第五章图形的轴对称综合练习（三） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 以图形的轴对称为核心，整合等腰三角形、角平分线、垂直平分线等知识，通过基础辨析、性质应用及综合推理，系统考查轴对称的概念生成与逻辑推导。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1、填空11|判断轴对称图形、等腰三角形分类|从轴对称定义到特殊三角形性质的概念延伸| |性质应用|选择2-8、填空12-14|角平分线距离、垂直平分线线段关系|角平分线与垂直平分线性质的直接应用，体现数学思维的推理意识| |综合推理|选择9-10、解答17-23|对称点综合、新定义“钻石三角形”|轴对称性质与全等、作图的综合，培养数学眼光的空间观念与创新意识|

第五章图形的轴对称综合练习（三） 一．选择题（共10小题） 1．剪窗花是中国的传统民俗文化，下列窗花不是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠ADB等于（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 5．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD＝（　　） A．56 B．28 C．14 D．12 7．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 9．如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2，连接P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连接PM，PN，则下列结论： ①若∠BAC＝30°，则△P1P2A是等边三角形；②△PMN的周长等于线段P1P2的长； ③PA平分∠MPN；④． 正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．如图，在△ABC中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在AB和BC上分别截取BM和BN，使BM＝BN，分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O，作射线BO交AC于点D； ②分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交AC，BC于点E和点F． 根据以上作图，若∠A＝54°，∠C＝18°，AD＝4，BC＝10，则CF的长为（　　） A．4 B． C． D．5 二．填空题（共6小题） 11．已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是　 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD，若CD：BD＝3：5，则△ACD的周长为　 　 ． 14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　 　 ． 15．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接CP．若∠1＝21°，则∠B的度数为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一．如图②，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨BD，CD的B，C点固定不动，且AB＝AC．如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若∠BAC＝140°，∠MBD＝120°，求∠CDA的度数． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交CA的延长线于点F．点H是BC的中点，连接AH．求证： （1）AH∥EF； （2）AF＝AD． 19．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图①，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠EAN＝　 　 °； （2）如图①，若∠BAC＝112°，求∠EAN的度数；如图②，若∠BAC＝82°，求∠EAN的度数； （3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式； （4）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN的度数与∠B，∠C的关系． 20．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，E是BC上一点，BD＝DE，且EF垂直平分AC，交AC于点F，连接AE． （1）若∠BAE＝50°，求∠C的度数； （2）若△ABC的周长为20，AC＝8，求DC的长． 21．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 22．如图，△ABC中，DE是BC边的垂直平分线交AB边于点E，过点A作AF⊥AB于点A，交DE延长线于点F，且BE＝EF，连结CF． （1）求证：BC＝2AF； （2）若∠B＝20°，求∠DFC的度数． 23．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”． （2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，则Rt△ABC　 　 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 　 　 （填A或B或C）．若不是，请说明理由． （3）在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数． 第五章图形的轴对称综合练习（三） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、B、C选项中的图形是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 2．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝9， ∴， ∵AB＝5， ∴， ∴AC＝4， 故选：B． 3．【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 4．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝70°， ∴∠C＝∠ABC＝70°，∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD＝35°， ∴∠ADB＝180°﹣40°﹣35°＝105°； 故选：A． 5．【解答】解：过P作PK⊥OB于K， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， ∴PK＝PC＝2， ∵OD＝4， ∴△POD的面积OD•PK4×2＝4． 故选：A． 6．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝4， ∴△ABD的面积AB•DE14×4＝28． 故选：B． 7．【解答】解：∵∠BAC＝140°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°， ∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F， ∴EA＝EB，FA＝FC， ∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC， ∴∠BAE+∠FAC＝40°， ∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°， 故选：B． 8．【解答】解：∵直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D， ∴BD＝CD， ∴AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝5+8＝13，即△ABD的周长为13， 故选：C． 9．【解答】解：由题知， ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴AP＝AP1＝AP2，∠PAM＝∠P1AM，∠PAN＝∠P2AN， ∴∠P1AP2＝2∠BAC． ∵∠BAC＝30°， ∴∠P1AP2＝60°， ∴△P1P2A是等边三角形． 故①正确； ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴MP＝MP1，NP＝NP2， ∴PM+MN+PN＝MP1+MN+NP2＝P1P2， 即△PMN的周长为线段P1P2的长． 故②正确； ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴∠MPA＝∠MP1A，∠NPA＝∠NP2A，AP1＝AP2＝AP， ∴∠MP1A＝∠NP2A， ∴∠MPA＝∠NPA， ∴PA平分∠MPN． 故③正确； 由上述过程可知， ∠MPN＝∠MP1A+∠NP2A＝180°﹣∠P1AP2． 又∵∠P1AP2＝2∠BAC， ∴∠MPA+2∠BAC＝180°， 则． 故④正确． 故选：D． 10．【解答】解：连接DF， ∵∠C＝18°，∠A＝54°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣18°﹣54°＝108°， 由作法得BD平分∠ABC，PQ垂直平分CD， ∴∠ABD＝∠CBD＝54°， ∴∠A＝∠ABD＝54°， ∵AD＝4， ∴BD＝AD＝4， ∵CF＝DF， ∴∠C＝∠CDF＝18°， ∴∠DFB＝∠C+∠CDF＝36°， ∴∠BDF＝180°﹣∠DFB﹣∠CBD＝90°， 设CF＝DF＝x，则BF＝BC﹣CF＝10﹣x， 则BF2＝BD2+DF2， ∴（10﹣x）2＝16+x2， 解得． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2＝10； 当2为腰时，三边为2，2，4，2+2＝4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形． 故答案为：10． 12．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝3，AB＝8， ∴DE＝CD＝3， ∴△ABD的面积AB•DE8×3＝12． 故答案为：12． 13．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB， ∵BC＝8，CD：BD＝3：5， ∴CD＝3，BD＝5， ∴DA＝DB＝5， 在△ABC中，∠C＝90°， ∴AC4， ∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝4+3+5＝12． 故答案为：12． 14．【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°； 当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°； 综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°． 故答案为：60°或120°． 15．【解答】解：∵CP＝OC＝OA， ∴∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO， ∵∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P， ∴∠CAO＝2∠P， ∴∠AOB＝∠P+∠CAO＝3∠P＝75°， ∴∠P＝25°． 故答案为：25°． 16．【解答】解：连接PA，PB，PC，设直线m交AC于点D，如图所示： 设∠PAC＝α， ∵直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P， ∴PA＝PB，PA＝PC， ∴PA＝PB＝PC，∠PAC＝∠PCA＝α， ∴PA是线段BC的垂直平分线， ∵AB＝AC， ∴∠PAB＝∠PAC＝α， ∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝2α， ∵∠1＝21°， ∴∠PDA＝∠1+∠PCA＝21°+α， ∵∠PDA+∠BAC＝90°， ∴21°+α+2α＝90°， 解得：α＝23°， ∴∠BAC＝2α＝46°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣46°）＝67°， ∴∠ABC的度数为67°． 故答案为：67°． 三．解答题（共7小题） 17．【解答】解：∵伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴BD＝CD， ∵伞的边缘M，N与点D在同一直线上，∠BAC＝140°，AP平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC140°＝70°， 又∵∠MBD＝120°， ∴∠BDA＝∠MBD﹣∠BAD＝120°﹣70°＝50°． ∵△ABD≌△ACD， ∴∠CDA＝∠BDA＝50°． 18．【解答】证明；（1）∵AB＝AC，点H是BC的中点， ∴AH⊥BC， ∴∠AHB＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠FEB＝90°＝∠AHB， ∴AH∥EF； （2）∵AH∥EF， ∴∠F＝∠CAH，∠ADF＝∠BAH， ∵AB＝AC，点H是BC的中点， ∴∠CAH＝∠BAH， ∴∠F＝∠ADF， ∴AF＝AD． 19．【解答】解：（1）∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠B＝32°，∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣32°﹣36°＝112°，∠BAE+∠NAC＝32°+36°＝68°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝112°﹣68°＝44°． 故答案为：44； （2）∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝112°， ∴∠B+∠C＝180°﹣112°＝68°， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝68°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝112°﹣68°＝44°； 同理可得，当∠BAC＝82°时， ∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°， ∴∠EAN＝（∠BAE+∠NAC）﹣∠BAC＝98°﹣82°＝16°； （3）当0°＜α＜90°时，如图所示， ∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠EAN＝∠BAE+∠NAC﹣∠BAC＝180°﹣2α． 当90°＜α＜180°时，如图所示， ∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°． （4）由上述过程可知， 当0°＜∠BAC＜90°时，∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°； 当90°＜∠BAC＜180°时，∠EAN＝2∠BAC﹣180°＝2（180°﹣∠B﹣∠C）﹣180°＝180°﹣2（∠B+∠C）． 20．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝50°， ∴∠AED（180°﹣50°）＝65°， ∴∠C∠AED＝32.5°； （2）∵△ABC周长20，AC＝8， ∴AB+BC＝12， ∴AB+BE+EC＝12， 即2DE+2EC＝12， ∴DE+EC＝6， ∴DC＝DE+EC＝6． 21．【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠AED＝∠AFD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF，AE＝AF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵BC＝6，△ABC的周长为18， ∴AB+AC＝12， 由（1）得△ADE≌△ADF， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， ∴， ∴， ∴若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，则DE＝4． 22．【解答】（1）证明：由线段垂直平分线可知，∠BDE＝90°，， ∵AF⊥AB， ∴∠EAF＝90°， 在△EAF和△EDB中， ， ∴△EAF≌△EDB（AAS）， ∴AF＝BD， ∴BC＝2BD＝2AF． （2）如图，连接CE， 由线段垂直平分线可知，BE＝CE， ∴∠ECB＝∠B＝20°， ∴∠CED＝90°﹣∠DCE＝70°， ∵BE＝CE＝FE， ∵∠DFC＝∠ECF， ∴∠CED＝∠DFC+∠ECF， ∴． 23．【解答】（1）证明：△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD∠ACB＝36°． ∵∠A＝∠ACD＝36°， ∴△ACD是等腰三角形， ∵∠A＝∠ACD＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝72°， ∵∠B＝72°， ∴∠B＝∠BDC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴△ABC是“钻石三角形”． （2）解：是， 理由：如图，取AC的中点D连接BD， ∵∠ABC＝90°， ∴BD＝CD＝AD， ∴△BCD和△ABD是等腰三角形， ∴Rt△ABC“钻石三角形”，其“钻石分割线”必过顶点B． 故答案为：是，B； （3）解：如图a， 当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝40°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 如图b， 当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， ∴∠B＝∠BCE＝40°， 如图c， 当AC＝CE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠AEC＝∠A＝20°， ∴∠B＝10°， 综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/25 16:47:22；用户：张文玉；邮箱：18150859082；学号：47368668 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $