④ 9. 如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是________． 13. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 14. 如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒的速度沿曲线向右运动，则在第2026秒时点的纵坐标为________． 15. 如图，点，在矩形内，≌．若，，，则的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算并化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值．，其中． 17. 已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 18. 为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：）的一组数据，将所得数据分为四组（：；：；：；：），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共抽样调查了________名学生； （2）求出扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校共有1000名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于． 19. 【情景预设】 如图，在平面直角坐标系中(为1个单位长度)，平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为． 【初步解决】 （1）求反比例函数表达式． 【深入探究】 （2）若经过A，C两点的直线表达式为，请直接写出不等式的解集． （3）连接，求的面积． 20. 如图，在中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 22. 已知二次函数（为常数，）． （1）若，求证：该函数的图象与轴有两个交点； （2）若，求证：当时，； （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 23. 【问题探究】 （1）在中，，过点作于点． ①如图1，若，求的值； ②如图2，点在的延长线上，连接并延长至点，连接，当时，求证：； （2）【问题解决】 为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3），，，．为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点，建造一座景观桥，满足．在点和点处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $